BÀI 4 TIỆM cận

BÀI TIỆM CẬN MỤC TIÊU Kiến thức: - Nắm khái niệm đường tiệm cận đồ thị hàm số, khái niệm đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang đồ thị hàm số - Nhận biết đồ thị hàm số có tiệm cận - Nắm tính chất đường tiệm cận với đồ thị hàm số Kĩ năng: - Biết cách xác định phương trình đường tiệm cận hàm số cho Công thức, cho bảng biến thiên - Biện luận số đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang đồ thị hàm số chứa tham số - Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số ẩn - Áp dụng tính chất đường tiệm cận vào toán liên quan I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Đường thẳng y = y0 gọi đường tiệm cận ngang (gọi tắt tiệm cận ngang) đồ thị hàm số y = f(x) lim f  x   y0 , lim f  x   y0 x  x  Đường thẳng x  x0 gọi đường tiệm cận đứng (gọi tắt tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y  f  x  điều kiện sau thỏa mãn: lim f ( x)  ; lim f ( x)   ; lim f ( x)  ; lim f ( x)   x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số biết biểu thức, bảng biến thiên, đồ thị Bài toán Xác định đường tiệm cận dựa vào định nghĩa ►Phương pháp giải Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận Tiệm cận ngang Đường thẳng y  y0 , đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f(x) lim f  x   y0 , x  lim f  x   y0 x  Hướng dẫn giải Do lim f ( x)   nên đồ thị hàm số Có tiệm cận đứng x = -1 x 1 Chọn C Ví dụ : Cho hàm số y = f(x) có lim f ( x)  lim f ( x)  1 x  x  Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận ngang , ta có phương trình đường tiệm caanjcuar đồ thị hàm số y=f(x) y = y = -1 Bài toán Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên đồ thị hàm số ►Phương pháp giải Dựa vào bảng biến thiên hàm số y=f(x) xác định phương trình đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = f(x) Chú ý: - Ứng với điểm x  x0 , bảng biến thiên dịng y phải ghi kí hiệu –  +  (không phải giá trị cụ thể) đường thẳng x  x0 đường tiệm cậnđứng đồ thị - Ứng với điểm -  +  bảng biến thiên dịng y phải ghi giá trị cụ thể y0 (không phải -  +  ) đường thẳng y  y0 đường tiệm cận ngang đồ thị Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên sau Trang Dựa vào bảng biến thiên ta có đường thẳng x  x0 tiệm cận đứng đường thẳng y  y0 đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f(x) ►Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) xác định có đạo hàm \{1} Hàm số có bảng biến thiên hình vẽ Đồ thị hàm số y = f(x) có đường tiệm cận? A B C Hướng dẫn giải Từ bảng biến thiên hàm số, ta có lim f ( x)  3  y  3 tiệm cận ngang đồ thị hàm số D x  lim f ( x)   y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số x  lim f ( x)    x  1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số x 1 lim f ( x)  , lim f ( x)    x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số x 1 x 1 Vậy hàm số có hai tiệm cận đứng x =  1, hai tiệm cận ngang y =  Chọn A Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) xác định có đạo hàm \{2;1} có bảng biến thiên sau: Phương trình đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho A x = -2 x =1 B khơng có tiệm cận đứng C x = -2 D x = Hướng dẫn giải Từ bảng biến thiên, ta có lim  y   nên x = -2 đường tiệm cận đứng; x ( 2) lim y  lim y  nên x = không đường tiệm cận đứng x 1 x 1 Chọn C Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hình vẽ Trang Phương trình đường tiệm cận đồ thị hàm số y = f(x) A x =1 y = -2 B x = y = C x =-1 y =-2 D x = -1 y = Hướng dẫn giải Dựa vào đồ thị, ta suy tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị đường thẳng x = -1, y = Chọn D Bài toán Xác định đường tiệm cận đồ thị biết hàm số ►Phương pháp giải ax  b Tiệm cận đồ thị hàm số y  , c  0, ad  bc  cx  d Thực theo bước sau:  d Bước Tập xác định D  \    c Bước Xác định đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang đồ thị a a - lim y  nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = x  c c d - lim y   nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang x =  d c x  c Bước Kết luận ax  b có hai đường tiệm cận: cx  d a d Tiệm cận đứng x  tiệm cận ngang y   c c Chú ý: Đồ thị hàm số y  - Giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị hàm số y  ax  b  d a điểm l   ;  tâm đối