SKKN Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số dạng bài toán ở phân môn Đại số lớp 8 tại trường THCS Xuân Cẩm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THƯỜN[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THƯỜNG XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TỐN Ở PHÂN MƠN ĐẠI SỐ LỚP TRƯỜNG THCS XUÂN CẨM Người thực hiện: Bùi Thị Thu Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Xuân Cẩm SKKN mơn: Tốn THANH HỐ NĂM 2018 SangKienKinhNghiem.net MỤC LỤC Nội dung Trang Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 15 Kết luận, kiến nghị 16 3.1 Kết luận 16 3.2 Kiến nghị 17 Tài liệu tham khảo SangKienKinhNghiem.net TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa toán tập Nhóm tác giả: Phan Đức Chính - Tơn Thân - Vũ Hữu Bình - Trần Đình Châu – Ngơ Hữu Dũng – Phan Gia Đức – Nguyễn Duy Thuận Nhà xuất xuất giáo dục, xuất năm 2009 Sách tập tốn tập Nhóm tác giả: Tôn Thân – Nguyễn Huy Đoan – Lê Văn Hồng – Trần Hữu Nam – Trương Công Thành – Nguyễn Hữu thảo Nhà xuất xuất giáo dục, xuất năm 2009 Các dạng toán phương pháp giải tốn tập Nhóm tác giả: Tơn Thân, Vũ Hữu Bình, Nguyễn Vũ Thanh – Bùi Văn Tuyên Nhà xuất giáo dục; xuất năm 2011 Tài liệu chuyên toán THCS Toán tập Nhóm tác giả: Vũ Hữu Bình – Trần Hữu Nam – Phạm Thị Bạch Ngọc – Nguyễn Tam Sơn Nhà xuất xuất giáo dục, xuất năm 2012 SangKienKinhNghiem.net DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Bùi Thị Thu Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THCS Xuân cẩm TT Tên đề tài SKKN Kết Cấp đánh Năm học đánh giá giá xếp loại xếp loại đánh giá xếp (Phòng, Sở, (A, B, loại Tỉnh ) C) Hương dẫn học sinh học làm tập nhà Phòng GD C 2013 - 2014 phát huy tính tích cực, sáng tạo học sinh từ tương đồng chương I “điểm Đường thẳng” chương II “ góc” hình học Phịng GD C 2015 - 2016 SangKienKinhNghiem.net Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Tốn học mơn học quan trọng trường phổ thơng, học tốt mơn tốn giúp học sinh học tốt môn học khác Hơn chương trình tốn THCS viên gạch đặt móng cho q trình học tập sau Nhưng thực trạng cho thấy, học sinh học tốt mơn tốn trường THCS Xuân Cẩm chiếm tỉ lệ thấp, đa số em ngại, chí sợ học tốn Vì vậy, khơng chất lượng đại trà mơn tốn thấp mà cịn kéo theo nhiều mơn học khác thấp, đặc biệt môn học thuộc ban khoa học tự nhiên Xuất phát từ lòng thương yêu học sinh em lương tâm nhà giáo Tôi thực băn khoăn, trăn trở trước khó khăn, chán nản học sinh học mơn tốn Bởi q trình giảng dạy tơi ln học hỏi đồng nghiệp tìm tịi phương pháp thích hợp để giúp em học sinh học tốt mơn tốn u thích mơn tốn Nên thấy việc hướng dẫn em biết cách giải loại toán cần thiết Với mong muốn nâng cao chất lượng dạy - học trường THCS Xuân Cẩm Năm học 2017 – 2018 mạnh dạn áp dụng chuyên đề “Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải số dạng tốn phân mơn đại số lớp trường THCS Xuân Cẩm” nhằm nâng cao chất lượng học mơn tốn lớp nói chung bậc THCS nói riêng đơn vị 1.2 Mục đích nghiên cứu Với lí trên, đề tài thân mong muốn: - Không cố kiến thức học như: đẳng thức đáng nhớ, cộng, trừ, nhân, chia đa thức, phép toán chia hết,… mà muốn rèn luyện kỹ phân tich đa thức thành nhân tử cho học sinh, bước đầu làm quen với phương pháp giải phương trình tích (các em học học kỳ II), đồng thời thông qua chuyên đề giúp học sinh phân loại số dạng toán thường gặp lớp phương pháp giải, từ hình thành kỹ năng, rèn luyện