CHUYÊN ĐỀ BÀI 4: ỨNG DỤNG CỦA HÌNH HỌC Oxyz Mục tiêu Kiến thức + Nắm vững kiến thức hình học khơng gian Oxyz, cơng thức khoảng cách, góc + Nắm vững cách xác định khoảng cách, xác định góc đường thẳng mặt phẳng; mặt phẳng mặt phẳng; hai đường thẳng Kĩ + Biết cách gắn hệ trục tọa độ vào hình học khơng gian + Vận dụng cơng thức tính góc khoảng cách CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Bài tốn hình học Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O Gọi M N trung điểm hai cạnh SA BC, biết a Khi giá trị sin góc đường thẳng MN mặt phẳng MN SBD A B 3 C 5 D Hướng dẫn giải Gọi I hình chiếu M lên ABCD , suy I trung điểm AO Khi CI 3a AC 4 Xét CNI có CN a � , NCI 45� Áp dụng định lý cosin ta có: NI CN CI 2CN CI cos 45� a 9a a 3a 2 a 10 4 Xét MIN vuông I nên MI MN NI 3a 5a a 14 Trang Mà MI // SO, MI a 14 SO � SO 2 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ: � � � � �2 � � �2 0; ;0 , D 0; ;0 , C ;0;0 , N� Ta có O 0;0;0 , B � � � � � � � � � � �2 � �4 ; ;0 � �, � � � � � � � � � � � 14 � � 14 � A� ;0;0 � , S� 0;0; , M� ;0; � � � � � � � � � 4 � � � � � uuuu r �2 r � 14 � uur � 14 � uuu 14 � ; ; , SB 0; ; , SD 0; ; Khi MN � � � � � � �2 � � � � � � � � � � � r uur uuu r � 7;0;0 SB ; SD Vecto pháp tuyến mặt phẳng SBD : n � � 2� Suy sin MN , SBD uuuu rr MN n uuuu r r MN n Chọn B B C D có đáy ABCD hình chữ nhật, hình Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD A���� chiếu vng góc A�lên mặt phẳng ABCD trung điểm H AB Cho AB 2a; AD 4a ; AA� 8a Gọi E, N, M trung điểm BC, DE, A� B Gọi góc MN Tính tan AD� A tan B tan C tan 2 D tan 2 Hướng dẫn giải Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ, chọn a đơn vị độ dài Có A 1;0;0 , B 1;0;0 , C 1; 4;0 , D 1; 4;0 , A�0;0; 63 , B�2;0; 63 , C �1; 4; 63 , D�0; 4; 63 �1 63 � E 1; 2;0 , N 0;3;0 , M � �2 ;0; � � � � Trang uuuu r� r 63 � uuuu �1; 4; 63 MN � ;3; , AD � �2 � � � 63 uuuu r uuuu r 12 � MN AD u u u u r u u u u r 2 Có cos � MN , AD� cos MN , AD� MN AD 5.4 5 Có tan 4; tan � tan cos Chọn A Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA 2a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Tan góc tạo hai mặt phẳng AMC SBC A B 3 C 5 D 5 Hướng dẫn giải Để thuận tiện việc tính tốn ta chọn a Trong không gian, gắn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ cho gốc O trùng với điểm A, tia Ox trùng với tia AB, tia Oy trùng với tia AD, tia Oz trùng với tia AS Khi A 0;0;0 , B 1;0;0 , C 1;1;0 , S 0;0; , D 0;1;0 � � 0; ;1� Vì M trung điểm SD nên tọa độ M M � � � uur � r uur uuur �SB 1;0; 2 � n SBC � SB ; BC � Ta có �uuur � � 2;0;1 �BC 0;1;0 r � � �uuuu 0; ;1� r uuuu r uuur � 1 � �AM � � � � � � � n AM ; AC 1;1; AMC �uuur � � �� � �AC 1;1;0 � Góc góc hai mặt phẳng AMC SBC r r n SBC n AMC r r r Suy cos cos n SBC ; n AMC r n SBC n AMC Mặt khác, tan 1 � tan 1 cos cos Trang Vậy tan �5� � � �3 � 1 5 Chọn D Ví dụ 4: Cho tứ diện S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC , SA AB 3cm , BC 5cm diện tích tam giác SAC 6cm Một mặt phẳng thay đổi qua trọng tâm G tứ diện cắt cạnh AS, AB, AC M, N, P Tính giá trị nhỏ Tm biểu thức T A Tm 17 B Tm 41 144 C Tm 10 1 2 AM AN AP D Tm 34 Hướng dẫn giải