xứng cx  d  c c đồ thị - Hai đường tiệm cận đồ thị hàm số y  ax  b với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có cx  d a d  ad chu vi    diện tích c  c  c Ví dụ: Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số y  2x  x 1 Trang Hướng dẫn giải : Tập xác định D  \{1} Khi lim y  lim y  nên đồ thị có đường tiệm cận ngang y = x  x  lim y  ; lim y   nên đồ thị có đường tiệm cận đứng x =1 x 1 x 1 Vậy đồ thị hàm số y  2x  , nhận đường thẳng y = tiệm cận ngang nhận đường thẳng x = x 1 tiệm cận đứng Tiệm cận đồ thị hàm số hữu tỷ y = f ( x) g ( x) Điều kiện xác định g(x)  Tính giới hạn lim y; lim y thỏa mãn định nghĩa đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang x  x  x0 kết luận Chú ý: - Đối với hàm số phân thức hữu tỷ y = f ( x) với g ( x) f ( x)  an x n  an 1 x n 1  a1 x  a0  an   g ( x)  bm x m  bm 1 x m 1  b1 x  b0  bm   Khi + Nếu n > m đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang + Nếu n = m đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  an bm + Nếu n < m đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = - Nếu đường thẳng x  x0 , tiệm cận đứng đồ thị hàm số x  x0 nghiệm phương trình g(x)=0 (ngược lại nghiệm g(x)=0 chưa tiệm cận đứng đồ thị) Hay nói cách khác x  x0 điểm gián đoạn hàm số Ví dụ: Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số y  Hướng dẫn giải Tập xác định D  x 1 x  2x  \{1; 3} Ta có lim y  0; lim y  ; lim y   Suy đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng x  1; x  3 x  x 1 x 3 tiệm cận ngang y = Tiệm cận đồ thị hàm số vô tỷ Đối với hàm số vô tỷ, bước quan trọng để xác định đồ thị hàm số có tiệm cận đứng tiệm cận ngang tìm tập xác định hàm số Ví dụ: Xác định tiệm cận đứng, tiệm cận ngang đồ thị hàm số y   x2 x2 Hướng dẫn giải Tập xác định D =[-1;1] Không tồn giới hạn lim y; lim y nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang x  x  Mặt khác hàm số liên tục khoảng (-1;1) lim y  f (1); lim y  f (1) nên hàm số liên tục x 1 x 1 đoạn [-1;1]  Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng  Ví dụ mẫu Trang Ví dụ 1: Phương trình đường tiệm cận đồ thị hàm số y  A x  2; y  C x  2; y  Hướng dẫn giải Tập xác định D  x 1 x2 B x  1; y  D x  2; y  1 \{2} x 1 x 1  ;lim   nên x =2 phương trình đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x 2 x  x 2 x  x 1 x 1 lim  lim  nên y =1 phương trình đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số x  x  x  x  Chọn C Ví dụ 2: Đồ thị hàm số sau nhận đường thẳng x = làm tiệm cận đứng? 2x 2x A y  B y  C y  D y  x   x2 x2 x Hướng dẫn giải 2x Ta thấy hàm số y  , có tập xác định D  \{2} x2 2x 2x lim  ; lim   nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = x 2 x  x 2 x  Chon A 3x  Ví dụ 3: Tọa độ tâm đối xứng đồ thị hàm số y  x 1 A (-1;3) B (-1;1) C (3;1) D (1;3) Hướng dẫn giải Tập xác định D  \{1} Ta có đường tiệm cận đứng đồ thị x =1 tiệm cận ngang đồ thị y = 3, tọa độ tâm đối xứng đồ thị giao hai đường tiệm cận /(1;3) Chọn D 2x 1 Ví dụ 4: Các đường tiệm cận đồ thị hàm số y  tạo với hai trục tọa độ hình chữ nhật có x 1 diện tích A (đvdt) B (đvdt) C (đvdt) D (đvdt) Hướng dẫn giải Tập xác định D  \{1} Ta có lim Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x =1 tiệm cận ngang y = Khi hình chữ nhật tạo hai đường tiệm cận hai trục tọa độ có kích thước nên có diện tích S=1.2=2 (đvdt) Chọn A Ví dụ 5: Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  A Hướng dẫn giải Tập xác định D  lim y  lim x2 x2 B C | x 2| x2 D \{2} | x 2|    Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = x2 Trang x   Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y =1 x  x  lim y  lim x  2x  1  Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = -1 x  x  x  Vậy số đường tiệm cận đồ thị hàm số Chọn B x 1 Ví dụ 6: Đồ thị hàm số y  có đường tiệm cận? x  2x  A B C Hướng dẫn giải Tập xác định D  \{1; 3} lim y  lim D x 1  nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = x  2x   lim y  ; lim y    Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1; Ta có lim x  x 1 x 1 +  lim y  ; lim y    Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -3 x 3 x 3 Vậy đồ thị hàm số có ba tiệm cận Chọn A | x | 1 Ví dụ 7: Đồ thị hàm số y  có bao nhiều đường tiệm cận? | x | 1 