Thông tin tài liệu
BÀI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I PHƯƠNG TRÌNH MŨ Phương trình mũ ax = b Phương trình mũ phương trình có dạng - Nếu - Nếu b>0 b=0 ( a > 0; a ≠ 1) phương trình có nghiệm b 0, a ≠ 1) b) Phương pháp đặt ẩn phụ α a x + β a x + γ = Đặt t = a x , ( t > 0) c) Logarit hóa a Nếu phương trình cho dạng f ( x) ìï < a ¹ ïï = b Û ïí b> ïï ïïỵ f (x) = loga b II PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Phương trình logarit bản: phương trình có dạng log a x = b ⇔ log a x = b với 0< a ¹ x = ab Cách giải số phương trình mũ a) Đưa số a > 0, a ≠1 f ( x) > ( hoac g ( x ) > 0) log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) b) Phương pháp đặt ẩn phụ Trang α log 2a x + β log a x + γ = Đặt t = log a x, ( x > ) c) Mũ hóa f ( x) > log a f ( x ) = b ⇔ b f ( x) = a HỆ THỐNG HÓA BẰNG SƠ ĐỒ Trang B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Phương pháp đưa số Phương pháp Phương pháp đưa phương trình mũ số - Biến đổi hàm số có mặt phương trình số, sau rút gọn, đưa dạng dạng: a f ( x ) = a g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x) (Vớ i < a ≠ 1) - Nếu số a thay đổi thì: (Thường gặp) a > a f ( x) = a g ( x) ⇔ (a − 1)[ f ( x) − g ( x)] = (Ít gặp) Phương pháp đưa phương trình loga số log a M = log a N ⇔ M = N Biến đổi phương trình để đưa dạng nêu dạng: Bài tập Bài tập Tìm tích số tất nghiệm thực phương trình A −1 − B C x2 − x + = 49 D Lời giải Chọn A x2 − x + = 49 ⇔ x2 − x+ 1− x= = ⇔ x2 − x + = ⇔ x − x −1 = ⇔ 2 1+ x = Khi tích nghiệm là: Bài tập Cho phương trình ( 1− 1+ = −1 2 7+4 ) x + x −1 ( = 2+ ) x −2 Mệnh đề sau đúng? A Phương trình có hai nghiệm khơng dương B Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt C Phương trình có hai nghiệm trái dấu Trang D Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt Lời giải Chọn A ( 7+4 = 2+ Do ( + 3) ( ) x + x −1 ( ) nên phương trình ban đầu tương đương với = 2+ ) x−2 x = ⇔ x = − 2 ⇔ 2x + 2x − = x − ⇔ 2x + x = Vậy phương trình cho có hai nghiệm không dương log ( x + 1) + = log − x + log8 ( + x ) Bài tập Phương trình A Vơ nghiệm B Một nghiệm có nghiệm? C Hai nghiệm D Ba nghiệm Lời giải Chọn C Điều kiện: −4 < x < x ≠ −1 log ( x + 1) + = log Ta có − x + log ( + x ) ⇔ log ( x + ) = log ( − x ) ( + x ) x = x = −6 ⇔ ( x + 1) = 16 − x x = 2+2 x + x − 12 = ⇔ ⇔ 2 ⇔ x + = 16 − x x = − ( x + 1) = x − 16 x − x − 20 = Đối chiếu điều kiện, phương trình cho có hai nghiệm x = x = − x x −1 4 7 ÷ Bài tập Tập nghiệm S phương trình ÷ 4 A 1 S = − 2 B S = { 2} − 