Sách giao bài tập - Học phần: Toán cao cấp - Thống kê

Sách giao bài tập - Học phần: Toán cao cấp - Thống kê bao gồm các bài tập dạng tính đạo hàm, tính tích phân, tìm vi phân, tìm xác suất, tìm hàm phân phối xác suất, ước lượng,... Đây là tài liệu tham khảo và bài tập hữu ích cho các bạn sinh viên dùng để ôn tập các bộ môn Toán - Lý - Tin. Mời các bạn cùng tham khảo.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM THÁI NGUYÊN KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MƠN: TỐN LÝ PHẠM THANH HIẾU SÁCH GIAO BÀI TẬP Học phần : Toán cao cấp- Thống kê Số tín : 03 Mã số : MAS131 Thái Nguyên, 2017 PHẦN TOÁN CAO CẤP BÀI TẬP CHƯƠNG Bài tập 1: Thực phép nhân hai ma trận: a)  7    1    b)   12        10      11    Bài tập 2: Giải hệ phương trình: 1) 2 x1  x  x3  x x  2x  x  x    x1  x  x3  x  x1  x  x3  x 1 1 1 1  x  y  z  3  3) 2 x  y  3z  3x  y  z  11  3x1  x2  x3  x4   5)  x1  x2  3x3  x4 0 2 x  3x  x  3x  3  2)  x1  x  x3  3x 3x  x  x  x   2 x1  3x  x3  x  x1  x  3x3  x 1  4  6  4 2 x  y  3z   4) 3 x  y  z  5 x  y  z  2  4 x  y  z  3x  y  z   6)   x  y  z  7 x  y  z  BÀI TẬP CHƯƠNG Bài tập 1: Tính đạo hàm cấp hàm số sau đây: 1) y  ( x  x ) ; 4) y  1 x 1 x ; 2) y  ( x  1)(5  3x ); 5) y   x  x ; Bài tập 2: Tính đạo hàm cấp n hàm số: 1/ y  (3x  x  1).e 3x ; 2/ y  (2 x  x).e 2 x ; 3) y  2x ; x 1 6) y  x cot x 3/ y  (2 x  x).sin x 4/ y  ( x  1).e x ; 5/ y  (2 x  1)e 2 x 6/ y  ( x  3x)e x ; Bài tập 3: Một người nông dân cần quây chuồng ni bị liền có diện tích 15m2 dây thép gai Hỏi người nông dân nên quây chuồng có kích thước để vừa đủ yêu cầu diện tích chuồng mà tốn dây thép nhất? Bài tập 4: Một người chăn nuôi bị sữa có 200m rào để qy hai chuồng bị hình chữ nhật Hỏi người nên qy chuồng có kích thước để diện tích chuồng lớn nhất? Bài tập 5: Tổng doanh thu (đôla) sản xuất x sản phẩm nhà máy cho hàm số sau: R   x3  450 x  52500 x ( x  0) Hỏi công ty nên đưa mức sản suất sản phẩm để có doanh thu lớn Bài tập 6: Sự lây lan virut mơ hình bởi: N  t  12t ,  t  12 Với N số lượng người bị nhiễm ( tình hàng trăm người), t thời gian tính tuần a) Theo anh (chị) dự đoán tối đa có người bị nhiễm virut trên? b) Virut lây lan nhanh vào thời điểm nào? Bài tập 7: Khi rác thải đổ xuống ao, phân hủy rác thải tiêu hao oxy Mức oxy có ao rác thải bị oxy hóa mơ hình bởi: t  t 1 O ; t  t 1 Với t thời gian tính tuần a) Khi mức oxy thấp nhất? Mức bao nhiêu? b) Khi mức oxy cao nhất? Mức bao nhiêu? Bài tập 8: Tác dụng (E) loại thuốc giảm đau sau vào dòng máu t cho bởi: E (9t  3t  t ),  t  4,5 27 Tìm