BÀI 4 TIỆM cận

BÀI TIỆM CẬN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Đường thẳng y  y0 gọi đường tiệm cận ngang (gọi tắt tiệm cận ngang) đồ thị hàm số f  x   y0 lim  y0 y  f  x  xlim x   Đường thẳng x  x0 gọi đường tiệm cận đứng (gọi tắt tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y  f  x  điều kiện sau thỏa mãn: lim f  x   ; lim f  x    ; x  x0 x  x0 lim f  x   ; lim f  x    x  x0 x  x0 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Xác định đường tiệm cận dựa vào định nghĩa Phương pháp giải Tiệm cận ngang f  x   y0 Đường thẳng y  y0 đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  f  x  xlim  lim f  x   y0 x  Tiệm cận đứng Đường thẳng x  x0 đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  f  x  điều kiện sau thỏa mãn: Trang 143 lim f  x   ; lim f  x    ; lim f  x   ; lim f  x    x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 Bài tập Bài tập 1: Các đường tiệm cận đồ thị hàm số y  2x  tạo với hai trục tọa độ hình chữ nhật có x 1 diện tích A (đvdt) B (đvdt) C (đvdt) D (đvdt) Hướng dẫn giải Chọn A Tập xác định D  ¡ \  1 Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  tiệm cận ngang y  Khi hình chữ nhật tạo hai đường tiệm cận hai trục tọa độ có kích thước nên có diện tích S  1.2  (đvdt) Bài tập 2: Biết đường tiệm cận đường cong  C  : y  x   x2  trục tung cắt tạo x5 thành đa giác  H  Mệnh đề đúng? A  H  hình chữ nhật có diện tích B  H  hình vng có diện tích C  H  hình vng có diện tích 25 D  H  hình chữ nhật có diện tích 10 Hướng dẫn giải Chọn D   Tập xác định ;     2;   \  5 x   x2    y  tiệm cận ngang  C  x  x5 Ta có lim y  lim x  6x   x2    y  tiệm cận ngang  C  x  x5 lim y  lim x  lim y  ; lim    x  tiệm cận đứng  C  x5 x  5 Vậy đồ thị có ba đường tiệm cận y  5; y  7; x  với trục tung tạo thành hình chữ nhật có kích thước  nên có diện tích 10 Dạng 2: Tiệm cận đồ thị hàm số y  ax  b cx  d Phương pháp giải Để tồn đường tiệm cận đồ thị hàm số y  ax  b c  ad  bc  cx  d Khi phương trình đường tiệm cận Trang 144 + Tiệm cận đứng x   + Tiệm cận ngang y  d c a c Bài tập Bài tập 1: Giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số y   2m  1 x  xm có đường tiệm cận ngang y  A m  B m  C m  D m  Hướng dẫn giải Chọn C Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận m  2m  1    2m  m    m  ¡ Phương trình đường tiệm cận ngang y  2m  nên có 2m    m  Bài tập 2: Tập hợp giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  A ¡ B ¡ \  0 C ¡ \  1 x 1 có tiệm cận đứng mx  D ¡ \  0; 1 Hướng dẫn giải Chọn D m  m   Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận   1  m  m  Bài tập Tập hợp giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  A ¡  B 0;  1  3 1  C   3 x3 khơng có tiệm cận đứng mx  D  0 Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện để đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng m  m    1  3m    m    ax  b Biết đồ thị hàm số cho qua điềm A  0;  1 có đường tiệm x 1 cận ngang y  Giá trị a  b Bài tập 4: Cho hàm số y  A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận a  b  Trang 145 Do đồ thị hàm số qua