16 = 49 C 1 ;− 2 2 D S = − ; 2 Lời giải Chọn A Trang x −1 x 4 7 ÷ ÷ 7 4 Ta có −2 x +1 16 4 − =0 ⇔ ÷ 49 7 4 = ÷ ⇔x=− ⇔ −2 x + = 2 Cách trắc nghiệm: Nhập VT phương trình vào máy tính, dùng nút Calc thử nghiệm x −1 x +1 = 0, 25 Bài tập Phương trình A ( 2) B 7x có tích nghiệm bằng? C D Lời giải Chọn C x −1 x +1 = 0, 25 Ta có ( ) 7x ⇔2 x −1 x +1 7x x −1 x = 2x −1 x − ⇔ = ⇔ 7x − 9x + = ⇔ x = x +1 Vậy tích nghiệm 2 = 7 A B x −1 x −4 27 Bài tập Tìm số nghiệm phương trình 7x = 2−2.2 ⇔ 23 x +1 = 2−2.2 ⇔ 23 x +1 = x−2 x −1 7x = 243 C D Vô số Lời giải Chọn A Điều kiện 27 Ta có: x ≠1 x−2 x −1 = 7x 3x − x − 10 x −6 x −10 ⇔ = x −1 =3 x −1 ⇔3 ⇔ x − 12 = ( x − 10 ) ( x − 1) ⇔ x − 23x + 22 = (PT vô nghiệm) Trang log ( x + 1) = log ( x − 1) + log Bài tập Cho phương trình B A ( x + 1) Tổng nghiệm phương trình C D Lời giải Chọn B x3 + > x > −1 ( x − 1) > ⇔ x +1 > x ≠ Điều kiện: 2 log x + = log ( x − 1) + log ( x + 1) Ta có: ⇔ log ( x + 1) = log x − + log ( x + 1) ⇔ log ( x3 + 1) = log x − ( x + 1) ( ) ⇔ x + = x − ( x + 1) Trường hợp 1: x> 3 Ta có: x + = x − ( x + 1) ⇔ x + = ( x − 1) ( x + 1) ⇔ x − x − x + = ⇔ x = −1 ∨ x = ∨ x = So sánh điều kiện nên x = ∨ x = Trường hợp 2: x< 3 Ta có: x + = x − ( x + 1) ⇔ x + = ( − x ) ( x + 1) x=0 ⇔ x = −1 So sánh điều kiện nên x = ⇔ x3 + x + x = Kết luận: Tổng nghiệm phương trình + + = Bài tập Cho n số nguyên dương a > , a ≠ Tìm n cho log a 2019 + log A n = 2017 a 2019 + log a 2019 + + log n a 2019 = 2033136.log a 2019 B n = 2016 C n = 2018 D n = 2019 Lời giải Chọn B Ta có log a 2019 + log a 2019 + log a 2019 + + log n a 2019 = 2033136.log a 2019 ⇔ log a 2019 + 2.log a 2019 + 3.log a 2019 + + n.log a 2019 = 2033136.log a 2019 ⇔ ( + + + + n ) log a 2019 = 2033136.log a 2019 Trang n ( n + 1) ⇔ − 2033136 ÷.log a 2019 = ( a > 0, a ≠ 1) ⇔ n = 2016 n ( n + 1) = 2033136 ⇔ n + n − 4066272 = ⇔ n = −2017 Do n số nguyên dương nên n = 2016 log ( x − 3) + log ( x − ) = Bài tập Tổng tất nghiệm thực phương trình B + A C − là: D + Hướng dẫn giải Chọn B x − > x > ⇔ x ≠ ĐKXĐ: x − ≠ 2 log ( x − 3) + log ( x − ) = ⇔ log ( x − 3) ( x − ) = ⇔ ( x − 3) ( ( x − 3) ( x − ) = x > ⇔ x − ) =1 ( x − 3) ( − x ) = < x < x − x + 15 = x > x = + ⇔ ⇔ x = − x + x − 15 = < x < Vậy tổng tất nghiệm phương trình + 1 + + + = 2018 log 2018 x Bài tập 10 Giải phương trình log x log x có nghiệm A x = 2018.2018! 2018 2018! B x = C x = 2017! D x = ( 2018!) 