HEÄ PHÖÔNG TRÌNH Tư duy logic tìm tòi lời giải Hệ phương trình CHÖÔNG III HEÄ PHÖÔNG TRÌNH TOÅNG HÔÏP A MOÄT SOÁ HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAËC TRÖNG Bài toán 1 Giải hệ phương trình Lời giải Điều kiện Từ phươn[.]
CHƯƠNG III HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HP A MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG Bài tốn x y x 3 y 1 x, y Giải hệ phương trình x 16 y x y 2 xy x 0 Lời giải Điều kiện y 5 x 16 y x 0 Từ phương trình (1) ta có y y x x 0 Đặt t y 0 Khi ta có t2 3t x x 0 t 9 x x 0 x 12 x 0 x 3 10 x 16 Mặt khác từ (2) ta có x2 16 y x xy xy y 0 x 16 y x y x y 0 x 16 y x xy y xy x 16 y 0 x y x2 16 y x xy y xy Do x 16; y 5 Với x y x 3 x 16 x 16 y x xy x 3 x y 0 y xy x2 x 9 x2 x 15 x4 x3 x2 324 0 x 6 x x 0 x 6 Thử lại thỏa mãn Vậy nghiệm hệ cho x; y 6;6 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 485 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình Bài tốn 13 x y 16 x Giải hệ phương trình 2 x x x y 2 x x y 1 x, y 2 x 1 Lời giải Điều kiện y x y 0 2 Từ phương trình (2) ta có x x x y 2 x x x y x x x x y x y 0 x2 x x y x y 0 x y 3 2 x2 x y 1 0 x y 3 2 Với x 1 x2 x x y 3 2 1 Nên ta có x y 0 y x vào phương trình (1) ta 13 x x 16 x 13 x x 1 1 9 x x 0 4 1 3 13 x x 0 2 2 x x y TM 4 x 3 5 1 Vậy nghiệm hệ cho x; y ; 4 Bài tốn Giải hệ phương trình x y y x 5 3 x4 x y 6 x3 y y2 2 x, y Lời giải Từ phương trình (2) ta có x4 x2 xy y2 6 x3 y y2 x3 x y x x y 0 x x y x2 0 x 0 x 2 y 486 Với x 0 vào (1) ta có y 2 y y 4 y 0 16 y 4 Với x 2 y vào (1) ta có x x x x2 5 * Đặt t x x t 0 Thế vào (*) ta có t Khi t 5 ta có 3x x2 t 5 t L t2 5 t2 2t 15 0 t 5 x x2 10 x2 x 96 0 VN Vậy nghiệm hệ cho x; y 0;0 Bài toán x2 y2 1 Giải hệ phương trình x x 1 x y 0 2 x, y x Lời giải Điều kiện x 1 y x2 2 Từ phương trình (1) ta có y x y x2 Với y x hay vào phương trình (2) ta x y x y 1 x y2 x y x y 1 1 x y 1 x y x 1 x2 1 x 2 x 1 y 0 x x x y 1 y 1 x x y y x x x2 x 2 x y 0 x x Với y x2 hay vào phương trình (2) ta x y x y x y 1 1 x y 1 x y x y 1 y 1 x x 1 x2 x 2 x 1 y 0 x x 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 487 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình x y y x x x2 x 2 x y 0 x x 1 Vậy nghiệm hệ phương trình x; y 1;0 , 1;0 Bài toán x x2 1 xy y x2 y2 Giải hệ phương trình 2 xy x y y 1 0 x, y Lời giải Xét x 0 y 0 nghiệm hệ phương trình Với x 0 từ phương trình (2) hệ ta có xy y y x Thế vào phương trình (1) suy y3 y 2 4 2 x x2 y x y x x y y x x y x x y x x 0 x y4 x y2 x x y 2 2 y2 x2 y2 0 x 0; y 0 L 2 2 x y x 0 y x x * Thế (*) vào (2) ta có y x x xy x 0 xy y 0 x (2) ta có y y y3 