điểm A  0;  1 nên b  1 Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y  a  a  (thỏa mãn điều kiện) Vậy a  b  Bài tập 5: Biết đồ thị hàm số y   a  3 x  a  2019 x   b  3 nhận trục hoành làm tiệm cận ngang trục tung làm tiệm cận đứng Khi giá trị a  b A B -3 C D Hướng dẫn giải Chọn D Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận   a  3  b  3   a  2019   Phương trình đường tiệm cận x  b  b   b  3   (thỏa mãn điều kiện)   y  a  a   a  Vậy a  b  Bài tập 6: Giá trị thực tham số m để đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  x 1 qua điểm 2x  m A  1;  A m  B m  2 C m  4 D m  Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận m    m  Đường tiệm cận đứng x   m m     m  2 (thỏa mãn) 2 mx  với tham số m  Giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị hàm x  2m số thuộc đường thẳng đây? Bài tập 7: Cho hàm số y  A x  y  B x  y  C x  y  D y  x Hướng dẫn giải Chọn C Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận 2m    m  ¡ Phương trình đường tiệm cận x  2m; y  m nên tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận I  2m; m  thuộc đường thẳng x  y Bài tập 8: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  4x  có tiệm cận đứng nằm bên xm phải trục tung A m  m  B m  Trang 146 C m  m  D m  Hướng dẫn giải Chọn A Điêu kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận 4m    m  Phương trình đường tiệm cận đứng x  m Để tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung m  m   Vậy điều kiện cần tìm   m  Dạng 3: Tiệm cận đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ Phương pháp giải - Tiệm cận đồ thị hàm số y  - Đồ thị hàm số y  A với A số thực khác f  x  đa thức bậc n  f  x A ln có tiệm cận ngang y  f  x - Đường thẳng x  x0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  A x0 nghiệm f  x f  x  hay f  x0   - Tiệm cận đồ thị hàm số y  - Điều kiện để đồ thị hàm số y  f  x g  x f  x g  x với f  x  , g  x  đa thức bậc khác có tiệm cận ngang bậc f  x   bậc g  x  - Điều kiện để đường thẳng x  x0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  f  x g  x x0 nghiệm g  x  không nghiệm f  x  x0 nghiệm bội n g  x  , đồng thời nghiệm bội m f  x  m  n Bài tập Bài tập 1: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  A m  B m  C m  mx  x  có tiệm cận đứng 2x  D m  8 Hướng dẫn giải Chọn D Trang 147  1 Tập xác định D  ¡ \   Đặt g  x   mx  x    Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x   khơng nghiệm g  x  m  1  g         m  8  2 Bài tập 2: Biết đồ thị hàm số y  đứng, giá trị m  n A x 1 (m, n tham số) nhận đường thẳng x  tiệm cận x  2mx  n  B 10 C -4 D -7 Hướng dẫn giải Chọn C Điều kiện: x  2mx  n   Đặt g  x   x  2mx  n  Do x  nghiệm f  x   x  nên đồ thị hàm số cho nhận đường thẳng x  tiệm cận đứng x  phải nghiệm kép phương trình  g  1  2m  n    n  2m  m  g  x        2  n  5  m  2m      m  n   Vậy m  n  4 Bài tập 3: Biết đồ thị hàm số y  Giá trị m  n A B  2m  n  x  mx  x  mx  n  nhận trục hoành trục tung làm hai tiệm cận C D -6 Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện x  mx  n   Phương trình đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  2m  n  2m  n  (1) 2 Đặt f  x   (2m  n) x  mx  g  x   x  mx  n  Nhận thấy f    với m, n nên đồ thị nhận trục tung x  tiệm cận đứng g     n    n  Kết hợp với (1) suy m  Vậy m  n  ax  x  có đồ thị  C  (a, b số thực dương ab  ) Biết x  bx   C  có tiệm cận ngang y  c có tiệm cận đứng Giá trị tổng T  3a  b  24c Bài tập 4: Cho hàm số y  A B C D 11 Hướng dẫn giải Chọn D Trang 148 Điều kiện x  bx   Phương trình tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  a a  c 4 Đồ thị  C  có tiệm cận đứng nên ta có trường hợp sau: Trường hợp 1: Phương trình x  bx   có nghiệm kép x  x0 khơng nghiệm ax  bx    b  144   b  12 Vì b  nên b  12  a  1 c 12 x  x 1 Thử lại ta có hàm số (thỏa mãn) y x  12 x  1 Vậy T   12  24  11 12 Trường hợp 2: x  bx   có hai nghiệm phân biệt hai nghiệm thỏa mãn ax  x   Điều khơng xảy ab  Chú ý: a; b > nên mẫu số (nếu có) hai nghiệm âm, tử số hai nghiệm trái dấu Dạng Tiệm cận đồ thị hàm số vô tỷ Cho hàm số vô tỷ y  f  x  - Tìm tập xác định D hàm số - Để tồn tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  f  x  tập xác định D hàm số phải chứa y lim y hữu hai kí hiệu -∞ +∞ tồn hai giới hạn xlim  x  hạn Bài tập Bài tập 1: Biết đồ thị hàm số y  x  ax  bx  có tiệm cận ngang y  1 Giá trị 2a  b3 A 56 B -56 C -72 D 72 Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện ax  bx   Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang a  Khi đó, ta có   lim y  lim x  ax  bx    x  x   lim y  lim x  ax  bx   lim x  x x  a   x  bx  ax  bx   x  1 Trang 149 a     b    a   1  a  b  Vậy 2a  b  56  y  1 bậc tử phải bậc mẫu nên phải có a   Khi lim y  Chú ý: Để xlim  x  Bài tập 2: Có giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  b  a2 mx  x  x  có đường 2x  tiệm cận ngang y  ? A B Vô số C D Hướng dẫn giải Chọn D 1  Tập xác định D  ¡ \   2 Ta có lim y  x  m 1 m 1 ; lim y  x  2 m 1  2 m   Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y    m   m 1   Dạng 5: Biết đồ thị, bảng biến thiên hàm số y  f  x  , xác định tiệm cận đồ thị hàm số A y với A số thực khác 0, g  x  xác định theo f  x  g  x Phương pháp giải - Xác định tiệm cận đứng: + Số tiệm cận đồ thị hàm số y  A số nghiệm phương trình g  x   g  x + Dựa vào đồ thị, bảng biến thiên hàm số y  f  x  để xác định số nghiệm phương trình g  x   để suy số đường tiệm cận đứng - Xác định tiệm cận ngang: dựa vào nhánh vô tận đồ thị, bảng biến thiên hàm số để xác định Bài tập Bài tập Cho hàm số y  f  x  liên tục ¡ có bảng biến thiên hình vẽ Trang 150 Tổng số đường tiệm cận hàm số y  A B f  x 1 C D Hướng dẫn giải Chọn D Số đường tiệm cận đứng đồ thị số nghiệm phương trình f  x     f  x   1 Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số y  có f  x 1 hai đường tiệm cận đứng Ta có xlim  1 1 1   ; lim   nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận x  f  x 1 1 f  x 1 11 ngang y  1 y  Vậy đồ thị hàm số y  có bốn đường tiệm cận f  x 1 Bài tập Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục ¡ có bảng biến thiên hình vẽ bên Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  A B f  x  x  3 