BÀI TẬP HÌNH HỌC 7

Toancap2 com Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, 9 BÀI TẬP HÌNH HỌC 7 Bài 1 Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC Chứ[.]

Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, BÀI TẬP HÌNH HỌC Bài : Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC Chứng minh: DC = BE DC  BE HD: Phân tích tìm hướng giải *Để CM DC = BE cần CM ∆ABE = ∆ ADC ( c.g.c) Có : AB = AD, AC = AE (gt)    Cần CM : DAC BAE    Có : BAE 90  BAC DAC * Gọi I giao điểm AB CD   Để CM : DC  BE cần CM I  B1 90     Có I1 I ( Hai góc đối đỉnh) I1  D1 90    Cần CM B1 D1 ( ∆ABE = ∆ ADC) Lời giải      a) Ta có BAE 90  BAC DAC  DAC BAE , mặt khác AB = AD, AC = AE (gt) Suy ∆ABE = ∆ ADC(c.g.c)  DC = BE b) Gọi I giao điểm AB CD       Ta có I1 I ( Hai góc đối đỉnh) , I1  D1 90 ( ∆ ADI vuông A) B1 D1 (   ∆ABE = ∆ ADC)  I  B1 90  DC  BC *Khai thác 1: Từ ta thấy : DC = BE DC  BE ∆ABD ∆ ACE vng cân, có ∆ABD ∆ ACE vuông cân , Từ B kẻ BK  CD D ba điểm E, K, B thẳng hàng Ta có tốn 1.2 Bài 1: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC Từ B kẻ BK  CD K Chứng minh ba điểm E, K, B thẳng hàng HD : Từ chứng minh DC  BE mà BK  CD K suy ba điểm E, K, B thẳng hàng *Khai thác 1.1 Từ 1.1 gọi M trung điểm DE kẻ tia M A MA  BC từ ta có tốn 1.2 Bài 1.2: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC Gọi M trung điểm DE kẻ tia M A Chứng minh : MA  BC Phân tích tìm hướng giải Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Tốn lớp 6, 7, 8, HD: Gọi H giao điểm tia MA BC Để CM MA  BC  ta cần CM ∆AHC vuông H  Để CM ∆AHC vuông H ta cần tạo tam giác vuông ∆AHC N Trên tia AM lấy điểm N cho AM = MN Kẻ DQ  AM Q  Cần CM ∆AHC = ∆DQN (g.c.g) M      CM: ND = AC , N1  ACB , BAC  ADN  D E Q A CM : ∆ABC = ∆DNA ( c.g.c)  Có AD = AB (gt)   Cần CM : ND = AE ( = AC) BAC  ADN + Để CM ND = AE B H  CM : ∆MDN = ∆MEA (c.g.c)   + Để CM BAC  ADN C     EAD  ADN 1800 EAD  BAC 1800  CM AE // DN (∆MDN = ∆MEA) Lời giải Gọi H giao điểm tia MA BC , Trên tia AM lấy điểm N cho AM = MN kẻ DQ  AM Q Ta có ∆MDN = ∆MEA ( c.g.c) :   AM = MN ; MD = ME (gt) EMA DMN ( hai góc đối đỉnh)    DN = AE ( = AC) AE // DN N1 MAE ( cặp góc so le )      EAD  ADN 1800 ( cặp góc phía) mà EAD  BAC 1800  BAC  ADN  BAC  ADN Xét ∆ABC ∆DNA có : AB = AD (gt) , AC = DN   minh )  ∆ABC = ∆DNA (c.g.c)  N1  ACB  BAC  ADN  ( chứng  Xét ∆AHC ∆DQN có : AC = DN , N1  ACB  ∆AHC = ∆DQN (g.c.g)  ∆AHC vuông H hay MA  BC * Khai thác toán 1.3 + Từ 1.2 ta thấy với M trung điểm DE tia MA  BC , ngược lại AH  BC H tia HA qua trung điểm M DE , ta có toán 1.4 Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Bài 1.3 : Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến BC Chứng minh tia HA qua trung điểm đoạn thẳng DE HD : Từ 1.2 ta có định hướng giải sau: Kẻ DQ  AM Q, ER  AM R    Ta có : + DAQ HBH ( Cùng phụ BAH )  AD = AB (gt) ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn) E  DQ = AH (1)    + ACH EAR ( phụ CAH ) AC = AE (gt)  ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn)  ER = AH ( 1) Từ (1) (2)  ER = DQ  R D M Q A  Lại có M M ( hai góc đối đỉnh )  ∆QDM = ∆REM ( g.c.g)  MD = ME hay M trung điểm DE B H C + Từ 1.3 ta thấy với M trung điểm