tính xác, phát triển tư duy, tính tự lập, chủ động học tập, tự tin vào thân, u thích mơn học, từ nâng cao chất lượng giáo dục địa phương - Thông qua việc dạy thực nghiệm đề tài thân tìm hiểu sâu nội dung chương trình, nâng cao trình độ chun mơn, đúc rút kinh nghiệm q trình giảng dạy đồng thời có điều kiện trao đổi với bạn bè đồng nghiệp, từ rút phương pháp dạy học đạt hiệu cao 1.3 Đối tượng nghiên cứu Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải số dạng toán phân môn đại số lớp Đối tượng áp dụng học sinh khối trường THCS Xuân Cẩm 1.4 Phương pháp nhiên cứu Đề tài hoàn thành phương pháp thống kê tổng hợp, quan SangKienKinhNghiem.net sát, phân tích nguyên nhân phương pháp thực nghiệm sư phạm Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Đặc điểm lứa tuổi THCS muốn tự khám phá, tìm hiểu trình nhận thức Các em có khả điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia hoạt động học tập khác cần phải có hướng dẫn, điều hành cách khoa học nghệ thuật thầy cô giáo Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động đồng thời phát triển lực tự học học sinh trình lâu dài, kiên nhẫn địi hỏi người giáo viên phải có phương pháp phù hợp, để phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động lực tự học học sinh Trong trình giảng dạy, giáo viên phải hướng dẫn học sinh: - Tìm phương pháp nghiên cứu giải vấn đề, khắc phục tư tưởng rập khuôn, máy móc - Có khả ghi nhớ kỹ vận dụng kiến thức học vào việc giải tốn liên quan - Có kĩ phát kiến thức liên quan với nhau, phân loại dạng toán phương pháp giải Là giáo viên có nhiều năm cơng tác trường THCS Xn Cẩm, nên thân nắm vững chất lượng học sinh nhà trường Phải thẳng thắn nhìn nhận chất lượng học sinh nhà trường tương đối thấp, đặc biệt mơn tốn Đối với mơn tốn học, đa số em dừng lại mức độ biết, số học sinh đạt mức độ hiểu, khả vận dụng em gần khơng có Qua tìm hiểu ngun nhân cho thấy, học sinh đa số em đồng bào dân tộc thái, điều kiện kinh tế cịn khó khăn, trình độ dân trí thấp, nên việc đầu tư vật chất thời gian cho học tập chưa cao, đến lớp em cịn phải giúp đỡ bố mẹ cơng việc gia đình, khơng có thời gian để tự học Sự quan tâm kèm cặp phụ huynh nhiều hạn chế, ý thức học tập số em chưa cao, phương pháp học tập chưa phù hợp, dẫn đến chất lượng học tập học sinh thấp, hầu hết em sợ học mơn tốn Đây điều mà thân tơi ln ln trăn trở, cố gắng tìm tịi phương pháp giảng dạy, đặc biệt đưa chuyên đề, phân loại dạng tốn để học sinh nhận biết giải tập mang tính vận dụng từ giúp học sinh tự tin học tập Tuy nhiên việc xác định nội dung kiến thức cần thiết cho học sinh địi hỏi người giáo viên đánh giá xác mức độ nhận thức, đồng thời qua chuyên đề củng cố nhiều kiến thức cho học sinh Trong trình giảng dạy tơi thấy việc vận dụng kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử có vai trị quan trọng nội dung chương trình đại số lớp 8, chọn nội dung để dạy thử nghiệm Ở chuyên đề không vào dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử mà vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán liên quan, qua học sinh vừa cố kiến thức, rèn luyện kỹ phân tích đa thức mà cịn phân loại số dạng toán chương trình lớp phương pháp giải SangKienKinhNghiem.net 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Khảo sát hai lớp 8A, 8B năm học 2017 – 2018 nhà trường nội dung kiến thức “Các toán áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” cho thấy chất