2018 Lời giải Chọn B Điều kiện: < x ≠ 1 + + + = 2018 ⇔ log x + log x + + log x 2018 = 2018 log x log x log x 2018 Ta có ⇔ log x ( 2.3 2018 ) = 2018 ⇔ log x ( 2018!) = 2018 ⇔ x 2018 = 2018! ⇔ x = 2018 2018! Trang log ( log x ) + log ( log x ) = Bài tập 11 Số nghiệm phương trình: A B C D Lời giải Chọn D Điều kiện: x > ⇔ x >1 log x > log ( log x ) + log ( log x ) = ⇔ Ta có: ⇔ ( log x ) = ⇔ log x = ⇔ x = 16 thỏa điều kiện x Bài tập 12 Phương trình 1 log ( log x ) + log log x ÷ = 2 2 x ÷ ÷ = 16 4 3 A B có hai nghiệm x1 C x2 Tổng S = x1 + x2 D Lời giải Chọn C Đk: x≠0 x Xét phương trình x 3 ⇔ ÷ 4 Vì x=0 − x x 3 ⇔ ÷ ÷ ÷ = 16 4 3 4 x− 3 x 3 ÷ = ⇔ ÷ 16 4 4 x 3 = ÷ ⇔ x − = ⇔ x − x − = ( 1) x 4 nghiệm phương trình Phương trình ( 1) có hai nghiệm x ÷ = 16 ( 1) ( −4 ) < nên x1 x2 x1 + x2 = S=2 , Vậy Trang Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp Loại 1: Phương trình có dạng bk akf(x) + bk -1a(k-1)f(x) + + b1af(x) + b = Khi ta đặt: t = af(x) điều kiện: t > Ta phương trình đại số ẩn t, giải pt đại số ta biết nghiệm phương trình ẩn t Nếu có nghiệm t cần xét xem có thỏa điều kiện t > hay khơng Nếu thỏa điều kiện giải phương trình t = a f (x) Ví dụ: Đặt t = để tìm nghiệm phương trình cho x +1 − 6.2 x +1 + = ⇔ (2 x +1 ) − 6.2 x +1 + = x+1 t = t − 6t + = ⇔ t = Điều kiện t > Ta có Với t = ta có Với t = ta có x+1 x+1 =2 =4 ⇔ x=0 ⇔ x =1 Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x=0 x = α1af(x) + Loại 2: Phương trình đưa dạng: Hướng giải: Đặt t = a f ( x) x −1 + 53− x = 26 ⇔ Ví dụ 1: Giải phương trình Đặt t = 5x ; t > Ta phương trình: Với t =125 ta có Với t = ta có α2 + α3 = af(x) 5x = 125 ⇔ x = 5x 125 + − 26 = 5x n) t = 125 (nhaä t 125 t2 + − 26 = ⇔ − 26t + 125 = ⇔ n) t t = (nhaä x = ⇔ x = Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x = x = Trang Lưu ý: Một số cặp số nghịch đảo Ví dụ: Loại 3: Phương trình có dạng: Hướng giải: Chia hai vế cho Ta đặt: t = a b α1a 2f(x) + α (ab)f(x) + α 3b 2f(x) = b2 f ( x) ta phương trình a α1 b f (x) + a α2 b f ( x) + α3 =0 f ( x) điều kiện: t > 0, giải phương trình ẩn t, sau tìm nghiệm x Chú ý: Cũng chia hai vế phương trình cho: Ví dụ: Giải phương trình ± ; ± ; ± , x + x = 2.4 x (ab) f ( x ) hoặc: a2 f (x) x ÷ = x x x 6 2x 2 x x x + = 2.4 ⇔ ( ) + ÷ − = ⇔ ( ) + ÷ − = ⇔ ⇔ x=0 x 4 2 ÷ = −2(Vônghiệ m) Một số dạng phương trình logarit sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ thường gặp: Ví dụ1: Giải phương trình + =1 − lg x + lg x Phân tích: Ta nhận thấy phương trình có hàm số lơgarit nhất, cách đặt Đặt t = lg x lg x Vì ta giải pt t = lg x đk t ≠5 t ≠ −1 Ta phương trình: t = ( thỏ a điề u kiệ n) −t + 11 ⇔ t − 5t + = ⇔ ⇔ = ⇒ − t + 11 = − t − t + =1 a điề u kiệ n) t = ( thoû ( − t ) (1+ t ) − t 1+ t Với t = ta có Với t = ta có lg x = ⇔ x = 100 lg x = ⇔ x = 1000 Trang 10 a Bài tập Gọi nghiệm phương trình trị biểu thức sau đúng? A a2 + a = B ( 26 + 15 ) sin a + cos a = C x ( +2 7+4 + cos a = ) x ( −2 2− D ) x =1 3a + 2a = Khi giá Lời giải Chọn B Ta có ( 26 + 15 ) ( ) 3x ( ) 4x ⇔ 2+ ⇔ 2+ ( ⇔ 2+ ( ⇔ 2+ Bài tập Gọi A ) ) x x ( +2 7+4 x ( −2 2− ( ) ( ) − ( + 3) +2 2+ + 2+ 3x ) 2x ( −2 2+ 3x ( − 1 + ) x x ) −x ) x =1 =1 −2=0 + 2 = = ⇔ x = ⇒ a = ⇒ sin a + cos a = tập tất giá trị thực tham số x.2 x = x ( x − m + 1) + m ( x − 1) A m cho tập nghiệm phương trình có hai phần tử Tìm số phần tử C B Vô số A D Lời giải Chọn D Xét phương trình x.2 x = x ( x − m + 1) + m ( x − 1) x = m ⇔ x ⇔ ( x − m ) ( − x − 1) = 2 = x + x Mà phương trình 2x = x + có hai nghiệm x = x =1 ; Thật vậy: dựa vào hình vẽ Trang 34 Với Với x≤0 < x 0, ∀x f ′( x) Từ khoảng đồng biến ( −1;0 ) D mà f ( x) = suy phương trình vào TABLE casio (START Dựa vào TABLE ta −10 f ′ ( −1) f ′ ( ) < END 10 nên f ′( x) = có nghiệm có nhiều hai nghiệm, mặt khác nhập hàm số STEP ), ta được: f ( −7 ) f ( −6 ) < f ( ) f ( 1) < Vậy phương trình cho có hai nghiệm hai khoảng ( −7; −6 ) ( 0;1) Chú ý: Máy tính hiển thị “Insufficient MEM” tiến hành cài đặt để không xuất cách bấm SHIFT MODE mũi tên xuống, Bài tập Tập nghiệm phương trình A { 1} B { 4} , log ( x − x − ) + x = log ( x + ) + g ( x) { 3} C Lời giải là: D { 2} Chọn B x2 − x − > ⇔ x > x + > Điều kiện: Phương trình cho tương đương với Trang 36 log ( x + ) ( x − 3) + x = log ( x + ) + ⇔ log( x − 3) = − x ( *) Vế trái phương trình cuối hàm tăng, vế phải hàm giảm nên nghiệm phương trình(nếu có) x = Bằng cách nhẩm nghiệm ta chọn kết log x = 3log y = 3log ( x + y ) T = x− y x y Bài tập Cho , số thực thỏa Tìm giá trị T = 28 T = 34 T = 30 T = 22 A B C D Lời giải Chọn A x = 8t t ⇒ y = 6t 4 x + y = 10t ⇔ ÷ log x = 3log y = 3log ( x + y ) = 3t 5 ⇒ 8t + 6t = 10t t 3 + ÷ =1 ( 1) 5 Đặt Nhận xét: t=2 nghiệm phương trình t t 2 t t 2 ( 1) 4 3 4 3 ÷ + ÷ < ÷ + ÷ =1 ( 1) t > 5 5 5 5 t>2 Với : Vậy khơng nghiệm phương trình 4 3 4 3 ÷ + ÷ > ÷ + ÷ =1 ( 1) t < 5 5 5 5 t ∀x ∈ ¡ Ta có , Suy hàm số Hàm số y = x + 3x + x + + 2017 x + 2018 x g ( x ) = 2017 − x Mặt khác nghịch biến f ( ) = g ( ) = 2017 Do đó, phương trình ¡ đồng biến ¡ f ( x) = g ( x) Bài tập Tìm tất giá trị tham số có nghiệm a x=0 a = 3x − 3− x + 3− x x để phương trình có nghiệm Trang 38 A a∈¡ B −1 < a < C a>0 D không tồn a Lời giải Chọn