BÀI ỨNG DỤNG CỦA HÌNH HỌC OXYZ MỤC TIÊU 1.Kiến thức 1.Nắm vững kiến thức hình học khơng gian Oxyz, cơng thức khoảng cách, góc 2.Nắm vững cách xác định khoảng cách, xác định góc đường thẳng mặt phẳng, mặt phẳng mặt phẳng; hai đường thẳng Biết cách gắn hệ trục tọa độ vào hình học khơng gian 2.Kỹ Vận dụng Cơng thức tính góc khoảng cách CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Bài tốn hình học Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O Gọi M N trung điểm hai cạnh SA BC, biết MN a Khi giá trị sin góc đường thẳng MN mặt phẳng (SBD) Hướng dẫn giải A D C D Gọi I hình chiếu M lên (ABCD), suy raI trung điểm AO 3a AC 4 a Xét CNI có CN , NCI 450 Áp dụng định lý cosin ta có: Khi CI NI CN Cl 2CN C.cos 450 a 9a a 3a 2 a 10 2 4 Xét MIN vuông I nên 3a 5a a 14 MI MN NI 2 Trang 1 a 14 SO SO 2 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ: Mà MI / / SO, MI 2 Ta có O(0;0;0), B 0; ;0 , D 0; ;0 , C ;0;0 , N ; ;0 , 2 4 14 14 A ;0;0 , S 0;0; ;0; , M 2 14 14 14 Khi MN ; ; ; ; ,SB 0; ,SD 0; 4 2 2 Vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( SBD) : n SB; SD 7;0;0 Suy sin( MN , ( SBD )) MN n MN | n | 2 Chọn B Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D có đáy ABCD hình chữ nhật, hình chiếu vng góc A' lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm H AB Cho AB 2a; AD 4a; AA ' 8a Gọi E,N,M trung điểm BC,DE,A'B Gọi góc MN AD Tỉnh tan A tan B tan C tan D tan 2 Hướng dẫn giải Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ, chọn a đơn vị độ dài Có A(1;0;0), B(1;0;0), C (1; 4;0), D(1; 4;0), A ' 0;0; 63 , B ' 2;0; 63 1 63 C '(1; 4; 63); D '(0; 4; 63); E (1; 2;0); N (0;3;0); M ;0; 2 63 MN ;3; , AD 1; 4; 63 Trang Có cos( MN , AD ) cos MN , AD Có tan 63 12 2 MN AD 5.4 5 MN AD 4; tan tan cos Chọn A Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA = 2a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Tan góc tạo hai mặt phẳng (ABC) (SBC) Hướng dẫn giải A B C D Để thuận tiện việc tính tốn ta chọn a Trong không gian, gắn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ cho gốc O trùng với điểm A, tia Ox trùng với tia AB, tia Oy trùng với tia AD, tia Oz trùng với tia AS Khi A(0;0;0), B(1;0;0), C(1;1;0), S (0;0;2), D(0;1;0) Vì M trung điểm SD nên tọa độ M M 0; ;1 SB (1;0; 2) Ta có n( sBC ) SB; BC (2;0;1) BC (0;1;0) 1 AM 0; ;1 n( AMC ) AM ; AC 1;1; 2 AC (1;1;0) Gọi góc hai mặt phẳng ( AMC) (SBC) Suy cos cos n( SBC ) ; n( AMC ) Mặt khác tan Vậy tan 5 n( SBC ) n( AMC ) n( SBC ) n( AMC ) 1 tan cos cos 1 Chọn D Trang Ví dụ Cho tứ diện S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC , SA AB 3cm, BC 5cm diện tích tam giác SAC 6cm Một mặt phẳng (d) thay đổi qua trọng tâm G tứ diện cắt cạnh AS, 1 AB, AC M,N,P Tính giá trị nhỏ Tm biểu thức T 2 AM AN AP 41 1 A Tm B Tm C Tm D Tm 17 144 10 34 Hướng dẫn giải Gắn trục tọa độ Ox,Oy,Oz hình vẽ Vì tam giác SAC vng A 2S