C D Hướng dẫn giải Chọn A Đặt t  x  x , ta có x   t   x   t   Trang 151 Mặt khác ta có t   3x   0, x  ¡ nên với t  ¡ phương trình x  x  t có nghiệm x Số đường tiệm cận đứng đồ thị số nghiệm phương trình f  t     f  t   3 Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm nên đồ thị hàm số y  f  x  x  3 có tiệm cận đứng Ta có xlim  y 1 1  lim  lim  lim  nên đồ thị hàm số ; x  f x  x  t  f  t   f  x  x   t  f  t     có tiệm cận ngang y  f  x  x  3 Vậy đồ thị có hai đường tiệm cận Bài tập Cho hàm số bậc ba f  x   ax  bx  cx  d  a, b, c, d  ¡ Đồ thị hàm số g  x   A  có đồ thị hình vẽ có đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang? f   x2   B C D Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t   x , ta có x   t   g  x   lim Khi xlim  t   nên y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số g  x  f  t 3 Mặt khác f   x     f   x 2    x  2 x   3    x  4  x   Đồ thị hàm số g  x  có ba đường tiệm cận đứng Vậy đồ thị hàm số g  x  có bốn đường tiệm cận Trang 152 Xét phương trình mx  3mx   - Nếu   9m  8m    m  Hàm số xác định ¡ Khi mx  3mx   0, x  ¡ nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng mà có hai tiệm cận ngang y   1 1   xlim xlim   m m m - Nếu   9m  8m   m  Khi đó, hàm số trở thành y  3 x  2 x  24 x  18  3 x  2 2x  nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng hai tiệm cận ngang - Nếu   9m  8m   m  Nếu x  nghiệm Hàm số xác định khoảng  ; x1   x2 ;   Khi đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang y   m phương trình g  x   , phương trình g  x   có hai nghiệm phân biệt Để đồ thị hàm số cho có bốn đường tiệm cận đồ thị hàm số phải nên có hai đường tiệm cận đứng g  x   có nghiệm Vì x  nghiệm tử f  x   x  nên để đồ thị có hai tiệm cận đứng x 1 khơng phải nghiệm phương trình phương trình x  a 1 g  x   m  x  1  x  a  mx  3mx    m  3m    m  Khi hàm số có dạng  m  Vậy giá trị m cần tìm   m  y x 1 m  x  1  x  a  nên có tiệm cận đứng x  a Bài tập Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y  1 x 1 x    m  x  2m có hai tiệm cận đứng? A B C D Hướng dẫn giải Chọn B  x  1 Điều kiện   x    m  x  2m  Trang 163 Đặt f  x   x    m  x  2m Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng phương trình f  x   có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  1 Trường hợp f  x  có nghiệm x  1  f  1   m  2 Khi hàm số có dạng y  1 x 1 x  3x  có tập xác định D   4;   nên có tiệm cận đứng    Trường hợp f  x  có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  1   x1  1  x2  1   x  x  2  m      m   8m  m       2m   m      2  m   1  m  2  m  2  m  Do m  ¢ nên m  1; m  Dạng 9: Biện luận số đường tiệm cận đồ thị hàm ẩn Bài tập Cho hàm số y  f  x  liên tục ¡ y  f   x  có bảng biến thiên sau Đồ thị hàm số g  x   2020 có nhiều đường tiệm cận đứng? f  x  m A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Điều kiện f  x   m Để đồ thị hàm số g  x   2020 có đường tiệm cận đứng phương trình f  x   m phải có nghiệm f  x  m Trang 164 x  a Từ bảng biến thiên hàm số y  f   x  suy phương trình f   x   có hai nghiệm  x  b với 1  a   b Từ ta có bảng biến