Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 3 - Nguyễn Văn Tiến (2017)

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 3: Hàm nhiều biến cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm hàm hai biến, tập xác định hàm hai biến, đạo hàm riêng, vi phân hàm nhiều biến, đạo hàm của hàm hợp,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

27/09/2017 CHƯƠNG Khái niệm hàm hai biến • Định nghĩa: Cho khơng gian: R2  HÀM NHIỀU BIẾN • Ánh xạ: x , y  : x , y  R  va f : D D  R2  R x , y   z  f x , y  • Được gọi hàm hai biến xác định tập hợp D • Mỗi cặp (x,y)∈ tương ứng với số thực z • x, y biến độc lập; z biến phụ thuộc Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Tập xác định hàm hai biến Đạo hàm riêng • Tập xác định hàm số tập hợp tất cặp (x,y) cho giá trị biểu thức f(x,y) số thực • Ví dụ: Tìm tập xác định hàm số sau: • Cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định tập D • Xem y số ta hàm biến theo x • Lấy đạo hàm hàm số ta đạo hàm riêng theo biến x • Ký hiệu: z a ) f x , y   y  x2 b ) f x , y   ln 2x  y  1 z 'x hay x • Tương tự ta đạo hàm riêng theo biến y Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp Đạo hàm riêng • Cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định tập D • Các đạo hàm riêng z theo x,y:  f x , y  f x , y   f x , y  z z 'x    lim x x0 x x x  x0  f x , y  f x , y   f x , y  z z 'y    lim y y0 y y y  y0 • Lấy đạo hàm riêng theo biến đạo hàm hàm biến xem biến lại số Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho hàm số z  x  3xy  y • Đạo hàm riêng theo x (xem y số) z 'x  3x  3y • Đạo hàm riêng theo y (xem x số) z 'y  6xy  4y Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 27/09/2017 Ý nghĩa đạo hàm riêng Vi phân hàm nhiều biến • Cho hàm hai biến z=f(x,y) có đạo hàm riêng z’x; z’y • Khi biểu thức: dz  z 'x dx  z ' y dy • Được gọi vi phân toàn phần hàm hai biến cho • Ý nghĩa: Bài giảng Tốn Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp Tính gần vi phân tồn phần • Ta có: Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Hàm số f  x, y   f  x0 , y0   f 'x  x0 , y0  x  x0   f ' y  x0 , y0  y  y0  z  x3  y  xy f  x, y   f  x0 , y0   df  x0 , y0  • Ví dụ Tính gần đúng: • Có vi phân toàn phần A  1, 023  1,973 Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến dz   3x  y  dx   x  y  dy Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm hàm hợp Đạo hàm hàm hợp • Giả sử z=f(x,y) x,y lại hàm theo biến t • Trong đó: x=x(t) y=y(t) • Ta có: • Giả sử z=f(x,y) x,y lại hàm theo biến s, t • Trong đó: x=x(s,t) y=y(s,t) • Ta có: dz dz dx dz dy   dt dx dt dy dt • Ví dụ Tính dz/dt biết z  e2 x 3 y ; x  cos t; y  sin t Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến dz dz dx dz dy dz dz dx dz dy   ;   ds dx ds dy ds dt dx dt dy dt • Ví dụ Tính dz/ds dz/dt biết z  f  x, y  ; x  s.t ; y  Bài giảng Toán Cao cấp s t Nguyễn Văn Tiến 27/09/2017 Đạo hàm hàm hợp • Cho: z=f(x,y,t) biết x=x(t) y=y(t) • Tìm dz/dt=??? Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Khái niệm hàm ẩn • Cho phương trình F(x,y)=0 • Nếu với giá trị x ta tìm giá trị y thỏa mãn phương trình F(x,y)=0 xác định hàm ẩn y theo x • Kí hiệu: y = , ∈( ; ) • Nếu giải phương trình F(x,y)=0 để biểu diễn y theo x biểu thức ta đưa y dạng hàm tường minh Bài giảng Tốn Cao cấp Ví dụ Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho phương trình: F  x, y   x  y   • Giải phương trình ta có hàm y theo x: y  1 x • Cho phương trình: F  x, y   x  y   • Với giá trị x ta có: y    x2 • Ta nói phương trình x2+y2-1=0 khơng xác định hàm ẩn y theo x • Ta nói phương trình x+y3-1=0 xác định hàm ẩn y theo x R y  1 x Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm hàm ẩn Ví dụ • Giả sử y=y(x) hàm ẩn xác định phương trình F(x,y)=0 Ta có: • Tính đạo hàm hàm y hàm ẩn x xác định phương trình: dy F'  x dx F 'y 2x2  y    y  0 • Đ/S: y 'x  Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 2 x y Nguyễn Văn Tiến 27/09/2017 Đạo hàm hàm ẩn Đạo hàm riêng cấp • Giả sử z=f(x,y) hàm ẩn xác định phương trình F(x,y,z)=0 Ta có: • Cho hàm hai biến z=f(x,y) có đạo hàm riêng z’x; z’y • Đây đạo hàm riêng cấp • Đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp gọi đạo hàm riêng cấp • Các đạo hàm riêng cấp dz F'  x dx F 'z F' dz  y dy F 'z '  z 'x  x  z xx''  z x''  z 'y  Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 2 z 2 z 2 z 2 z ; ; ; x xy yx y • Ví dụ: Các đạo hàm riêng của:  z ''yx  z 'y  ' y  z ''yy  z ''y2 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm riêng cấp • Bài tập: Tính đhr cấp hàm số: a) z  x y b) z  e xy  x c) z  ln    y z  x3  y  xy z 'x  3x  y z ' y  2 y  x z "xx  x z "xy  z "yx  z "yy  2 Bài giảng Toán Cao cấp x  z 'x  y  z xy'' Bài giảng Toán Cao cấp Đạo hàm riêng cấp • Các đạo hàm riêng cấp ký hiệu là: ' ' Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Đạo hàm cấp hàm ẩn • Trường hợp F(x,y)=0 y=y(x) • Ta có: Nguyễn Văn Tiến Vi phân cấp • Vi phân cấp hàm hai biến z=f(x,y) biểu thức có dạng: F  x, y   d z  z x2 " dx  z xy " dxdy  z y " dy F 'x  F ' y y '  F "xx  F "xy y '  F "yx  Fyy " y'  y ' F ' y y "  • Từ ta rút y” • Chú ý: d z  d  dz   d  z 'x dx  z ' y dy  d z  z xx " dx  z xy " dxdy  z yx " dydx  z yy " dy d z  z x2 " dx  z xy " dxdy  z y2 " dy Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 27/09/2017 Ví dụ Cực trị hàm nhiều biến • VD1 Vi phân cấp hàm số: z  x  y  xy • d z  xdx  2dxdy  2dy • • • • • Điểm dừng (critical point) Ma trận Hessian Cực trị hàm hai biến Cực trị hàm ba biến Cực trị có điều kiện (ràng buộc) • VD2 Tính vi phân cấp hàm số: a) z  ln  x  y  c) z  sin  x  y 2 b) z  xy  x3 y  Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Định lý Fermat Điểm dừng • Nếu hàm số z=f(x,y) đạt cực trị địa phương điểm (x0;y0) có đạo hàm riêng (x0;y0) thì: • Nếu hàm số f(x1,x2,…,xn) xác định có đạo hàm riêng theo tất biến độc lập D đạt cực trị (cực đại cực tiểu) điểm f 'x  x0 ; y0   f ' y  x0 ; y0   • Điểm mà đạo hàm riêng gọi điểm dừng hàm số Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến M ( x1 , x2 , , xn )  D f ( x1 , x2 , , xn )  , i  1, 2, , n xi • Điểm thỏa mãn điều kiện gọi điểm dừng hàm số • Hàm số đạt cực trị điểm dừng • Đây điều kiện cần, chưa phải điều kiện đủ Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ma trận Hess • Giả sử hàm số n biến số f(x1,x2,…,xn) có đạo hàm riêng cấp Khi đó, ma trận vuông cấp n    H    f x1 x1 f x1 x2  f x2 x1 f x2 x2   f xn x1  f xn x2   f x1 xn   f x2 xn     f xn xn  gọi ma trận Hess hàm số Nếu hàm số f(x1,x2,…,xn) có đạo hàm riêng cấp liên tục ma trận Hess ma trận đối xứng Bài giảng Tốn Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Ma