A Saùng kieán kinh nghieäm A ĐẶT VẤN ĐỀ Như ta đã biết, mục tiêu giáo dục và đào tạo là “nâng cao mặt bằng dân trí, đảm bảo những tri thức cần thiết để mọi người gia nhập cuộc sống xã hội và kinh tế,[.]
Sáng kiến kinh nghiệm A ĐẶT VẤN ĐỀ: Như ta biết, mục tiêu giáo dục đào tạo “nâng cao mặt dân trí, đảm bảo tri thức cần thiết để người gia nhập sống xã hội kinh tế, theo kịp tiến trình đổi đất nước, đào tạo bồi dưỡng nâng cao chất lượng nguồn nhân lực để đáp ứng yêu cầu cơng nghiệp hố, đại hố đất nước” Mơn tốn với vị trí mơn học có tiềm phát triển trí tuệ hình thành phẩm chất trí tuệ “linh hoạt, độc lập, sáng tạo” Hoạt động học tốn góp phần phát triển đạo đức nhân cách cho học sinh như: say mê có hồi bão học tập, mong muốn góp phần cho nghiệp chung đất nước, ý chí vượt khó, bảo vệ chân lý, cảm nhận đẹp, trung thực, tự tin, khiêm tốn… Ngồi mơn tốn môn công cụ để giúp học sinh học tốt mơn học khác Trong chương trình Đại số 8, dạng tốn “phân tích đa thức thành nhân tử” nội dung quan trọng Việc áp dụng dạng toán phong phú, đa dạng cho việc học sau như: rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phan thức, giải phương trình… Qua thực tế giảng dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử tơi nhận thấy rằng: Đa số học sinh làm sai chưa nắm vững phương pháp giải, chưa vận dụng kỹ biến đổi cách linh hoạt, sáng tạo cho toán cụ thể Đây vấn đề băn khoăn nhiều giáo viên dạy toán Nhằm đáp ứng nhu cầu tháo gỡ vướng mắc học tập học sinh Từ thúc đẩy tơi suy nghĩ chọn đề tài : “Một số sai lầm học sinh thường mắc phải phân tích đa thức thành nhân tử biện pháp khắc phục” B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: Thực trạng vấn đề nghiên cứu: Trang Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2008 – 2009 phân công Ban giám hiệu đảm nhận giảng dạy mơn tốn Sau tơi dạy xong “phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” cho học sinh làm kiểm tra (nội dung phần tự luận sau): Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 3x (x – y) – (y – x)2 b) (x + y)2 – x2 c) x2y – xy2 – 5x + 5y d) x4 – 9x3 + x2 – 9x Qua việc chấm chữa cho học sinh, tô i thống kê điểm làm kiểm tra học sinh tự luận sau: Chất lượng làm (tự luận) Giỏi Khá Trung bình Yếu, Tỉ lệ (%) 6,8 27,4 25,8 40 Trước kết thu lần kiểm tra ny thấy nhiều học sinh thường mắc sai lầm cách giải Vì mà trăn trở, đạt câu hỏi: Tại học sinh thường mắc phải sai lầm lời giải? Nguyên nhân đâu? Làm để học sinh không mắc phải sai lầm lời giải? … Rất nhiều vấn đề đặt cho thân câu hỏi không trả lời suốt q trình giảng dạy tơi tìm sai lầm học sinh mắc phải giải tóan “phân tích đa thức thành nhân tử” biện pháp khắc phục Cụ thể sau: Giải vấn đề: 2.1 Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung: Ví dụ 1: Phân tích đa thức: 5x3y + 15x2y – 10xy2 thành nhân tử: Học sinh phân tích thiếu sót sau: 5x3y + 15x2y – 10xy2 = xy(5x2 + 15x – 10y) (phân tích chưa triệt để) Để khắc phục thiếu sót giảng dạy giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh cách tìm nhân tử chung sau: Nhân tử chung tất hạng tử đa thức “một