thiên hàm số y  f  x  sau Suy phương trình y  f  x  có nhiều ba nghiệm phân biệt Vậy đồ thị hàm số g  x   2020 có nhiều ba đường tiệm cận đứng f  x  m Bài tập Cho hàm số g  x   2020 với h  x   mx  nx  px  qx  m, n, p, q  ¡ , m   , h  x  m  m h    Hàm số y  h   x  có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số g  x  có hai tiệm cận đứng? A B 11 C 71 D 2019 Hướng dẫn giải Chọn B Từ đồ thị suy h   x   m  x  1  x    x  3  m  x  13x  x  15  m0 nên 13   h  x   m  x  x  x  15x  h      Trang 165 Đồ thị g  x  có hai đường tiệm cận đứng  phương trình h  x   m  m có hai nghiệm phân biệt  x4  13 x  x  15 x  m  có hai nghiệm phân biệt Đặt f  x   x  13 x  x  15 x Ta có bảng biến thiên f  x  sau  32   35  ;1  m   ;0  Vì m  nên m        Vậy có 11 số nguyên m Bài tập Cho hàm số y  f  x  hàm số bậc Đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ f  1  20 Đồ thị hàm số g  x   A m  f  3 f  x   20 f  x  m (m tham số thực) có bốn tiệm cận B f  3  m  f  1 C m  f  1 D f  3  m  f  1 Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện f  x   m Từ đồ thị hàm số f   x  , ta có bảng biến thiên hàm số f  x  Trang 166 - Nếu m  20 đồ thị hàm số khơng có đủ bốn tiệm cận - Nếu m  20 xlim  f  x   20 f  x  m   Đường thẳng y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số Ta có phương trình f  x   20 có nghiệm x  a  f  1  20 Suy đồ thị hàm số g  x  có bốn tiệm cận phương trình f  x   m có ba nghiệm phân biệt khác a  f  3  m  f  1 f  x   ; lim f  x    Có giá trị Bài tập Cho hàm số f  x  liên tục ¡ xlim  x  nguyên tham số m thuộc  2020; 2020 để đồ thị hàm số g  x   x  3x  x f  x  f  x  m có tiệm cận ngang nằm bên đường thẳng y  1 A B C D Hướng dẫn giải Chọn C  x  3; x   Điều kiện 0  f  x     f  x   f  x   m  f  x    nên x   f  x   f  x    Do xlim  f  x   f  x  khơng có nghĩa g  x x đủ lớn Do khơng tồn xlim  g  x Xét xlim  f  x   nên lim f  x   f  x   Vì xlim  x  lim x  Từ lim g  x   x    x  x  x  lim lim  f  x   f  x    ; x  x        1  x    3 với m  1 2m  Trang 167 Khi đồ thị hàm số g  x  có tiệm cận ngang đường thẳng y  3 2m  Để tiệm cận ngang tìm nằm đường thẳng y  1 3  1  1  m  2m  2 Vì m  ¢ nên m  Dạng 10: Bài toán liên quan đến đường tiệm cận đồ thị hàm số y  ax  b cx  d Phương pháp giải Đồ thị hàm số y  ax  b có đường tiệm cận ad  bc  0, c  cx  d Khi đó, phương trình đường tiệm cận đứng x   Phương trình đường tiệm cận ngang y  d c a c  d a - Tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận điểm I   ;  tâm đối xứng đồ thị  c c - Hai đường tiệm cận đồ thị hàm số với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có kích thước  d a nên có chu vi c c d a ad C     diện tích S  c  c  c Bài tập mẫu Bài tập Giá trị tham số m để đồ thị hàm số y   mx  có đường tiệm cận đứng qua điểm 2x  m  A 1; A m  2 B m  C m  D m  1 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có ad  bc  m   0, m nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng đường thẳng x     Để tiệm cận đứng qua điểm A 1;  m m  1  m  Bài tập Các đường tiệm cận đồ thị hàm số y  2x  tạo với hai trục tọa độ hình chữ nhật có x 1 diện