BÀI 4 TIỆM cận toán học 12

BÀI TIỆM CẬN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm khái niệm đường tiệm cận đồ thị hàm số, khái niệm đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang đồ thị hàm số + Nhận biết đồ thị hàm số có tiệm cận + Nắm tính chất đường tiệm cận với đồ thị hàm số  Kĩ + Biết cách xác định phương trình đường tiệm cận hàm số cho công thức, cho bảng biến thiên + Biện luận số đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang đồ thị hàm số chứa tham số + Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số ẩn + Áp dụng tính chất đường tiệm cận vào toán liên quan Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Đường thẳng y  y0 gọi đường tiệm cận ngang (gọi tắt tiệm cận ngang) đồ thị hàm số f  x   y0 lim  y0 y  f  x  xlim x � � � � Đường thẳng x  x0 gọi đường tiệm cận đứng (gọi tắt tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y  f  x  điều kiện sau thỏa mãn: lim f  x   �; lim f  x   �; x � x0 x � x0 lim f  x   �; lim f  x   � x � x0 x � x0 Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Tiệm cận đứng Tiệm cận ngang Đường thẳng x  x0 gọi Đường thẳng y  y0 gọi tiệm cận đứng đồ thị hàm số tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  f  x  y  f  x điều kiện sau thỏa mãn: lim f  x   �; lim f  x   � x � x0 x � x0 lim f  x   �; lim f  x   � x � x0 TIỆM lim f  x   y0 x � �  y0 xlim � � CẬN x � x0 Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số biết biểu thức, bảng biến thiên, đồ thị Bài toán Xác định đường tiệm cận dựa vào định nghĩa Phương pháp giải Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận Tiệm cận ngang Đường thẳng y  y0 đường tiệm cận ngang f  x   y0 đồ thị hàm số y  f  x  xlim � � lim f  x   y0 f  x   Ví dụ: Cho hàm số y  f  x  có xlim �� lim  1 x � � Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận ngang, ta có phương trình đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  f  x  y  y  1 x � � f  x   � Ví dụ: Cho hàm số y  f  x  có xlim � 2 Tiệm cận đứng lim f  x   � Đường thẳng x  x0 đường tiệm cận đứng đồ x �2 thị hàm số y  f  x  điều kiện sau thỏa mãn: lim f  x   �; lim f  x   � x � x0 Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận đứng, ta có phương trình đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  f  x  x  2 x  x � x0 lim f  x   �; lim f  x   � x � x0 x � x0 Ví dụ mẫu f  x   3 lim f  x   Mệnh đề đúng? Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x  có xlim � � x �� A Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang y  y  3 B Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang x  x  3 C Đồ thị hàm số cho có tiệm cận ngang D Đồ thị hàm số cho khơng có tiệm cận ngang Hướng dẫn giải f  x   3 nên y  3 đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số Vì xlim � � f  x   nên y  đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số Vì xlim �� Chọn A Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị đường cong  C  giới hạn: lim f  x   1; lim f  x   1; lim f  x   2; lim f  x   Mệnh đề sau đúng? x �� x � � x� x �2 Trang A Đường thẳng x  tiệm cận đứng  C  B Đường thẳng y  tiệm cận ngang  C  C Đường thẳng y  tiệm cận ngang  C  D Đường thẳng x  tiệm cận ngang  C  Hướng dẫn giải �lim f  x   �x �� � đường thẳng y  tiệm cận ngang  C  Ta có � lim f  x   � �x �� Chọn B f  x   , lim f  x   � Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x  xác định khoảng  