tích” chọn sau: -Nhân tử chung “hệ số” ước chung lớn (ƯCLN) hệ số nguyên dương hạng tử -Nhân tử chung biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất) Giáo viên gợi ý học sinh làm ví dụ cụ thể sau: Trang Sáng kiến kinh nghiệm -Tìm nhân tử chung hệ số 5, 15,10 hạng tử là? -Học sinh: ƯCLN (5,15,10) = -Tìm nhân tử chung biến x3y, x2y, xy2 ? Học sinh: xy Nhân tử chung hạng tử đa thức 5xy Lời giải (ví dụ 1): 5x3y + 15x2y – 10xy2 = 5xy x2 + 5xy 3x – 5xy 2y = 5xy (x2 + 3x – 2y) Ví dụ 2: Phân tích đa thức 12(x – y) – 6x (y – x) thành nhân tử Học sinh tìm nhân tử chung hệ số 12 6, vì: ƯCLN (12,6) = Đến tìm nhân tử chung (x – y) x(y – x) nhiều học sinh lúng túng khơng biết chọn Bên cạnh số học sinh nghĩ rằng: “(x – y) (y – x) nhau” nên phân tích đa thức sau: 12(x – y) – 6x (y – x) = 6(x – y) – 6(y – x) x (hiểu nhầm x – y = y – x) = 6(x – y)(2 – x) (kết sai) Để sửa sai cho học sinh, giáo viên cần nhấn mạnh rằng: x – y ≠ y – x (phép trừ tính giao hóan) Vậy để xuất nhân tử chung ta cần đổi dấu hạng tử theo tính chất: A = - (-A) Do giảng dạy giáo viên cần hướng dẫn học sinh áp dụng tính chất để làm ví dụ theo hai cách: Cách 1: Đổi dấu x – y để xuất nhân tử chung biến y – x: Ta có: (x – y) = - [-(x – y)] = -( -x + y) = -(y – x) Nhân tử chung hạng tử đa thức là: 6(y – x) Giải: 12(x – y) – 6x (y – x) = 12[-(y – x)] – 6x(y – x) =-12(y – x) – 6x(y – x) =-6(y – x).2 – 6(y – x).x = -6(y – x)(2 + x) Cách 2: Đổi dấu y – x để xuất nhân tử chung biến x – y Ta có: (y – x) = -[-(y – x)] = -(-y + x) = -(x - y) Nhân tử chung hạng tử đa thức là: 6(x – y) Giải: 12(x – y) – 6x (y – x) = 12(x – y)- 6x[-(x - y)] = 12(x – y) + 6x(x – y) Trang Sáng kiến kinh nghiệm = 6(x – y).2 + 6(x – y).x =6(x – y)(2 + x) Ví dụ 3: Phân tích đa thức 3x(x – y) – 5(y – x)2 thành nhân tử Học sinh thường giảisai lầm sau: 3x(x – y) – 5(y – x)2 = 3x(x – y) + 5(x – y)2 (đổi dấu sai) = (x – y)[3x + 5(x – y)] =(x – y)(3x + 5x – 5y) =(x – y)(8x – 5y) (dẫn đến kết sai) Để khắc phục sai lầm học sinh, giáo viên cần nhắc lại kiến thức sau cho học sinh khắc sâu: (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 (B – A)2 = B2 – 2BA + A2 = A2 – 2AB + B2 (A – B)2 = (B – A)2 Nên ví dụ nhấn mạnh rằng: (x – y)2 = (y – x)2 Lời giải đúng: 3x(x – y) – 5(y – x)2 =3x(x – y) – 5(x – y)2 = (x – y)[3x – 5(x – y)] = (x – y)(3x – 5x + 5y) = (x – y)(5y – 2x) Ví dụ 4: Phân tích đa thức x(x – y)2 – 3(y – x)3 thành nhân tử Học sinh thường mắc phải sai lầm lời giải sau: x(x – y)2 – 3(y – x)3 = x(x – y)2 – 3(x – y)3 (Sai hiểu nhầm) = (x – y) [x – 3(x – y)] = (x – y)(x – 3x + 3y) = (x – y)(3y – 2x) (Dẫn đến kết sai) Hiểu nhầm học sinh là: (y – x)3 = (x – y)3 Để khắc phục sai lầm giáo viên cần nhấn mạnh: (A – B)3 ≠ (B – A)3 cho học sinh lúc giảng dạy, vì: (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 (B – A)3 = B3 – 3B2A + 3BA2 – A3 = -A3 + 3A2B – 3AB2 + B3 = -(A3 – 3A2B + 3A2B – B3) = -(A – B)3 Vậy: (A – B)3 = -(B – A)3 Hoặc (B – A)3 = -(A – B)3 Trang Sáng kiến kinh nghiệm Nên ví dụ giáo viên kết luận: (y – x)3 = -(x – y)3 Lời giải đúng: x(x – y)2 – 3(y – x)3 = x(x – y)2 + 3(x – y)3 = (x – y)2 [x + 3(x – y)] = (x – y)2 (x + 3x – 3y) = (x – y)2(4x – 3y) Tóm lại, Qua ví dụ giảng dạy dạng tốn “phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung” giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh điều sau: a) Cách tìm nhân tử chung: Nhân tử chung hạng tử đa thức “một tích” chọn sau: -Nhân tử chung “hệ số” ƯCLN hệ số nguyên dương hạng tử -Nhân tử chung biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất) b) Nhiều làm xuất nhân tử chung hạng tử cần lưu ý: A = - (-A) (A – B)n = (B – A)n (với n chẳn) n n (A – B) = -(B – A) (với n lẻ) 2.2 Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng hàng đẳng thức: Ví dụ 1: Phân tích đa thức (x + y)2 – 9x2 thành nhân tử Học sinh thường giải sai lầm sau: (x + y)2 – 9x2 =[(x + y) – 9x][(x + y) + 9x] (Sai hiểu nhầm) = (x + y – 9x)(x + y + 9x) = (y – 8x)(y + 10x) (Dẫn đến kết sai) Hiểu nhầm học sinh “9x2 tưởng bình phương số 9” Để khắc phục sai lầm học sinh, giảng dạy giáo viên cần lưu ý cho học sinh sau: A2 – B2 = (A – B)(A + B) (với A, B hai biểu thức tùy ý) Do áp dụng đẳng thức cần biến đổi đa thức cho dạng bình phương biểu thức Cụ thể sau: (x + y)2 đóng vai trị A2 9x2 (có nghĩa nhân với x2) nên chưa đóng vai trị B2 Cần biến đổi thành: 9x2 = 9.x2 = 32.x2 = (3x)2 Trang Sáng kiến kinh nghiệm (3x)2 đóng vai trị B2 Lời giải đúng: (x + y)2 – 9x2 = (x + y)2 – (3x)2 = (x + y – 3x)(x + y + 3x) = (y – 2x)(4x + y) Ví dụ 2: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử Học sinh thường giải sai lầm sau: -Trường hợp 1: (x + y)2 – (x – y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (Sai thiếu dấu ngoặc) = (2x) =0 (Dẫn đến kết sai) -Trường hợp 2: (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)][(x + y) + (x – y)] = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (Bỏ dấu ngoặc sai) = 2x =0 (Dẫn đến kết sai) Để khắc phục sai lầm học sinh Trong giảng dạy giáo viên cần hướng dẫn học sinh “lấy dấu ngoặc, bỏ dấu ngoặc” cho xác Cụ thể làm sau: +Trong đa thức (x + y)2 – (x – y)2: (x + y)2 đóng vai trị A2 (x – y)2 đóng vai trị B2 Lúc A biểu thức x + y, B biểu thức x – y Nên áp dụng đẳng thức: “A2 – B2 = (A – B)(A + B)” cần đặt biểu thức x + y x – y dấu ngoặc Tức là: (x + y)2 – (x– y)2 =[(x + y) – (x – y)][(x + y) + (x – y)] +Khi bỏ dấu ngoặc: Phía trước dấu ngoặc dấu “+” hạng tử ngoặc khơng đổi dấu Ví dụ: (x + y) = x + y Phía trước dấu ngoặc dấu “_” hạng tử ngoặc thay đổi dấu Ví du: -(x - y) = - x + y Lời giải cho ví dụ 2: (x + y)2 – (x– y)2 Trang Sáng kiến kinh nghiệm = [(x + y) – (x – y][(x + y) + (x – y)] = (x + y – x + y)(x + y + x – y) = (2y) (2x) = 4xy 2.3 Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử: Ví dụ 1: Phân tích đa thức x2 +xy – x – y thành nhân tử: Học sinh thường mắc sai lầm lời giải sau: x2 + xy – x – y = (x2 + xy) – (x + y) = x(x +y) – (x + y) = (x +y) (x – 0) (Bỏ sót hạng tử sau đặt nhân tử chung) = x(x + y) (Dẫn đến kết sai bỏ sót số 1) Để khắc phục sai lầm trên, giảng dạy giáo viên cần nhấn mạnh: Đối với nhóm hạng tử (x + y) nhân tử chung nhóm Này 1, nên viết thành: (x + y) = 1.