tích Trang 168 A (đvdt) B (đvdt) C (đvdt) D (đvdt) Hướng dẫn giải Chọn D Phương trình đường tiệm cận x  1; y  Do hai đường tiệm cận hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật diện tích 1.2 = (đvdt) Bài tập Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  2mx  m có đường tiệm cận đứng, x 1 tiệm cận ngang đồ thị hàm số hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích A m  2 C m   B m  D m  4 Hướng dẫn giải Chọn D Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận 2m  m   m  Khi phương trình hai đường tiệm cận x  y  2m Theo công thức tính diện tích hình chữ nhật tạo hai tiệm cận hai trục tọa độ, ta có S  2m Theo giả thiết 2m   m  4 Bài tập Cho đồ thị hai hàm số f  x   2x  ax  1 g  x   với a  Tất giá trị thực x 1 x2 dương tham số a để tiệm cận hai đồ thị hàm số tạo thành hình chữ nhật có diện tích A a  B a  C a  D a  Hướng dẫn giải Chọn A Đồ thị hàm số f  x   2x  có hai đường tiệm cận x  1 y  x 1 Điều kiện để đồ thị hàm số g  x   ax  1 có tiệm cận 2a    a  x2 Với điều kiện đồ thị hàm số g  x  có hai đường tiệm cận x  2 y  a Hình chữ nhật tạo thành từ bốn đường tiệm cận hai đồ thị có hai kích thước a  a  Theo giả thiết, ta có a      a  2 Vì a  nên a  Trang 169 Bài tập Cho hàm số y  x 1 có đồ thị  C  Hai đường tiệm cận  C  cắt I Đường thẳng x 1 d : y  x  b (b tham số thực) cắt đồ thị  C  hai điểm phân biệt A, B Biết b  diện tích tam giác AIB 15 Giá trị b A -1 B -3 C -2 D -4 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có tọa độ điểm I  1;1 Phương trình hồnh độ giao điểm  C  d  x  x 1  2x  b   x 1  f  x   x   b  3 x  b    * Đường thẳng d cắt đồ thị  C  hai điểm phân biệt f  x   có hai nghiệm phân biệt    b  2b  17    b  ¡ khác   f  1  2  Gọi x1 , x2 hai nghiệm (*) Khi A  x1 ; x1  b  , B  x2 ; x2  b  uu r uur Ta có IA   x1  1; x1  b  1 ; IB   x2  1; x2  b  1 Chú ý: Diện tích tam giác IAB S   x1  1  x2  b  1   x2  1  x1  b  1 - Với tam giác ABC có uuu r uuur AB   a; b  ; AC   c; d   1 b  2b  17 b  x  x  b    2 2 b  b  2b  17 Theo giả thiết  S ABC  15 - Nếu phương trình bậc hai ax  bx  c  có b  2 2   b  1  b  1  16   225   b  1      b  4 hai nghiệm phân biệt Do b  nên b  4   y     x  1  y  Biết đồ thị hàm số y   a có phương trình x1 , x2 x1  x2  Bài tập Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn  C1   C2   x  1 ad  bc 2 ax  b qua tâm  C1  , qua xc tâm  C2  có đường tiệm cận tiếp xúc với  C1   C2  Tổng a  b  c Trang 170 A B C D -1 Hướng dẫn giải Chọn C Đường trịn  C1  có tâm I1  1;  ; R1   C2  có tâm I  1;0  ; R2  Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận ac  b  Gọi  C  đồ thị hàm số y  ax  b xc Khi ta có đường tiệm cận  C  x  c y  a a  b c  1  c     a  b Ta có I1 , I   C     a  b   a  c   c   c   c0 Đường thẳng x  c tiếp xúc với  C1   C2  nên   c    a  b 1 Khi tiệm cận ngang  C  y  tiếp xúc với  C1  ,  C2  thỏa mãn toán Vậy a  b  1; c   a  b  c  Dạng 11: Bài toán khoảng cách từ điểm đồ thị hàm số y  ax  b đến đường tiệm cận cx  d Phương pháp giải Giả sử đồ thị hàm số y  ax  b 2x  có đường tiệm Bài tập: Xét hàm số y  có hai đường cx  d x 1 tiệm cận