Tích phân và cách giải bài tập cơ bản A LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a;b] Hiệu số F(b) F(a)− được gọi là tích phân từ a đến b[.]
Tích phân cách giải tập A LÝ THUYẾT Định nghĩa Cho f hàm số liên tục đoạn [a;b] Giả sử F nguyên hàm f [a;b] Hiệu số F(b) − F(a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định b đoạn [a;b] hàm số f (x), kí hiệu f (x)dx a Ta dùng kí hiệu F(x) a = F(b) − F(a) để hiệu số F(b) − F(a) b b Vậy f (x)dx = F(x) a = F(b) − F(a) b a b Ta gọi dấu tích phân, a cận dưới, b cận trên, f(x)dx biểu thức dấu a tích phân f(x) hàm số dấu tích phân a Chú ý: Trong trường hợp a = b a > b, ta quy ước f ( x ) dx =0 ; a b a a b f ( x ) dx = − f ( x ) dx b Nhận xét: Tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu f (x)dx hay a b f (t)dt Tích phân phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào a cách ghi biến số Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số f liên tục không âm đoạn [a;b] b tích phân f (x)dx diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số a b y = f (x) , trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b Vậy S = f (x)dx a Tính chất tích phân b b a a +) Tính chất 1: kf ( x ) dx = k f ( x ) dx với k số b b b a a a +) Tính chất 2: f ( x ) g ( x ) dx = f ( x )dx g ( x )dx c b b a c a +) Tính chất 3: f ( x ) dx + f ( x ) dx = f ( x ) dx với a c b Chú ý: Mở rộng tính chất b c1 c2 b a a c1 cn f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx + f ( x ) dx (a c c c n b ) Định lý Tích phân hàm lẻ hàm chẵn - Nếu f hàm số chẵn, a a −a f ( x ) dx = 2 f ( x ) dx a f ( x ) dx = - Nếu f hàm số lẻ, −a Các tính chất bổ sung b +) 0dx = a b +) cdx = c ( b − a ) a b +) Nếu f ( x ) 0, x a,b f ( x ) dx a Hệ quả: Nếu hai hàm số f ( x ) g ( x ) liên tục thỏa mãn b b a a f ( x ) g ( x ) , x a;b f ( x ) dx g ( x ) dx B PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ Phương pháp giải: Cho hàm số y = f(x) liên tục K a, b hai số thuộc K Nếu F b nguyên hàm f K thì: f (x)dx = F(x) a = F(b) − F(a) b a Như vậy, để tính tích phân hàm số ta cần: • Bước 1: Xác định F(x) nguyên hàm hàm số • Bước Tính F(b) − F(a) - Chú ý: Sử dụng tính chất tích phân nêu phần lý thuyết để phân tích tốn, đưa hàm số dấu tích phân dạng để xác định nguyên hàm hàm số cách dễ dàng Ví dụ minh họa Ví dụ Tính I = ( x − 1) x 3dx ta thu kết là: A 141 B 140 C 140 D Lời giải 1 Ta có : I = ( x − 1) x dx = ( x − 2x + 1) x dx = ( x − 2x + x ) dx 3 3 0 x10 2x x 1 = − + = − + −0= 10 140 10 Chọn B Ví dụ 2: Tính tích phân I = | x + 1| dx −2 Lời giải x + 1, Nhận xét: x + = − x − 1, −1 x − x −1 141 Do đó: −1 −2 −2 −1 −1 −2 −1 I = | x + 1| dx = | x + 1| dx + | x + 1| dx = − ( x + 1) dx + ( x + 1) dx −1 x2 x2 = − + x + + x −2 −1 1 4 = − − − − + + − − 2 2 =5 Vậy I = Ví dụ 3: Biết F(x) nguyên hàm hàm số f(x) đoạn [a; b] b 3F ( a ) − = 3F ( b ) Tính tích phân I = f ( x ) dx a A I = - C I = B I = 2 D I = −2 Lời giải Ta có: 3F ( a ) − = 3F ( b ) F ( b ) − F ( a ) = −2 F( b) − F(a ) = −2 b Do I = f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) = − a Chọn D Ví dụ 4: Cho tích phân A I = 2 5 −3 −3 f ( x ) dx = 2; f ( t ) dt = Tính f ( y ) dy B I = C I = - D I = - Lời giải 2 5 f ( x ) dx = f ( y ) dy =2; f ( t ) dt = f ( y ) dy = Ta có: −3 −3 −3 (tích phân khơng phụ −3 thuộc vào biến) Lại có: 5 −3 −3 f ( y ) dy + f ( y ) dy = f ( y ) dy f ( y ) dy = − = Chọn A 0 Ví dụ 5: Cho f ( x ) dx = Tính I = f ( x ) + 2sin x dx B I = + A I = Lời giải Ta có: I = f ( x ) + 2sin x dx 0 = f ( x ) dx + sin xdx = f ( x ) dx − 2cos x = 0 Chọn A C I = D I = + C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1 Câu x + dx bằng: x 2 A 275 12 305 16 B e −1 Câu e −1 196 15 D C 1 − e2 e D C D 208 17 dx bằng: x +1 A 3( e2 − e ) B