2;  1 có xlim � 2  x � 1 Mệnh đề sau đúng? A Đồ thị hàm số y  f  x  có hai tiệm cận đứng x  2 x  1 B Đồ thị hàm số y  f  x  có tiệm cận ngang y  C Đồ thị hàm số y  f  x  có tiệm cận đứng x  1 D Đồ thị hàm số y  f  x  có hai tiệm cận ngang y  y  1 Hướng dẫn giải f ( x)  � nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1 Do xlim �1 Chọn C Bài toán Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên đồ thị hàm số Phương pháp giải Dựa vào bảng biến thiên hàm số y  f  x  xác Ví dụ: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên định phương trình đường tiệm cận đứng, tiệm sau: cận ngang, số đường tiệm cận đồ thị hàm số y  f  x  Chú ý: - Ứng với điểm x  x0 bảng biến thiên dịng y phải ghi kí hiệu -∞ +∞ (khơng phải giá trị cụ thể) đường thẳng x  x0 đường tiệm cận đứng đồ thị Dựa vào bảng biến thiên ta có đường thẳng x  x0 - Ứng với điểm -∞ +∞ bảng biến thiên tiệm cận đứng đường thẳng y  y0 đường dòng y phải ghi giá trị cụ thể y0 (không tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  f  x  y  y phải -∞ +∞) đường thẳng Trang đường tiệm cận ngang đồ thị Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x  xác định có đạo hàm �\  �1 Hàm số có bảng biến thiên hình vẽ Đồ thị hàm số y  f  x  có đường tiệm cận? A B C D Hướng dẫn giải Từ bảng biến thiên hàm số, ta có lim f  x   3 � y  3 tiệm cận ngang đồ thị hàm số x � � lim f  x   � y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số x � � lim f  x   �� x  1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số x �1 lim f  x   �, lim f  x   �� x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số x �1 x �1 Vậy hàm số có hai tiệm cận đứng x  �1 , hai tiệm cận ngang y  �3 Chọn A Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  xác định có đạo hàm �\  2; 1 có bảng biến thiên sau: Phương trình đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho A x  2 x  B khơng có tiệm cận đứng C x  2 D x  Hướng dẫn giải Trang y  � nên x  2 đường tiệm cận đứng; Từ bảng biến thiên, ta có x �lim  2   lim y  lim y  nên x  không đường tiệm cận đứng x �1 x �1 Chọn C Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hình vẽ Phương trình đường tiệm cận đồ thị hàm số y  f  x  A x  y  2 B x  y  C x  1 y  2 D x  1 y  Hướng dẫn giải Dựa vào đồ thị, ta suy tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị đường thẳng x  1, y  Chọn D Bài toán Xác định đường tiệm cận đồ thị biết hàm số Phương pháp giải Tiệm cận đồ thị hàm số y ax  b , c �0, ad  bc �0 cx  d Ví dụ: Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số y  2x  x 1 Thực theo bước sau: �d�  � Bước Tập xác định D  �\ � �c Hướng dẫn giải Tập xác định D  �\  1 Bước Xác định đường tiệm cận đứng, tiệm y  lim y  nên đồ thị có đường Khi xlim � � x �� cận ngang đồ thị Trang a tiệm cận ngang y  nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận x ��� c lim y  �; lim y  � nên đồ thị có đường tiệm x �1 x �1 a ngang y  cận đứng x  c - lim y  - lim � y  �� x � d c nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x   d c Bước Kết luận ax  b Đồ thị hàm số y  có hai đường tiệm cận: cx  d a d Tiệm cận đứng x  tiệm cận ngang y   c c Vậy đồ thị hàm số y  2x  x 1 nhận đường thẳng y  tiệm cận ngang nhận đường thẳng x  tiệm cận đứng Chú ý: - Giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị hàm ax  b �d a�  ; �là tâm đối xứng điểm I � cx  d �c c� đồ thị số y  ax  b cx  d