x  y  Khi tích d a cận 1 : x    : y  c c khoảng cách từ điểm M đồ thị đến  ax0  b  Gọi M  x0 ;  điểm đồ thị  cx0  d  Khi d1  d  M ; 1   x0  d2  d  M ; 2   cx  d d  c c hai đường tiệm cận d  2   1 ax0  b a ad  bc   cx0  d c c  cx0  d  Vậy ta ln có d1 d  ad  bc  K số c2 không đổi Khi d1  d  d1 d  K nên Trang 171  d1  d   K d1  d  cx0  d ad  bc    cx0  d   ad  bc c c  cx0  d  Bài tập Bài tập Gọi M giao điểm đồ thị y  2x  với trục hồnh Khi tích khoảng cách từ điểm 2x  M đến hai đường tiệm cận đồ thị hàm số cho A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Gọi d1 , d khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho Áp dụng công thức, ta có d1 d  Bài tập Cho hàm số y  62  2x   C  Gọi M điểm  C  , d tổng khoảng cách từ M đến x2 hai đường tiệm cận đồ thị Giá trị nhỏ d A 10 B C D Hướng dẫn giải Chọn C Gọi d1 , d khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho Áp dụng cơng thức, ta có d1 d  4   1 Khi d  d1  d  d1 d  Vậy d  Bài tập Cho hàm số y   3x có đồ thị  C  Điểm M có hồnh độ dương, nằm  C  cho 3 x khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang  C  Khoảng cách từ M đến tâm đối xứng  C  A B C D Hướng dẫn giải Chọn C  x0   Giả sử M  x0 ;   C   x0  0; x0  3 x0    Đồ thị  C  có tiệm cận đứng 1 : x  , tiệm cận ngang  : y  tâm đối xứng I  3;3 Trang 172 Khi d1  d  M ; 1   x0  d  d  M ;    Theo giả thiết d1  2d  x0   x0   x0  16   x0  (do x0  ) x0   x0  1 Vậy M  7;5   IM  Bài tập Cho hàm số y   H 4x  có đồ thị  H  Gọi M  x0 ; y0  với x0  điểm thuộc đồ thị x 1 thỏa mãn tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận  H  Giá trị biểu thức S   x0  y0  A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Đồ thị  H  có tiệm cận đứng 1 : x  1 tiệm cận ngang  : y   x0   Gọi M  x0 ;   H  , x0  1, x0  x0    Khi d1  d  M ; 1   x0  d  d  M ;     d1 d  x0  Ta có d1  d  d1 d  nên  d1  d   d1  d  x0    x0   x0   x0  4 Do x0  nên M  4;7   S  Dạng 12: Bài toán liên quan tiếp tuyến tiệm cận đồ thị hàm số y  ax  b cx  d Phương pháp giải Giả sử đồ thị hàm số y  Ta có dạng câu hỏi thường gặp sau ax  b có đồ thị  C  có cx  d Câu 1: Tính diện tích tam giác IAB đường tiệm cận 1 : x   d a ,  : y  c c  d a I   ;   c c  ax0  b  Gọi M  x0 ;  điểm đồ thị  cx0  d  S IAB  ad  bc 1 IA.IB   K 2 c2 Câu 2: Tìm điểm M   C  viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác vng có a) Cạnh huyền nhỏ Trang 173 Khi tiếp tuyến  C  M d:y ad  bc  cx0  d   x  x0   ax0  b cx0  d  d 2bc  ad  acx0  A   ; c  cx0  d   c   ad  bc   IA    c  cx0  d   B  d 2  cx0  d  d a   B  x0  ;   IB  c c c  ad  bc c Do IAB vuông I nên S IAB  đổi Dấu xảy IA  IB b) Chu vi nhỏ Ta có Gọi A  d   Do IA.IB  AB  IA2  IB  IA.IB  K  K số không đổi IA  IB  AB  IA.IB  IA.IB  K  K Dấu xảy IA  IB c) Bán kính đường trịn ngoại tiếp nhỏ Ta có R  AB  K Dấu xảy IA  IB d) Bán kính đường trịn nội tiếp lớn Ta có r  S K  p IA  IB  AB ad  bc 1 Vậy r lớn IA  IB  AB nhỏ IA.IB   K số không 2 c K  2K Dấu xảy IA  IB  x A  xB  xM Ngồi ra, ta có  nên M e) Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến lớn y  y  y  A B M Gọi H hình chiếu I lên