Skkn kinh nghiệm đổi biến số trong bài toán tính tích phân chứa hàm ẩn

CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN HÀM ẨN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NGA SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM ĐỔI BIẾN SỐ TRONG BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN CHỨA HÀM ẨN Người thực hiện Trịnh[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NGA SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM ĐỔI BIẾN SỐ TRONG BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN CHỨA HÀM ẨN Người thực hiện: Trịnh Văn Hoan Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn học THANH HỐ, NĂM 2022 skkn MỤC LỤC Nội dung MỞ ĐẦU………………………………………………………… Trang 1.1 Lý chọn đề tài………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………………… 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM………………… 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm……………………… 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề………………… 2.3.1.Dạng 1………………………………………………………… 2.3.2.Dạng 2 ……………………………………………………… 10 2.3.3.Dạng 3………………………………………………………… 14 2.3.4.Bài tập áp dụng…………………………………………… 16 2.4 Hiệu sáng kiến họat động dạy học 17 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ………………………… 19 Kết luận ………………………………………………………… 19 Kiến nghị ………………………………………………………… 19 skkn MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Đứng trước tốn, đặc biệt tốn khó người làm tốn ln đặt phương hướng giải Tuy nhiên người ham mê tốn cịn tìm cách giải khác nhau, tìm cách giải hay ngắn gọn lạ lại kích thích tính tị mị, khám phá lịng say mê mơn học Trong chương trình tốn THPT (lớp 12) thường gặp tốn tính tích phân dạng hàm ẩn Đây dạng toán thường gặp đề thi học sinh giỏi đặc biệt kỳ thi tốt nghiệp THPT Có nhiều phương pháp để giải dạng tốn Với học sinh phổ thơng việc sử dụng kỹ thuật đổi biến để đưa dạng cơng thức quen thuộc chương trình học sách giáo khoa dễ hiểu thiết thực cho học sinh ứng dụng Nhằm phát triển tư sáng tạo giúp học sinh biết cách tìm tịi q trình học tốn đặc biệt với em học khá, giỏi Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh, ôn thi tốt nghiệp THPT hướng cho em tìm nhiều cách giải tốn, mục đích nhằm phát triển tư sáng tạo kỹ làm tốn Với lí trên, từ thực tế giảng dạy, với kinh nghiệm thu được, tiến hành thực đề tài sáng kiến kinh nghiệm cho năm 2022 với nội dung “ Kinh nghiệm đổi biến số toán tính tích phân chứa hàm ẩn ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Với việc nghiên cứu đề tài “ Kinh nghiệm đổi biến số tốn tính tích phân chứa hàm ẩn ” giúp học sinh, đặc biệt đối tượng học sinh học mức độ khá, giỏi tính tích phân cách nhanh hơn, lạ sáng tạo 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu sáng kiến áp dụng cho học sinh mức độ trung bình trở lên lớp 12 -THPT Nga Sơn -Thanh Hóa Tất nhiên với đối tượng lớp mà có ví dụ minh họa tốn áp dụng khác 1.4 Phương pháp nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm trình bày dạng tốn tiêu biểu thường gặp, có ví dụ minh hoạ điển hình số tập áp dụng Qua mong muốn khai skkn thác thêm hay đẹp toán học đồng thời góp phần tăng thêm kỹ giải tốn cho học sinh NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Trong chương trình tốn lớp 12 học sinh học nguyên hàm, tích phân nhiên với dạng tích phân chứa hàm ẩn, học sinh thường coi dạng tốn khó lạ Tuy nhiên với việc