tỷ lệ tác dụng trung bình E khoảng thời gian từ đến 2h tỷ lệ tác dụng tức thời thời điểm t=2 Bài tập 9: Sự phát triển lồi vi khuẩn mơ hình hàm số 4t   P  500 1  ,   50  t  Với t thời gian tính (h) Tìm tỷ lệ tăng trưởng số lượng vi khuẩn thời điểm t=2 Bài tập 10: Một công ty vừa ước lượng chi phí (tính đơla) cho x đơn vị sản phẩm sản xuất ( x  0) mơ hình hàm số C  800  0,04 x  0,0002 x Hỏi công ty nên đưa mức sản xuất sản phẩm để mức chi phí trung bình cho sản phẩm nhỏ nhất? Bài tập 11: Lợi nhuận thu từ việc bán x đồng hồ báo thức mơ hình hàm số P  0,0002 x3  10 x ($) a) Tìm lợi nhuận biên cho mức sản xuất 50 b) Lợi nhuận thực tế tăng lên tăng mức sản xuất từ 50 đến 51 So sánh số với lợi nhuận biên rút kết luận Bài tập 12: Tính đạo hàm riêng cấp : 1) f ( x, y)  sin(2 x y3 )  e xy ; x 2) f ( x, y)  cos(x y )  e ; 3) f ( x, y)  e x y  3x y ; 2 x y x y 4) f ( x, y)  e  5x y ; 5) f ( x, y)  e  cos(5x ) ; 6) f ( x, y)  x.e x y Bài tập 13: Tìm vi phân tồn phần hàm số hai biến số : 1) f ( x, y)  cos(xyexy ) ; 2) f ( x, y)  sin(xyexy ) ; 3) f ( x, y)  ln x x  y 3 3   BÀI TẬP CHƯƠNG Bài tập 1: Tính tích phân 1/  1 x2  1 x2 1 x4 dx ; /  x sin x dx ; /  x x  2dx; 5/  3xdx 8/  7/   x2 ;  xdx (1  x ) 2 3/  x  3x  4 x3 dx ; /  x (3x  1) dx; ; x2 1 2x  dx; 9/  dx x ln x Bài tập 2: Tốc độ biến thiên số lượng vi khuẩn theo đơn vị thời gian t đo bởi: dP 3000  ; dt  0.25t Trong đó, t thời gian tính đơn vị ngày Khi t = số vi khuẩn p = 1000 a/ Viết phương trình mơ tả số lượng vi khuẩn theo thời gian t; b/ Số vi khuẩn sau ngày; c/ Sau số vi khuẩn lên đến 12 000 Bài tập 3: Doanh thu biên cho việc bán sản phẩm mô hình bởi: dR 100  50  0,02 x  , dx x 1 Với x số lượng hàng hóa bán a/ Tìm hàm doanh thu R biết x   R  0; b/ Tìm tổng doanh thu bán 1500 sản phẩm; c/ Phải bán sản phẩm để tổng doanh thu đạt 60230 đôla Bài tập 4: Mức lương trung bình cho người quản lý ( S đơla) Mỹ thay đổi với tỷ lệ: dS  2621,7.e 0,07t ; dt Với t = tương ứng với năm 1995 Năm 2001, mức lương trung bình cho người quản lý 118,496 đơla a/ Tìm hàm số mơ tả mức lương trung bình người quản lý năm; b/ Năm 1999, mức lương trung bình người quản lý bao nhiêu? Bài tập 5: Do cung cấp thiếu oxy nên cá hồi hồ bị chết dần Tỷ lệ thay đổi số lượng cá hồi hồ đo bởi: t dP  125 e 20 dt Với t thời gian tính ngày Khi t =0 số cá hồi hồ 2500 a/ Viết phương trình mơ tả số lượng cá hồi theo thời gian t; b/ Số lượng cá hồi sau 15 ngày Bài tập 6: Một vườn ươm xanh thường bán loại bụi sau năm trồng chăm sóc Tỷ lệ phát triển sau năm đo bởi: dh 17 ,6t  , dt 17 ,6t  Với t thời gian tính năm, h chiều cao tính cm Biết mầm trước đem ươm cao cm a/ Tìm hàm số mơ tả chiều cao cây; b/ Khi đem bán chúng cao bao nhiêu? Bài tập 7: Chi phí biên cho việc sản xuất x đơn vị sản phẩm mơ hình bởi: dC  32  0,04 x, dx Biết chi phí để sản xuất đơn vị sản phẩm 50.000 đồng Tìm tổng chi phí để sản xuất 200 sản phẩm Bài tập 8: Lợi nhuận biên sản phẩm dP  0,0005 x  12,2 dx a/ Lợi nhuận tăng lên bán hàng tăng từ 100 đến 110 đơn vị b/ Lợi nhuận tăng lên bán hàng tăng từ 100 đến 110 đơn vị Bài tập 9: Tính tích phân sau:   1/   e x  dx; x    e 1 2x2 /  ln x dx; 4/  0x e  x2  x dx; x x3 2/  1   cos xdx 6/   sin x 4x  10 x  x2 dx;  sin x  cos x 8/  dx sin x  cos x dx ;  sin x 7/  ; 12 5/  dx; Bài tập 10: Tính tích phân suy rộng:  1/  1 sin dx; x x2  2/  arctan x (1  x ) dx;  x2 1 x4 1 3/  dx;   4/  a2 dx x 1 x2  ; 5/  dx x x2 1  ; /  x.e  x dx PHẦN XÁC SUẤT BÀI TẬP CHƯƠNG Dạng 1: Công thức xác suất cổ điển Thang máy tòa nhà tầng xuất phát từ tầng với khách Tìm xác suất để: a/ Tất tầng bốn b/ Tất tầng c/ Mỗi người tầng khác Xếp ngẫu nhiên khách lên toa tầu hỏa Tìm xác suất để: a/ người lên toa đầu b/ người lên toa c/ người lên toa khác Có lơ hàng, lơ có 90 phẩm 10 phế phẩm, lơ có 80 phẩm 20 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng sản phẩm Tính xác suất để: a/ Lấy phẩm; b/ Lấy phẩm c/ Lấy phẩm Có hai chuồng lợn giống, chuồng có đực, chuồng có đực Bắt ngẫu nhiên từ chuồng Tính xác suất để: a/ Cả bắt b/ Bắt đực c/ Bắt đực Một kĩ sư nông nghiệp có hai hộp hạt giống loại: Hộp có 12 hạt giống hạt đủ tiêu chuẩn, hộp có 12 hạt giống có hạt đủ tiêu chuẩn Chọn ngẫu nhiên từ hộp hạt giống Tìm xác suất để hai hạt lấy ra: a/ Có hạt đủ tiêu chuẩn, hạt khơng đủ tiêu chuẩn b/ Lấy hạt đủ tiêu chuẩn c/ Lấy hạt đủ tiêu chuẩn Trong hòm đựng chi tiết phẩm chi tiết phế phẩm Lấy đồng thời chi tiết Tính xác suất để: a/ Cả chi tiết lấy phẩm b/ Trong chi tiết lấy có phẩm c/ Trong chi tiết lấy có phẩm Trong lớp học có 15 học sinh nam 10 học sinh nữ Gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng làm tập Tính xác suất để: a/ có học sinh nam b/ Có học sinh nam c/ Có nam nữ Một hộp đựng cầu trắng cầu đen kích cỡ Lấy ngẫu nhiên cầu Tìm xác suất để: a/ Trong lấy có trắng? b/ Có mầu? c/ Có mầu đen? Trong hộp bút có 10 bút bi kích cỡ, có bút mực đen bút mực xanh Lấy ngẫu nhiên bút Tìm xác suất lấy có: a/ bút mực xanh? b/ bút mực xanh: c/ mầu: 10 Một hộp đựng cầu trắng, cầu đỏ cầu đen Chọn ngẫu nhiên cầu Tìm xác suất lấy có: a/ trắng, đỏ đen? b/ đỏ? c/ Khơng có mầu trắng? Dạng 