DE tia MA  DE , ngược lại H trung điểm BC tia KA vng góc với DE, ta có tốn 1.4 Bài 1.4: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC Gọi H trung điểm BC Chứng minh tia HA vng góc với DE HD : Từ 1.3 ta dễ dạng giải toán 1.4 D Trên tia AH lấy điểm A’ cho AH = HA’ M Dễ CM ∆AHC = ∆A’HB ( g.c.g) E   'B  A’B = AC ( = AE) HAC HA A   AC // A’B  BAC  ABA ' 1800 ( cặp góc phía)     Mà DAE  BAC 180  DAE  ABA ' Xét ∆DAE ∆ABA’ có : AE = A’B , AD = AB (gt) DAE  ABA '  ∆DAE = ∆ABA’(c.g.c) 0      AA '  ADE B mà ADE  BAA ' 90  ADE  MDA 90 B Suy HA vng góc với DE C H A' Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Bài : Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB, AC M, N Chứng minh rằng: a) DM = EN b) Đường thẳng BC cắt MN trung điểm I MN c) Đường thẳng vng góc với MN I qua điểm cố định D A thay đổi cạnh BC * Phân tích tìm lời giải a) Để cm DM = EN  Cm ∆BDM = ∆CEN ( g.c.g) M    Có BD = CE (gt) , D E 90 ( MD, NE  BC)   BCA CBA ( ∆ABC cân A) B b) Để Cm Đường thẳng BC cắt MN trung điểm I MN  Cần cm IM = IN A D C I E H  Cm ∆MDI = ∆NEI ( g.c.g) c) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A xuống BC , O M giao điểm AH  với đường thẳng vng góc với MN kẻ từ I Cần cm O điểm cố định Để cm O điểm cố định   Cần cm OC AC  OAC OCN  900 Cần cm      Cần cm : OBA OCA OBM OCM N O I B C E D H N O  Cần cm ∆OBM = ∆OCN ( c.c.c) ∆OAB = ∆OAC (c.g.c) *Khai thác Từ ta thấy BM = CN , ta phát biểu lại toán sau:A Bài 2.1 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh AB lấy điểm M, tia AC lấy điểm N cho BM = CN Đường thẳng BC cắt MN I Chứng minh rằng: a) I trung điểm MN b) Đường thẳng vng góc với MN I qua điểm cố định D M thay đổi lời giải: I Từ lời giải để giải 2.1 ta cần kẻ MD  BC ( D  BC) B D C E H O N Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, NE  BC ( E  BC) Bài : Cho ∆ABC vuông A, K trung điểm cạnh BC Qua K kẻ đường thẳng vng góc với AK , đường thẳng cắt đường thẳng AB AC D E Gọi I trung điểm DE a) Chứng minh : AI  BC A b) Có thể nói DE nhỏ BC khơng ? sao? *Phân tích tìm lời giải a) Gọi H giao điểm BC AI   Để cm AI  BC  Cần cm A1  ACK 90   Để cm A1  ACK 90  B H    Có AEK  EAK 90     cần cm A1  AEK ACK CAK K C I  Cần cm ∆AIE cân I ∆AKC cân K b) Để so sánh DE với BC  cần so sánh IE với CK ( 2.IE = DE, 2CK = BC)  So sánh AI với AK ( AI = IE, AK = CK) Có AI  AK Lời giải : E a)Dễ dàng chứng ∆AIE cân I ∆AKC cân K      cần cm A1  AEK 0     ACK CAK mà AEK  EAK 90  A1  ACK 90  AI  BC b) ta có BC = CK = 2AK ( CK = AK) , DE = 2IE = 2.AI ( AI = IE) Mà AI  AK  DE BC , DE = BC K trùng với I ∆ABC vng cân A Bài 4: Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M trung điểm BC Đường thẳng qua M vng góc với tia phân giác góc A H cắt hai tia AB, AC E F Chứng minh rằng: EF  AH  AE a) D Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8,    b) 2BME  ACB  B c) BE = CF lơì giải A Áp dụng định lý Py –ta-go cho tam giác vng AFH, ta có: HF2 + AH2 = AF2 Mà  AHE =  AHF (g-c-g) nên HF = EF; AF = AE EF  AH  AE Suy ra:   Từ AEH AFH Suy E1 F ACB   CMF CMF  ACB  F Xét có C góc ngồi suy E     BME có E1 góc ngồi suy BME E1  B    )  (E   B  ) CMF  BME ( ACB  F 1 M H D F Từ AHE AHF Suy AE = AF E1 F Từ C vẽ CD // AB ( D  EF ) => BME CMD( g  c  g )  BE CD (1) hay B   2BME  ACB  B (đpcm)       Lại có: E1 CDF (cặp góc đồng vị) Do CDF  F  CDF cân  CF = CD ( 2) Từ (1) (2) suy BE = CF Bài : Cho tam giác ABC có góc B góc C hai góc nhọn Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB , tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AC a) Chứng minh : BE = CD b) Gọi M trung điểm BE , N trung điểm CB Chứng minh M,A,N thẳng hàng c)Ax tia nằm hai tia AB AC Gọi H,K hình chiếu B C tia Ax Chứng minh BH + CK  BC E d) Xác định vị trí tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn D *Phân tích tìm lời giải M a) Để cm BE = CD k  Cần cm  ABE =  ADC (c.g.c) K I B b) N A Để cm M, A, N thẳng hàng H  x C Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8,   Cần cm BAN BAM 180      Có BAN  NAD 180  Cần cm MAB NAD   MAB NAD Để cm   Cần cm ABM =  ADN (c.g.c) c)  Gọi giao điểm BC Ax Để cm BH + CK  BC  BH  BI ; CK CI Cần cm Vì BI + IC = BC d) BH + CK có giá trị lớn = BC K,H trùng với I , Ax vng góc với BC Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH miền tam giác ABC ta vẽ tam giác vuông cân ABE ACF nhận A làm đỉnh góc vng Kẻ EM, FN vng góc với AH (M, N thuộc AH) a) Chứng minh: EM + HC = NH N b) Chứng minh: EN // FM a) *Phân tích tìm lời giải Để cm EM + HC = NH E F M  A Cần cm EM = AH HC = AN + Để cm EM = AH  cần cm ∆AEM =∆BAH ( cạnh huyền – góc nhon) + Để cm HC = AN  cần cm ∆AFN =∆CAH ( cạnh huyền – góc nhon) b) Để cm EN // FM  AEF EF  N ( cặp góc so le trong) Gọi I giao điểm AN EF  N  để cm AEF EF B H C  Cần cm ∆MEI = ∆NFI ( g.c.g) Bài : Cho tam ABC vuông A , đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E Chứng minh: AE = BC *Phân tích tìm lời giải Gọi F giao điểm BA IE Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8,  để Cm Để cm : AE = BC cần cm : ∆AFE = ∆ CAB ∆AFE = ∆ CAB E      AF = AC (2); AFC BAC 90 (1); EAF  ACB (3) Cần cm F   + Để cm (1) : AFC BAC 90  A  Cm CI // AE có FI // AC BAC 90  Để Cm CI // AE B M  Cm I H C ∆AMB = ∆ DMC ( c.g.c) D + Để cm (2) : AF = AC  Cm ∆AFI = ∆ ACI ( Cạnh huyền – góc nhọn) + Cm (3) :   EAF  ACB ( phụ HAC ) *Khai thác toán : Từ ta thấy AH  AM  HE  AM + BC = 3AM ( AM = MB = MC) Vậy HE lớn = 3AM = BC H trùng M tam giác ABC vng cân Bài Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC, từ M kẻ đường thẳng vng góc với tia phân giác góc A, cắt tia N, cắt tia AB A E cắt tia AC F Chứng minh rằng: a) AE = AF b) BE = CF AE= AB+ AC c) * Phân tích tìm lời giải F B a) Để cm C AE = AF M N  I ∆ANE = ∆ ANF ( c g c) Hoặc ∆AEF cân A E Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Tốn lớp 6, 7, 8, ( Có AH vừa tia phân giác , vừa đương cao) b) Để cm BE = CF  cần tạo tam giác chứa BE( có cạnh = BE) mà tam giác MCF + Kẻ BI // AC  ∆MBI = ∆CMF( c g c)  Để cm BE = CF   BEI    Có BIE  ABF ∆ BEI cân B  E  AF  E ( cặp góc đồng vị ) mà E ∆AEF cân A c) AB + AC = AB + AF + CF =( AB + FC) + AF mà CF = BC AE = AF AE = AB + AC hay  AE= AB+ AC Bài Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B C nhọn, đường cao AH Vẽ điểm D, E cho AB trung trực HD, AC trung trực HE Gọi I, K giao điểm DE với AB AC a) Chứng minh : Tam giác ADE cân A b) Tính số đo góc AIC AKB ? A *Phân tich tìm hướng giải - Xét TH góc A < 900 a) Để cm ∆ ADE cân A K I E D  cần cm : AD = AH = AE ( Áp dụng t/c đường trung trực) b) Dự đoán CI  IB , BK  KC Do IB, KC tia phân giác góc ngồi ∆ HIK B  nên HA tia phân giác Do AHC 90 nên HC H C tia phân giác đỉnh H Các tia phân giác góc ngồi đỉnh H K ∆ HIK cắt C nên IC tia phân giác góc HIK , IB  IC , Chứng minh tượng tự ta có BK  KC - Xét TH góc A>900 *Khai thác toán : Gọi M điểm thuộc cạnh BC , qua M lấy điểm D’, E’ cho AB trung trực D’M, AC trung trực ME’ Khi ta có ∆ AD’E’ cân A góc DAC có Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Từ ta có tốn sau: Bài 9.1 Cho tam giác ABC nhọn Tìm điểm M cạnh BC cho vẽ điểm D, E AB đường trung trực MD, AC đường trung trực ME DE có độ dài nhỏ D A E HD Tự nhận xét dễ dàng tìm vị trí điểm M cạnh BC B H C M Bài 10 Cho ∆ ABC với góc A khơng vng góc B khác 135 o Gọi M trung điểm BC Về phía ngồi ∆ ABC vẽ ∆ ABD vng cân đáy AB Đường thẳng qua A vng góc với AB đường thẳng qua C song song với MD cắt E Đường thẳng AB cắt CE P DM Q Chứng minh Q trung điểm E BP A D P HD Trên tia đối tia MQ lấy điểm H cho MH = MQ - Cm ∆ BMQ = ∆ CMH ( c.g.c) Q    BQ = CH (1) MBQ MCH B    BQ//CH hay PQ // CH ( MBQ, MCH C M H cặp góc so le trong) - Nối PH , cm ∆ PQH = ∆ HCP ( g.c.g)  PQ = CH (2) , Do Q nằm B P dù góc B nhỏ 1350 Từ (1) (2) Suy đpcm  Bài 11 Cho tam giác ABC cân A có A 20 , vẽ tam giác ADBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD phân giác góc BAC b) AM = BC 20 HD a) Chứng minh  ADB =  ADC (c.c.c)   suy DAB DAC 0  Do DAB 20 : 10  b)  ABC cân A, mà A 20 (gt) M D B C Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8,  0 nên ABC (180  20 ) : 80  600  ABC nên DBC Tia BD nằm hai tia BA BC 0  suy ABD 80  60 20 Tia BM phân giác góc ABD  nên ABM 10 Xét tam giác ABM BAD có:     AB cạnh chung ; BAM  ABD 20 ; ABM DAB 10 Vậy:  ABM =  BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Bài 12 Cho tam giác ABC vuông A ( AB > AC) Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DH vng góc với BC Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AB Đường thẳng vng góc với AE E cắt tia DH K Chứng minh : a) BA = BH B I  b) DBK 45 K c) Cho AB = cm, tính chu vi tam giác DEK HD : a) Cm ∆ABD = ∆HBD ( cạnh huyền – góc nhọn) H A b) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với EK , cắt EK I D C E  Ta có : ABI 90 , Cm ∆HBK = ∆IBK ( cạnh huyền – cạnh góc vng)       B3 B4 mà B1 B2  DBK 450 c) Chu vi tam giác DEK = DE + EK + KD = … = 2.4 = cm  * Từ ta thấy DBK 45 chu vi ∆DEK = AB có chu vi  ∆DEK = ta cm DBK 45 Ta có tốn sau : Bài 12.1 Cho cạnh hình vng ABCD có độ dài Trên cạnh AB, AD lấy điểm P, Q cho chu vi APQ Chứng minh góc PCQ 450 HD : ...Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, HD: Gọi H giao điểm tia MA BC Để CM MA  BC  ta cần CM ∆AHC vuông H  Để CM ∆AHC vuông H...  BC H tia HA qua trung điểm M DE , ta có tốn 1.4 Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Bài 1.3 : Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB;... 90  ADE  MDA 90 B Suy HA vng góc với DE C H A'' Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Bài : Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho