ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN! 1 Thầy Hồ Thức Thuận Sứ Giả Truyền Cảm Hứng Yêu Thích Môn Toán THẦY HỒ THỨC THUẬN TÀI LIỆU THUỘC KHÓA HỌC “LIVE VIP 2K4” INBOX THẦY ĐỂ[.]
ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN! TÀI LIỆU THUỘC KHĨA HỌC “LIVE VIP 2K4” INBOX THẦY ĐỂ ĐƯỢC TƯ VẤN VÀ ĐĂNG KÝ HỌC! _ THẦY HỒ THỨC THUẬN Bài Toán 09: Tích Phân Hàm Ẩn (Phần 2) A Lý Thuyết Bài toán: Tính tích phân áp dụng tính chất chất đổi biến đặc biệt Cho hàm số y = f ( x) liên tục chẵn đoạn − a; a ➢ a a f ( x) Khi đó: I = x dx = f ( x ) dx = f ( x ) dx m +1 −a −a a b b a a Phương pháp lấy tích phân hai vế: f ( x ) = g ( x ) f ( x ) dx = g ( x ) dx ➢ B Ví Dụ Câu 1: Tính tích phân: I = A I = x4 x + dx −1 B I = 7 C I = Lời giải: D I = x4 x4 x4 x4 I = x dx = x dx + x dx Ta tính A = x dx +1 +1 +1 +1 −1 −1 −1 Đặt t = − x dt = −dx , đổi cận: x = −1 t = 1; x = t = 1 1 1 2x x4 x4 x5 t4 2t t 2x x4 = A = −t dt = t dt = x dx Vậy I = x dx + x dx = x 4dx = +1 +1 5 +1 +1 +1 0 0 0 Chọn đáp án A Thầy Hồ Thức Thuận - Sứ Giả Truyền Cảm Hứng u Thích Mơn Tốn ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN! Câu 2: Tích phân x 2020 2a d x = Tính tổng S = a + b −2 e x + b A S = B S = 2021 C S = 2020 Lời giải: D S = 4042 x 2020 Xét I = x dx Đặt x = −t dx = −dt Đổi cận x = −2 t = 2; x = t = −2 e +1 −2 −2 Ta I = ( −t ) 2020 e−t + ( − dt ) = 2 t 2020 t 2020 et x 2020 e x d t = d t = 1 2 et + 2 e x + dx −2 − − +1 et 2 2 x 2020 x 2020 e x x 2021 2020 dx = x dx = = Suy I = I + I = x dx + x e +1 e +1 2021 −2 −2 −2 −2 2021 − ( −2 ) 2021 2021 22022 = 2021 22021 Suy a = b = 2021 Vậy S = a + b = 4042 2021 Chọn đáp án D Do I = Cho hàm số chẵn y = f ( x ) liên tục Câu 3: f ( 2x) dx = Giá trị + 5x −1 A B +) Ta có = −1 Xét I = −1 C Lời giải: f ( x ) dx D 16 f ( 2x) f ( 2x ) f ( 2x ) d x = d x + dx x x x 1+ + + −1 f ( 2x) dx : Đặt t = − x dt = −dx Đổi cận: x = −1 t = x = t = + 5x Khi đó: I = 1 t f ( −2t ) f ( −2t ) f ( −2t ) = dt − d t = d t ( ) t −t −t 1+ 5 + 1 + 0 Vì y = f ( x ) hàm chẵn nên f ( −2t ) = f ( 2t ) , t x 5t f ( 2t ) f ( 2x ) dt = x dx Thay vào thu Do I = t +1 +1 0 1 1 5x + 1) f ( x ) 5x f ( x ) f ( 2x ) ( d x + d x = dx = f ( x ) dx x x x + 1 + 5 + 0 0 8= f ( x ) d ( x ) = f ( t ) dt = 16 Vậy 0 f ( x ) dx = 16 Chú ý: Nếu f ( x ) hàm chẵn liên tục − a; a a f ( x) d x = + b x 0 f ( x ) dx với a , b −a a Chọn đáp án D Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Cơng! ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN! Câu 4: Cho − cos x + b dx = a + ( a, b x +1 ) Giá trị a + b2 A C − Lời Giải: B 10 D +) Ta xét toán tổng quát: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục hàm số chẵn đoạn − a; a , a f ( x) I = x dx = f ( x ) dx với b b +1 −a a a f ( x) f ( x) f ( x) Thật vậy: I = x dx = x dx + x dx , ( * ) b +1 b +1 b +1 −a −a a f ( x) −a b x + 1dx Đặt t = − x dt = −dx Xét K = f ( −t ) Đổi cận: x = −a t = a x = t = K = − −t dt = b +1 a a Thế vào ( * ) , ta I = a a f ( t ) bt f ( x) bx f (t ) 0 dt = 0 bt + dt = 0 b x + dx +1 bt a a a f ( x) bx f ( x) dx + x dx = f ( x ) dx bx +1 b +1 0 +) Áp dụng: Với hàm số chẵn f ( x ) = cos x + Ta có − cos x + d x = 0 ( cos x + 3) dx = ( sin x + 3x ) 2x + = 1+ 3 a = 1; b = a + b2 = + 32 = 10 2 Chọn đáp án B Cho hàm số f ( x ) liên tục nhận giá trị dương 0;1 Biết f ( x ) f (1 − x ) = với x 0;1 Tính Câu 5: dx 1+ f ( x) giá trị I = A B Ta có: + f ( x ) = f ( x ) f (1 − x ) + f ( x ) C f ( x) 1+ f ( x) D Lời Giải: = f (1 − x ) + 1 dx Đặt t = − x x = − t dx = −dt Đổi