Chuyên đề Ôn tập chương 3 Toán 12 A Lý thuyết 1 Nguyên hàm và tính chất 1 1 Nguyên hàm Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R) Hàm số F(x) được gọi là nguyê[.]
Chun đề Ơn tập chương - Tốn 12 A Lý thuyết Nguyên hàm tính chất 1.1 Nguyên hàm - Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng R) Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K F’(x) = f(x) với x∈K Ví dụ - Hàm số F(x) = sinx + nguyên hàm hàm số f(x) = cosx khoảng −∞;+∞ F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx với ∀x∈−∞;+∞ - Hàm số F(x)= nguyên hàm hàm số f(x)= khoảng (−∞; 3) ∪(3; + ∞) Vì F'(x)= = f(x) với ∀x∈(−∞;3)∪(3;+∞) - Định lí Nếu F(x) nguyên hàm f(x) K với số C, hàm số G(x) = F(x) + C nguyên hàm f(x) K - Định lí Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K nguyên hàm f(x) K có dạng F(x) + C, với C số Do F(x)+C; C∈ℝ họ tất nguyên hàm f(x) K Kí hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C - Chú ý: Biểu thức f(x)dx vi phân nguyên hàm F(x) f(x), dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx Ví dụ 1.2 Tính chất ngun hàm Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số f(x) = 3x2 + 2sinx khoảng (−∞;+∞) Lời giải: 1.3 Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K Ví dụ a) Hàm số b) Hàm số có nguyên hàm khoảng (0; + ∞) có nguyên hàm khoảng (−∞; 0)∪(0;+∞) 1.4 Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp Ví dụ Tính: Lời giải: - Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm hàm số hiểu tìm nguyên hàm khoảng xác định Phương pháp tính ngun hàm 2.1 Phương pháp đổi biến số - Định lí Nếu ∫f(u)du= F(u) + C u = u(x) hàm số có đạo hàm liên tục thì: ∫f(u(x)). u'(x)dx=F(u(x))+C Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có: Ví dụ Tính Lời giải: Chú ý: Nếu tính nguyên hàm theo biến u (u = u(x)) sau tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu cách thay u u(x) Ví dụ Tính ∫sinx.cos2xdx Lời giải: 2.2 Phương pháp tính nguyên hàm phần - Định lí Nếu hai hàm số u = u(x) v = v(x) có đạo hàm liên tục K thì: ∫u(x). v'(x).dx=u(x).v(x)− ∫u'(x).v(x)dx - Chú ý Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv Nên đẳng thức cịn viết dạng: ∫udv = uv− ∫vdu Đó cơng thức ngun hàm phần Ví dụ Tính Lời giải: Khái niệm tích phân 3.1 Diện tích hình thang cong - Cho hàm số y = f(x) liên tục, khơng đổi dấu đoạn [a; b] Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a; x = b gọi hình thang cong - Ta xét tốn tìm diện tích hình thang cong bất kì: Cho hình thang cong giới hạn đường thẳng x = a; x = b (a < b); trục hoành đường cong y = f(x), f(x) hàm số liên tục, khơng âm đoạn [a; b] Với x∈a; b, kí hiệu S(x) diện tích phần hình thang cong nằm hai đường thẳng vng góc với Ox a b Ta chứng minh S(x) nguyên hàm f(x) đoạn [a; b] Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) có số C cho S(x) = F(x) + C Vì S(a) = nên F(a) + C = hay C = – F(a) Vậy S(x) = F(x) – F(a) Thay x = b vào đẳng thức trên, ta có diện tích hình thang cần tìm là: S(b) = F(b) – F(a) 3.2 Định nghĩa tích phân Cho f(x) hàm số liên tục đoạn [a; b] Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) đoạn [a; b] Hiệu số F(b) – F(a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn [a; b]) hàm số f(x), kí hiệu Ta cịn dùng kí hiệu để hiệu số F(b) – F(a) Ta gọi dấu tích phân, a cận dưới, b cận trên, f(x)dx biểu thức dấu tích phân f(x) hàm số dấu tích phân - Chú ý Trong trường hợp a = b a > b, ta quy ước: Ví dụ - Nhận xét Ví dụ Cho hình phẳng giới hạn đường cong , trục hoành hai đường thẳng x = 0; x = Tính thể tích khối trịn xoay thu quay hình quanh trục Ox Lời giải: Thể tích khối trịn xoay cần tính là: B Bài tập I Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Họ nguyên hàm hàm số Lời giải: Câu 2: Trong phát biểu sau, phát biểu sai? ... = f(x)dx Ví dụ 1.2 Tính chất ngun hàm Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số f(x) = 3x2 + 2sinx khoảng (−∞;+∞) Lời giải: 1 .3 Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K Ví... cơng thức ngun hàm phần Ví dụ Tính Lời giải: Khái niệm tích phân 3. 1 Diện tích hình thang cong - Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu đoạn [a; b] Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x),... dụng công thức (*), cần khử dấu giá trị tuyệt đối hàm số dấu tích phân Muốn ta giải phương trình: f(x) – g(x) = đoạn [a; b] Giả sử phương trình có hai nghiệm c; d (c < d) Khi đó, f(x) – g(x) không