A a = 3x − 3− x ⇔ a = ( 3x + 3− x ) ( 3x − 3− x ) −x ⇔ a = 32 x − 3−2 x ( 1) +3 x Ta có: f ( x ) = 32 x − 3−2 x Xét hàm số f ′ ( x ) = 2.32 x + 2.3−2 x > ∀x ∈ ¡ Có , Do đó, hàm số y = f ( x) đồng biến Suy với giá trị a Bài tập Số nghiệm phương trình A ( 1) ¡ ln có nghiệm x2 + x − ln ( x − ) = 2018 B C D Lời giải Chọn C f ( x) = Xét hàm số x2 + x − ln ( x − ) f ′( x) = x +1− Ta có 2x x −2 Nên suy hàm số f ′ ( 2) f ′ Mặ khác ; ( nghiệm ) ) ( 2x x −2 x2 + (x − 2) 2; +∞ ( ) ( nghiệm 2; +∞ ( −∞; − ) f ′ ( −3) f ′ ( −2 ) = − < b∈ ) đồng biến khoảng ) > 0, ∀x ∈ −∞; − ∪ ( ) = 1.( − ) < a ∈ −∞; − với f ′′ ( x ) = + f ′( x) = x + 1− ( x ∈ −∞; − ∪ ( 2; +∞ ) nên f ′( x) ( 2; +∞ ) có Trang 39 Ta có bảng biến thiên ( ) f ( a) < f − = Ta có Bài tập Tìm số thực A a = −6 a − < 2018 để phương trình: B f ( b) < f x + = a3x cos ( π x ) a=6 C ( ) = 32 + < 2018 , có nghiệm thực a = −3 D a =3 Hướng dẫn giải Chọn A Giả sử Khi x0 nghiệm phương trình Ta có − x0 Thật x0 + = a.3x0 cos(π x0 ) nghiệm phương trình 81 92− x0 + = a32− x0 cos π ( − x0 ) ⇔ x0 + = a 3x0 cos ( π x0 ) ⇔ x0 + = a.3x0 cos ( π x0 ) Vậy phương trình có nghiệm Với x0 = ⇒ a = −6 x0 = − x0 ⇔ x0 = Ngược lại, với 3x + + + a = −6 , phương trình x x + = −6.3x cos ( π x ) ⇔ + 3x = −6 cos ( π x ) ≥6 3x −6 cos ( π x ) ≤ Khi dấu Vậy "=" xảy x0 + = a.3x0 cos(π x0 ) x 3 + x = cos π x = −1 ⇔ x = có nghiệm a = −6 Trang 40 Bài tập Có giá trị nguyên tham số e x + y +1 − e3 x + y = x + y − A m để tồn cặp số ( x; y ) thỏa mãn log 22 ( x + y − 1) − ( m + ) log x + m + = , đồng thời thỏa mãn B C Lời giải D Chọn A Ta có: e x + y +1 − e3 x + y = x + y − ⇔ e Xét hàm số f ( t ) = et + t Do phương trình có dạng: ¡ x + y +1 Ta có Đặt f ′ ( t ) = et + > , phương trình có dạng: Để phương trình có nghiệm Bài tập 10 số nguyên m t − ( m + 4) t + m2 + = ∆ ≥ ⇔ −3m + 8m ≥ ⇔0≤m≤ m để tồn cặp số ( x; y ) thỏa mãn log 32 ( x + y − 1) − ( m + ) log x + m + = e3 x +5 y − e x + y +1 = − x − y , đồng thời thỏa mãn B C Lời giải A ¡ thỏa mãn Có giá trị nguyên tham số nên hàm số đồng biến log 22 x − ( m + ) log x + m + = Do có f ( x + y + 1) = f ( 3x + y ) ⇔ x + y + = x + y ⇔ y = − x Thế vào phương trình cịn lại ta được: t = log x + ( x + y + 1) = e3 x + y + ( 3x + y ) D Chọn B Ta có: x +5 y + ( x + y ) = e x +3 y +1 + ( x + y + 1) e3 x +5 y − e x +3 y +1 = − x − y ⇔ e Xét hàm số f ( t ) = et + t Do phương trình có dạng: ¡ Ta có f ′ ( t ) = et + > nên hàm số đồng biến ¡ f ( 3x + y ) = f ( x + y + 1) ⇔ x + y = x + y + ⇔ y = − x Trang 41 Thế vào phương trình cịn lại ta được: Đặt t = log x , phương trình có dạng: Để phương trình có nghiệm Do có x0 = Bài tập 11 Gọi Giá trị A P=6 số nguyên a+b c m t − ( m + 6) t + m2 + = ∆ ≥ ⇔ −3m + 12m ≥ ⇔ ≤ m ≤ thỏa mãn nghiệm lớn P = a +b+c log 32 x − ( m + ) log x + m + = phương trình 2x ( 3) x 1− x 1 − ÷ + 1 = x − 3 B P=0 C P=2 D P=4 Lời giải Chọn D Điều kiện xác định: 2x ( 3) ⇔ 32 x + ( 1) ⇔ x x≠0 1− x 1 − ÷ + 1 2x ⇔ − 3x −1 + = x − 3 = x − 2x = 3x −1 + x − ( 1) 2x Xét hàm số , f ′ ( t ) = 3t.ln + > f ÷ = f ( x − 1) ⇔ = x − ⇔ x = ± 2x 2x ⇒ a =1 b =1 c = P=4 , , Vậy Bài tập 12 Tìm tất giá trị tham số A f ( t ) = 3t + t ( t ≠ ) m≥0 B m >1 m ln ( m + ln ( m + x ) ) = x để phương trình C m e− m − m ( 1) ta ey − m = x Thay vào ( 1) ta e x − m = y ⇒ ex − e y = y − x ⇒ ex + x = e y + y y e − m = x nên suy x = y ⇒ x = ln ( x + m ) ⇔ e x − x = m ln ( m + y ) = x ⇔ e x − m = y Do hàm số f ( t ) = et + t đồng biến g ( x ) = ex − x g′ ( x ) = ex −1 g′ ( x ) = ⇔ x = Xét hàm số ; ; BBT Suy phương trình có nhiều hai nghiệm Bài tập 13 Có số nguyên m ⇔ m >1 (chú ý nghiệm thỏa điều kiện) để phương trình 3x + 3x + m + log = x2 − 5x + − m 2x − x +1 Có hai nghiệm phân biệt lớn A B Vô số C D Lời giải Chọn C Điều kiện: 3x + 3x + m + > Ta có: x + 3x + m + 3x + x + m + ⇔ log ÷− = x − x + − m 2 log = x − 5x + − m 2x − x +1 2x − x +1 Trang 43 ⇔ log 3x + 3x + m + = x2 − 5x + − m 4x − 2x + ⇔ log ( x + 3x + m + 1) − log ( x − x + ) = ( x − x + ) − ( 3x + 3x + m + 1) ⇔ log ( x + 3x + m + 1) + ( x + x + m + 1) = log ( x − x + ) + ( x − x + ) Xét hàm số: f ( t ) = t + log t Do hàm số Suy ra: ( 1) ⇔ f ( t) ( 0; +∞ ) đồng biến f ′( t ) = 1+ , ta có ( 0; +∞ ) > ∀t ∈ ( 0; +∞ ) t.ln , f ( x − x + ) = f ( x + 3x + m + 1) ⇔ x − x + = 3x + 3x + m + ⇔ x − x = m − ( ) Xét hàm số: ( 1) g ( x ) = x2 − x ¡ Điều với g′ ( x) = 2x − = ⇔ x = , ta có x∈¡ Bảng biến thiên: - Theo bảng biến thiên ta thấy: phương trình − 25 21 < m − < −4 ⇔ − < m < −3 4 Do m∈¢ Vậy có nên m ∈ { −5; −4} ( 2) có hai nghiệm phân biệt lớn m giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu toán ) ( ) ( ) ( log x − x − log x − x − = log m x + x − Bài tập 14 Cho phương trình trị nguyên dương khác A Vô số B m cho phương trình cho có nghiệm C x Có giá lớn ? D Lời giải Trang 44 Chọn D x > x2 − ⇔ x ≥ Điều kiện xác định: ( t = log x − x − Đặt = −1 x − ln ) x 1− t′ = x2 −1 − x x −1 = x − x2 − x − x − ln 2 ( ) x − ln ⇒ t < log 2 − ) t.log 2t = log m Phương trình trở thành log m < − ( log 2 − Ycbt ) ⇔m0 điều kiện: u = 27v + 3m (1) trở