y y 0 y4 y2 0 y y y 1 y 1 x y L y x 2 Vậy nghiệm hệ cho x; y 0; , 1;1 , 2; Bài toán x3 y3 xy 1 1 Giải hệ phương trình x y 25 (2) x 13 y 2x y 488 x, y y vào 2y 2 x y 0 x 13 y 0 Lời giải Điều kiện Từ phương trình (1) ta có x3 y3 xy 0 x y xy x y xy 0 x y 1 xy x y 1 0 x y x y x y xy 0 x y 1 2 x y xy x y 0 * Ta có * 1 2 x y x 1 y 0 x y 2 Thay vào phương trình thứ (2) khơng thỏa mãn Với y 1 x thay vào phương trình thứ hai ta có x 12 x 28 x x : 12 x 4; x x 3 28 x x 12 x x 14 x 10 x 272 x 352 0 x 3 x 4 x2 x 22 x2 x 16 0 x 31 x 4 y 5 Đối chiếu điều kiện suy x 31 y 4 31 Vậy nghiệm hệ phương trình x; y 4;5 , 31 3;4 31 Bài toán 4 x y 32 y x Giải hệ phương trình 2 x y x y x y 0 1 2 Ta có: Lời giải Điều kiện x, y Phương trình 1 4 x y 1 y x 1 4 1 Xét hàm số f t t 1 , t t t 3 Ta có f ' t 4 t 1 t 0, t hay hàm số đồng biến 0; x x 1 Do f f 1 y y x y x y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 489 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình +) Với x y thay vào (2) ta có phương trình x3 x2 x 0 x +) Với x y thay vào (2) ta có phương trình x3 x2 x 0 x 3 Từ ta tìm nghiệm hệ cho x; y 2; , 3; Bài toán y y x x Giải hệ phương trình 3 y y 8 x 12 1 2 x Lời giải Điều kiện y 5 3 Từ phương trình (2) suy x 12 0 x Đặt u y u 2 , v x v Từ phương trình (1) cho ta u3 6u v3 6v u v u2 uv v2 0 u v , u 2 u2 v2 uv v Với u v y x , thay vào (2) ta có Đặt 3 x x 8 x 12 * 5 x a a Phương trình cho trở thàn a a2 a2 Hàm số f a 3 12 3 20 8 a a a 20 ; f 0 , nghịch biến a a a Suy phương trình (*) có nghiệm x = x 2 y 3 Hay hệ phương trình cho có nghiệm Bài tốn y4 y3 4 x y2 x2 Giải hệ phương trình x y y2 x2 2 Lời giải Điều kiện y x * Phương trình (2) x y2 x2 2 y 490 1 2 x, y Bình phương hai vế rút gọn ta x y2 x2 2 y 4 Thế vào phương trình (1) ta có y y 4 y y y y 32 0 y2 y 8 y2 y 32 0 y y VN y 4 y2 y 0 y y 2y x 0 x 2 x 16 x 36 0 Với y 4 x 16 x Thỏa mãn điều kiện (*) x 0 x 2 x 16 x 36 0 Với y x 16 x 6 Đối chiếu điều kiện (*) y 2, x (TM) Thử lại ta có nghiệm hệ phương trình x; y 2 ;4 , 7; Bài toán 10 4 x2 x2 x2 y3 y Giải hệ phương trình x2 x2 y 1 2 y 1 2 Lời giải Điều kiện y 2 Phương trình (2) tương đương với y x y y 1 2 y x x2 y y3 y2 y 0 x2 y y y2 0 y y x2 y2 0 2 x y 0 +) Với y thay vào phương trình thứ hệ ta có x2 x x2 0 x2 x2 3 x 0 x 2 x 1 2 +) Với x y 1 y 1 Từ phương trình 1 ta có x 1 1 4 x2 x y3 y x2 x2 y3 y x2 x2 y3 y 0 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 491 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình Xét hàm số f x 4 x2 x2 1;1 f ' x 4x x2 x; với x 1;1 Ta có hàm số f x liên tục đoạn x2 0 f ' x 0 x x2 x 0 x 1;1 f x Min f 1 ; f ; f 1 f 4 Suy Min 1;1 Xét hàm số g y y3 y với y 1;1 Ta có hàm số g y liên tục đoạn 1;1 g ' y 3 y2 3; g ' y 0 y 1 g y Min g ; g ; g 1 g Suy Min 1;1 x 0 Từ ta có f x g y 0, x, y 1;1 Dấu “=” xảy y 1 Thử lại ta có tập nghiệm hệ T 0; , 2; , 2; , 0;1 Bài tốn 11.(Trích HSG Nghệ an năm 2014) x y x y 3 Giải hệ phương trình x y x y 1 1 x, y 2 5 x y 0 Lời giải Điều kiện 2 x y Từ phương trình (1) hệ phương trình ta có x y x y 3 x y 3 2x y 3 x y 0 3 x y 0 3 x 2x y 5 x y 2 x y x y 3 4 x 3 Từ (4) ta có x2 14 x y Thế vào phương trình thứ hai ta 3 x x2 14 x x 1 x2 16 x 0 x 8 57 Đối chiếu điều kiện suy nghiệm thỏa mãn x 8 Vậy nghiệm hệ phương trình x; y 492 57; 9 57 y 57 9 57 Bài tốn 12.(Trích tạp chí TH&TT số 439 – tháng 01 năm 2014) Giải hệ phương trình 4 x2 x2 x2 y3 y x2 y2 x2 y 1 x, y R 2 Lời giải Từ phương trình ta có x y2 x x y2 x y2 y2 y y2 y 1 x2 y2 1 Do đó: 2 x x y 1 x 1 2 y x y 1 y 1 Từ phương trình 1 ta lại có: x 1 1 4 * x2 x2 y3 y x2 x2 y3 y x2 x2 y3 y 0 * Xét hàm số f x 4 x2 x2 với x 1;1 Ta có hàm số f x liên tục đoạn 1;1 f ' x 4x x2 x; x2 0 f ' x 0 x x2 x 0 x 1;1 f x Min f 1 ; f ; f 1 f 4 Suy Min 1;1 Xét hàm số g y y3 y với y 1;1 Ta có hàm số g y liên tục đoạn 1;1 g ' y 3 y 3; g ' y 0 y 1 g y Min g ; g ; g 1 g Suy Min 1;1 x 0 y 1 Từ ta có f x g y 0, x, y 1;1 Dấu “=” xảy x 0 Thử lại ta thấy nghiệm hệ phương trình cho y 1 Nhận xét Ta giải toán cách ngắn gọn từ việc giải phương trình (*) sau * x2 1 x2 x2 y3 y x y y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 493 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình x2 0 Với x 1 đồng thời y 1 y y 1 0 x Từ suy x 0 x 0 y 1 y 0 * Bài toán 13 x y x2 x 8 Giải hệ phương trình y y x x 1 x, y 2 Lời giải y x 1 Điều kiện Từ phương trình (2) hệ phương trình ta có 1 1 1 x2 x y x 4 2 2 x y x 1 y x L x 2 y 3 y 3 y 3 y 3 Với y x y x x 1 Thế vào phương trình (1) ta có x x2 x 8 x x2 x 0 x 2 x x 0 x x 0 x 1 x 1 x 2 y 2 Vậy nghiệm hệ phương trình x; y 2; Bài toán14 x2 x x y xy 3 y Giải hệ phương trình 4 x 2 y x 3 x 1 2 4 x2 x x y 0 Lời giải Điều kiện xy 0 x y x 0 Dễ thấy x; y 0;0 không nghiệm hệ Từ phương trình (1) suy y kết hợp với điều kiện xy 0 x Do đó: 1 494 x2 x x y y xy y 0 ... phương trình 2 xy x y y 1 0 x, y Lời giải Xét x 0 y 0 nghiệm hệ phương trình Với x 0 từ phương trình (2) hệ ta có xy y y x Thế vào phương trình (1)... phương trình x x 1 x y 0 2 x, y x Lời giải Điều kiện x 1 y x2 2 Từ phương trình (1) ta có y x y x2 Với y x hay vào phương trình. .. phương trình Bài toán 13 x y 16 x Giải hệ phương trình 2 x x x y 2 x x y 1 x, y 2 x 1 Lời giải Điều kiện y x y 0 2 Từ phương trình