cận: x = t = ; x = t = 1+ f ( x) Xét I = 1 f ( x ) dx dt dt dx Khi I = − = = = + f (1 − t ) + f (1 − t ) + f (1 − x ) + f ( x ) 1 f ( x ) dx 1 + f ( x ) dx Mặt khác + = dx = dx = hay I = Vậy I = + f ( x ) + f ( x ) + f (t ) 0 Chọn đáp án B Thầy Hồ Thức Thuận - Sứ Giả Truyền Cảm Hứng u Thích Mơn Tốn ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN! Câu 6: với x 0; 2000 ta có f ( x ) f ( x ) f ( 2000 − x ) = Cho hàm số f ( x ) liên tục 2000 Giá trị tích phân I = dx là: 1+ f ( x) B A 2000 2000 Xét tích phân I = C 1000 Lời giải: D 4000 dx (1) Đặt x = 2000 − t , ta có dx = −dt 1+ f ( x) Đổi cận: x = t = 2000 x = 2000 t = 2000 Khi I = dt = + f ( 2000 − t ) 2000 dx + f ( 2000 − x ) Mà f ( x ) f ( 2000 − x ) = nên f ( 2000 − x ) = 2000 Suy I = dx = + f ( 2000 − x ) Từ (1) ( ) ta có 2I = 2000 f ( x) dx ( ) 1+ f ( x) 2000 f ( x) dx hay I = 2000 2000 dx = x = 1000 Chọn đáp án C Câu 7: Cho f ( x ) xác định, liên tục 0; thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = − x + x Giá trị f ( x ) dx A 32 B 32 C 16 D 16 Lời giải: Xét tích phân I = f ( x ) dx Đặt t = − x dt = −dx Đổi cận: x = t = ; x = t = 4 0 Khi I = f ( − t ) dt = f ( − x ) dx 4 0 Suy I = f ( x ) dx + f ( − x ) dx = f ( x ) + f ( − x ) dx x3 32 16 16 = ( − x + x ) dx = − + x = I = Vậy I = 3 0 Chọn đáp án C Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Cơng! ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN! Cho hàm số f ( x) liên tục Câu 8: thỏa mãn f (2x) Biết x, x f ( x) f ( x)dx Tính tích phân I f ( x)dx A I B I C I D I Lời Giải: Ta có K f x dx 4f x Đặt t 2x K f x dx t xdx 0; x f x dx t 2 f x dx f t dt 2dx Đổi cận x dt f t dt f x dx f x dx I x dx 2 f ( x)dx f x dx f x dx Chọn đáp án B Cho hàm số y = f ( x) liên tục thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = ( x − 1) e x Câu 9: − x +1 I = f ( x ) dx ta kết quả: A I = e + Ta có 3 f ( x ) + f ( − x ) dx = 2 ( x −1) e 0 Với C I = Lời giải: B I = x2 − x +1 D I = e + + 4 dx (*) f ( − x ) dx = − f ( − x ) d ( − x ) = f ( x ) dx = I 0 Vì 3 f ( x ) + f ( − x ) dx = 4 f ( x ) dx = 4I 0 Ta có: x ( x −1) e 2 dx = e x − x +1 d ( x − x + 1) = e x − x +1 2 0 − x +1 2 = 4dx = x = 0 4 f ( x ) dx = I = f ( x ) dx = Chọn đáp án C Thầy Hồ Thức Thuận - Sứ Giả Truyền Cảm Hứng Yêu Thích Mơn Tốn + Tính tích phân ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN! π thỏa mãn f ( x ) + f − x = sin x.cos x với 2 Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục f ( ) = Giá trị tích phân x x f ( x ) dx bằng: π A − B π Lời giải: D − C π Theo giả thiết, f ( ) = f ( x ) + f − x = sin x.cos x 2 π π Nên f ( ) + f = hay f = 2 2 u = x du = dx Mặt khác, I = x f ( x ) dx Đặt: dv = f ( x ) dx v = f ( x ) 2 I = x f ( x ) dx = xf ( x ) − f ( x ) dx = − f ( x ) dx 0 0 Mà 12 f ( x ) dx = f − x dx nên I = − f ( x ) + f − x dx 20 2 2 12 121 1 2 Suy I = − sin x.cos xdx = − sin xdx = cos x = − 20 202 8 0 Chọn đáp án D C Bài Tập Tự Luyện Câu 1: Cho y = f ( x ) hàm số chẵn liên tục Biết f ( x ) dx = f ( x ) dx = Giá trị 1 f ( x) dx x +1 3 −2 A B x100 Tích phân I = x dx có giá trị bằng: e +1 −2 C D C 2102 D 102 Câu 2: 2102 A 101 Câu 3: 2101 B 101 Cho f ( x ) hàm số chẵn liên tục đoạn −1;1 f ( x ) dx = Kết I = −1 A I = B I = C I = −1 D I = Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Công! f ( x) 1+ e x dx ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN! Cho hàm số y = f ( x ) hàm số chẵn liên tục đoạn − ; , thỏa mãn f ( x ) dx = 2018 Giá trị Câu 4: f ( x) dx : x +1 tích phân I = 2018 − C I = 2018 D