Bài giảng Toán cao cấp được biên soạn bởi tác giả Nguyễn Trung Đông có nội dung trình bày về hệ phương trình tuyến tính, không gian vectơ, phép tính vi phân hàm một biến, hàm nhiều biến, phương trình vi phân,... Hi vọng đây sẽ là tài liệu bổ ích giúp các em học tập và củng cố kiến thức hiệu quả.
lOMoARcPSD|16911414 BỘ MƠN TỐN – THỐNG KÊ KHOA CƠ BẢN THS NGUYỄN TRUNG ĐƠNG Slide giảng TỐN CAO CẤP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2017 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - MARKETING KHOA CƠ BẢN TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - MARKETING KHOA CƠ BẢN Môn : TỐN CAO CẤP Mơn : TỐN CAO CẤP Hình thức đánh giá mơn học Điểm trình (30%) Điểm kết thúc học (70%) Điểm học phần = (Điểm trình + Điểm kết thúc học) Số tín : Số tiết : 60 Giảng viên : ThS Nguyễn Trung Đông Mail : nguyentrungdong144@gmail.com Giảng viên : ThS Nguyễn Trung Đông Mail : nguyentrungdong144@gmail.com NỘI DUNG MÔN HỌC ĐÁNH GIÁ ĐIỂM QUÁ TRÌNH Chương Ma trận – Định thức Gồm tiêu chí sau Chương Hệ phương trình tuyến tính 1) Kiểm tra ngẫu nhiên (50%) Chương Không gian vectơ 2) Bài tập nhà (20%) Chương Số thực 3) Chuyên cần (20%) Chương Phép tính vi phân hàm biến Chương Tích phân 4) Tích cực học tập (10%) Chương Hàm nhiều biến TÀI LIỆU THAM KHẢO Chương Phương trình vi phân TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1) Lê Đình Thúy, Toán cao cấp cho nhà kinh tế, NXB Đại học kinh tế Quốc Dân (Phần I: Giải tích Phần II : Đại số tuyến tính) 2) PGS.TS Lê Văn Hốt, Toán cao cấp, Trường ĐHKT TPHCM 3) Đỗ Cơng Khanh, Tốn cao cấp, NXB ĐHQG TPHCM (Đại số + Giải tích) 4) Lê Sĩ Đồng, Tốn cao cấp, NXB Giáo Dục 5) Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Cơng Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Giáo trình giải tích (Một biến + nhiều biến), NXB ĐHQG TPHCM Tiếng Anh 6) Second edition CALCULUS CONCEPTS AND CONTEXTS JAMES STEWART 7) Edward T Dowling, Ph.D, Introduction to Mathematical economics 8) Ngoài ra, số tài liệu khác Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Bài Giảng ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (Linear Algebra) Chương Ma Trận - Định Thức GV: ThS Nguyễn Trung Đông nguyentrungdong144@gmail.com Chương Ma Trận - Định Thức Ma trận Định thức ma trận vuông Ma trận nghịch đảo Hạng ma trận 1 Ma Trận (Matrix) Ma Trận (Matrix) Định nghĩa a11 a12 a a 22 A 21 a m1 a m2 Ma trận a1n a 2n a mn A, B M mn AB [A]ij [B]ij , i 1, m, j 1, n Các ma trận đặc biệt 3.1 Ma trận không A gọi ma trận cấp m n , A Mmxn Ký hiệu : A a ij m n hay A a ij m n [A]ij phần tử hàng i, cột j A mn 0 0 0 0 0 0 Ma Trận (Matrix) Ma Trận (Matrix) Các ma trận đặc biệt 3.2 Ma trận vuông (Square Matrix) Là ma trận có số hàng số cột A Mnxn hay A Mn , A gọi ma trận vuông cấp n Các phần tử [A]11, [A]22, , [A]nn gọi thuộc đường chéo A Các phần tử [A]n1, [A]n-1,2, , [A]1n gọi thuộc đường chéo phụ A Các ma trận đặc biệt 3.2 Ma trận vng Ví dụ 1: 2 A 0 5 2 A 0 5 Đường chéo Đường chéo phụ Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Ma Trận (Matrix) Ma Trận (Matrix) Các ma trận đặc biệt 3.3 Ma trận chéo (Diagonal