A B C.4 Hướng dẫn giải Tập xác định D  \{1} D Ta có lim y  lim y   Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = x  x  lim y  ; lim y    Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x =1 x 1 x 1 lim y  ; lim y    Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -1 x 1 x 1 Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận Chọn D Ví dụ 8: Đồ thị hàm số y  A Hướng dẫn giải Tập xác định D  x  3x   sin x x3  x B có đường tiệm cận đứng? C D \{0; 2}  x  3x    sin x   02  3.0  Ta có lim y  lim   1   nên x = đường tiệm cận    2 x 0 x 0 4  x    x   đứng x lim y  lim x 2  3x   sin x x 2 đứng lim y  x lim x  4x ( x  1)sin x sin  nên đường thẳng x = không đường tiệm cận x 2 x( x  2)  lim  3x   sin x   nên đường thẳng x = -2 tiệm cận đứng đồ thị x3  x Vậy hàm số có đường tiệm cận đứng x = -2 x 2 x 2  Trang Chọn A Ví dụ 9: Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y  A B x9 3 x2  x C D Hướng dẫn giải Tập xác định D  [9; ) \{0; 1} Khi đó, ta có x 9 3  , lim x 1 x2  x lim x 1 x 9 3    x  1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số x2  x x 9 3 1  lim  lim x 0 ( x  1)( x   3) x 0 x x lim x 0 x 9 3  x2  x => x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số lim x  x 9 3   y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số x2  x Chọn C Chú ý: Khơng tồn lim y tập xác định khơng có x tiến tới -∞ x  Ví dụ 10: Đồ thị hàm số y  A 16  x có đường tiệm cận? x( x  16) B C D Hướng dẫn giải Tập xác định D=[-4;4] \{0} Do lim y  ; lim y   nên đường thẳng x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số x 0 x 0 Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận Chọn D Ví dụ 11: Đồ thị hàm số y  A B x 1 có đường tiệm cận? | x | 1 C.2 D Hướng dẫn giải Tập xác định D=(-1+∞)\ {1} Ta có: lim y  lim x  x  x 1   Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y =0 x 1 Trang lim y  lim x 1 x 1 x 1  ;lim y   x  x 1 => Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x =1 lim y  lim x  f x 1 x 1   lim x 1 x 1   x 1 => Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x =-1 Vậy đồ thị hàm có ba đường tiệm cận Chọn D Ví dụ 12: Phương trình đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y 2x   x2  x 3 A y  B y = y = C y  D y  Hướng dẫn giải Tập xác định D= R \{3} 2x   x2  Ta có lim y  lim  lim x  x  x  x 3 2 1  1 x x 3 1 x => y = đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số 1   1 2x 1  x 1 x x 1 lim y  lim  lim x  x  x  x 3 1 x => y = đường tiệm cận ngang Chọn B x   x2  Ví dụ 13: Biết đường tiệm cận đường cong (C): y  x 5 trục tung cắt tạo thành đa giác (H) Mệnh đề đúng? A (H) hình chữ nhật có diện tích B (H) hình vng có diện tích C (H) hình vng có diện tích 25 D (H) hình chữ nhật có diện tích 10 Hướng dẫn giải Tập xác định (;  2]  [ 2; ) \{5} x   x2    y  tiệm cận ngang (C) x  x 5 Ta có lim y  lim x  Trang x   x2    y  tiệm cận ngang (C) x  x 5 lim y  lim x  lim y  ; lim y    x  tiệm cận đứng © x 5 x 5 Vậy thị có ba đường tiệm cận y = 5; y = 7; x = với trục tung tạo thành hình chữ nhật có kích thước 2x nên có diện tích 10 Chọn D Ví dụ 14: Cho hàm số y  x  x  x  Khi đó, đồ thị hàm số A có tiệm cận đứng khơng có tiệm cận ngang B có tiệm cận ngang khơng có tiệm cận đứng C có tiệm cận đứng tiệm cận ngang D khơng có tiệm cận đứng tiệm cận ngang Hướng dẫn giải Tập xác định D  Do hàm số liên tục nên đồ thị khơng có tiệm cận đứng 2x  Ta có lim y  lim ( x  x  x  3)  lim x  x  x  2x   x x   1 y = -1 tiệm cận ngang đồ thị hàm số lim y  lim ( x  x  x  3)   x  x  Vậy đồ thị có đường tiệm cận ngang y  1 Chọn B Ví dụ 15: Phương trình đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  A y = y = -1 B y = C y = -1 D Khơng có tiệm cận ngang |x| x2 1 Hướng dẫn giải Tập xác định (; 1)  (1; ) Ta có: lim y  lim x  x  x x2 1  lim y  lim x  x  x x2 1 1 => y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số Chọn B Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hàm số y  f  x  có lim f ( x)  lim f ( x)  2 Mệnh đề sau đúng? x  x  Trang 10 Hướng dẫn giải Điều kiện f ( x)  m Đồ thị hàm số g ( x)  2020 có đường tiệm cận đứng phương trình f(x) = m phải có nghiệm f ( x)  m x  a Từ bảng biến thiên hàm số y  f  ( x) suy phương trình f  ( x)  có hai nghiệm  với x  b -1