với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có - Hai đường tiệm cận đồ thị hàm số y  �a d � ad chu vi �  �và diện tích c � c �c Tiệm cận đồ thị hàm số hữu tỷ y  f  x g  x Điều kiện xác định g  x  �0 Tính giới hạn lim y; lim� y thỏa mãn định x � x0 x ��� Ví dụ: Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số y  x 1 x  2x  Hướng dẫn giải nghĩa đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang Tập xác định D  �\  1;  3 kết luận Chú ý: Ta có lim y  0; lim� y  ��; lim�  �� X—>±0O X->Xg - Đối với hàm số phân thức hữu tỷ y  f  x g  x x ��� với x �1 x �3 Suy đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận đứng x  1; x  3 tiệm cận ngang y  f  x   an x n  an 1 x n 1   a1 x  a0  an �0  g  x   bm x m  bm1 x m 1   b1 x  b0  bm �0  Khi đó: Trang + Nếu n  m đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang + Nếu n  m đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y an bm + Nếu n  m đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y0 - Nếu đường thẳng x  x0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số x  x0 nghiệm phương trình g  x   (ngược lại nghiệm g  x   chưa tiệm cận đứng đồ thị) Hay nói cách khác x  x0 điểm gián đoạn hàm số Tiệm cận đồ thị hàm số vơ tỷ Ví dụ: Xác định tiệm cận đứng, tiệm cận ngang Đối với hàm số vô tỷ, bước quan trọng để xác định đồ thị hàm số có tiệm cận đứng tiệm cận đồ thị hàm số y   x x2 ngang tìm tập xác định hàm số Hướng dẫn giải Bước Tập xác định D   1; 1 y; lim nên đồ thị Không tồn giới hạn xlim � � x �� hàm số khơng có tiệm cận ngang Mặt khác hàm số liên tục khoảng  1; 1 lim y  f  1 ; lim y  f  1 nên hàm số liên tục x �1 x �1 đoạn  1; 1 � Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Phương trình đường tiệm cận đồ thị hàm số y  x 1 x2 A x  2 y  B x  1; y  C x  2; y  D x  2; y  1 Hướng dẫn giải Tập xác định D  �\  2 Ta có lim x �2 x 1 x 1  �; lim  � nên x  phương trình đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x �2 x  x2 x 1 x 1  lim  nên y  phương trình đường tiệm cận đồ thị hàm số x � � x  x � � x  lim Chọn C Trang Ví dụ 2: Đồ thị hàm số sau nhận đường thẳng x  tiệm cận đứng? A y  2x x2 B y  C y  2x x2 D y  x   x Hướng dẫn giải 2x 2x 2x  �; lim  � nên đồ thị có tập xác định D  �\  2 lim x � x � x2 x2 x2 hàm số có tiệm cận đứng x  Ta thấy hàm số y  Chọn A 3x  x 1 Ví dụ 3: Tọa độ tâm đối xứng đồ thị hàm số y  A  1; 3 B  1; 1 C  3; 1 D  1; 3 Hướng dẫn giải Tập xác định D  �\  1 Ta có đường tiệm cận đứng đồ thị x  tiệm cận ngang đồ thị y  , tọa độ tâm đối xứng đồ thị giao hai đường tiệm cận I  1; 3 Chọn D Ví dụ 4: Các đường tiệm cận đồ thị hàm số y  2x  tạo với hai trục tọa độ hình chữ nhật có x 1 diện tích A (đvdt) B (đvdt) C (đvdt) D (đvdt) Hướng dẫn giải Tập xác định D  �\  1 Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  tiệm cận ngang y  Khi hình chữ nhật tạo hai đường tiệm cận hai trục tọa độ có kích thước nên có diện tích S  1.2  (đvdt) Chọn A Ví dụ 5: Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  A B C x x2 D Hướng dẫn giải Tập xác định D  �\  2 lim y  lim x �2 x �2 lim y  lim x � � x �� x x2  �� Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  x  � Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  x2 Trang 10 lim  x � � Từ lim g  x   x ��   x �� � � �   � � � x � � x  x  x  lim 3 với m �1 2m  Khi đồ thị hàm số g  x  có tiệm cận ngang đường thẳng y  3 2m  Để tiệm cận ngang tìm nằm đường thẳng y  1 3  1 � 1  m  2m  2 Vì m �� nên m  Chọn C Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  x 1 có ba đường tiệm cận mx  x  � �m �0 � B �m �1 � �m  � � �m �0 � D �m �1 � �m  � � �m  A � � �m �0 �m �0 � C � m � � Câu 2: Có giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  A B mx  có hai đường tiệm cận? x  3x  C Câu 3: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  A m  B m �1 m �8 D x2  x  có ba đường tiệm cận x2  x  m C m �1 m �8 Câu 4: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  D m  m �8 x2 có đường tiệm cận x  4x  m đứng đường tiệm cận ngang A m � 4; 12 B m � 4;12 C m  4 Câu 5: Có giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng y  mx 6x   x  3  x  6mx  1 A B D m  12  10;10  để đồ thị hàm số có đường tiệm cận? C Câu 6: Tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  D 10 1 x 1 x  mx  3m có hai tiệm cận đứng Trang 55 � 1� 0; � A � � 2� 1� � B � ; � 2� � � 1� 0; � C � � 2� D  0; � Câu 7: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  x   B m  2 A Khơng tồn m m x có tiệm cận ngang C m  1 m  Câu 8: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  D m  m  2 2x    m  x  3x  có đường tiệm cận ngang A m  B  m  C m  Câu 9: Tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  B  m � A m �0 D m �1 mx  3mx  có ba đường tiệm cận x2 C  m  Câu 10: Tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  D m � x   2019 x  2mx  m  có ba đường tiệm cận A m  m  1 B �m �3 C m  D  m   x  2019 x  2020  12 70 x   m  1 x  m Câu 11: Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y  có hai đường tiệm cận? A 2019 B 2018 C 2021 D 2020 x 1 Câu 12: Tất giá trị tham số m cho đồ thị hàm số y  mx  có hai tiệm cận ngang A m  Câu 13: Gọi B m  S tập tất C m  giá trị D Khơng có m tham số m để đồ thị hàm số y  x3  x   x  x   mx có tiệm cận ngang Tổng phần tử S A -2 B -3 C Câu 14: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  D x 1 m  x  1  có hai tiệm cận đứng m0 � A � m �1 � B m  C m  Câu 15: Tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y  D m   m  1 x  x2  x  có đường tiệm cận ngang A khơng có giá trị m thỏa mãn B m �� C m  D m  Trang 56 Câu 16: Tất giá trị tham số a để đồ thị hàm số y  ax  x  có tiệm cận ngang A a  2 a  B a  � C a  �2 Câu 17: Tất giá trị tham số a để đồ thị hàm số y  A a  B a  a  Câu 18: Cho hàm số y   Cm  12  x  x x  x  2m D a  � x  x2  ax  có tiệm cận ngang C a �0 D a �0 có đồ thị  Cm  Tập hợp giá trị tham số thực m để có hai tiệm cận đứng A  0;9 � 9� 4; � C � � 2� B  8;9  � 9� D �4; � � 2� Câu 19: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y   2m  1 x  x4  có đường tiệm cận ngang qua điểm A  1;3 A m  B m  �1 C m  2 D m  Câu 20: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  A m  m0 � B � m �9 � x3 x2  m m0 � C � m  9 � Câu 21: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị y  có ba tiệm cận D m  mx  m x  2016 có hai đường tiệm cận ngang A m  B m  C m  Câu 22: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  D m �0 mx  có đường tiệm x 1 cận A 1 �m  B 1 �m �0 Câu 23: Cho hàm số f  x   C m  1 D m  xm 3 có đồ thị  C  Có giá trị nguyên tham số m thuộc x  4x  đoạn  10;10 để đồ thị  C  có hai đường tiệm cận? A B C D f  x   lim f  x   Gọi S tập hợp giá trị Câu 24: Cho hàm số f  x  liên tục � có xlim � � x �� tham số m để đồ thị hàm số f  x   3�  x  1 � � � g  x  2 x   m  1 x  m  có tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang Tổng phần tử S Trang 57 A  B -2 C -3 D ĐÁP ÁN 1–B 11 – A 21 – D 2–B 12 – A 22 – A 3–D 13 – A 23 – D –A 14 – A 24 – A 5–B 15 – C –A 16 – C 7–D 17 – D 8–C 18 – D 9–B 19 – D 10 – D 20 – C Dạng Bài toán liên quan đến đồ thị hàm số đường tiệm cận Bài toán 1: Bài toán liên quan đến đường tiệm cận đồ thị hàm số y  ax  b cx  d Phương pháp giải Đồ thị hàm số y  ax  b 2x  có đường tiệm cận Ví dụ: Cho hàm số y  có đồ thị  C  Tọa cx  d x2 ad  bc �0, c �0 độ giao điểm I hai đường tiệm cận đồ thị Khi đó, phương trình đường tiệm cận đứng x  C A  2; 2  d c Phương trình đường tiệm cận ngang y  a c C  2;  Hướng dẫn giải B  2; 2  D  2;  Ta có phương trình hai đường tiệm cận x  2 - Tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận y  nên tọa độ giao điểm I hai đường tiệm �d a� cận I  2;   ; �và tâm đối xứng đồ điểm I � � c c� Chọn C thị - Hai đường tiệm cận đồ thị hàm số với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có kích thước  d a nên có chu vi c c �d a� ad C  �  �và diện tích S  c � c �c Ví dụ mẫu Ví dụ Giá trị tham số m để đồ thị hàm số y   mx  có đường tiệm cận đứng qua điểm 2x  m  A 1; Trang 58 A m  2 B m  D m  1 C m  Hướng dẫn giải Ta có ad  bc  m  �0, m nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng đường thẳng x     Để tiệm cận đứng qua điểm A 1;  m m  1 � m  Chọn B Ví dụ Các đường tiệm cận đồ thị hàm số y  2x  tạo với hai trục tọa độ hình chữ nhật có x 1 diện tích A (đvdt) B (đvdt) C (đvdt) D (đvdt) Hướng dẫn giải Phương trình đường tiệm cận x  1; y  Do hai đường tiệm cận hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật diện tích 1.2 = (đvdt) Chọn D Ví dụ Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  2mx  m có đường tiệm cận đứng, x 1 tiệm cận ngang đồ thị hàm số hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích A m ��2 C m  � B m  D m  �4 Hướng dẫn giải 2m m Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận �۹ m Khi phương trình hai đường tiệm cận x  y  2m Theo cơng thức tính diện tích hình chữ nhật tạo hai tiệm cận hai trục tọa độ, ta có S  2m Theo giả thiết 2m  � m  �4 Chọn D Ví dụ Cho đồ thị hai hàm số f  x   2x  ax  1 g  x   với a � Tất giá trị thực dương x 1 x2 tham số a để tiệm cận hai đồ thị hàm số tạo thành hình chữ nhật có diện tích A a  B a  C a  D a  Hướng dẫn giải Đồ thị hàm số f  x   2x  có hai đường tiệm cận x  1 y  x 1 Điều kiện để đồ thị hàm số g  x   ax  1 có tiệm cận 2a �۹ x2 a Với điều kiện đồ thị hàm số g  x  có hai đường tiệm cận x  2 y  a Trang 59 Hình chữ nhật tạo thành từ bốn đường tiệm cận hai đồ thị có hai kích thước a  a6 � Theo giả thiết, ta có a   � � a  2 � Vì a  nên a  Chọn A Ví dụ Cho hàm số y  x 1 có đồ thị  C  Hai đường tiệm cận  C  cắt I Đường thẳng x 1 d : y  x  b (b tham số thực) cắt đồ thị  C  hai điểm phân biệt A, B Biết b  diện tích tam giác AIB 15 Giá trị b A -1 B -3 C -2 D -4 Hướng dẫn giải Ta có tọa độ điểm I  1;1 Phương trình hồnh độ giao điểm  C  d x 1  2x  b � x 1 �x �1 � �f  x   x   b  3 x  b    * Đường thẳng d cắt đồ thị  C  hai điểm phân biệt f  x   có hai nghiệm phân biệt �   b  2b  17  � � b �� khác � � �f  1  2 �0 Gọi x1 , x2 hai nghiệm (*) Khi A  x1 ; x1  b  , B  x2 ; x2  b  uu r uur Ta có IA   x1  1; x1  b  1 ; IB   x2  1; x2  b  1 Chú ý: Diện tích tam giác IAB S   x1  1  x2  b  1   x2  1  x1  b  1 - Với tam giác ABC có uuu r uuur AB   a; b  ; AC   c; d   1 