lượng học sinh tương đối thấp Lớp Sĩ số Giỏi Khá T bình Yếu Kém học SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) sinh 8A 32 3,1 6,3 13 40,6 12 37,5 12,5 8B 32 0 3,1 10 31,3 15 46,9 18,7 Qua việc chấm làm học sinh trực tiếp giảng dạy, nhận thấy: - Việc ghi nhớ cơng thức tốn học học sinh máy móc - Việc vận dụng đẳng thức đáng nhớ, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử hạn chế, dừng lại tốn đơn giản, Chưa có khả vận dụng giải toán liên quan Học hết học kỳ I đại số 8, học sinh học nhiều định nghĩa, định lý, cơng thức tốn học , đặc biệt đẳng thức đáng nhớ, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, … Tuy nhiên đa số em biết vận dụng giải tập đơn giản (triển khai đẳng thức theo chiều thuận), phân tích đa thức dừng lại phương pháp đặt nhân tử chung, việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải số dạng toán liên quan gần em khơng có kỹ Thậm chí đa số học sinh việc cộng, trừ, nhân, chia đa thức cịn gặp nhiều khó khăn Để giải thực trạng trên, áp dụng đề tài: “Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải số dạng toán phân môn đại số 8” vào đối tượng học sinh khối trường THCS Xuân Cẩm để dạy thử nghiệm 2.3 Các giải pháp 2.3.1 Đối với học sinh - Yêu cầu học sinh nắm vững cách cộng, trừ, nhân, chia đa thức, ghi nhớ đẳng thức đáng nhớ, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, - Dành nhiều thời gian cho học môn toán, đọc thêm tài liệu tham khảo, vận dụng cơng thức tốn học vào thực tế đời sống,… 2.3.2 Đối với giáo viên - Sử dụng tốn điển hình nhóm thành dạng để học sinh dể nhận biết - Rèn luyện khả tư cho học sinh, đặc biết khả phân tích tốn, phân tích đa thức thành nhân tử Vận dụng đẳng thức cách linh hoạt SangKienKinhNghiem.net - Rèn luyện cho học sinh khả tự học, tự nghiên cứu, tính xác, khoa học, động viên khuyến khích học sinh học tập, từ khơi dạy tính sáng tạo u thích mơn học Trong q trình giảng dạy tơi sử dụng số tốn điển hình, nhằm thơng qua tốn để dạy phương pháp phân tích khác cho học sinh để học sinh so sánh, khắc sâu ghi nhớ phương pháp phân tích 2.3.3 Tổ chức thực 2.3.3.1 Cơ sở lý thuyết Nhứng đẳng thức đáng nhớ (A+B)2 = A2+2AB+B2 (A – B)2= A2 – 2AB+ B2 A2 – B2= (A-B)(A+B) (A+B)3= A3+3A2B +3AB2+B3 (A – B)3 = A3- 3A2B+ 3AB2- B3 A3 + B3= (A+B)(A2- AB +B2) A3- B3= (A- B)(A2+ AB+ B2) (A+B+C)2= A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: - Phương pháp đặt nhân tử chung - Phương pháp sử dụng đẳng thức đáng nhớ - Phương pháp nhóm nhiều hạng tử - Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp - Phương pháp đặt ẩn phụ - Phương pháp thêm bớt hạng tử - Phương pháp hệ số bất định,… Vận dụng sở lý thuyết Giáo viên hướng dẫn học sinh vận dụng vào giải số toán liên quan sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử 2.3.3.2 Các dạng tốn liên quan Dạng 1: Tính nhanh Phương pháp giải: Phân tích biểu thức cần tính nhanh thừa số tính Ví dụ 1: Tính nhanh (Bài 46, trang 21 SGK Toán tập 1) a 732 - 272 b 372 – 132 c 20022 - 22 Hướng dẫn: Phân tích biểu thức thành nhân tử cách dùng đẳng thức “hiệu hai bình phương”; thực phép nhân số nguyên Giải a 732 - 272 = (73 – 27)(73 + 27) = 46.100 = 4600 SangKienKinhNghiem.net b 372 – 132 = (37 – 13)(37 + 13) = 24.50 = 1200 c 20022 - 22 = (2002 – 2)(2002 + 2) = 2000.2004 = 4008000 Ví dụ 2: Tính nhanh (Bài 49, trang 22 SGK toán tập 1) a 37,5.6,5 – 7,5.3,4 – 6,6.7,5 + 3,5.37,5 b 452 + 402 – 152 + 80.45 