đưa số dạng công thức quen thuộc học sinh học việc tính tốn trở nên đơn giản Sách giáo khoa Đại số Giải tích lớp 12 (cả nâng cao) dạy phương pháp đổi biến số để tính tích phân Xin nhắc lại định nghĩa tích phân ( SGK Giải tích NC lớp 12 trang 148 mục 2) ,tính chất tích phân (SGK Giải tích NC lớp 12 trang 151 mục ) phương pháp đổi biến số (SGK Giải tích NC lớp 12 trang 158, 159 mục ) lý thuyết để tính tích phân hàm ẩn 2.1.1 Định nghĩa Cho hàm số liên tục nguyên hàm đến kí hiệu đoạn hai số thuộc hiệu số Nếu gọi tích phân Trong trường hợp , ta gọi từ tích phân để hiệu số Như 2.1.2 Tính chất Giả sử Người ta dùng kí hiệu nguyên hàm liên tục ba số thuộc skkn Khi ta có: với Chú ý: Nếu với 2.1.3 Phương pháp đổi biến số Cơ sở phương pháp đổi biến số cơng thức sau Trong hàm số cho hàm hợp (1) có đạo hàm liên tục , hàm số liên tục xác định ; hai số thuộc Ta có hai cách đổi biến số : Cách Giả sử ta cần tính Nếu ta viết dạng theo cơng thức (1) ta có : Vậy tốn quy tính đơn giản Trong nhiều trường hợp việc tính tích phân Cách skkn Giả sử ta cần tính Đặt thoả mãn cơng thức (1) cho ta Vậy tốn quy tính (ở hợp, việc tính tích phân đơn giản Trong nhiều trường 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Sau dạy xong phần phương pháp đổi biến số, để áp dụng yêu cầu em làm ví dụ minh họa Tuy nhiên qua theo dõi em làm, số em không áp dụng phương pháp học mà sử dụng máy tính để tính cho kết Điều khơng nắm bắt khả hiểu sáng tạo học sinh Vì thế, để thay đổi điều đợt đề thi thử, kỳ thi tốt nghiệp THPT cho học sinh lớp phân công giảng dạy trường THPT Nga Sơn toán sau: Bài toán: Cho hàm số hàm liên tục thỏa mãn Tính tích phân Với đáp án đưa sau: A B C D *Kết qủa thu Khi chấm em thấy nhiều em không làm Thực tốn khơng khó, có “lạ”với em dạng hàm ẩn Tuy nhiên ta biết sử dụng phương pháp tối ưu mà cụ thể đổi biến số phù hợp để tính tốn trở nên đơn giản quen thuộc, ta có lời giải sau : Lời giải Ta có skkn Coi đặt: Đổi cận Ta : Từ Chọn đáp án A Như nhờ cách đổi biến số tích phân hàm ẩn ta giúp học sinh phát đặc điểm toán, từ lạ thành quen, có cách giải ngắn gọn dễ hiểu kể với học sinh học mức độ trung bình Học sinh khơng thể dựa vào máy tính để chọn đáp án cách dễ dàng mà phải có tư sáng tạo trình làm để chọn đáp án Bài tốn dạng 2.3.3 phần giải pháp sử dụng để giải vấn đề mà tơi trình bày Sau năm trực tiếp giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh dự thi học sinh giỏi trường, giỏi tỉnh, ôn thi tốt nghiệp THPT tìm tịi cách giải phù hợp đó: “ Kinh nghiệm đổi biến số tốn tính tích phân chứa hàm ẩn ” phương pháp mạnh dạn cải tiến phương pháp, đồng thời áp dụng sáng kiến trình giảng dạy trường THPT Nga Sơn Thanh Hoá 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Để làm sáng tỏ điều xin đưa dạng tốn bản, 13 ví dụ điển hình từ dễ đến khó tập áp dụng cho loại Cũng xin nói thêm nhằm phát huy tư duy, sáng tạo kỹ giải toán cho học sinh, nên toán minh hoạ theo hình thức tự luận cịn phần tập áp dụng theo hình thức trắc nghiệm, để phù hợp với kỳ thi Cụ thể sau : 2.3.1: Dạng Cho hàm số phân chứa hàm ẩn tích phân hàm số skkn , ta tính tích Ở dạng từ việc cho hàm số (cho nhiều công thức, cho đồ thị ) Ta phải tính tích phân hàm ẩn ta đưa tích phân chứa hàm số nhờ cách đổi biến số từ tính tích phân Khi trình bày ví dụ minh hoạ trường hợp đơn giản ta ln viết Sau ví dụ minh hoạ với nhiều tình khác