b  2b  17  b  1  x1  x2   b  2 Theo giả thiết b  b  2b  17  15 2 �  b  1 �  225 �  b  1  � �b  1  16� � Do b  nên b  4 Chọn D S ABC  ad  bc - Nếu phương trình bậc b2 � � b  4 � hai ax  bx  c  có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 x1  x2   a Trang 60 Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn  C1   C2  có phương trình  x  1   y     x  1  y  Biết đồ thị hàm số y  2 ax  b qua tâm  C1  , qua xc tâm  C2  có đường tiệm cận tiếp xúc với  C1   C2  Tổng a  b  c A B C D -1 Hướng dẫn giải Đường tròn  C1  có tâm I1  1;  ; R1   C2  có tâm I  1;0  ; R2  Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận ac  b �0 Gọi  C  đồ thị hàm số y  ax  b xc Khi ta có đường tiệm cận  C  x  c y  a �a  b 2 � �c  � Ta có I1 , I � C  � � �a  b  �c  c ��1 � � ab � � a  c 1 � � �c   �c 0 Đường thẳng x  c tiếp xúc với  C1   C2  nên � �c   � a  b 1 Khi tiệm cận ngang  C  y  tiếp xúc với  C1  ,  C2  thỏa mãn toán Vậy a  b  1; c  � a  b  c  Chọn C Bài toán 2: Bài toán khoảng cách từ điểm đồ thị hàm số y  ax  b đến đường tiệm cận cx  d Phương pháp giải Giả sử đồ thị hàm số y  ax  b 2x  có đường tiệm Ví dụ: Xét hàm số y  có hai đường cx  d x 1 tiệm cận x  y  Khi tích d a cận 1 : x    : y  c c khoảng cách từ điểm M đồ thị đến � ax0  b � Gọi M �x0 ; �là điểm đồ thị � cx0  d � Khi d1  d  M ; 1   x0  cx  d d  c c hai đường tiệm cận d  2   1 Trang 61 d2  d  M ; 2   ax0  b a ad  bc   cx0  d c c  cx0  d  Vậy ta ln có d1 d  ad  bc  K số c2 không đổi Khi d1  d �2 d1 d  K nên  d1  d   K d1  d � cx0  d ad  bc  �  cx0  d   ad  bc c c  cx0  d  Ví dụ mẫu Ví dụ Gọi M giao điểm đồ thị y  2x  với trục hồnh Khi tích khoảng cách từ điểm 2x  M đến hai đường tiệm cận đồ thị hàm số cho A B C D Hướng dẫn giải Gọi d1 , d khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho Áp dụng cơng thức, ta có d1 d  62  Chọn B Ví dụ Cho hàm số y  2x  x2  C  Gọi M điểm  C  , d tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận đồ thị Giá trị nhỏ d A 10 B C D Hướng dẫn giải Gọi d1 , d khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho Áp dụng cơng thức, ta có d1 d  4   1 Khi d  d1  d �2 d1 d  Vậy d  Chọn C Trang 62 Ví dụ Cho hàm số y   3x có đồ thị  C  Điểm M có hồnh độ dương, nằm  C  cho 3 x khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang  C  Khoảng cách từ M đến tâm đối xứng  C  A B C D Hướng dẫn giải � x0  � Giả sử M �x0 ; �� C   x0  0; x0 �3 � x0  � Đồ thị  C  có tiệm cận đứng 1 : x  , tiệm cận ngang  : y  tâm đối xứng I  3;3 Khi d1  d  M ; 1   x0  d  d  M ;    Theo giả thiết d1  2d � x0   x0  x0  � 16 �� � x0  (do x0  ) x0  1 x0  � Vậy M  7;5  � IM  Chọn C Ví dụ Cho hàm số y   H 4x  có đồ thị  H  Gọi M  x0 ; y0  với x0  điểm thuộc đồ thị x 1 thỏa mãn tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận  H  Giá trị biểu thức S   x0  y0  A B C D Hướng dẫn giải Đồ thị  H  có tiệm cận đứng 1 : x  1 tiệm cận ngang  : y  � x0  � Gọi M �x0 ; �  H  , x0 � x0  �  1, x0  Khi d1  d  M ; 1   x0  d  d  M ;    � d1 d  x0  Ta có d1  d �2 d1 d  nên  d1  d   d1  d � x0   x0  � �� x0  4 x0  � Do x0  nên M  4;7  � S  Chọn C Trang 63 Bài toán 3: Bài toán liên quan tiếp tuyến tiệm cận đồ thị hàm số y  ax  b cx  d Phương pháp giải Giả sử đồ thị hàm số y  Ta có dạng câu hỏi thường gặp sau ax  b có đồ thị  C  có cx  d Câu 1: Tính diện tích tam giác IAB đường tiệm cận 1 : x   d a ,  : y  c c S IAB  ad  bc 1 IA.IB   K 2 c2 Câu 2: Tìm điểm M � C  viết phương trình �d a� I�  ; � � c c� tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến tạo với hai trục � ax0  b � Gọi M �x0 ; �là điểm đồ thị � cx0  d � tọa độ tam giác vng có Khi tiếp tuyến  C  M AB  IA2  IB � IA.IB  K d:y ad  bc  cx0  d  x  x0    Dấu xảy IA  IB ax0  b cx0  d b) Chu vi nhỏ Ta có Gọi A  d � � d 2bc  ad  acx0 � A�  ; � c  cx0  d  �c d a� � � B� x0  ; �� IB  c c� � ad  bc c Do IAB vuông I nên S IAB  đổi IA  IB  AB �2 IA.IB  IA.IB  K  K �  ad  bc  � �� IA  c  cx  d  � Dấu xảy IA  IB  cx0  d  Ta có R  B  d � Do IA.IB  a) Cạnh huyền nhỏ c  K số khơng đổi c) Bán kính đường trịn ngoại tiếp nhỏ K AB � 2 Dấu xảy IA  IB d) Bán kính đường trịn nội tiếp lớn Ta có r  S K  p IA  IB  AB ad  bc 1 Vậy r lớn IA  IB  AB nhỏ IA.IB   K số không 2 c K  2K Dấu xảy IA  IB �x A  xB  xM Ngồi ra, ta có � nên M ln e) Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến lớn y  y  y �A B M Gọi H hình chiếu I lên d, ta có trung điểm AB 1 2 K  � IH 2 IA.IB K IH IA IB Dấu xảy IA  IB Nhận xét: Các câu hỏi đẳng thức xảy IA  IB nên IAB vuông cân I Gọi  Trang 64 góc tiếp tuyến d tiệm cận ngang     d ;     d ; Ox   45�nên hệ số góc tiếp tuyến k  �tan 45� �1 Vậy toán câu ta quy tốn viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ax  b biết hệ số góc k  k  1 cx  d y Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y   C 2x 1 có đồ thị  C  Tiếp tuyến  C  điểm có hồnh độ thuộc x 1 cắt đường tiệm cận  C  tạo thành tam giác có diện tích B  A C  2 D Hướng dẫn giải Áp dụng công thức, ta có S  2  2 Chọn D Ví dụ Cho hàm số y  x 1 2x   C  Gọi I giao điểm hai tiệm cận đồ thị hàm số  C  Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến đồ thị  C  đạt giá trị lớn A B C D Hướng dẫn giải �3 � Tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận I � ; � �2 � Gọi A, B giao điểm tiếp tuyến d M � C  với hai đường tiệm cận Khi ta có IA.IB  ad  bc c  3  Gọi H hình chiếu I d, ta có Vậy IH max   1 1  � 2 IH IA IB 2 IA.IB IH 2 Chọn A Trang 65 Ví dụ Cho hàm số y  2x 1 có đồ thị  C  Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận  C  Biết x2 tiếp tuyến   C  M cắt đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang A B cho đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Khi đó, diện tích lớn tam giác tạo  hai trục tọa độ thuộc khoảng đây? A  28; 29  B  29;30  C  27; 28  D  26; 27  Hướng dẫn giải  Ta có y � 3  x  2  Theo lý thuyết để diện tích đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB nhỏ AB nhỏ Khi hệ số góc tiếp tuyến  phải k  �  0, x nên k  1 Do y � k� Xét phương trình y � 3  x  2 � x  2  1 � � x  2 �   - Với x   � y   � Tiếp tuyến 1 : y   x     � y  x            42 Khi 1 cắt Ox, Oy hai điểm M  3;0 , N 0;  SOMN   - Với x   � y   � tiếp tuyến 1 : y   x     � y  x       Khi 1 cắt Ox, Oy hai điểm P  3;0 , N 0;  SOPQ  42 2 �27,85 Chọn C Ví dụ Cho hàm số y  x 1 , gọi d tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ m  x2 Biết đường thẳng d cắt tiệm cận đứng đồ thị hàm số điểm A  x1 ; y1  cắt tiệm cận ngang đồ thị hàm số điểm B  x2 ; y2  Gọi S tập hợp số m cho x2  y1  5 Tổng bình phương phần tử S A B C D 10 Hướng dẫn giải 2 Điều kiện m �۹ m : y 1 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng  : x  2 tiệm cận ngang  � Trang 66  Ta có y �  x  2 � y�  m  2  Phương trình đường thẳng d y  m3 y m  2  m2  m m3 x  m  2   m m � m6� A  d � � A � 2; � B  2m  2;1 �; B  d � � m � � Do x2  y1  5 � 2m   m6  5 � m  m   � m m 1 � � m  3 � Vậy S   3  12  10 Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Các đường tiệm cận đồ thị hàm số y  2x  với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ x  2018 nhật có diện tích A 4036 B 1009 C 2018 D Câu 2: Khoảng cách từ gốc tọa độ đến giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị hàm số y  2x  x 1 A B C D Câu 3: Tất giá trị thực tham số m để đường tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  mx  với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích 2m   x A m  1; m   Câu 4: Cho hàm số y  B m  1; m  C m  1; m  D m  1; m   mx  m, n tham số Biết giao điểm hai đường tiệm cận đồ xn thị hàm số nằm đường thẳng x  y   đồ thị hàm số qua điểm A  0;1 Giá trị m  n A -3 B C D -1 x2 có đồ thị  C  Có điểm M thuộc  C  cho khoảng cách từ x3 điểm M đến đường tiệm cận ngang lần khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng? Câu 5: Cho hàm số y  A Câu 6: Cho hàm số y  B C D x 1 có đồ thị  C  A điểm thuộc  C  Giá trị nhỏ tổng x 1 khoảng cách từ A đến đường tiệm cận  C  A 2 B C D Trang 67 x2 có đồ thị  C  Tọa độ điểm M có hồnh độ dương thuộc  C  cho x2 tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ Câu 7: Cho hàm số y  A  0; 1 Câu 8: Cho hàm số y  B  2;  C  1; 3 D  4;3 2x  có đồ thị  C  M điểm thuộc  C  cho tiếp tuyến  C  M cắt x2 hai đường tiệm cận  C  hai điểm A, B thỏa mãn AB  Tổng hoành độ tất điểm M thỏa mãn toán A B Câu 9: Cho hàm số y   C C D x2 có đồ thị  C  Gọi d khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận đồ thị x 1 đến tiếp tuyến  C  Giá trị lớn d A Câu 10: Cho hàm số y  B 3 C D 2 x3 có đồ thị  C  Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận  C  Các x 1 điểm M  C  cho độ dài đoạn IM ngắn A M  1;1 M  3;0  B M  1; 1 M  3;3 C M  1; 1 M  3;  D M  1; 2  M  3; 3 Câu 11: Cho đồ thị  C  : y  2x  Gọi M điểm thuộc đồ thị  C  Tiếp tuyến đồ thị  C  x 1 M cắt hai đường tiệm cận  C  hai điểm P Q Gọi G trọng tâm tam giác IPQ (với I giao điểm hai đường tiệm cận  C  ) Diện tích tam giác GPQ A B Câu 12: Cho hàm số y  C D 2x  có đồ thị  C  Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận x 1 M  x0 , y0   x0   điểm  C  cho tiếp tuyến  C  M cắt hai đường tiệm cận A, B thỏa mãn AI  IB  40 Khi tích x0 y0 A B C Câu 13: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số f  x   đứng đường thẳng x  x1 x  x2 cho m2 � A � m  2 � B 2  m  D 15 x 1 có hai đường tiệm cận x  mx  x12 x22   x22 x12 � 2m C �   m  2 � � m D � m � Trang 68 Câu 14: Biết đồ thị hàm số f  x   x 1 có hai tiệm cận đứng x  x1 x  x2 x  mx  n �x1  x2  cho �3 Giá trị m  n x  x  35 �1 A -1 B -7 C D ĐÁP ÁN –A 11 – A 2–C 12 – B –A 13 – D 4–B 14 – C 5–B –A 7–D 8–B 9–A 10 – B Trang 69 ... hàm số A có tiệm cận đứng khơng có tiệm cận ngang B có tiệm cận ngang khơng có tiệm cận đứng C có tiệm cận đứng tiệm cận ngang D khơng có tiệm cận đứng tiệm cận ngang Hướng dẫn giải Tập xác định... số có tiệm cận ngang y  Câu 22: Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y  A B 2 x  2017 x 1 C D Câu 23: Số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị tham số y  A B C Câu 24: Số đường tiệm cận đồ... giải Dựa vào đồ thị, ta suy tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị đường thẳng x  1, y  Chọn D Bài toán Xác định đường tiệm cận đồ thị biết hàm số Phương pháp giải Tiệm cận đồ thị hàm số y ax 