Hướng dẫn: Phân tích biểu thức thành nhân tử cách nhóm hạng tử đặt nhân tử chung (câu a); nhóm hạng tử dùng hai đẳng thức bình phương tổng hiệu hai bình phương (câu b) Giải a 37,5.6,5 – 7,5.3,4 – 6,6.7,5 + 3,5.37,5 = (37,5.6,5 + 3,5.37,5) – ( 7,5.3,4 + 6,6.7,5) =37,5(6,5 + 3,5) – 7,5( 3,4 + 6,6) = 37,5.10 – 7,5.10 = 10(37,5 – 7,5) = 10.30 = 300 b 452 + 402 – 152 + 80.45 = (452 + 2.40.45 + 402) – 152 = (45 + 40)2 – 152 = 852 - 152 = (85 – 15)(85 + 15) = 70.100 = 7000 Dạng 2: Tính giá trị biểu thức Phương pháp giải - Trước hết phân tích đa thức thành nhân tử - Thay giá trị biến vào biểu thức phân tích Ví dụ 3: (Bài 56, trang 25 SGK toán tập 1) Tính nhanh giá trị đa thức a x2 + 1 x+ với x = 49,75 16 b x2 – y2 – 2y – với x = 93, y = Hướng dẫn: Phân tích biểu thức thành nhân tử cách dùng đẳng thức bình phương tổng (câu a); nhóm hạng tử dùng hai đẳng thức bình phương tổng hiệu hai bình phương (câu b) - Thay giá trị x, y vào biểu thức phân tích để tính Lưu ý: khơng thay trực tiếp vào biểu thức để tính SangKienKinhNghiem.net Giải a x2 1 1 + x+ = x2 + 2.x + = x ( x 0,25) với x = 49,75 16 4 4 : (x + 0,25)2 = (49,75 + 0,25)2 = 502 = 2500 b x2 – y2 – 2y – = x2 – (y2 + 2y + 1) = x2 – (y + 1)2 = (x – y – 1)(x + y + 1) Với x = 93, y = : (x – y – 1)(x + y + 1) = (93 – – 1)(93 + + 1) = 86.100 = 8600 Ví dụ 4: ( câu a 40, trang 19 SGK tốn tập Câu b ví dụ 13 sách dạng toán phương pháp giải tốn tập 1) Tính giá trị biểu thức sau: a 15.91,5 + 150.0,85 b 5x5(x – 2z) + 5x5(2z – x) với x = 1999 ; y = 2000 ; z = - Hướng dẫn: Phân tích đa thức thành nhân tử cách đặt nhân tử chung, nhóm nhiều hạng tử Giải a 15.91,5 + 150.0,85 = 15.91,5 + 15.8,5 = 15(91,5 + 8,5) = 15.100 = 1500 b 5x5(x – 2z) + 5x5(2z – x) = 5x5(x – 2z + 2z – x) = 5x5.0 Với x = 1999 ; y = 2000 ; z = - : 5x5.0 = Ví dụ 5: (Bài 12, trang 54 sách dạng toán phương pháp giải toán tập 1) Tính giá trị biểu thức: a b 432 112 36.52 27.52 973 833 97.83 180 Hướng dẫn: Nhận thấy ví dụ này, học sinh không sử dụng đẳng thức để phân tích thành nhân tử việc tính tốn gặp nhiều khó khăn nên cần hướng dẫn cho em: - Trước hết phân tích biểu thức cho thành nhân tử cách dùng đẳng thức hiệu hai bình phương(câu a) tổng hai lập phương (câu b) - Thay giá trị biến vào biểu thức phân tích để tính Giải a, 43 1143 11 432 112 36,52 27,52 36,5 27,5 36,5 27,5 32.54 32 9.54 SangKienKinhNghiem.net b, 97 83 972 97.83 832 973 833 97.83 97.83 180 180 180.8247 97.83 8247 97.83 8247 8051 196 180 Ví dụ 6: (Bài 40 b, trang 19 SGK tốn tập 1) Tính giá trị biểu thức x(x - 1) - y(1 - x) x = 2000, y = 1999 Hướng dẫn: Nếu theo cách làm thông thường học sinh thay giá trị biến vào biểu thức để tính giá trị Cách làm phức tạp cho kết Vì em cần phân tích biểu thức thành nhân tử thay số tính giá trị biểu thức Giải: Ta có x(x - 1) - y(1- x) = x(x - 1) + y(x - 1) = (x - 1)(x + y) Thay x = 2001, y = 1999 ta (2001 - 1) (2001 + 1999) = 2000.4000 = 8000000 Dạng : Tìm x thỏa mãn đẳng thức cho Phương pháp giải - Chuyển vế tất số hạng vế trái đẳng thức, vế phải - Phân tích vế trái thành nhân tử để dạng A(x).B(x) = A(x) = B(x) = - Lần lượt tìm x từ đẳng thức A(x) = 0, B(x) = ta tìm kết Ví dụ 7: (Bài 41, trang 19 SGK toán tập 1) Tìm x biết: a 5x(x – 2000) – x + 2000 = b x3 – 13x = Hướng dẫn: Phân tích vế trái thành nhân tử phương pháp nhóm nhiều hạng tử, vận dụng tính chất A(x).B(x) = suy ra: A(x) = B(x) = Giải a 5x(x – 2000) – x + 2000 = 5x(x – 2000) – (x – 2000) = (x – 2000)(5x – 1) = x – 2000 = 5x – = 1) x – 2000 = x = 2000 Vậy x = 2000 x = 2) 5x – = x = b x3 – 13x = SangKienKinhNghiem.net x(x2 – 13) = x(x - 13 )(x + 13 ) = x = x - 13 = x + 13 = 1) x = 2) x - 13 = x = 13 3) x + 13 = x = - 13 Vậy x = 0; x = 13 ; x = - 13 Ví dụ 8: (Bài 45, trang 20 SGK tốn tập 1) Tìm x biết: a – 25x2 = b x2 – x + =0 Hướng dẫn: Tương tự ví dụ Giải a – 25x2 = ( - 5x)( + 5x) = - 5x = + 5x = 1) - 5x = 5x = 2) + 5x = 5x = - x= x=- 2 ;x=5 b x2 – x + = (x - )2 = =0 x2 x= Vậy x = Ví dụ 9: (Bài 50, trang 23 SGK) Tìm x biết a) x(x – 2) + x – = b) 5x(x – 3) - x + = c) (2x – 1)2 – (x + 3)2 = Hướng dẫn: Phân tích vế trái thành nhân tử phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đẳng thức đáng nhớ SangKienKinhNghiem.net Giải a) x(x – 2) + x – = x(x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1) = x – = x + = 1) x – = x = 2) x + = x = - Vậy x = 2; x = - b) 5x(x – 3) - x + = 5x(x – 3) – (x – 3) = (x – 3)(5x – 1) = x – = 5x – = 1) x – = x = 2) 5x – = x = Vậy x = 3; x = 5 c) (2x – 1)2 – (x + 3)2 = (2x -1 – x – 3)(2x – + x + 3) = (x – 4)(3x + 2) = x – = 3x + = 1) x – = x= 2) 3x + = x = Vậy x = 4; x = - 3 Dạng 4: Áp dụng vào chứng minh tính chia hết số học Phương pháp giải - Phân tích đa thức chia thành nhân tử cho xuất số chia - Áp dụng tính chất số nguyên a chia hết cho số nguyên b có số nguyên q cho a = q.b Ví dụ 10: (Bài 42, trang 19 SGK tốn tập 1) Chứng minh 55n + – 55n chia hết cho 54 (với n số tự nhiên) Hướng dẫn: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử sử dụng tính chất chia hết Giải n + n n Ta có 55 – 55 = 55 (55 – 1) = 54.55n chia hết cho 54 với n SangKienKinhNghiem.net Ví dụ 11: (Bài 52, trang 24 SGK toán tập 1) Chứng minh (5n + 2)2 – chia hết cho với n Z Hướng dẫn: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức hiệu hai bình phương để xuất thừa số chia hết cho Giải Ta có (5n + 2)2 – = (5n + – 2)(5n + + 2) = 5n(5n + 4) chia hết cho với n Z Ví dụ 12: (Bài 17, trang 54 sách dạng toán phương pháp giải toán tập 1) Chứng minh với n Z a) n3 – n chia hết cho b) n3 -13n chia hết cho c) n3 – 3n2 – n + chia hết cho 48 với n lẻ Hướng dẫn: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp, đặt nhân tử chung, tách hạng tử nhóm nhiều hạng tử; sử dụng tính chât chia hết Giải a) n3 – n = n(n2 – 1) = n(n – 1)(n + 1) Vì n – 1, n, n + số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho có số chia hết tích n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 2.3 = (vì (2,3) = 1) Vậy n3 – n chia hết cho b) n3 -13n = (n3 – n) – 12n theo câu a n3 – n chia hết cho 6; 12n chia hết (n3 – n) – 12n chia hết cho hay n3 -13n chia hết cho c) n3 – 3n2 – n + = n2(n – 3) – (n – 3) = (n – 3)(n2 – 1) = (n – 3)(n – 1)(n + 1) Vì n lẻ nên ta đặt n = 2k + 1(k Z) thay vào ta có: (2k – 2)2k(2k + 2) = 8k(k – 1)(k + 1) mặt khác k(k – 1)(k + 1) tích ba số nguyên liên tiếp nên k(k – 1)(k + 1) Vậy n3 – 3n2 – n + chia hết cho 48 Qua 12 ví dụ vừa nêu ta nhận thấy đa thức cho phân tích thành nhân tử việc chứng minh trở nên đơn giản giúp em phân tích đa thức thành nhân tử ta giúp em hồn thành tốn Trên học sinh hai lớp nhận biết lợi ích việc phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng số toán nêu SGK, nhiên em học sinh khá, giỏi hai lớp giới thiệu cho em thêm vài lợi ích khác nhằm giúp em thích thú tìm hiểu học tốn dạng sau: Dạng 