(x +y) Từ giáo viên dẫn dắt học sinh làm toán sau tránh sai sót (bỏ sót hạng tử sau đặt nhân tử chung): x2 + xy – x – y = (x2 + xy) – (x + y) = x(x + y) – 1.(x + y) = (x + y)(x – 1) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2y – xy2 – 5x + 5y b) x2 – 2x – 4y2 – 4y Học sinh thường giải sai lầm sau: a) x2y – xy2 – 5x + 5y = (x2y – 5x) + (xy2 – 5y) (Đặt dấu sai) = x(xy – 5x) + y(xy – 5) = (xy – 5)(x + y) (Dẫn đấn kết sai dấu) b) x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2) – (2x – 4y) = (x – 2y)(x + 2y) – 2(x – 2y) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (Đặt dấu sai) (Kết sai dấu) Để khắc phục sai lầm Trong giảng dạy giáo viên cần lưu ý cho học sinh “quy tắc dấu ngoặc” sau: Trang Sáng kiến kinh nghiệm + Khi nhóm hạng tử mà đặt dấu “ _” trước ngoặc phải đổi dấu tất hạng tử ngoặc Ví dụ: – 2x – 4y = -(2x + 4y) + Khi nhóm hạng tử mà đặt dấu “+” trước ngoặc khơng đổi dấu hạng tử ngoặc (tức giữ nguyên dấu hạng tử) Ví dụ: –2x – 4y = +(–2x – 4y) Giáo viên dẫn dắt học sinh giải hai toán sau: a) x2y – xy2 – 5x + 5y = (x2y – 5x) – (xy2 – 5y) Trước dấu ngoặc dấu “+” Trước dấu ngoặc dấu “–” = x(xy – 5) – y(xy – 5) = (xy – 5)(x – y) b)x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2) – (2x + 4y) Trước dấu ngoặc dấu “+” Trước dấu ngoặc dấu “–” =(x – 2y)(x + 2y) – 2(x + 2y) =(x + 2y)(x – 2y – 2) 2.4 Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp: Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 - 9x3 + x2 – 9x Đối với có nhiều cách phân tích học sinh thường phân tích thiếu sót sau: o Cách 1: x4 - 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (Phân tích chưa triệt để) o Cách 2: x4 - 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3) + (x2 – 9x) = x3(x – 9) + x(x – 9) = (x – 9)(x3 + x) (Phân tích chưa triệt để) Đối với cách làm yêu cầu “phân tích đa thức thành nhân tử” chưa triệt để cịn phân tích tiếp tục hai cách Do đó, giảng dạy giáo viên cần dẫn dắt học sinh làm sau: Cách 1: Sau học sinh viết đến bước 2: x(x3 – 9x2 + x – 9) Giáo viên nên gợi ý: Đa thức x3 – 9x2 + x – cịn phân tích thành nhân tử theo phương pháp nhóm hạng tử .Hãy phân tích đa thức x3 – 9x2 + x – thành nhân tử ? Trang Sáng kiến kinh nghiệm Học sinh làm: x3 – 9x2 + x – = (x3 – 9x2) + (x – 9) = x2 (x – 9) + 1(x – 9) = (x – 9)(x2 + 1) Dẫn dắt học sinh giải hoàn chỉnh cách 1: x4 - 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (Đặt nhân tử chung) = x[(x – 9x ) + (x – 9)] (Nhóm hạng tử) = x[x (x – 9) + 1(x – 9) (Đặt nhân tử chung cho nhóm) = x(x – 9)(x + 1) (Đặt nhân tử chung) Cách 2: Sau học sinh viết đến (x – 9)(x + 1) Giáo viên nên gợi ý: Đa thức x3 + x cịn phân tích thành nhân tử khơng? Vì sao? Học sinh: Được Vì x3 + x dùng phương pháp đặt nhân tử chung x ( x3 + x = x(x2 + x) ) Dẫn dắt học sinh giải hoàn chỉnh cách 2: x4 - 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x+3 ) + (x2 – 9x) (Nhóm hạng tử) = x (x – 9) + x(x – 9) (Đặt nhân tử chung cho nhóm) = (x – 9) (x + x) (Đặt nhân tử chung) = (x – 9).x (x + 1) (Đặt nhân tử chung) = x(x – 9)(x + 1) *Tóm lại, Để