Gắn trục tọa độ Ox, Oy, Oz hình vẽ Vì tam giác SAC vuông A � AC 2S SAC 4cm SA Vì AC AB BC nên tam giác ABC vuông A Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ Ta có A 0;0;0 , B 3;0;0 , C 0; 4;0 , S 0;0;3 Vì G trọng tâm tứ diện S.ABC nên ta có: xS x A xB xC � x G � 4 � yS y A yB yC � �3 � � G � ;1; � �yG �4 � � zS z A zB zC � �zG 4 � Gọi H hình chiếu điểm A lên mặt phẳng Theo tính chất tam diện vng ta có: T 1 1 2 AM AN AP AH AG �� T Mà AH � AM AN AP AH AG T 17 Dấu “=” xảy H �G tức mặt phẳng qua điểm G vng góc với Trang đường thẳng OG 17 Vậy giá trị nhỏ T Chọn A Bài tập tự luyện dạng Bài tập h B C có đáy ABC tam giác vng cân, AB AC a, AA� Câu 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC A��� a, h Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo A ah a 5h ah B 5a h C AB�và BC �theo a, h ah 2a h 2 D ah a h2 Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ điểm A 1;1;1 , B 2;0; , C 1; 1;0 , D 0;3; Trên cạnh AB, AC, AD lấy điểm B� , C� , D�sao cho AB AC AD C D tứ diện AB��� C D tích nhỏ Phương trình mặt phẳng B��� AB� AC � AD� A 16 x 40 y 44 z 39 B 16 x 40 y 44 z 39 C 16 x 40 y 44 z 39 D 16 x 40 y 44 z 39 B C có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc Câu 3: Cho lăng trụ tam giác ABC A��� A�trên mặt phẳng ABC trung điểm O cạnh AB Góc đường thẳng AA�và mặt phẳng B C 60� Gọi I trung điểm cạnh A��� A a 21 B B�� C Khoảng cách từ I đến đường thẳng A� C a 42 C a 21 D a 42 Bài tập nâng cao Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho điểm A 1;0; , B 2;0;5 , C 0; 1;7 Trên đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ABC A lấy điểm S Gọi H, K hình chiếu vng góc A lên SB, SC Biết S di động d S �A đường thẳng HK ln qua điểm cố định D Tính độ dài đoạn thẳng AD A AD 3 C AD B AD D AD Dạng 2: Bài tốn đại số Ví dụ mẫu Ví dụ: Có số thực m để hệ phương trình �x y z vô nghiệm? � x m y 2mz m � A B C Vô số D Hướng dẫn giải Trang Để hệ phương �x y z � x m y 2mz m � trình vơ nghiệm mặt phẳng P : x y z phải song song với mặt phẳng Q : x m y 2mz m Mặt phẳng P : x y z có vecto pháp tuyến uur nP 1; 2; 2 Mặt phẳng Q : x m y 2mz m có vecto pháp tuyến uur nQ 2; m 2; 2m Để P // Q m2 m 2m m � � �� � m �� m �2 2 1 � Do khơng có giá trị thực m thỏa mãn u cầu đề Chọn B Bài tập tự luyện dạng Bài tập �2 x by z Câu 1: Tìm số thực a, b để hệ phương trình � vơ nghiệm �ax y z A a 1; b 6 B a 1; b 6 C a ; b D a 1; b Bài tập nâng cao 2 � � x y 1 z Câu 2: Tìm tất giá trị thực tham số m để hệ phương trình � có 4x 3y m � nghiệm A m B m 1 m 21 C m m 21 D m 9 m 31 ĐÁP ÁN Dạng 1: Dạng hình học 1-A 2-D 3-D 4-C Dạng 2: Dạng đại số 1-B 2-C Trang ... B��� AB� AC � AD� A 16 x 40 y 44 z 39 B 16 x 40 y 44 z 39 C 16 x 40 y 44 z 39 D 16 x 40 y 44 z 39 B C có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc Câu 3: Cho... giải Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ, chọn a đơn vị độ dài Có A 1;0;0 , B 1;0;0 , C 1; 4; 0 , D 1; 4; 0 , A�0;0; 63 , B�2;0; 63 , C �1; 4; 63 , D�0; 4; 63 �1 63 � E... biểu thức T A Tm 17 B Tm 41 144 C Tm 10 1 2 AM AN AP D Tm 34 Hướng dẫn giải Gắn trục tọa độ Ox, Oy, Oz hình vẽ Vì tam giác SAC vuông A � AC 2S SAC 4cm SA Vì AC AB BC nên