trận Hess hàm biến f ( x, y, z)  x3 y4 z5 • ma trận  x2 y z 12 x y3 z 15x2 y z    H  12 x y3 z 12 x3 y z 20 x3 y3 z  15x y z 20 x3 y3 z 20 x3 y z    Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 27/09/2017 Cực trị hàm biến • Giả sử hàm số f(x,y) có đạo hàm riêng cấp liên tục xung quanh M0(x0, y0) điểm M0(x0, y0) điểm dừng hàm số • Ta đặt: Cực trị hàm biến • i) Nếu A>0, ∆>0 M0 điểm cực tiểu • ii) Nếu A0 M0 điểm cực đại A 2 f ( x0 ; y0 ) x B 2 f ( x0 ; y0 ) xy • iii) Nếu ∆0, D2>0, …, Dn>0 M điểm cực tiểu hàm số • ii) Nếu D10, …, (-1)n Dn>0 M điểm cực đại hàm số • iii) Nếu Di≥0 (hay (-1)i Di>0 ) tồn k cho Dk=0 chưa thể kết luận cực trị địa phương hàm số • iv) Trong trường hợp khác M khơng phải điểm cực trị Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Bài tập • Tìm cực trị hàm số • Tìm cực trị hàm số: f ( x, y, z)  x3  xy  y2  2xz  2z  3y 1 Nguyễn Văn Tiến CỰC TRỊ CĨ ĐIỀU KIỆN • • • • c) z  x  y x y b) z  xy  x  y d ) z  x  xy  y  3x  y e) z  x3  y  xy • Đ/S: cực tiểu M(1;-2;1/2) Bài giảng Toán Cao cấp a) z  x  y  x  xy  y Khái niệm Điều kiện cần Điều kiện đủ Trường hợp đặc biệt Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Cực trị có điều kiện • Xét hàm số z=f(x,y) với điều kiện ϕ(x,y)=0 • Hàm số đạt cực đại (x0;y0) với điều kiện (*) (x0;y0) thỏa (*) với điểm (x,y) thỏa (*) gần (x0;y0) ta có: f  x0 ; y0   f  x; y  • Hàm số đạt cực tiểu có điều kiện??? • Hàm số đạt cực trị có điều kiện??? Bài giảng Tốn Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 27/09/2017 Ví dụ Hai biến chọn – ĐK cần • Cho hàm số z=f(x,y) với ràng buộc ϕ(x,y)=0 • Giả sử M(x0;y0) điểm cực trị hàm số z với ràng buộc tồn số λ cho: • Tìm cực trị hàm số: f  x, y   xy  x • Với điều kiện:   f  x ( x0 , y0 )   x ( x0 , y0 )     f ( x0 , y0 )   ( x0 , y0 )   y  y  ( x0 , y0 )    x  y  120 • Cách Đưa cực trị hàm biến • Cách Dùng nhân tử Lagrange Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến • Số λ gọi nhân tử Lagrange • Hàm số L(x,y, λ)=f(x,y)+ λϕ(x,y) gọi hàm số Lagrange Bài giảng Toán Cao cấp Hai biến chọn – ĐK cần • Ta viết lại phương trình cho dạng: L  x ( x0 , y0 )    L  ( x0 , y0 )   y  L  ( x0 , y0 )    Nguyễn Văn Tiến Hai biến chọn – ĐK đủ • Nếu D>0 M(x0;y0) điểm cực đại có điều kiện hàm số • Nếu D0 với giá trị có dx, dy z=f(x,y) đạt cực tiểu có điều kiện • Nếu d2L0 ta có: Q  aK  L f (tx, ty )  t k f ( x, y ) (a,  ,   0) • Tìm điều kiện α, β để hàm số tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần • Ví dụ: hàm Q=a.Kα.Lβ hàm cấp (α+β) với t>0 ta có: Q(tK , tL )  a (tK ) (tL )   t     aK  L   t    Q ( K , L ) Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Hiệu theo quy mơ sản xuất • Các hàm sau có hàm khơng? Tìm cấp tương ứng • Xét hàm sản xuất Q=f(K;L) • K, L yếu tố đầu vào, Q yếu tố đầu • Bài toán đặt là: Nếu yếu tố đầu vào K, L tăng gấp m lần đầu Q có tăng gấp m lần hay khơng ? • Ta tiến hành so sánh: 4 K  K 0,5 L0,5  L 9 xy b) z  x  y2 a) Q  Q (mK , mL) Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp vs mQ ( K , L) Nguyễn Văn Tiến Hiệu theo quy mô sản xuất Hiệu quy mô với bậc • Nếu Q(mK; mL)>m.Q(K;L) hàm sản xuất có hiệu tăng theo quy mơ • Giả sử hàm sản xuất Q=f(K;L) hàm cấp k • + Nếu k>1 hàm sản xuất có hiệu tăng theo quy mơ • + Nếu k0) • Giả sử giá mặt hàng tương ứng 2USD, 3USD thu nhập dành cho người tiêu