2: Cơng thức xác suất tổng, công thức xác suất đầy đủ, Bayss, Bernouly 11 Một nhà máy sản xuất bóng đèn Máy A sản xuất 25% số bóng đèn ,máy B sản xuất 35% số bóng đèn,cịn máy C sản xuất 40% số bóng đèn.Tỉ lệ sản phẩm hỏng máy tương ứng 5% (máy A),4% (máy B) 2% (máy C) a/ Lấy ngẫu nhiên bóng đèn.Tìm xác suất để gặp bóng đèn xấu b/ Khi lấy ngẫu nhiên bóng đèn ta bóng đèn tốt Tìm xác suất để bóng tốt lấy máy B sản xuất 12 Một dự án trồng lâm nghiệp nhận giống trồng từ sở sản xuất giống trồng Trung bình sở cung cấp 35%, sở cung cấp 40%, sở cung cấp 25% tổng số giống trồng dự án Trong khoảng 90% giống sở cung cấp đủ tiêu chuẩn, 85% giống sở cung cấp đủ tiêu chuẩn, 80% giống sở cung cấp đủ tiêu chuẩn Lấy ngẫu nhiên trồng dự án để kiểm tra a/ Tính xác suất để trồng lấy đủ tiêu chuẩn b/ Giả sử lấy đủ tiêu chuẩn, theo anh (chị) có khả sở cung cấp 13 Một trại lợn nhận lợn giống từ sở theo tỷ lệ 20% ; 35% 45% Biết tỷ lệ lợn giống không đủ tiêu chuẩn sở 2% ; 3% 4% Bắt ngẫu nhiên lợn trại a/ Tìm xác suất để bắt lợn đủ tiêu chuẩn b/ Giả sử bắt lợn khơng đủ tiêu chuẩn Theo bạn lợn có khả thuộc sở nhất? 14 Trong bệnh viện, tỷ lệ bệnh nhân tỉnh sau: Tỉnh A : 25% , tỉnh B : 35% tỉnh C : 40% Biết tỷ lệ bệnh nhân kỹ sư tỉnh tương ứng 2,5% ; 3% 4,5% Chọn ngẫu nhiên bệnh nhân a/ Tính xác suất để bệnh nhân kỹ sư b/ Giả sử bệnh nhân chọn khơng phải kỹ sư Theo bạn bệnh nhân có khả thuộc tỉnh nhất? 15 Có cửa hàng I, II III kinh doanh sản phẩm Y Tỷ lệ sản phẩm loại A hàng I, II, III 70%, 75% 50% Một khách hàng chọn ngẫu nhiên cửa hàng từ mua sản phẩm a/ Tính xác suất để khách hàng mua sản phẩm loại A b/ Giả sử khách hàng mua sản phẩm loại A, theo bạn sản phẩm có khả thuộc cửa hàng nào? 16 Một cửa hàng bán máy tính với 40% máy tính hãng IBM, 60% máy tính hãng Acer Biết tỷ lệ máy sản xuất hãng IBM Acer 0,8; 0,9 Một khách hàng mua máy tính cửa hàng a/ Tính xác suất để khách hàng mua máy tính sản xuất hãng b/ Giả sử khách hàng mua máy tính sản xuất hãng, theo bạn máy tính có khả hãng sản xuất? 17 Có 20 kiện hàng kiện hàng có 10 sản phẩm Trong số có kiện loại 1, kiện hàng có phế phẩm; kiện hàng loại 2, kiện hàng có phế phẩm kiện hàng loại 3, kiện có phế phẩm Lấy ngẫu nhiên kiện hàng, từ lấy ngẫu nhiên sản phẩm a/ Tính xác suất để sản phẩm lấy phế phẩm b/ Nếu lấy sản phẩm phế phẩm, theo bạn sản phẩm có khả thuộc kiện hàng loại nhiều cả? 18 Trong lớp học, tỷ lệ học sinh thích chơi game 70% Biết ham chơi game tỷ lệ học sinh đạt học lực 30%, cịn khơng chơi game tỷ lệ học sinh đạt học lực 60% Gọi học sinh lên bảng a/ Tính xác suất để học sinh có học lực b/ Giả sử học sinh có học lực Tính xác suất để học sinh chơi game 19 Ở vùng dân cư 100 người có 20 người hút thuốc Biết tỷ lệ người viêm họng số người hút thuốc 65%, cịn số người khơng hút thuốc 35% Khám ngẫu nhiên người thấy viêm họng, tìm xác suất để người hút thuốc Nếu người khơng viêm họng xác suất để người khơng hút thuốc 20 Có hộp đựng mẫu hàng xuất Hộp thứ có 10 mẫu có mẫu loại A mẫu loại B Hộp thứ có 10 mẫu có mẫu loại A mẫu loại B Chọn ngẫu nhiên hộp từ lấy ngẫu nhiên mẫu a/ Tính xác suất để mẫu lấy loại B b/ Giả sử mẫu lấy loại A Hỏi mẫu có khả thuộc hộp loại nhiều hơn? 21 Trong bệnh viện bỏng: 80% bệnh nhân bị bỏng nóng, 20% bệnh nhân bị bỏng hóa chất Trong số bệnh nhân bị bỏng nóng có 30% bị biến chứng, cịn với bỏng hóa chất có 60% bị biến chứng Từ tập bệnh án rút ngẫu nhiên hồ sơ thấy bệnh nhân bị biến chứng Tìm xác suất để bệnh nhân bị bỏng hóa chất gây ra? 22 Có 20 hộp sản phẩm loại, có 10 hộp xí nghiệp I, hộp xí nghiệp II, hộp xí nghiệp III Tỷ lệ sản phẩm tốt xí nghiệp tương ứng 50%, 65% 75% Lấy ngẫu nhiên hộp chọn ngẫu nhiên sản phẩm a/ Tính xác suất để sản phẩm tốt b/ Nếu sản phẩm tốt, theo bạn sản phẩm có khả thuộc xí nghiệp nhiều cả? 23 Có 18 học sinh thi học sinh giỏi chia làm nhóm: nhóm I có học sinh, nhóm II có học sinh, nhóm III có học sinh nhóm IV có học sinh Xác suất để học sinh nhóm đạt giải tương ứng 0,8; 0,7; 0,6; 0,5 a/ Tính xác suất để học sinh đạt giải b/ Nếu học sinh đạt giải tính xác suất để học sinh thuộc nhóm I? 24 Trong làng tỷ lệ nam 60% nữ 40% Khả mắc bệnh bạch tạng nam 0,6% nữ 0,35% Gặp người làng thấy người mắc bệnh Tìm xác suất để người nam? Nếu người khơng mắc bệnh xác suất để người nam bao nhiêu? 25 Hai máy sản xuất loại sản phẩm Tỉ lệ phế phẩm máy I 3% máy II 2%.Từ kho gồm 2/3 sản phẩm máy I 1/3 sản phẩm máy II ta lấy sản phẩm.Tính xác suất để: a/ Sản phẩm lấy tốt b/ Giả sử sản phẩm lấy sản phẩm tốt Tính xác suất để sản phẩm lấy máy I sản suất 26 Có 10 sinh viên thi, có sinh viên thuộc loại giỏi, trung bình Trong số 20 câu hỏi thi qui định sinh viên loại giỏi trả lời tất cả, sinh viên trả lời 16 câu, sinh viên trung bình trả lời 10 câu Gọi ngẫu nhiên sinh viên phát phiếu thi có câu hỏi trả lời câu hỏi Tính xác suất để sinh viên thuộc loại BÀI TẬP CHƯƠNG Một lô hàng gồm sản phẩm có phế phẩm Chọn ngẫu nhiên sản phẩm để kiểm tra Gọi X số sản phẩm tốt sản phẩm lấy a/ Tìm quy luật phân phối xác suất X b/ Tìm hàm phân phối xác suất c/ Tính E(X); D(X) Kiểm tra vấn đáp hết môn cho học sinh, học sinh vào kiểm tra người kiểm tra trước đạt yêu cầu Xác suất đạt yêu cầu kiểm tra học sinh 0,6 Lập bảng phân phối xác suất, tìm hàm phân phối xác suất, tính kỳ vọng phương sai số học sinh vào kiểm tra Trong hịm có bóng đèn có bóng tốt bóng hỏng Lấy ngẫu nhiên bóng để kiểm tra Gọi X số bóng tốt số bóng kiểm tra a/ Hãy lập dãy phân phối xác suất X b/ Tìm hàm phân phối F(x) c/ Tìm E(X) D(X) Một túi chứa 10 thẻ đỏ thẻ xanh Chọn thẻ Gọi X số thẻ đỏ lấy a/ Lập bảng phân phối xác suất X b/ Tìm hàm phân phối xác suất F(x) c/ Tìm E(X) D(X) Một thiết bị gồm phận hoạt động độc lập với Xác suất thời gian t phận bị hỏng tương ứng 0,4; 0,2 0,3 Gọi X số phận bị hỏng a/ Tìm quy luật phân phối xác suất X b/ Tìm hàm phân phối F(x) c/ Tính E(X); D(X) Một xí nghiệp có hai ô tô vận tải hoạt động Xác suất ngày làm việc ô tô bị hỏng tương ứng 0,1 0,2 Gọi X số ô tô bị hỏng thời gian làm việc a/ Tìm quy luật phân phối xác suất X b/ Tìm hàm phân phối xác suất c/ Tính E(X); D(X) Một người từ nhà đến quan phải qua ngã tư, xác suất để người gặp đèn đỏ ngã tư tương ứng là: 0,2; 0,4 0,5 Hỏi thời gian trung bình phải ngừng đường Biết gặp đèn đỏ người phải dừng 30 giây Trong phịng thí nghiệm có nghiên cứu viên tiến hành thí nghiệm độc lập tế bào ung thư khoảng thời gian Xác suất thực thành cơng thí nghiệm nghiên cứu viên thứ 0,75, nghiên cứu viên thú hai 0,8 nghiên cứu viên thứ ba 0,6 Gọi X số thí nghiệm thành cơng ba thí nghiệm a/ Lập bảng phân phối xác suất X b/ Tìm hàm phân phối xác suất c/ Tính kỳ vọng phương sai Có xạ thủ bắn độc lập vào bia, xạ thủ bắn viên đạn Xác suất bắn trúng đích xạ thủ 0,6; 0,5 0,4 Gọi X biến ngẫu nhiên số viên đạn bắn trúng bia a/ Lập bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X b/ Tìm hàm phân phối xác suất c/ Tính kỳ vọng, phương sai biến ngẫu nhiên X 10 Một xạ thủ có viên đạn Xạ thủ bắn viên trúng mục tiêu hết viên thơi Xác suất bắn trúng mục tiêu viên đạn 0,6 Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số viên đạn bắn a/ Lập bảng phân phối xác suất X b/ Tìm hàm phân phối xác suất c/ Tính kỳ vọng, phương sai X  x3 11 Cho hàm số: f ( x)   , x (0; 2)  , x (0; 2) a/ Chứng minh hàm f (x) hàm mật độ xác suất đại lượng ngẫu nhiên liên tục X b/ Tính kỳ vọng, phương sai đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất nói c/ Tính xác suất để phép thử độc lập có lần X nhận giá trị 1; / 2 12 Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất: 6  x( x  1) f ( x)     Khi x  1; 2 Khi x  1; 2 a/ Hãy tìm hàm phân phối F (x) b/ Tính E (X ) c/ Tính xác suất P(0