cho dạng Đây dạng tích phân mà Bộ GDĐT thường dùng cho kỳ thi tốt nghiệp THPT đặc biệt đề thi học sinh giỏi lớp 12 tỉnh nước Bài Cho hàm số Tính liên tục   Lời giải Ta có * Tính Đặt Đổi cận Khi * Tính Đặt Đổi cận Khi skkn Vậy Bài Cho hàm số liên tục Tính tích phân thỏa mãn Lời giải Ta có * Tính Đặt , đổi cận Do đó: * Tính Đặt , đổi cận Do đó: Vậy Bài Cho hàm số Tính tích phân : Lời giải skkn Vậy Bài Cho hàm số hình vẽ: có đạo hàm liên tục có đồ thị hàm số Tính tích phân : Lời giải có : Ta Vậy skkn Bài Cho hàm số có đạo hàm Tính tích phân : Lời giải Hàm số có đạo hàm Khi : : nên Đặt Đổi cận Ta : Vậy Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy dù việc cho hàm số nhiều dạng khác ( nhiều công thức, chứa trị tuyệt đối, đồ thị ) Nhờ việc đổi biến số thích hợp ta dễ dàng tính tích phân hàm ẩn thơng qua định nghĩa, tính chất tích phân Đây tình giúp học sinh chuyển từ lạ trở thành quen thuộc dễ hiểu quan trọng phát huy tư học sinh hạn chế vào máy tính để tính 10 skkn 2.3.2:Dạng Cho tích phân hàm số chứa hàm ẩn, ta tính tích phân hàm số f(x) tích phân hàm ẩn khác Ở dạng từ việc cho tích phân hàm số chứa hàm ẩn, cách sử dụng phương pháp đổi biến số dùng tính chất thích hợp tích phân, ta tính tích phân tích phân chứa hàm ẩn Ta có ví dụ minh hoạ sau: Bài Cho hàm số hàm lẻ liên tục biết Tính Lời giải * Xét tích phân Đổi cận: Đặt ; * Xét tích phân Đổi cận: Đặt ; (do Ta có 11 skkn ) Bài Cho hàm số liên tục thỏa mãn: Tính tích phân Lời giải Xét tích phân : Đặt Khi : Xét tích phân: Đặt Khi đó: Xét tích phân : Đặt Khi đó: Vậy ta tìm được: Bài Cho tích phân 12 skkn Tính tích phân: Lời giải Xét Đặt Đổi cận : : Khi : Suy : Vậy ta tìm Bài Cho hàm số f  1  1,   f   x   dx  0;1 có đạo hàm liên tục đoạn   thỏa mãn f  x f  x dx  Tính tích phân Lời giải I   f  x  dx Đặt t  x  t  x  dx  2tdt Đổi cận x   t  0; x   t  1   f Suy Mặt khác  1 0 x dx  2 t f  t  dt   t f  t  dt  1 1   x f  x  dx  5 1 x2 x2 x2  x f x d x  f x  f x d x   f   x  dx       0 0 2 0 13 skkn Suy x2 1 3 0 f   x  dx    10  0 x f   x  dx  Ta tính   3x  dx  Do 2   f   x   1 dx   3x f   x  dx    x  2 dx     f   x   x  dx  0  f   x   3x   f   x   3x  f  x   x  C Vì f  1  Vậy nên f  x  x 1 0 I   f  x  dx   x 3dx  Bài 10 Cho hàm số liên tục thỏa mãn đẳng thức sau với : Tính tích phân Lời giải Ta có: * Tính Đặt Đổi cận: Ta có: * Tương tự , ta tính được: * Tính 14 skkn Do đó  trở thành: Vậy ta đươc: Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy nhờ việc đổi biến số ta chuyển từ việc cho tích phân hàm ẩn, cách sử dụng tính chất quen thuộc ta chuyển tích phân hàm số f  x  để tính Đây tình giúp học sinh chuyển từ lạ trở thành quen thuộc dễ hiểu 2.3.3: Dạng Cho mối liên hệ hàm số f(x) hàm số chứa hàm ẩn, ta tính tích phân hàm số f(x) tích phân hàm ẩn khác Ở dạng từ việc cho mối liên hệ hàm số f  x hàm ẩn nó, sử dụng phương pháp đổi biến số ta tính tích phân hàm số Để làm rõ điều ta có ví dụ minh hoạ đây: Bài 11 Cho hàm số f  x  liên tục  f  x  dx  Lời giải I Giả sử   f  x  dx  Ta tính tích phân Đặt t   x  dt  dx , đổi cận x x hàm ẩn thỏa mãn điều kiện f  x   f   x   2sin x  Tính tích phân : f  x   t  2   t  2 15 skkn Khi đó:  2I    f  x   f   x   dx   2sin xdx   Suy ra:   2  2I   I  Vậy ta được: Bài 12 Xét hàm số f  x  liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  x  f  1 x  1 x Tính tích phân  f  x  dx Lời giải Ta có: f  