5: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đẳng thức cho trước Phương pháp giải 10 SangKienKinhNghiem.net - Phân tích vế đẳng thức thành tích hai thừa số, vế lại số nguyên n - Phân tích số nguyên n thành tích hai thừa số tất cách Ví dụ 13: (Bài 22, trang 47 sách dạng toán phương pháp giải tốn tập 1) Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đẳng thức sau: a x + y = xy b xy – x + 2(y – 1) = 13 Hướng dẫn: Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách tách hạng tử, nhóm nhiều hạng tử Giải a Ta có : x + y = xy xy – x - y = x(y – 1) – (y – 1) = (1) (y – 1)(x – 1) = y 1 y 1 x x 1 y y x x Vậy cặp số (x, y) cần tìm (0, 0); (2, 2) b xy - x + 2(y - 1) = 13 Phân tích vế trái thừa số ta có xy - x + 2(y - 1) = x(y - 1) + 2(y - 1) = (y - 1)(x + 2) Do x, y Z vế phải 13 = 1.13 = 13.1 = (-1).(-13) = (-13).(-1) nên ta có: y-1=1 y - = 13 y - = -1 y - = -13 hoặc x + = 13 x+2=1 x + = -13 x + = -1 Hay : x = 11 x = -1 x = -15 x = -3 hoặc y=2 y = 14 y=0 y = -12 Vậy cặp số cần tìm (11, 2) ; (-1, 14) ; (-15 , 0) ; (-3, -12) Dạng 6: Chứng minh đẳng thức Phương pháp giải - Phân tích đa thức thành nhân tử vế trái để đưa đẳng thức dạng tích - Xét thừa số chứng minh đẳng thức, nhiều trường hợp phải dùng đến đặt ẩn phụ Ví dụ 14: (Bài tập 2.14, trang 20 sách dạng toán phương pháp giải toán tập 1) Chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc a = b = c a + b + c = 11 SangKienKinhNghiem.net Hướng dẫn: Sử dụng đẳng thức đáng nhớ phân tích đa thức thành nhân tử Giải a3 + b3 + c3 = 3abc a3 + b3 + c3 - 3abc = Ta có: b3 + c3 = (b + c)(b2 + c2 - bc) = (b + c)[(b + c)2 – 3bc] = (b + c)3 – 3bc(b + c) a3 + b3 + c3 - 3abc = a3 + (b + c)3 – 3bc(b + c) – 3abc = (a + b + c)[a2 – a(b + c) + (b + c)2] – 3bc(a + b + c) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) Do đó, a3 + b3 + c3 - 3abc = a + b + c = 0, hoặc: a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = a = b = c Ví dụ 15: (Ví dụ 26, trang 51 sách dạng toán phương pháp giải toán tập 1) Chứng minh (b – c)3 + (c – a)3 + (a – b)3 = 3(a – b)(b – c)(c – a) Hướng dẫn: Sử dụng đặt ẩn phụ, đẳng thức đáng nhớ phân tích đa thức thành nhân tử Giải Đặt x = b – c, y = c – a, z = a - b Áp dụng ví dụ 14 ta có: x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) = (vì x + y + z = 0) x3 + y3 + z3 = 3xyz, điều phải chứng minh Dạng 7: Chứng minh bất đẳng thức(A > B; A < B; A B; A B ) Phương pháp giải - Dùng định nghĩa : Chứng minh A – B > 0(A < B; A B; A B tương tự) - Biến đổi tương đương : A > B A1 > B1 A2 > B2 … An > Bn Nếu An > Bn A > B - Chứng minh phương pháp phản chứng : Giả sử A B dẫn tới điều vô lý Vậy A > B - Chứng minh quy nạp toán học: Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức với số tự nhiên n = n0 Bước 2: Giả sử bất đẳng thức với n = k(k n0) ta chứng minh bất đẳng thức với n = k + Sau kết luận bất đẳng thức với số tự nhiên n n0 - Chứng minh phương pháp tổng hợp: 12 SangKienKinhNghiem.net + Sử dụng tính chất bất đẳng thức + Sử dụng tính chất bắc cầu: Chứng minh A > C; C > B A > B Ví dụ 16: (Ví dụ 12.1, trang 88 Tài liệu chuyên toán THCS Toán 8, tập 1) ab ) ab Hướng dẫn: Đối với ta làm theo cách, là: - Dùng định nghĩa - Dùng phép biến đổi tương đương - Dùng phương pháp chứng minh phản chứng - Chứng minh phương pháp tổng hợp Cách 1: Dùng định ngĩa Chứng minh với a, b ta có ( a 2ab b 4ab (a b) ab ab ) - ab = ) ab = nên ( 4 2 Cách 2: Biến đổi tương đương ab ( ) ab