ln Câu C (e x + 1) e x dx bằng: A 3ln Câu 4 ln B dx bằng: 2x + A B C D Câu ( 3x − ) dx bằng: A 89720 27 B 18927 20 C 960025 18 D 53673 + 6x dx 3x + Câu Kết tích phân: I = A − ln 2 B ln Câu Tích phân: x − dx C 2+ ln D + 2ln A B C D C D C ln2 D ln6 Câu Tích phân x − x dx A B 2 Câu Tính dx −11 + − x ? A 2ln3 B ln3 Câu 10 Nếu f (x)dx = A -1 g(x)dx = −5 14[f (x) − g(x)] B -11 Câu 11 Cho biết C 5 2 f ( x ) dx = , g ( x ) dx = Giá trị D 11 A = f ( x ) + g ( x ) dx là: A Chưa xác định B 12 C D Câu 12 Cho 2I = (2x + ln x)dx Tìm I? A + 2ln B 13 + 2ln 2 C 13 + ln 10 10 0 D + ln 2 Câu 13 Nếu f (x)dx = 17 f (x)dx = 12 f (x)dx bằng: A B 29 C - D 15 Câu 14 f g hai hàm số theo x Biết x [a, b], f '(x) = g '(x) Trong mệnh đề: (I) x [a, b], f '(x) = g(x) b b a a (II) f (x)dx = g(x)dx (III) x [a; b], f (x) − f (a) = g(x) − g(a) Mệnh đề đúng? A I B II C Khơng có D III k Câu 15 Để ( k − 4x ) dx + 3k + = giá trị k ? A B C 6 0 D Câu 16 Nếu f (x)dx = 10 f (x)dx = , f (x)dx bằng: A B 17 C 170 D - Câu 17 Tìm a cho I = [a +(4 - a)x + 4x ]dx = 12 A Đáp án khác B a = - C a = D a = b Câu 18 Biết ( 2x − )dx = , b nhận giá trị bằng: A b = b = B b = b = C b = b = D b = b = ea − Câu 19 Cho e d x = Khi khẳng định sau b 3x A a = - b B a < b C a > b D a = b d d b a b a Câu 20 Nếu f (x)dx = ; f (x)dx = , với a d b f (x)dx bằng: A - B 3 C Câu 21 Cho tích phân I = 2x − dx , kết sau: D (I) I = ( − ) dx + ( 2x − ) dx x (II) I = ( − ) dx − ( 2x − ) dx x (III) I = ( x − ) dx Kết đúng? A Chỉ II B Chỉ III C Cả I, II, III D Chỉ I Câu 22 Cho hàm số y = f(x) liên tục triệt tiêu x = c [a; b] Các kết sau, câu đúng? A C b b a a b c f (x) dx f(x)dx c b a a c f (x) dx = f(x) dx + f(x) dx B b f (x) dx = f(x) dx + f (x)dx a b a D A, B, C a Câu 23 Khẳng định sau sai kết −1 A a.b = 3(c + 1) B ac = b + x +1 b dx = a ln − ? x−2 c C a + b + 2c = 10 D ab = c + 1 Câu 24 Cho f(x) hàm số chẵn liên tục thỏa mãn f (x)dx = Khi −1 giá trị tích phân f (x)dx là: A B C D Câu 25 Cho hàm số f liên tục đoạn [a; b] có nguyên hàm hàm F đoạn [a; b] Trong phát biểu sau, phát biểu sai ? b A f (x)dx = F(b) − F(a) a B F'(x) = f (x) với x (a;b) b C f (x)dx = f (b) − f (a) a b D Hàm số G cho G(x) = F(x) + thỏa mãn f (x)dx = G(b) − G(a) a Câu 26 Cho hai hàm số f g liên tục đoạn [a; b] cho g(x) với x [a;b] Xét khẳng định sau: I b b b a a a f (x) + g(x)dx = f (x)dx + g(x)dx II III b b b a a a f (x) − g(x)dx = f (x)dx − g(x)dx b b b a a a f (x).g(x)dx = f (x)dx. g(x)dx b b f (x) dx = IV g(x) a f (x)dx a b g(x)dx a Trong khẳng định trên, có khẳng định sai? A B C Câu 27 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Nếu f hàm số chẵn B Nếu −1 0 −1 f (x)dx = f (x)dx f (x)dx = f (x)dx f hàm số chẵn đoạn [−1;1] D 1 C Nếu f (x)dx = f hàm số lẻ đoạn [−1;1] −1 D Nếu f (x)dx = f hàm số chẵn đoạn [−1;1] −1 Câu 28 Tích phân ke x dx (với k số )có giá trị bằng: A k(e − 1) C k(e − e) B e2 − D e − e Câu 29 Tích phân x − 2x − 3dx có giá trị −1 A B 64 C D 12,5 Câu 30 Giá trị a để đẳng thức a + (4 − 4a)x + 4x dx = 2xdx đẳng thức A B C D Đáp án A 16 A B 17 A C 18 D D 19 D D 20 B C 21 A D 22 B C 23 D D 24 B 10 D 25 C 11 B 26 B 12 C 27 A 13 14 A C 28 29 A B 15 D 30 B ... tính tích phân hàm số ta cần: • Bước 1: Xác định F(x) nguyên hàm hàm số • Bước Tính F(b) − F(a) - Chú ý: Sử dụng tính chất tích phân nêu phần lý thuyết để phân tích tốn, đưa hàm số dấu tích phân. .. 20 C 960025 18 D 53673 + 6x dx 3x + Câu Kết tích phân: I = A − ln 2 B ln Câu Tích phân: x − dx C 2+ ln D + 2ln A B C D C D C ln2 D ln6 Câu Tích phân x − x dx A B 2 Câu Tính dx −11 + − x... đoạn [−1;1] −1 Câu 28 Tích phân ke x dx (với k số )có giá trị bằng: A k(e − 1) C k(e − e) B e2 − D e − e Câu 29 Tích phân x − 2x − 3dx có giá trị −1 A B 64 C D 12, 5 Câu 30 Giá trị a để