I = 4036 2018 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm, liên tục f ( x ) x 0;5 Biết f ( x ) f ( − x ) = B I = A I = Câu 5: dx 1+ f ( x) , tính tích phân I = A I = Câu 6: 5 C I = D I = 10 Cho hàm số f ( x ) liên tục a Giả sử với x 0; a ta có f ( x ) f ( x ) f ( a − x ) = B I = a dx 1+ f ( x) Tính I = A I = a B I = a C I = 2a D I = a ln ( a + 1) a f ( x) f ( a − x) = dx ba Cho f ( x ) hàm liên tục đoạn 0; a thỏa mãn = , 1+ f ( x) c f ( x ) 0, x 0; a b b , c hai số nguyên dương phân số tối giản Khi b + c có giá trị thuộc khoảng đây? c A (11; 22 ) B ( 0;9 ) C ( 7; 21) D ( 2017; 2020 ) Câu 7: Câu 8: Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn [0;1] thỏa mãn 4x f ( x ) + f (1 − x) = − x Tính f ( x ) dx A 16 Câu 9: I= B Cho hàm số f ( x ) liên tục C 20 D thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = + 2cos x , x 3 − f ( x ) dx A I = −6 B I = C I = −2 D I = Câu 10: Xét hàm số f ( x ) liên tục đoạn 0;1 thỏa f ( x ) + f (1 − x ) = − x Tính f ( x ) dx A B C 20 D 16 Thầy Hồ Thức Thuận - Sứ Giả Truyền Cảm Hứng u Thích Mơn Tốn Tính ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN! Câu 11: Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn f ( x) + f ( − x) = ln 2;ln thỏa mãn Biết e +1 x ln f ( x)dx a ln Tính P b ln a; b a b ln A P B P C P Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục giá trị tích phân I = −1 D P thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = − cos x , với x Khi f ( x ) dx − A I = bao nhiêu? B I = +4 C I = 3 − D I = +1 Câu 13: Cho f ( x ) xác định, liên tục 0; thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = − x + x Giá trị f ( x ) dx A 32 B 16 C 32 D 16 Câu 14: Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn − ln 2;ln 2 thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = e +1 x ln f ( x ) dx = a ln + b ln ( a; b ) Tính P = a + b Biết − ln A P = B P = −2 Câu 15: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục A 25 B 50 C P = −1 3 \ 0 thỏa mãn f ( x ) + f = x Tính I = xf ( x ) dx x C 25 1 Câu 16: Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn ; thỏa mãn f ( x) + f 2 I = D 50 1 1 = x, x ; Tính x 2 f ( x) dx x A I = D P = B I = C I = D I = Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Công! ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN! Câu 17: Xét hàm số f ( x ) liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f ( x ) + xf (1 − x ) + f (1 − x ) = Tính giá x +1 trị tích phân I = f ( x ) dx A I = ln B I = ln C I = D I = ( ) Câu 18: Xét hàm số f ( x ) liên tục đoạn −1, thỏa mãn f ( x ) + xf x − + f (1 − x ) = x Tính giá trị tích phân I = f ( x ) dx −1 B I = A I = C I = D I = 15 x3 − Câu 19: Cho hàm số f ( x ) liên tục − 1; 2 thỏa mãn f (1 − x ) + xf ( x − ) + x f = 4x − 2x Khi f ( x ) dx −1 A B C 36 13 D ( ) Câu 20: Cho hàm số f ( x ) liên tục 0;1 thỏa mãn f (1 − x ) = x f x3 − A B −1 C 12 Khi 3x + D Thầy Hồ Thức Thuận - Sứ Giả Truyền Cảm Hứng u Thích Mơn Tốn f ( x ) dx ... ta có f ( x ) f ( x ) f ( 2000 − x ) = Cho hàm số f ( x ) liên tục 2000 Giá trị tích phân I = dx là: 1+ f ( x) B A 2000 2000 Xét tích phân I = C 1000 Lời giải: D 4000 dx (1) Đặt... Cho hàm số y = f ( x ) hàm số chẵn liên tục đoạn − ; , thỏa mãn f ( x ) dx = 2018 Giá trị Câu 4: f ( x) dx : x +1 tích phân I = 2018 − C I = 2018 D I = 4036 2018 Cho hàm số... Tốn + Tính tích phân ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN! π thỏa mãn f ( x ) + f − x = sin x.cos x với 2 Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục