HEÄ PHÖÔNG TRÌNH

HEÄ PHÖÔNG TRÌNH Tư duy logic tìm tòi lời giải Hệ phương trình CHÖÔNG II SUY LUAÄN TÌM LÔØI GIAÛI HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÈNG KYÕ NAÊNG ÑAËC BIEÄT HOÙA Trong toán học cũng như trong đời sống chúng ta, có n[.]

CHƯƠNG II.SUY LUẬN TÌM LỜI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG KỸ NĂNG ĐẶC BIỆT HÓA Trong tốn học đời sống chúng ta, có khẳng định thú vị, là: Nếu khẳng định hay quy luật với trường hợp với trường hợp riêng lẻ Tuy nhiên điều ngược lại chưa xảy Trong sống, bắt gặp điều với trường hợp, lại tìm thấy giống kì lạ trường hợp riêng lẻ Trong khoa học mà đơn cử chương trình dự báo thời tiết, dự báo bão… người ta sử dụng tư đặc biệt hóa tốn học cách hiệu Họ đo đạc, tính tốn cho trường hợp riêng lẻ suy luận, dự đoán cơng cụ hỗ trợ khác, họ tìm hay dự báo quy luật tự nhiên Bài tốn Hệ phương trình tốn khó, đa số bạn học sinh giải dựa vào kinh nghiệm thân thơng qua việc giải nhiều tập mà chưa thực có hướng phân tích hay dự báo cho việc giải tốn Do sách này, tơi dành hẳn chương với mong muốn giúp bạn tìm hướng suy luận dự báo đứng trước hệ phương trình A TÌM MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN TRÊN MỘT PHƯƠNG TRÌNH CỦA HỆ I Hệ phương trình chứa đa thức bậc hai khả quy Bài toán 4x  10x  y  y Giải hệ phương trình   x  2xy  y 9  1  x, y     2 Phân tích Sử dụng phép thử giá trị đặc biệt lên phương trình (1), ta có:  y 2 +) Cho x 0  y  y  0    y  Ta nhận  x; y   A1  0;2  , A  0;  3  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 417 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình  x  +) Cho y 0  2x  5x  0    x      Ta nhận  x; y  B1   1;0  ,B2   ;0       y 4 + Cho x 1  y  y  20 0    y  Ta nhận  x; y   C1  1;4  ,C2  1;    Suy luận dự đốn Do phương trình (1) đa thức bậc 2, (1) phân tích tích đa thức bậc Lúc ta có phương trình đường thẳng: A1B1 :2x  y  0, A1B2 : 4x  3y  0, A B1 : 3x  y  0, A B2 :2x  y  0 Ta nhận thấy điểm C1   A1B1  , nên ta dự đoán mối liên hệ biến x, y phương trình (1) y = 2x + Lời giải Đặt 2x + = a, thay vào PT(1) cho ta:  a     a    y2  y  a  a y2  y   a  y   a  y  1 0  a y   a  y  0 +) Với a y  y 2x  thay vào (2) ta x  4x  0  x 1 Trong trường hợp hệ cho có nghiệm (x;y) = (1;4) +) Với a + y =  y = -2x – thay vào (2) ta x  8x  18x 0  x 0 Trong trường hợp hệ cho có nghiệm (x;y) = (0;-3) Vậy nghiệm hệ cho (x;y) = {(0;-3);(1;4)} Bình luận Nhận thấy đa thức phương trình (1) đa thức bậc hai, ta dễ dàng kiểm chứng đa thức có khả quy hay khơng nhờ kỹ thuật Đen-ta phương: Viết lại phương trình (1) thành 4x  10x  y  y  0  * Xem x ẩn số, y tham số ta có  ' 25  4( y  y  6)  y  1 x 418   10  y y  x    Khi nghiệm phương trình (*)   10  y  y  x     Bài toán 2  3x  3xy  3y  9x  3y  0 Giải hệ phương trình   3y  6xy  2x  10y  0  1  x, y     2 Phân tích  Xét phương trình (1): +) Cho x 0  3y  3y  0 (Vô nghiệm) Suy luận dự đoán: Nếu đa thức (1) đưa dạng tích, chứng tỏ tích bậc Vì với trường hợp x 0 (hoặc y 0 ) ta thường nhận giá trị hữu tỷ y (hoặc x ) Vì ta dự đốn (1) khơng có dạng tích  Xét phương trình (2):  y 3 +) Cho x 0  3y  10y  0    y 1     Ta nhận giá trị cặp  x; y  A1  0;3  , A  0;      +) Cho y 0  2x  0  x    Ta nhận  x; y  B1   ;0    +) Cho y =  x = -1 Ta nhận  x; y  C1   1;1 Suy luận dự đoán Đa thức (2) đa thức bậc hai, khả quy ta dự đốn tích bậc Lúc đó: A1B1 :2x  y  0; A B1 : 2x  y  0 Nhận thấy C1   A1B1  nên ta dự đoán mối quan hệ biến x, y y = 2x + Lời giải Đặt a = 2x + 3, thay vào (2) ta có: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 419 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình  a y 3y  3ay  y  a 0   a  y   3y  1 0    3y 1 +) Với 3y  0  y  , thay vào phương trình (1) ta có :  x  16 3x  10x  0   x        Trong trường hợp hệ ban đầu có nghiệm  x; y   ;  ,  ;    3   3   +) Với a = y  y = 2x + thay vào phương trình (1) ta phương trình 15x  27 x  31 0 (Vô nghiệm) Kết luận Hệ ban đầu có nghiệm     ;  ,  ;    3   3    x; y   Bài toán 2  6x  x  4y 3y  7xy  Giải hệ phương trình  2   x  y  x  y    3y  1  x, y  R   2 Phân tích Sử dụng phép thử giá trị đặc biệt lên phương trình (1), ta có :  y 1  x   3y  4y    +) Cho  y 1     Ta nhận giá trị  x; y   A1  0;1 , A  0;       x  +) Cho y 0  6x  x  0    x    1    Ta nhận giá trị  x; y   B1  ;0  , B2   ;0      3   y 1 +) Cho x 1  y  y  0    y  420 Ta nhận giá trị  x; y   C1  1;1 ,C  1;    Suy luận dự đoán Ta có phương trình đường thẳng: A1B1 : 3x  y  0; A1B2 :2x  y  0 A B1 : 3x  3y  0; A B2 :2x  3y  0 Nhận thấy C2   A1B1  , ta dự đoán mối quan hệ biến x, y 3x  y  0  y 1  3x Lời giải Đặt a = – 3x, thay vào phương trình (1) cho ta:  x   13 +) Với a = y  y = – 3x thay vào (2) ta 13x  6x 0    x 0  31   Trong trường hợp hệ cho có nghiệm  x; y    ;  ,  0;1   13 13   2x  thay vào (2) ta  x  2 x  19x  10 0    x   +) Với 9y  2a  0  y     Trong trường hợp hệ cho có nghiệm  x; y    2;  1 ,   ;     7        31  Vậy nghiệm hệ cho  x; y    2;  1 ,   ;   ,   ;  ,  0;1   7   13 13    Bài toán  x  y   x   y 2 Giải hệ phương trình  2  x  y  3x  y   1  x, y     2 Phân tích Xét phương trình (2):  y  +) Cho x 0  y  y  0    y 2 Ta nhận giá trị  x; y   A1  0;  1 , A  0;2   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 421 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình  x  +) Cho y 0  x  3x  0    x  Ta nhận giá trị  x; y   B1   1;0  , B2   2;0    x  +) Cho y 1  x  3x  0    x  Ta nhận giá trị  x; y   C1   1;1 ,C   2;1  Suy luận dự đốn Ta có phương trình đường thẳng: A1B1 : x  y  0;A1B2 : x  2y  0 A B1 :2x  y  0; A B2 :x  y  0 Nhận thấy C2   A1B1  , ta dự đoán mối quan hệ biến x, y x+y+1=0  y 0 Lời giải Điều kiện   x  Đặt a = -x - 1, thay vào (2) ta được: a  y  a  y 0   a  y   y  a  1 0 +) Với a = y  x + y + =   y  y 2 (vô nghiệm) +) Với y + a – =  y = x + vào phương trình (1) ta có: x   x   x  2    2x  2x    x 1 x  1  x 1 x 1    2x       2x     x    x  0  x  0    0  x   y 1  x  1  x 1 Vậy nghiệm hệ phương trình (x;y) = (-1;1) Bài tốn (Trích TSĐH khối B – 2013) 2x  y  3xy  3x  2y  0 (1) Giải hệ phương trình  2 4x  y  x   2x  y  x  4y Phân tích Xét phương trình (1): +) Cho x 0  y  2y  0  y 1 Ta nhận  x; y  A1  0;1 422 (2) (x, y  )  x  +) Cho y 0  2x  3x  0    x      Ta nhận giá trị  x; y  B1   1;0  ,B2   ;0       y 2 +) Cho x =  y  5y  0    y 3 Ta nhận giá trị  x; y   C1  1;2  ,C2  1;3   Suy luận dự đốn Ta có phương trình đường thẳng: A1B1 : x  y  0; A1B2 :2x  y  0 Nhận thấy C1   A1B1  , ta dự đoán mối quan hệ x, y x  y  0 2x  y 0 Lời giải Điều kiện   x  4y 0 Đặt a = x + 1, thay vào (1) cho ta: 2a  y  3ay  y  a 0   a  y   2a  y  1 0 +) Với a = y  y = x + 1, thay vào (2) ta 3x  x   3x   5x   3(x  x)  (x   3x  1)  (x   5x  4) 0 1   (x  x)     0 x   3x  x   5x    1 Do    0, x  x   3x  x   5x   x 0  y 1 Nên phương trình tương đương x  x 0    x 1  y 2 +) Với 2a – y =  y = 2x + 1, thay vào (2) ta  3x  x   9x   3x    4x 1    x   0 9x 0 9x      x3    0  x 0  y 1 x   x      3x  4x  4x    Đối chiếu điều kiện thỏa mãn Vậy nghiệm phương trình (x;y) = {(0;1), (1;2)} http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 423 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình NHẬN XÉT Với đa thức bậc hai, ta dễ dàng kiểm chứng khả quy hay bất khả quy nhờ kỹ thuật Delta phương Tuy nhiên với kỹ đặc biệt hóa lại có thêm nhìn nhận cách đưa đa thức bậc hai dạng tích quan trọng giúp giải tốn khó nêu sau II Hệ phương trình chứa đa thức bậc cao khả quy Bài toán 3  x  y  3x  3(y  2x) Giải hệ phương trình   x  4y  8(x  y) 0 (1) (2) (x, y  ) Phân tích Xét phương trình (1): +) Cho x 0  y3  3y  0  y 1 Ta nhận (x, y) = A1(0;1) +) Cho y 0  x  3x  6x  0  x  Ta nhận (x, y) = B1(-1;0) +) Cho x 1  y3  3y  14 0  y 2 Ta nhận (x,y) = C1(1;2) Suy luận dự đoán Phương trình (1) chứa đa thức bậc 3, khả quy tích đa thức bậc đa thức bậc Phương trình đường thẳng A1B1 :x  y  0 Nhận thấy C1   A1B1  , từ ta dự đoán mối quan hệ x, y x – y + = Lời giải Đặt a = x + 1, thay vào (1) cho ta: a  y3   a  y  0   a  y  a  ay  y  0  a y   +) Với a = y  y = x + vào (2) ta x  4x  8x  0  x  (2x  2) 0  x    y  (x  2x  2)(x  2x  2) 0  x  2x  0    x    y   Vậy nghiệm hệ phương trình (x; y)  (   424  3;  3),(   3; 3) Bài toán 2(y3  x ) 6x  7x  y  Giải hệ phương trình  4  y  2(1  y)  9x  16 (1) (2) (x, y  ) Phân tích Xét phương trình (1): +) Cho x 0  2y3  y  0  y 1 Ta nhận  x; y  A1  0;1 +) Cho y 0  2x  6x  7x  0  x  Ta nhận  x; y  B1   1;0  +) Cho x 1  y3  y  18 0  y 2 Ta nhận  x; y  C1  1;  Suy luận dự đoán Phương trình đường thẳng A1B1 : x  y  0 Nhận thấy C1   A1B1  nên ta dự đoán mối quan hệ x,y x – y + = Lời giải Điều kiện   y 3 Đặt a = x + 1, thay vào (1) cho ta y3  a   y  a  0   y  a  2y  2ya  2a  0  a y     Với a = y  y = x + vào (2) ta  x  2(2  x)  9x  16 Điều kiện -2≤ x ≤ bình phương hai vế ta có 32 + 16  2x  9x  8x 0  4(8 – 2x2) + 16  2x  x  8x 0 Đặt t 2  2x (t  0)  t x 2 Phương trình trở thành t  8t  x 0    t  x  0  x 0  2  2x x   32  x   x  VN(  x 2)  34  ; Vậy nghiệm hệ phương trình (x; y)     Bài toán http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 425 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình (x  y)(x  y  y ) x(y  1) (1) (x, y  ) Giải hệ phương trình  5 x   x  3y  y  (2) Phân tích Xét phương trình (1):  y 0 +) Cho x 0  y   y  0    y  Ta nhận  x; y   A1  0;0  , A  0;  1   x 0 +) Cho y 0  x x    x 1 Ta nhận  x; y  B1  1;0   x  +) Cho y 1  x  x  0    x 2 Ta nhận  x; y   C1   1;1 ,C2  2;1  Suy luận dự đốn Phương trình đường thẳng A1B1 : y 0; A B1 : x  y  0 Ta nhận thấy C2  A1B2 , nên ta dự đoán mối quan hệ x, y x – y – =  x  0   x    Lời giải Điều kiện  x  0    x 1  y 0  y 0   TH1: x = -1  y = TH2: x  1: Đặt a = x – 1, thay vào (1) cho ta: y  ay  ay  a   y  a  0   y  a  y  a  0   +) Với a = y  y = x – vào phương trình (2) ta có x   x  3x   x   x  1( x   1)  ( x   1) 3x  ( x   1)(5 x   1) 3x  x   3( x   1) x   x   3 x   20 x  9  8x 426  ... phương trình (*)   10  y  y  x     Bài toán 2  3x  3xy  3y  9x  3y  0 Giải hệ phương trình   3y  6xy  2x  10y  0  1  x, y     2 Phân tích  Xét phương trình. .. nghiệm hệ phương trình (x;y) = (-1;1) Bài tốn (Trích TSĐH khối B – 2013) 2x  y  3xy  3x  2y  0 (1) Giải hệ phương trình  2 4x  y  x   2x  y  x  4y Phân tích Xét phương trình (1):... sau II Hệ phương trình chứa đa thức bậc cao khả quy Bài toán 3  x  y  3x  3(y  2x) Giải hệ phương trình   x  4y  8(x  y) 0 (1) (2) (x, y  ) Phân tích Xét phương trình (1): +) Cho