x   f   x    x  1 Đặt t   x  x   t , phương trình  1 trở thành f   t   f  t   t Thay t x ta phương trình f  x   f   x   x    2 f  x   f   x    x  1 2   Từ ta có hệ phương trình: 3 f  x   f   x   x  f  x  x  1 x   1   1   f  x  dx   x   x dx   xdx    xdx 50 50 50 Vậy Bài 13 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  0;3 ; f   x  f  x   1, f  x   1 x f   x  0 1  f   x   f  x  dx f  0  x   0;3  Tính tích phân: I=  với thoả mãn Lời giải   f   x  f  x   f  x   f   x  f  x   f   x  f  x  16 skkn x f   x   f  x   f  x     f  x   1 Do ta có : I  1  f  x  dx u  x du  dx   f  x  dv  d x v     1 f  x  1 f  x   Đặt  3 x dx 3 I    I1  f  x  0  f  x   f  3  f  3  2 Đặt t   x  dt  dx Đổi cận x   t  , x   t  Khi đó: 3 f  x  dx dt dx I1     1 f  3 t 1 1 f  x f  x f  0  I1   Vậy ta được:  f  x  f  x I  1  dx   I1   2 Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy từ việc cho mối liên hệ hàm số f  x  hàm ẩn nó, cách sử dụng đổi biến số ta suy hàm số f  x  để tính tích phân Để làm điều cần hướng dẫn học sinh khôn khéo cách đổi biến khai thác tình đề cho cách sáng tạo 2.3.4 :Bài tập áp dụng Bài Cho hàm số f ( x) thỏa mãn A  f (2 x)dx  B Tích phân C Bài Cho hàm số bằng: D liên tục Giá trị A  f ( x)dx bằng: B C 17 skkn D Bài Cho Tính A bằng: B C D f  x Bài Cho liên tục thỏa mãn f  x   f  10  x   f  x  dx  Tính I   xf  x  dx A 80 B 60 C 40 Bài Cho hàm số f ( x) liên tục  Tính tích phân A D 20  thỏa mãn  tan x f (cos x)dx   f (x ) dx x B C Bài Cho hàm số f  x  liên tục  f  ln x  x ln x e D 10  e2 f (3 x) dx  x  dx  Tính A f  2x dx x  tan x f  cos x  dx  thỏa mãn B D C 2018 Bài 7.Cho hàm số e 2018  1 f  x  liên tục thỏa mãn  f  x  dx  Khi tích phân  x f ln  x  1 dx x 1 A Bài 8.Cho hàm số bằng: B liên tục C D thỏa mãn với Tính tích phân A B C 18 skkn D Bài Cho hàm số liên tục đoạn với A với Tính tích phân B Bài 10 Cho hàm số thỏa mãn: liên tục đoạn C D thỏa mãn Tính tích phân A B C D 2.4 Hiệu sáng kiến hoạt động dạy học Nội dung sáng kiến trình bày tùy theo đối tượng lớp 12 chủ yếu dành cho em học sinh giỏi Sự hứng thú tự tin học sinh việc học Toán, đặc biệt loại toán tích phân, thật cải thiện, góp phần vào thành tích chung kì thi nhà trường năm học qua Sau nhiều năm phân công trực tiếp giảng dạy khối lớp 12, đặc biệt đối tượng học sinh khá, giỏi trường THPT Nga Sơn –Thanh Hóa, tơi áp dụng sáng kiến việc giảng dạy đại trà lớp, bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi tốt nghiệp THPT Từ tơi rút kết luận sau : * Kết kiểm nghiệm trình giảng dạy cho nhóm lớp: ( Lớp 12B, 12G ,12K trường THPT Nga Sơn Thanh Hoá) Lớp Sĩ số (theo nhóm) Số học sinh làm dạng Số học sinh làm dạng chưa dạy phương dạy phương pháp pháp Số lượng Phần trăm Số lượng Phần trăm 12B 16 25 % 13 81 % 12G 18 11 % 13 72% 19 skkn ... hàm số f(x) hàm số chứa hàm ẩn, ta tính tích phân hàm số f(x) tích phân hàm ẩn khác Ở dạng từ việc cho mối liên hệ hàm số f  x hàm ẩn nó, sử dụng phương pháp đổi biến số ta tính tích phân hàm. .. hạn chế vào máy tính để tính 10 skkn 2.3.2:Dạng Cho tích phân hàm số chứa hàm ẩn, ta tính tích phân hàm số f(x) tích phân hàm ẩn khác Ở dạng từ việc cho tích phân hàm số chứa hàm ẩn, cách sử dụng... phân hàm số skkn , ta tính tích Ở dạng từ việc cho hàm số (cho nhiều công thức, cho đồ thị ) Ta phải tính tích phân hàm ẩn ta đưa tích phân chứa hàm số nhờ cách đổi biến số từ tính tích phân