học sinh làm tốn phân tích đa thức thành nhân tử cách triệt để, giảng dạy giáo viên cần lưu ý học sinh làm theo bước sau: -Bước 1: Quan sát đặcđiểm toán xem hạng tử có nhân tử chung hay khơng (về hệ số biến) Nếu có nhân tử chung dùng “phương pháp đặt nhân tử chung” để phân tích; khơng có nhân tử chung ta chuyển sang bước -Bước 2: Nếu đa thức có dạng đẳng thức áp dụng “phương pháp dùng đẳng thức” khơng có dạng đảng thức ta chuyển sang bước -Bước 3: Dùng phương pháp nhóm hạng tử (thường nhóm “mỗi nhóm” có nhân tử chung “mỗi nhóm” có dạng đẳng thức) Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x3y – 2xy3 – 4xy2 – 2xy Giải: 2x3y – 2xy3 – 4xy2 – 2xy =2xy(x2 – y2 – 2y – 1) (Đặt nhân tử chung) Trang Saùng kiến kinh nghiệm =2xy[x2 – (y2 + 2y + 1)] (Nhóm hạng tử có dạng đẳng thức) =2xy[x2 – (y + 1)2] (Dùng đẳng thức) =2xy[x – (y + 1][x + (y + 1)] (Dùng đẳng thức) =2xy(x – y – 1)(x + y + 1) Kết quả: Từ việc phát sai lầm học sinh cách giải tốn “phân tích đa thức thành nhân tử” năm học 2008 – 2009 đưa số biện pháp khắc phục sai lầm Năm học 2009 – 2010 lại đảm nhận dạy mơn tốn 8, nên tơi mạnh dạn áp dụng số biện pháp sửa chữa sai lầm nêu suốt q trình giảng dạy tốn “phân tích đa thức thành nhân tử” tơi nhận thấy kết trước tiên “học sinh không bị mắc sai lầm” Điều thể rõ nét cho học sinh làm kiểm tra cuối chương I Kết sau: Chất lượng làm Tỉ lệ (%) Giỏi 15,6 Khá 35 Trung bình 44,4 Yếu, C KẾT LUẬN: Thông qua việc phát sai lầm khắc hục sai lầm học sinh giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử, đạt kết khả quan Qua thân tơi rút số kinh nghiệm sau: -Cần phải khảo sát chất lượng đầu năm học để nắm lực học tập học sinh -Trong trình giảng dạy giáo viên cần nhấn mạnh, lưu ý vấn đề học sinh thường nhầm lẫn -Kiểm tra chặt chẽ việc vận dụng kiến thức học vào tập nhà, tiết luyện tập lớp -Kiểm tra đồng học sinh lực tiếp thu ý kiến sau tiết học Trang 10 Sáng kiến kinh nghiệm -Dùng nhiều câu hỏi gợi ý để dẫn dắt học sinh tìm lời giải cách cẩn thận, xác Qua cách làm có hiệu trên, tơi ln vận dụng tốt cách thực tiết dạy, đồng thời khơng ngừng tìm hiểu thêm nhiều phương pháp tốt để hoàn thiện kiến thức chuyên môn phương pháp giảng dạy Tuy nhiên, việc trình bày chắn khơng khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp q thầy để giúp dạy tốt học sinh tránh sai lầm giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử Khánh Hòa, ngày 15 tháng 12 năm 2009 Người viết Trịnh Kim Ngân Trang 11 ... Giáo viên nên gợi ý: Đa thức x3 – 9x2 + x – cịn phân tích thành nhân tử theo phương pháp nhóm hạng tử .Hãy phân tích đa thức x3 – 9x2 + x – thành nhân tử ? Trang Sáng kiến kinh nghiệm Học sinh làm:... ? ?phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung” giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh điều sau: a) Cách tìm nhân tử chung: Nhân tử chung hạng tử đa thức “một tích? ?? chọn sau: -Nhân. .. 2) 2.4 Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp: Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 - 9x3 + x2 – 9x Đối với có nhiều cách phân tích học sinh thường phân tích