a2 + 2ab + b2 4ab a2 - 2ab + b2 (a - b)2 0(hiển nhiên đúng) Cách 3: Dùng phương pháp chứng minh phản chứng ab ) < ab a2 + 2ab + b2 < 4ab Giả sử ( ab ) ab a2 - 2ab + b2 < (a - b)2 < vô lý Vậy ( Cách 4: Chứng minh phương pháp tổng hợp Ta có (a - b)2 a2 - 2ab + b2 a2 - 2ab + b2 + 4ab 4ab ab ) ab (a + b)2 4ab ( Ví dụ 17: (Ví dụ 28, trang 51 sách dạng toán phương pháp giải toán tập 1) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác CMR: a a3(b2 - c2) + (c2 - a2) + c2(a2 - b2) < với a < b < c b a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a + b)2 > a3 + b3 + c3 Giải 2 2 2 a a (b - c ) + (c - a ) + c (a - b ) = a3[(b2 - a2) + (a2 - c2)] + b3(c2 - a2) + c3(a2 - b2) = a3(b2 - a2) + a3(a2 - c2) + b3(c2 - a2) + c3(a2 - b2) = (a2 - b2)(c3 - a3) + (a2 - c2)(a3 - c3) = (a - b)(c - a)[(a + b)(c2 + ca + a2)] + (a - c)(a - b)[(a + c)(a2 + ab + b2)] ( 13 SangKienKinhNghiem.net = (a - b)(c - a)[ (a + b)(c2 + ca + a2) - (a + c)(a2 + ab + b2)] = (a - b)(c - a)(c - b)(ab + bc + ca) Vì < a < b < c nên a - b < 0, c - a > 0, c - b > ab + bc + ca > (a - b)(c - a)(c - b)(ab + bc + ca) < Vậy a3(b2 - c2) + (c2 - a2) + c2(a2 - b2) < víi a < b < c b Xét hiệu: a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a + b)2 - a3 - b3 - c3 = [a(b - c)2 - a3] + [b(c - a)2 - b3] + [c(a + b)2 - c3] = a[(b - c)2 - a2] + b[(c - a)2 - b2] + c[(a + b)2 - c2] = a(b + a - c)(b - c - a) + b(c + b - a)(c - b - a) + c(a + b - c)(a + b + c) = (a + b - c)(ab - ac - a2 - bc - b2 + ab + ac + bc + c2) = (a + b - c)(2ab - a2 - b2 + c2) = (a + b - c)[c2 - (a - b)2] = (a + b - c)(c + a - b)(b + c - a) Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên: a + b - c > ; c + a - b > ; b + c - a > đó: (a + b - c)(c + a - b)(b + c - a) > Vậy a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a + b)2 > a3 + b3 + c3 Nhận xét: Trong ví dụ 17 ta nhận thấy vấn đề quan trọng phân tích đa thức thành nhân tử sau sử dụng kết bất đẳng thức tam giác để kết luận Tóm lại: Qua việc hướng dẫn học sinh phương pháp phân tích thành nhân tử, khai thác kết tốn từ có hướng đề xuất áp dụng giải toán tương tự để tạo tập phong phú đa dạng đồng thời có hướng đề xuất cách giải hay giúp học sinh hứng thú học tập Việc khai thác đề xuất ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử cịn nhiều mức độ kiến thức tốn THCS cịn hạn hẹp nên chưa thể mở rộng Tuy nhiên áp dụng chuyên đề vào giảng dạy cho em học sinh giỏi lớp em tiếp thu tốt có hứng thú suy nghĩ, tìm tịi tốn có nội dung tương tự từ chỗ mặc cảm với dạng toán em có hứng thú học BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Tính nhanh (dạng 1) 43 112 a (36,5) (27,5) 97 833 97.83 b 180 Bài Tính giá trị biểu thức (dạng 2) a A = x(2x – y) – z(y – 2x) với x = 1,2 ; y = 1,4 ; z = 1,8 b B = (x – 1)x2 – 4x(x – 1) + 4(x – 1) với x = Bài Tìm x biết (dạng 3) a (2x – 1)2 – 25 = 14 SangKienKinhNghiem.net b 8x2 – 50x = c (x – 2)(x2 + 2x + 7) + 2(x2 – 4) – 5(x – 2) = d 2(x + 3) – x2 – 3x = e 4x2 – 25 – (2x – 5)(2x + 7) = Bài Chứng minh (dạng 4) a 29 – chia hết cho 73 b 56 – 104 chia hết cho Bài Chứng minh với số nguyên n (dạng 4) a (n + 3)2 – (n – 1)2 chia hết cho b (n + 6)2 – (n – 6)2 chia hết cho 24 c n2 + 4n + chia hết cho với n lẻ d n3 + 3n2 – n – chia hết cho 48 với n lẻ Bài Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn (dạng 5) a y(x – 2) + 3x – = b xy + 3x – 2y – = c xy – x + 5y – = Bài Cho a + b + c = 