AC SAC 4cm SA Vì AC AB2 BC nên tam giác ABC vuông A Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ Ta có A(0;0;0), B(3;0;0), C(0;4;0), S (0;0;3) Vì G trọng tâm tứ diện S.ABC nên ta có: xS x A xB xC xG 4 yS y A yB yC 3 3 G ;1; yG 4 4 z S z A z B zC zG 4 Gọi H hình chiếu điểm A lên mặt phẳng Theo tính chất tam diện vng ta có: 1 1 2 AM AN AP AH 1 1 T Mà AH AG T 2 2 AM AN AP AH AG 17 Dấu “=” xảy H G tức mặt phẳng qua điểm G vng góc với đường thẳng OG T Vậy giá trị nhỏ T 17 Chọn A Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân, AB AC a, AA ' h (a, h 0) Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AB ' BC ' theo a,h Trang A ah B ah C ah D ah 5a h a h2 a 5h 2a h Câu : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ điểm A 1;1;1 , B 2; 0; , C 1; 1; , D 0;3; Trên cạnh AB,AC,AD lấy điểm B ', C ', D ' AB AC AD tứ diện AB ' C ' D ' tích nhỏ Phương trình mặt phẳng (BC'D') AB AC AD A 16x 40 y 44z 39 B 16x 40 y 44z 39 cho C 16 x 40 y 44 z 39 D 16 x 40 y 44 z 39 Câu : Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A' mặt phẳng (ABC) trung điểm O cạnh AB Góc đường thẳng AA' mặt phẳng (A'B'C') 600 Gọi I trung điểm cạnh B'C' Khoảng cách từ I đến đường thẳng A ' C a 42 a 42 a 21 a 21 B C D Bài tập nâng cao Câu : Trong không gian Oxyz, cho điểm A 1; 0; , B 2; 0;5 , C 0; 1; Trên đường thẳng d vng A góc với mặt phẳng (ABC) A lấy điểm S Gọi H, K hình chiếu vng góc A lên SB, SC Biết s di động d (S A) đường thẳng HK ln qua điểm cố định D Tính độ dài đoạn thẳng AD A AD 3 C AD B AD D AD ĐÁP ÁN 1-A 2-D 3-D 4-C Dạng Bài toán đại số x y 2z 1 Ví dụ Có số thực m để hệ phương trình vơ nghiệm? 2 x (m 2) y 2mz m A B.0 C Vô số D.2 Hướng dẫn giải x y 2z 1 Để hệ phương trình vơ nghiệm mặt phẳng 2 x (m 2) y 2mz m ( P) : x y z 1 phải song song với mặt phẳng (Q) : x (m 2) y 2mz m Mặt phẳng P : x y 23 có vectơ pháp tuyến n p (1; 2; 2) Mặt phẳng Q : x m y 2mx m có vectơ pháp tuyến n0 (2; m 2; 2m) Để ( P) / /(Q) m 2m m m m 2 1 m Trang Do khơng có giá trị thực m thỏa mãn yêu cầu đề Chọn B Bài tập tự luyện dạng Bài tập 2 x by z Câu : Tìm số thực a,b để hệ phương trình vô nghiệm, ax y z A a 1; b 6 B a 1; b 6 C a ; b D a 1; b Bài tập nâng cao ( x 2)2 ( y 1) ( z 2) Câu : Tìm tất giá trị thực tham số m để hệ phương trình có 4 x y m nghiệm A m B m 1 m 21 C m m 21 D m 9 m 31 ĐÁP ÁN 1-B 2-C Trang ... AD A 16x 40 y 44 z 39 B 16x 40 y 44 z 39 cho C 16 x 40 y 44 z 39 D 16 x 40 y 44 z 39 Câu : Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu... dẫn giải Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ, chọn a đơn vị độ dài Có A(1;0;0), B(1;0;0), C (1; 4; 0), D(1; 4; 0), A ' 0;0; 63 , B ' 2;0; 63 1 63 C '(1; 4; 63); D '(0; 4; 63); E (1; 2;0); N... Tm biểu thức T 2 AM AN AP 41 1 A Tm B Tm C Tm D Tm 17 144 10 34 Hướng dẫn giải Gắn trục tọa độ Ox,Oy,Oz hình vẽ Vì tam giác SAC vng A 2S AC SAC 4cm SA Vì AC AB2 BC nên