Matrix) Là ma trận vuông mà phần tử không nằm đường chéo Ví dụ 2: 5 0 A 7 , gọi ma trận 0 0 chéo cấp Các ma trận đặc biệt 3.4 Ma trận đơn vị (Identity Matrix) Là ma trận chéo mà phần tử nằm đường chéo Ký hiệu : In ma trận đơn vị cấp n Các ma trận đặc biệt 3.5 Ma trận tam giác (dưới) Là ma trận vng mà phần tử nằm phía (phía trên) đường chéo 1 Ví dụ 3: 4 A gọi ma trận tam giác Ma Trận (Matrix) Ma Trận (Matrix) A 7 0 1 In 0 Các ma trận đặc biệt 3.6 Ma trận hàng (cột) Là ma trận có hàng (cột) Còn gọi vectơ hàng (cột) Một ma trận cấp m n xem tạo m vectơ hàng hay n vectơ cột 2 Ma trận hàng: A 1 Ma trận cột: A 1 10 Ma Trận (Matrix) Ma Trận (Matrix) Các phép toán ma trận Cho A, B Mmn , k 4.1 Phép nhân ma trận với số thực k.A ma trận xác định kA ij k Aij , i 1, m, j 1, n (–1).A hay –A gọi ma trận đối A 4.2 Phép cộng hai ma trận A + B ma trận xác định A Bij Aij Bij , i 1, m, j 1, n Phép trừ định nghĩa A + (–B) 11 Các phép toán ma trận 4.3 Tính chất a A + B = B + A (tính giao hốn) b (A+B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp) c A + = A (0 hiểu 0mxn) d A + (A) = e h(kA) = k(hA) f h(A + B) = hA + hB g (h + k)A = hA + kA h 1.A = A Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 12 lOMoARcPSD|16911414 Ma Trận (Matrix) Ma Trận (Matrix) Các phép toán ma trận 4.4 Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận A M mn , B M np Tích A B ma trận cấp m p ký hiệu: AB xác định n ABij A ik Bkj , Các phép toán ma trận 4.4 Phép nhân hai ma trận Ví dụ 4: 2 3 A 1 M3x , B M 2x 2 3 i 1, m , j 1, p k 1 [AB]ij tích vơ hướng vectơ hàng thứ i ma trận A với vectơ cột thứ j ma trận B 2 -2 3 AB 1 -4 -2 2 2 14 13 Ma Trận (Matrix) Ma Trận (Matrix) Các phép tốn ma trận 4.5 Tính chất a A(BC) = (AB)C (tính kết hợp) b (A + B)C = AC + BC C(A + B) = CA + CB (tính phân bố) c k(AB) = (kA)B = A(kB) Lưu ý: Tích A B khơng tồn khơng có tính giao hốn Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng 5.1 Hoán vị hai hàng i j Ký hiệu (i) ~ (j) Ví dụ 5: 3 A 1 1 5 1 1 3 3 2 4 0 1 4 3 5 0 15 16 Ma Trận (Matrix) Ma Trận (Matrix) Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng 5.2 Nhân hàng i với số ≠ Ký hiệu (i) := (i) Ví dụ 6: Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng 5.3 Thay hàng i hàng i cộng với lần hàng j Ký hiệu (i) := (i) + (j) Ví dụ 7: 3 3 3: 3 A 0 0 1 1 3: 3 1 A 1 1 2 2 17 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 18 lOMoARcPSD|16911414 Ma Trận (Matrix) Ma Trận (Matrix) Áp dụng phép biến đổi sơ cấp theo hàng 6.1 Chuyển ma trận vuông ma trận tam giác 1 Ví dụ 8: 1 Áp dụng phép biến đổi sơ cấp theo hàng 6.2 Chuyển ma trận tam giác ma trận đơn vị Nếu phần tử thuộc đường chéo ma trận tam giác khác Ví dụ 10 A 1 3: 3 1 1 0 2 0 1 2 1 1 0 1 3 : 3 19 Ma Trận (Matrix) Áp dụng phép biến đổi sơ cấp theo hàng 6.3 Ma trận bậc thang theo hàng Là ma trận với hai hàng bất kỳ, số hạng khác hàng nằm bên phải số hạng khác hàng 0 1 0 0 0 0 Ví dụ 12: A 0 4 0 0 0 0 6 0 ; B 5 0 0 0 4 1 3 0 8 0 0 0 1 1 1 0 (1) : (1) (2) 1 : 1 A 1 : (2) : (2) I3 (3) : (3) 0 1 0 1 0 1 20 Ma Trận (Matrix) Áp dụng phép biến đổi sơ cấp theo hàng 6.4 Chuyển ma trận ma trận bậc thang theo hàng Ví dụ 13: 1 1 1 (2):( 2) (1) (3):(3) 3.