0, chứng minh đẳng thức sau (dạng 6) a a3 + b3 + c3 = 3abc b 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2) c (a2 + b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4) Bài Với a, b, c số dương, chứng minh :(dạng 7) 1 a (a b)( ) a b 1 b (a b c)( ) a b c c Hãy tổng quát hóa toán chứng minh 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Qua trình giảng dạy kiểm tra khảo khát hai lớp 8A 8B để kiểm nghiệm hiệu đề tài sau vận dụng giảng dạy năm học 2017 – 2018, kết sau: Lớp Sĩ số Giỏi Khá T bình Yếu Kém học SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) sinh 8A 32 21,9 10 31,3 15 46,8 0 0 8B 32 6,3 20 62,5 12,4 0 18,8 Nhìn vào kết rút từ trình giảng dạy nhận thấy rằng: 15 SangKienKinhNghiem.net - Đa số học sinh khối đạt mức độ nhận thức hiểu, số học sinh biết vận dụng cấp độ thấp cấp độ cao phương pháp phân tích thành nhân tử cách xác, lập luận để giải tập liên quan, không máy móc dập khn trước - Qua đề tài tơi thấy học sinh có hứng thú phân môn đại số, em mạnh dạn tiếp cận kiến thức, tốn khơng cịn nhàm chán trước Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Việc dạy học q trình lâu dài thường xun, khơng thể nói nâng cao chất lượng ta nâng cao chất lượng học sinh, học sinh miền núi Vì sáng kiến kinh nghiệm thân khơng mong muốn làm thay đổi hoàn toàn chất lượng học sinh Tuy nhiên góc độ sáng kiến kinh nghiệm mang lại hiệu định học sinh nhà trường giúp thân rút nhiều kinh nghiệm giảng dạy Đề tài mảng kiến thức nhỏ phân môn đại số, nhiên đạt lớn mà thân nhận thấy, giúp học sinh tự tin học phân mơn đại số nói riêng mơn tốn nói chung Từ đề tài học kinh nghiệm sâu sắc là: * Đối với giáo viên: Trước hết giáo viên phải chuẩn bị chu đáo phục vụ cho dạy Khi hướng dẫn học sinh giải toán “ Áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán” giáo viên phải đưa cho học sinh phương pháp giải để từ lựa chọn cách giải thích hợp Đầu tiên giáo viên đưa hệ thống tập có tính chất đơn giản sau nâng cao dần lên để học sinh tư cách có hệ thống Trong dạng toán học sinh phải tìm cho cách giải thích hợp phù hợp với khả Giáo viên phải động biết phối hợp phương pháp vào cụ thể để học sinh chủ động giải tốn có hiệu * Đối với học sinh: Đối với học sinh học sinh người chủ động tích cực làm việc Biết phân tích tốn để tìm hướng giải từ có kết ln tốn Bên cạnh học sinh ln có ý thức tự giác học tập lớp, làm tập nhà, phân tích đánh giá, tìm tịi để đến kết xác Phải có kiến thức ln tìm hướng giải thích hợp *Bài học chung: Thầy cô phải chuẩn bị cho học sinh vốn kiến thức thích hợp phong phú để làm phương tiện giải toán Trong trường hợp, toán có điều kiện rõ ràng kiện chưa rõ ràng giáo viên cần giúp cho học sinh phân tích mối quan hệ yếu tố để biến chưa rõ thành rõ Cuối người giáo viên phải hiểu tâm lý học sinh để chuyền tải 16 SangKienKinhNghiem.net ... thức thành nhân tử mà vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán liên quan, qua học sinh vừa cố kiến thức, rèn luyện kỹ phân tích đa thức mà cịn phân loại số dạng tốn chương... giản (triển khai đẳng thức theo chiều thuận), phân tích đa thức dừng lại phương pháp đặt nhân tử chung, việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải số dạng tốn liên quan gần... chí đa số học sinh việc cộng, trừ, nhân, chia đa thức gặp nhiều khó khăn Để giải thực trạng trên, tơi áp dụng đề tài: ? ?Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải số dạng tốn phân