d, ta có trung điểm AB 1 2 K  2    IH  IA.IB K IH IA IB Dấu xảy IA  IB Nhận xét: Các câu hỏi đẳng thức xảy IA  IB nên IAB vuông cân I Gọi  góc tiếp tuyến d tiệm cận ngang     d ;     d ; Ox   45 nên hệ số góc tiếp tuyến k   tan 45  1 Vậy toán câu ta quy toán viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y ax  b biết hệ số góc k  k  1 cx  d Bài tập Trang 174 2x  có đồ thị  C  Tiếp tuyến  C  điểm có hồnh độ thuộc x 1 Bài tập Cho hàm số y   C cắt đường tiệm cận  C  tạo thành tam giác có diện tích B  A C  2 D Hướng dẫn giải Chọn D Áp dụng công thức, ta có S  Bài tập Cho hàm số y  2  2 x 1 2x   C  Gọi I giao điểm hai tiệm cận đồ thị hàm số  C  Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến đồ thị  C  đạt giá trị lớn A B C D Hướng dẫn giải Chọn A 3 1 Tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận I  ;  2 2 Gọi A, B giao điểm tiếp tuyến d M   C  với hai đường tiệm cận Khi ta có IA.IB  ad  bc c2  3  Gọi H hình chiếu I d, ta có Vậy IH max   1 1 2      IH  IA.IB IH IA IB Bài tập Cho hàm số y  2x  có đồ thị  C  Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận  C  x2 Biết tiếp tuyến   C  M cắt đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang A B cho đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Khi đó, diện tích lớn tam giác tạo  hai trục tọa độ thuộc khoảng đây? A  28; 29  B  29;30  C  27; 28  D  26; 27  Hướng dẫn giải Chọn C Ta có y   3  x  2  Trang 175 Theo lý thuyết để diện tích đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB nhỏ AB nhỏ Khi hệ số góc tiếp tuyến  phải k  1 Do y   0, x nên k  1 Xét phương trình y   k  3  x  2 x    1    x     - Với x    y    Tiếp tuyến 1 : y   x      y  x            42 Khi 1 cắt Ox, Oy hai điểm M  3;0 , N 0;  SOMN   - Với x    y    tiếp tuyến 1 : y   x      y  x       Khi 1 cắt Ox, Oy hai điểm P  3;0 , N 0;  SOPQ  Bài tập Cho hàm số y  42 2  27,85 x 1 , gọi d tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ m  x2 Biết đường thẳng d cắt tiệm cận đứng đồ thị hàm số điểm A  x1 ; y1  cắt tiệm cận ngang đồ thị hàm số điểm B  x2 ; y2  Gọi S tập hợp số m cho x2  y1  5 Tổng bình phương phần tử S A B C D 10 Hướng dẫn giải Chọn D Điều kiện m    m  Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng  : x  2 tiệm cận ngang   : y  Ta có y    x  2  y  m  2  Phương trình đường thẳng d y  m3 y m  2  m2  m m3 x  m  2   m m m6  A  d    A  2;  ; B  d     B  2m  2;1 m   Do x2  y1  5  2m   m6  5  m  m    m m   m  3  Vậy S   3  12  10 Trang 176 Trang 177 ... phương trình đường tiệm cận Trang 144 + Tiệm cận đứng x   + Tiệm cận ngang y  d c a c Bài tập Bài tập 1: Giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số y   2m  1 x  xm có đường tiệm cận ngang y ... C  có tiệm cận ngang y  c có tiệm cận đứng Giá trị tổng T  3a  b  24c Bài tập 4: Cho hàm số y  A B C D 11 Hướng dẫn giải Chọn D Trang 148 Điều kiện x  bx   Phương trình tiệm cận ngang... số có đường tiệm cận đứng x  tiệm cận ngang y  Khi hình chữ nhật tạo hai đường tiệm cận hai trục tọa độ có kích thước nên có diện tích S  1.2  (đvdt) Bài tập 2: Biết đường tiệm cận đường cong