dùng 130USD Hãy xác định lượng cầu mặt hàng để người tiêu dùng thu lợi ích tối đa Bài giảng Tốn Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Cực trị có điều kiện – VD2 • Một trung tâm thương mại có doanh thu phụ thuộc vào thời lượng quảng cáo đài phát (x phút) đài truyền hình (y phút) Hàm doanh thu: R  x, y   320 x  x  3xy  y  540 y  2000 • Chi phí cho phút quảng cáo đài phát triệu đồng, đài truyền hình triệu đồng Ngân sách chi cho quảng cáo B=180 triệu đồng • a) Tìm x, y để cực đại doanh thu • b) Nếu ngân sách chi cho quảng cáo tăng triệu đồng doanh thu cực đại tăng lên ? Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài tập Bài tập • Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q=40K0,75L0,25 Q_sản lượng; K_vốn; L_lao động Doanh nghiệp thuê đơn vị vốn 3$; đơn vị lao động 1$ Ngân sách chi cho yếu tố đầu vào B=160$ • A) Với hàm sản xuất tăng quy mơ sản xuất hiệu thay đổi nào? Nếu K tăng lên 1%; L tăng lên 3% sản lượng tăng lên % mức (K,L)? • B) Xác định mức sử dụng vốn lao động để sản lượng tối đa Nếu tăng ngân sách chi cho yếu tố đầu vào 1$ sản lượng tối đa tăng lên đơn vị? • C) Hàm số có tn theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay khơng? • D) Xác định hàm sản lượng cận biên theo vốn, theo lao động? Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Đáp án Bài tập A) Hiệu không đổi Sản lượng tăng 1,5% B) K=L=40; Qmax=1600 Tăng yếu tố đầu vào Qmax tăng khoảng 10 đơn vị • C) Q tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần • Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q=K0,4L0,3 (Q: sản lượng, K: vốn L: lao động) • A) Hãy đánh giá hiệu việc tăng quy mơ sản xuất • B) Giả sử thuê tư 4$, giá thuê lai động 3$ doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định 1050$ Hãy cho biết doanh nghiệp sử dụng đơn vị tư đơn vị lao động thu sản lượng tối đa • • • • Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 17 27/09/2017 Đáp án • A) Hiệu theo quy mô • B) Q(150;150) lớn KIỂM TRA 30PH Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Bài Bài • 1.1 Tìm giới hạn sau: 1  e  1  cosx  2x a) lim x 0 x  4sin x b) lim x 0 ln  cos x  ln 1  3sin x  • 1.2 Tìm a để hàm số có đạo hàm 0: x   ,x  e f x     x  ax  , x     Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Nguyễn Văn Tiến • Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A có thơng tin sau: • Hàm cầu là: P=600-2Q • Hàm chi phí là: TC=0,2Q2+28Q+200 • A) Tìm mức sản xuất Q để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa Khi giá bán lợi nhuận đạt • B) Nếu đơn vị sản lượng Q công ty phải nộp thuế 22 đơn vị tiền tệ sản lượng giá bán để công ty đạt lợi nhuận tối đa Khi lợi nhuận Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 18 ... • Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 17 27/09/2017 Đáp án • A) Hiệu theo quy mơ • B) Q(150;150) lớn KIỂM TRA 30 PH Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến. .. 107 x  y  • Đ/S: cực tiểu M(4 /3; 5 /3) • Cực đại N (-4 /3; -5 /3) Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ý nghĩa nhân tử Lagrange Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến GTLN, GTNN (tham khảo) • Giá... trình x2+y 2-1 =0 khơng xác định hàm ẩn y theo x • Ta nói phương trình x+y 3-1 =0 xác định hàm ẩn y theo x R y  1 x Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Đạo