(2) A 1 2 1 0 1 (3): (3) 2.(1) 3 0 1 0 3 5 21 22 Ma Trận (Matrix) Ma Trận (Matrix) Ma trận chuyển vị (Transpose Matrix) 7.1 Định nghĩa Cho A Mmxn , chuyển vị A, ký hiệu AT ma trận cấp n m định nghĩa : Ma trận chuyển vị (Transpose Matrix) A A ji , i 1, n, j 1, m ij T Ví dụ 15: 4 3 T A M 23 ; A M 32 6 6 7.2 Tính chất a A b A B c AB T T T A T A T BT BT A T 23 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 24 lOMoARcPSD|16911414 Ma Trận (Matrix) Định thức ma trận vuông Ma trận đối xứng (Symmetric Matrix) 8.1 Định nghĩa Ma trận vuông A gọi ma trận đối xứng A = AT phần tử A đối xứng qua đường chéo x 3 Ví dụ 16: Ma trận bù Ký hiệu : Aij, ma trận nhận từ A sau bỏ hàng thứ i cột thứ j Ví dụ 17: 1 3 A y 5 z 25 A M3 7 9 5 6 A11 , 8 9 1 2 2 A 23 , A 33 M2 4 5 26 Định thức ma trận vuông Định thức ma trận vuông Định nghĩa: Cho A Mn Định thức A, ký hiệu det(A) hay |A|, số thực định nghĩa quy nạp theo n sau : Nhận xét Với n = 1, ta có A = (a11), det(A) = a11 Với n 2, giả sử A = (aij)nxn , n 1 j det(A) a11a 22 a 21a12 a1 a B b1 b c c a3 b2 b3 , B a1 c2 c3 b b2 b3 b1 b a2 a3 c3 c1 c3 c1 c2 a1b2 c3 a b3c1 a b1c2 a1b3c2 a b1c3 a b2 c1 j1 27 Định thức ma trận vuông Tính định thức cấp quy tắc Sarrus Xây dựng ma trận A'3x5 từ A3x3 cách viết cột cột kế bên cột A sau: a3 b3 c3 det(A) (1)11 a11 det (A11 ) (1)1 a12 det ( A12 ) B a1 b2 c3 b3c2 a b1c3 b3c1 a b1c2 b2 c1 det(A) 1 a 1j det A1j a1 a A33 b1 b c c a a A 11 12 a 21 a 22 A / 3 a1 b1 c a2 a3 a1 b2 b3 b1 c2 c3 c1 a2 b2 c 28 Định thức ma trận vuông Ví dụ 18 Det(A) 1 2 A/ 1 2 Det(A) 1.4.5 2.0 1 3.3 2 3.4 1 1.0 2 2.3.5 16 số hạng mang dấu cộng định thức tích phần tử nằm ba đường song song với đường chéo số hạng mang dấu âm định thức tích phần tử nằm ba đường song song với đường chéo phụ 29 Lưu ý Công thức tính định thức ma trận vng trình bày mục định nghĩa cơng thức tính định thức khai triển theo dòng thứ Định thức ma trận vuông không đổi ta khai triển theo hàng cột Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 30 lOMoARcPSD|16911414 Định thức ma trận vuông Định lý Cho A a , n i j n n det(A) (1)i0 ja i0 j det(A i0 j ) (1) j1 n det(A) (1)i j0 a i j det(A i j0 ) (2) i 1 với i0, j0 n Các tính chất định thức Tính chất 1: Cho A, B, C Mn thỏa: [C]1j = [A]1j + [B]1j [A]ij=[B]ij=[C]ij i = n, j = 1…n Ta có: detC = detA + detB Ví dụ 19: a b bc ca (1) công thức khai triển theo hàng i0, (2) công thức khai triển theo cột j0 Định thức ma trận vuông 31 Định thức ma trận vuông Các tính chất định thức Tính chất 2: Cho k A Mn Ta có : det(k.A) = kn.detA , A Mn Ví dụ 20: 1 4 A 2 1 3 2 det(A) 46 det(2A) 23 det A 368 2 3 a b c 31 3 4 Định lý (i) (i ) B det(B) = det(A) a Nếu A (i): (i) b Nếu A B det(B) = .det(A) (i): (i) (i) c Nếu A B det(B) = det(A) d Định thức ma trận tam giác tích phần tử thuộc đường chéo e Định thức ma trận có hai dịng tỷ lệ với f det(A) = det(AT), A Mn 35 32 Định thức ma trận vng Các tính chất định thức Tính chất 3: A, B Mn, Ta có : det(AB) = det(BA) = det(A).det(B) Ví dụ 21: 1 3 2 A ; B ; 3 4 2 1 det(A) 2; det(B) 1 det(AB) det(BA) det(A) det(B) 33 Định thức ma trận vuông b c a 34 Định thức ma trận vng 10 Các ví dụ minh họa 6 a) 45 ; b) 90 0 0 0 0 1 3 1 (2):(2) 4(1) c)A (3): (3) 3(1) 6 0 4 9 1 (3): (3) 4(2) 6 B 0 33 det(A) det(B) 1.1 (33) 33 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 36 lOMoARcPSD|16911414 Ma trận nghịch đảo Ma trận nghịch đảo Định nghĩa Cho A, B Mn A, B gọi hai ma trận nghịch đảo AB = BA = In Khi ta nói A, B ma trận khả nghịch Ký hiệu A = B-1 hay B = A-1 Ví dụ 22: Tính chất A khả nghịch det(A) ≠ Tìm MT nghịch đảo định thức Cho A Mn, đặt B bij 1i j det Aij M n T Ta có b b b 7 A 2 7 2 B 22 53 12 9 22 1 0 AB BA 0 1 37 Ma trận nghịch đảo 12 det(A) 1 2 A 1 22 53 12 9 22 39 40 Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo phép biến đổi sơ cấp theo hàng Ví dụ 24: Định lý 1 1 0 0 0 2 A I 7 0 0 0 2 22 53 12 I3 A 1 A 1 22 53 12 9 22 9 22 38 Tìm ma trận nghịch đảo phép biến đổi sơ cấp theo hàng Bước 1: Lập ma trận A I n ma trận gồm n hàng 2n cột, n cột đầu ma trận An n cột cuối ma trận đơn vị In Bước 2: Sử dụng phép biến đổi sơ cấp hàng, chuyển ma trận A I n ma trận In B , B = A-1 Ma trận nghịch đảo 7 A 2 7 1n b 22 b 2n b n b nn Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo định thức Ví dụ 23: A 2 7 11 1 b 21 A BT det(A) det(A) b n1 1 41 Nếu A khả nghịch ma trận nghịch đảo A-1 tồn Tính chất Cho A, A1, A2 khả nghịch cấp n a) A -1 =A -1 c) A T = A -1 -1 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) b) A1A =A -12 A1-1 -1 T 42 lOMoARcPSD|16911414 Hạng (rank) ma trận Hạng (rank) ma trận Định thức Định thức Cho A Mmxn Định thức cấp k A định thức ma trận vuông cấp k thu từ A sau bỏ số hàng cột Ví dụ 25 Cho ma trận sau 1 5 10 A 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 3 10 A1 ; A 13 14 15 16 17 18 18 19 20 43 44 Hạng ma trận Hạng ma trận Định nghĩa hạng ma trận Cho A Mmxn Hạng A r nếu: a Mọi định thức A cấp lớn r b Trong A tồn định thức cấp r khác Ký hiệu: rank(A) hay r(A) Ta quy ước rank(0) = r(A) min{m,n} Định nghĩa hạng ma trận Ví dụ 25: 45 1 A 2 2 3 6 r A detA = 0, A có định thức cấp 2 0 46 Hạng ma trận Hạng ma trận Tính chất a Hạng ma trận không đổi qua phép biến đổi sơ cấp b Rank(A) = Rank(AT) c Nếu A ma trận bậc thang theo hàng hạng A số hàng khác A Tìm hạng ma trận cách biến đổi ma trận bậc thang theo hàng Tìm hạng ma trận theo tính chất Ví dụ 26: 47 1 A 1 3 1 1 3 1 2 3 1 1 2 0 2 3 0 0 Vậy rank(A) = Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 48 ... kết thúc học) Số tín : Số tiết : 60 Giảng viên : ThS Nguyễn Trung Đông Mail : nguyentrungdong144@gmail.com Giảng viên : ThS Nguyễn Trung Đông Mail : nguyentrungdong144@gmail.com NỘI DUNG MƠN... nghịch đảo A-1 tồn Tính chất Cho A, A1, A2 khả nghịch cấp n a) A -1 =A -1 c) A T = A -1 -1 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) b) A1A =A -1 2 A 1-1 -1 T 42 lOMoARcPSD|16911414... (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Bài Giảng ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (Linear Algebra) Chương Ma Trận - Định Thức GV: ThS Nguyễn Trung Đông nguyentrungdong144@gmail.com Chương Ma Trận - Định Thức Ma trận Định