thành 3m + 27.2 x = v ⇒ v3 = 3m + 27.u ( 1) ( 2) ( 3) Trang 45 Từ (3) (2) suy u − 27v = v − 27u ⇔ ( u − v ) ( u + uv + v + 27 ) = ⇔ u = v Do 3v u + uv + v + = u + v ÷ + + 27 > 0, ∀u, v ∈ ¡ , 3m + 27u = u ⇔ m = f ( u) = Xét hàm số f ′( u) = Ta có u − 27u , u − 27u với với u > u > 3u − 27 ) ; f ′ ( u ) = ⇔ u = ( f ( u ) = −54 Suy nên u > ( 0;+∞ ) Do có vơ số giá trị ngun m để phương trình có nghiệm thực x − m.2 x + 2m − = Bài tập 16 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có hai nghiệm trái dấu? A Vơ số B C D Hướng dẫn giải Chọn C x − m.2 x + 2m − = ⇔ ( x ) − m.2 x + 2m − = Ta có Đặt t = x , t > 0, phương trình thành f ( t ) = t − mt + 2m − t − mt + 2m − = ( ) Đặt x1 < < x2 ta tìm nghiệm x nên để phương trình có hai nghiệm t2 > t1 > t1 < < t2 x1 < 20 < x2 phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt đồng thời (vì ) Từ đó, ta có: m − 8m + 20 > ∆>0 m − ( 2m − ) > P > 2m − > m> ⇔ ⇔ ⇔ < m < m>0 S >0 m>0 1 f ( t ) < 1 ( − m + m − ) < m0 Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa đề Trang 46 Bài tập 17 Có giá trị nguyên dương tham số m để phương trình nghiệm nhất? A B Vô số C D 2 x + = m x + ( *) có Hướng dẫn giải Chọn D ( *) ⇔ t + = m t = , t > 0, x Đặt t +1 ⇔ m = t +3 ( 1) t2 +1 phương trình t +3 f ( t) = D = ( 0; +∞ ) t2 +1 Xét hàm số xác định tập − 3t f ′( t ) = f ′ ( t ) = ⇔ − 3t = ⇔ t = ( t + 1) t + Ta có Cho Bảng biến thiên x −∞ y′ + 10 y +∞ − Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với giá trị nguyên tham số m 1< m ≤ m = 10 phương trình có nghiệm nên có hai 2.4 Bài tập 18 Có giá trị nguyên dương tham số m để phương trình có nghiệm? A B C D x −1 − 5.2 x −1 + m = 0, ( *) Hướng dẫn giải Chọn A Đặt t=2 Khi x −1 t≥ , điều kiện ( *) ⇔ 2t − 5t = −m y = −2t + 5t Xét hàm số x − ≥ −1 1 ; +∞ ÷ Trang 47 Ta có y′ = −4t + x Cho y′ = ⇔ 4t − = ⇔ t = −∞ y′ + y m≤ Do phương trình có nghiệm 25 +∞ − −∞ 25 Trang 48 ... thực phương trình Bài tập Tích nghiệm phương trình A 25 B 630 6 25 log x ( 1 25 x ) log 2 25 x = C 1 25 D 630 Lời giải Chọn C Điều kiện: < x ≠1 , ta có: log x ( 1 25 x ) log 2 25 x = ⇔ log 2 25 x... 2 25 x + log 2 25 x.log x 1 25 = ⇔ log 25 x + log 25 x − = x = log 25 x = ⇔ ⇔ x = 12 log x = − 25 25 Vậy tích nghiệm phương trình là: log x + log x = Bài tập Phương trình A Có hai... ( x)] = (Ít gặp) Phương pháp đưa phương trình loga số log a M = log a N ⇔ M = N Biến đổi phương trình để đưa dạng nêu dạng: Bài tập Bài tập Tìm tích số tất nghiệm thực phương trình A −1 − B
Ngày đăng: 01/11/2022, 10:04
Xem thêm:
