BÀI 3 ỨNG DỤNG của TÍCH PHÂN

BÀI ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN MỤC TIÊU Kiến thức : 1.Nắm vững cơng thức tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể thể tích khối trịn xoay 2.Ghi nhớ kiến thức phương trình đường thẳng, parabol, đường trịn elip 3.Nắm định nghĩa, tinh chất phương pháp tính tích phân Kỹ 1.Hiểu rõ ứng dụng tích phân để vận dụng vào việc tính diện tích, hình phẳng thể tích vật thể, vật thể trịn xoay 2.Lập phương trình đường thẳng, parabol, đường trịn elip để xử lí tốn liên quan 3.Tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể thể tích khối trịn Xoay trường hợp cụ thể A ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG I.LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Diện tích hình phẳng (P) giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b  , trục hoành hai đường thẳng x  a, x  b (với a  b ) xác định theo công thức: b S   f ( x) dx a Phần tơ màu đen diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) tiên tục đoạn [a;b], trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b (với a = b) Đặc biệt: • Nếu f ( x)  0, x [a; b] b b a a S   f ( x) dx   f ( x)dx • Nếu f ( x)  0, x [a; b] b b a a S   f ( x) dx   f ( x)dx Chú ý Nếu f  x  không đổi dấu đoạn  a, b  b S   f  x  dx  a b  f  x dx a • Nếu phương trình f  x   có nghiệm x  c thuộc khoảng (a;b) Trang b c b S   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  a a c c b  f ( x)dx  a  f  x dx c • Nếu phương trình f  x   có nghiệm c1  c2 thuộc khoảng (a;b) b S   f ( x)dx  a c1  f  x  dx  c c2  b f ( x)dx  c1  f ( x)dx c2 Hình phẳng giới hạn hai đường cong - Diện tích hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số  C1  : y  f ( x),  C2  : y  g ( x) liên tục đoạn[a;b] hai đường thẳng x  a, x  b (với a  ) xác định theo cơng thức: Phần gạch chéo hình hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số  C1  : y  f ( x);  C2  : y  g ( x) liên tục đoạn [a;b] hai đường thẳng x = a,x = b (với a  b ) Chú ý • Nếu phương trình f  x   g  x  vơ nghiệm khoảng (a;b) b b a a S   f  x   g  x  dx    f  x   g  x   dx • Nếu phương trình f  x   g  x  có nghiệm x  c thuộc (a;b) c b a c S   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)  g ( x) dx c b a c    f  x   g  x   dx    f  x   g  x   dx • Nếu phương trình f  x   g  x  có hai nghiệm c1  c2 thuộc khoảng (a;b) Đặc biệt: • Nếu f ( x)  g ( x), x [a; b] (đồ thị  C1  nằm phía đồ thị  C  ta có: b b a a S   f  x   g  x  dx   [ f ( x) - g ( x)]dx Nếu f ( x)  g ( x), x [a; b] (đồ thị  C1  nằm phía đồ thị  C  ta có: b b a a S   f  x   g  x  dx   [ f ( x) - g ( x)]dx ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Trang II.CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Tính diện tích hình phẳng Bài tốn 1: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị đường cong Phương pháp giải (C ) : y  f ( x) Ox : y   Xét hình phẳng ( H ) :  x  a  x  b(a  b) b Khi diện tích hình phẳng (H) là: S   f  x  dx a Trong loại này, thiếu cận a b ta tìm cách giải phương trình f  x   Ví dụ: Gọi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C ) : y  3x  hai trục tọa độ S x 1 Tính S Hướng dẫn giải Hoành độ giao điểm (C) trục hoành nghiệmcủa phương trình: 3x  1 0 x x 1 Do diện tích hình phẳng S 3x    1 x  dx x || 1   x  dx 0 3  (3 x  ln | x  1|)  ln  3 Ví dụ mẫu Trang Ví dụ Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  ( x  2)2 1, trục hoành hai đường thẳng x  1, x  A Hướng dẫn giải B 2 C D Ta có S   ( x  2)  1dx   x  x  dx 1 Vì phương trình x  x   khơng có nghiệm 1;  nên 2 S x 2  x  3dx  Lưu ý: Các phần tính tích phân, học sinh sử dụng máy tính bỏ túi để kiểm tra kết Chọn A Ví dụ Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y  f  x  , trục hoành hai đường thẳng x  3, x  (như hình vẽ bên) Đặt a   3 f ( x)dx, b   f ( x)dx Mệnh đề sau đúng? A S  a  b Hướng dẫn giải Ta có Ta có S  C S  a  b B S  a  b 2 3 3 D S  b  a  f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx   f ( x)dx  a  b Chọn D Ví dụ Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y  ln x , y  0, x  1, x  e Mệnh đề x2 đúng? ln x A S    dx x ln x B S   dx x  ln x  C S      dx x  1  ln x  D S      dx x  1 Hướng dẫn giải Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  e S ln x , y  0, x  1, x  e là: x2 e ln x ln x ln x dx   dx  0, x  (1; e) x x x Chọn B Ví dụ Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  In x, y  đường thẳng x  A e2 Hướng dẫn giải Ta có ln x   x  e B e  C.2e D e  Trang Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  In x, y  đường thẳng x  là: e e e S   ln x  1dx   (ln x  1)dx || x(ln x  1)   dx ||1  x 1∣  e  e 1 1 Chọn D Ví dụ 5* Gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  ex , trục hoành đường thẳng x  1, x  Với k  (1;1), đường thẳng x  k chia hình phẳng (H) thành hai hình phẳng có diện tích S1 S2 (như hình vẽ bên) Giá trị k để S1  S2  1 B ln  e    e  A 2ln 1 Hướng dẫn giải Vì ex  với x  k D ln nên ta có S1   e x dx  e x  ek  e1và S2   e x dx  e x k 1 1  C ln  e    ln e  A  e  ek k S1  S  e k  e 1  e  e k  2e k  e  1 1  ek   e   e 2 e 1 1 1   k  ln  e    ln  e    ln 2 e e  Chú ý: a x  b  x  log a b Chọn C Ví dụ 6* Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  2;6 hình vẽ bên Biết miền A, B, x  có diện tích 32;2;3 Tích phân   f  x    1dx 2 45 Hướng dẫn giải A B.41 C.37 D 41 Trang 2   f  x    1dx   f (2 x  2)dx  Ta có 2 2 Xét I1   f (2 x  2)dx 2 dt Đổi cận: x  2  t  2; x   t  Đặt t  x   dt  2dx  dx  Suy I1   f (t )dt 2 Gọi x1; x2 hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y  f  x  với trục hoành  2  x1  x2   Ta có x x2  1 1 33 l1    f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt    S A  S B  SC   (32   3)     2 2 x x2  2 Vậy   f  x    1dx  I 4 2 33 41 4 2 Chọn D Ví dụ 7* Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm Số y  f '  x  hình bên Đặt g ( x)  f ( x)  ( x  1)2 Mệnh đề đúng? A g  3  g  3  g 1 B  3  g  3  g 1 C g 1  g  3  g  3 D g 1  g  3  g  3 Hướng dẫn giải Ta có g '( x)  f '( x)  2( x  1) g '( x)   f  ( x)  x  Đây phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số f '  x  đường thẳng d : y  x  Dựa vào đồ thị ta thấy: Trang x  g '( x)   f  ( x)  x     x  3 Bảng biến thiên: Suy g (3)  g (1) g (3)  g (1) Gọi S1 , S2 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f '  x  , đường thẳng d : y  x  đoạn  3;1 1;3 ta có: +) Trên đoạn  3;1 ta có f  ( x)  x  nên S1   g '( x) dx  3  f  ( x)  ( x  1) dx  23 +) Trên đoạn 1;3 ta có f  ( x)  x  nên S2   g '( x) dx   ( x  1)  f  ( x) dx 21 Dựa vào đồ thị ta thấy S1  S2 nên ta có: g ( x) 3   g ( x)  g (1)  g (3)   g (3)  g (1)  g (3)  g (3) Vậy g 1  g  3  g  3 Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số f '  x  đường thẳng d : y  x  nghiệm phương trình g '  x   Lập bảng biến thiên ta thấy g(1) lớn g  3  Ta chi cần so sánh g  3 g  3  So sánh diện tích dựa vào đồ thị Chọn D Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong Phương pháp giải  C1  : y  f ( x)   C  : y  g ( x) Xét hình phẳng ( H ) :  x  a  x  b(a  b) Khi diện tích hình phẳng (H) là: b S   f ( x)  g ( x) dx a Trong loại này, thiếu cận a b ta tim cách giải phương trình f  x   g  x  Lưu ý: Kĩ phá dấu giá trị tuyệt đối, quan sát hình vẽ để xác định diện tích Ví dụ: Tính diện tích phần gạch chéo hình vẽ sau Trang Hướng dẫn giải Từ đồ thị ta thấy  x2   x2  x 1x [1;2] Vậy diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ S     x  3   x  x  1 dx     2 x  x  dx 1  2   x  x2  x    1  →Ví dụ mẫu Ví dụ Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y  x3  3x, y  x Tính S A S  B S  C S  D S  Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị  x  2 x3  3x  x  x3  x     x  0 Vậy S   x 2  x dx    x3  x dx∣    Chọn B Ví dụ Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường my  x2 , mx  y (với m  ) Tìm giá trị m để S  A m  Hướng dẫn giải B m  C m  D m  x2 Vì m  nên từ my  x ta suy y   0; ta suy y = =0; m Từ mx  y nên x  y  mx  x  x2  mx  x  m3 x   Xét phương trình m  x  m Khi diện tích hình phẳng cần tìm là: Trang m S m  x2 x2  mx  dx    mx  dx m m 0 2 m   x x  x3  2  || m ∣  m 3m  3 Yêu cầu toán S   m2   m2   m  3( vi m  0) Chọn C Ví dụ Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm y  x y  2x x 1 S  a  bln2 với a,b số hữu tỷ Giá trị a  b A  B C  3 Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm  C1  : y  x  C2  : y  D 2x x 1 x  x x2  ( x  1)  x3  x  x    x  1 x 1  x  Diện tích hình phẳng cần tìm 0  x3   2x    S    x dx      x dx   x  2ln | x  1|     2ln x 1 x 1  1    1  1  b  2 Vậy a  b   Chọn A Suy a  Ví dụ 4* Cho (H) hình phẳng giới hạn parabol y  3x , cung tròn có phương trình y   x2 (với  x  trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích (H) 4  12 Hướng dẫn giải A B 4  C 4   D  2 Trang Phương trình hồnh độ giao điểm parabol y  3x cung tròn y   x2 (với  x  )  x  x   x  x  x  Diện tích (H) S   3x dx   1 3  x dx  x 1   với I    x dx 3    Đặt x  2sin t , t    ;   dx  cos t.dt  2 Đổi cận x   t   ,x  2t      2     6 6 I    4sin t cos t.dt   cos t.dt   2(1  cos 2t ).dt  (2 x  sin 2t ) 2  2  Vậy S  3 2 4  I     3 Chọn B Ví dụ 5* Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị (C) hàm đa thức bậc ba parabol (P) có trục đối xứng vng góc với trục hồnh Phần tơ đậm hình vẽ có diện tích 37 11 B C D 12 12 12 12 Hướng dẫn giải Vì đồ thị hàm bậc ba đồ thị hàm bậc hai cắt trục tung điểm có tung độ y  A y  nên ta xét hai hàm số y  ax3  bx2  cx  2, y  mx2  nx (với a, m  ) Suy (C) : y  f ( x)  ax3  bx2  cx  ( P) : y  g ( x)  mx2  nx Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (P) là: Trang 10 3 1 Suy thể tích vật thể tạo thành V   S  x  dx   3x 3x  2dx  124 Ví dụ mẫu Ví dụ Tính thể tích V vật thể nằm hai mặt phẳng x  x   , biết thiết diện vật thể   bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x   x   làm tam giác có 4  cạnh cos x B V  A V  3 C V  D V  Hướng dẫn giải Diện tích tam giác S  x    cos x   4 0   cos x  Thể tích vật thể V   S  x  dx   cos xdx  3 sin x  2 Chọn B Bài toán Tính thể tích khối trịn xoay Phương pháp giải Áp dụng cơng thức tính thể tích khối trịn xoay: Cho hình phẳng  H  giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b  , trục Ox hai đường thẳng x  a, x  b (với a  b ) Quay (H) xung quanh trục Ox ta thu khối trịn xoay tích b Vx     f  x   dx a Ví dụ: Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y   cos x , trục hoành đường thẳng x  0, x   Khối tròn xoay tạo quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? Hướng dẫn giải   2 Ta có Vx    y dx      cos x  dx 0     x  sin x  02    | 1 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y  x2  2, y  0, x  1, x  Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay (H) xung quanh trục Ox Mệnh đề đúng? A V    x   dx B V    x   dx 2 C V     x   dx D V     x   dx 1 Hướng dẫn giải Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay (H) giới hạn đồ đường y  x  2, y  0, x  1, x  xung quanh trục Ox V     x   dx 2 Trang 31 Chọn C 2x 1 , trục hoành, hai đường thẳng 2x 1 x  1, x  Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành cho hình (H) quay xung quanh trục Ox Ví dụ Cho hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hàm số y    a V    ln  b  , a, b số hữu tỷ Khi tích a.b   10 10 A B  C D 2 3 Hướng dẫn giải Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành hình phẳng (H) quay xung quanh trục Ox 2   2x 1  2x 1 V     dx      dx    1  x   x  12  dx 2x 1  1  x  1   2   15  1 1     ln  x  1        ln      ln 2x 1  15  2  15   Suy a  15, b   15 Vậy a.b  2 Chọn D Ví dụ Cho parabol  P  : y  16  x hai điểm A(a;0), B(a;0);0  a  Gọi  H  hình phẳng giới hạn (P) trục Ox,  H1  hình chữ nhật ABCD với C, D hai điểm thuộc (P) Gọi V thể tích hình trịn xoay có xoay  H  quanh Oy V1 thể tích hình trịn xoay có xoay  H1  quanh Oy Giá trị lớn tỉ số A Hướng dẫn giải B V1 V C D 16 Ta có V  Vy    16  y dy  128 Vì D   P  nên D  a;16  a  Suy AD  16  a Do xoay  H1  quanh Oy ta hình trụ trịn có bán kính R  a chiều cao h  16  a Suy V1   a 16  a    16a  a  Xét hàm số f  x    16 x  x   0;  ta thấy: f '  x     32 x  x  Trang 32 x   f ' x   x  2  x  2    nên max f  x   f 2  64 0;4  V  64  a  2 Vậy max     V  128 Chọn C Ví dụ Kí hiệu (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x  1 e x , trục tung trục hồnh Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình (H) xung quanh trục Ox: A V   2e B V    2e   D V   e    C V  e2  Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số trục hoành  x  1 e x   x  Thể tích khối trịn xoay thu quay hình (H) xung quanh trục Ox là: 1 V     2( x  1)e x  dx  4   x  1 e2 x dx 2 0  du   x  1 dx u   x  1  Đặt   e2 x 2x dv  e dx v      1 e2 x Suy V  4  x  1  4   x  1e2 x dx  2  4   x  1e x dx 0 Gọi V1  4  ( x  1)e2 x dx du  dx u  x   Đặt   e2 x 2x dv  e dx v     Suy V1  4  x  1 1 e2 x  2  e2 x dx  2   e2 x  2   e2    3   e2 V  2  V1  2   3   e     e   Chọn D Ví dụ Cho hình phẳng  H  giới hạn hai đồ thị  C1  : y  x  C2  : y  x Quay hình phẳng H  xung quanh trục Ox ta thu khối trịn xoay tích 88 9 4 B V  C V  70 Hướng dẫn giải Tọa độ giao điểm  C1   C  nghiệm hệ phương trình A V  D V  6 Trang 33  y  2x2 x  y     x  1; y   y  4x Với x   0;1 y  x  y  x  Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính V     x   x  dx     x  x  dx  6 Chọn A Ghi nhớ: Cho hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số  C1  : y  f  x  ,  C2  : y  g  x  liên tục đoạn  a; b  hai đường thẳng x  a, x  b (với a  b ) Quay (H) xung quanh trục Ox ta thu khối trịn xoay Khi đó, thể tích khối tròn xoay thu b V    f  x   g  x  dx a Ví dụ Cho hình phẳng (H) giới hạn đường  C1  : f ( x)  x   ,  C2  : g ( x)  sin x x  Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành (H) quay quanh trục hoành V  p ,  p  24 p A B C 24 Hướng dẫn giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số  C1   C   Giá trị D 12 x    sin x  x    sin x  1 Xét hàm số h  x   x    sin x  h '  x    cos x  0, x  Suy h  x  đồng biến x   nghiệm phương trình 1 nên x   nghiệm phương trình 1 Trang 34 Lưu ý: Vì đoạn  0;   y  x    y  sin x  nên áp dụng công thức b V    f  x   g  x  dx a Ở ta áp dụng cơng thức tính thể tích khối nón V   r h Do thể tích khối trịn xoay tạo thành quay (H) quanh trục hồnh thể tích khối nón quay tam giác vng OAB quanh trục hồnh 1 1 V   OB OA        p  3 3 Vậy 24 p  24  Chọn A Ví dụ Để chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An làm mũ “cách điệu” cho ơng già Noel có dáng khối trịn xoay Mặt cắt qua trục mũ hình vẽ bên Biết OO '  cm, OA  10 cm, OB  20 cm, đường cong AB phần parabol có đỉnh điểm A Thể tích mũ 2750 2500 2050 2250 cm3 cm3 cm3 cm3 B C D 3 3 Hướng dẫn giải Ta gọi: +) Thể tích mũ V +) Thể tích khối trụ có bán kính đáy OA  10 cm đường cao OO '  cm V1 A +) Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường cong AB hai trục tọa độ quanh trục Oy V2 Khi V1  5.102   500  cm3  V  V1  V2 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Do parabol có đỉnh A nên có phương trình dạng  P  : y  a  x  10  Trang 35 Vì  P  qua điểm B  0; 20  nên a  Do  P  : y   x  10  Từ suy x  10  y (do x  10)   8000  1000  Suy V2    10  y dy    3000    cm3     20 Vậy V  V1  V2  1000 2500   500    cm3  3 Chọn B Ví dụ Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y  x , y  x  quanh trục Ox Đường thẳng x  a   a   cắt đồ thị hàm số y  x M hình vẽ bên dưới: Gọi V1 thể tích khối trịn xoay tạo thành quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết V  2V1 Khi B a  2 A a  C a  D a  Hướng dẫn giải 4 x2 Ta có V    xdx    8 Mà V  2V1  V1  4 0 Gọi K hình chiếu M trục Ox Khi OK  a, KH   a, MK  a Khi xoay tam giác OMH quanh Ox ta hai khối nón sinh tam giác OMK, MHK nên thể tích khối trịn xoay 1 4 a V1   MK OK   MK KH  3 4 a  4  a  Từ V1  4 suy Chọn D Bài tập tự luyện Câu 1: Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường y   x2 , y  71 512 C V  D V   82 15 Câu 2: Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn A V  2 B V  đường y  tan x , y  0, x  0, x   Trang 36 A V   B V  2 C V   D V   ln 4 Câu 3: Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường y  x , y  0, x  1, x  9 93 C y  18,6 D V  Câu 4: Kí hiệu V1 thể tích hình cầu bán kính đơn vị V2 thể tích khối trịn xoay sinh quay A V   B V  hình phẳng giới hạn đường y  2 x  2, y   x quanh Ox Khẳng định sau đúng? A V1  V2 B V1  V2 C V1  V2 D V1  2V2 Câu 5: Cho khối trụ có hai đáy hai hình trịn  O; R   O '; R  , OO '  R Trên đường tròn  O; R  lấy hai điểm A,B cho AB  R Mặt phẳng (P) qua A, B cắt đoạn OO ' tạo với đáy góc 600  P  cắt khối trụ theo thiết diện phần hình elip Diện tích thiết diện  4  2  2  4 3 3 3 3 A  B  C  D       R  R  R R         Câu 6: Một cốc hình trụ có chiều cao 10 cm bán kính mặt cm đựng lượng nước Khi nghiêng cốc nước cho nước chạm vào miệng cốc đáy mực nước qua tâm đáy Thể tích nước cốc A 30 cm3 B 30 cm3 C 60 cm3 D 15 cm3 x x , y   , x  x  (phần hình phẳng bên phải trục Oy), tham khảo hình vẽ bên Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục Ox Câu 7: Gọi D hình phẳng giới hạn đường y  512 196 272 112     B C D 15 15 15 15 Câu 8: Cho hình (H) giới hạn trục hoành, Parabol đường thẳng tiếp xúc parabol điểm A  2;  (như hình vẽ bên) Thể tích vật thể trịn xoay tạo hình (H) quay quanh trục Ox A Trang 37 32 16  2 22 B C D 5 Câu 9: Cho hình (H) hình phẳng giới hạn đường cong x  y đường thẳng x  a với a  Gọi A V1 V2 , thể tích vật thể tạo trịn xoay sinh quay hình (H) quanh trục hoành trục V2 đạt a  a0  Hệ thức sau đúng? B 5V  4 a0 C 4V  5 a0 D 2V  5 a0 tung Kí hiệu V giá trị lớn V1  A 5V  2 a0 Câu 10: Xét (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f  x   a sin x  b cos x (với a, b số thực dương), trục hoành, trục tung đường thẳng x   Nếu vật thể tròn xoay tạo thành quay 5 f '    2a  5b B 11 C (H) quanh trục Ox tích A D 10 Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi  H1  hình phẳng giới hạn đường y  x2 x2 ,y , 4 x  4, x   H  hình gồm tất điểm  x; y  thỏa mãn x2  y  16, x2  ( y  2)2  4, x2  ( y  2)2  Cho  H1  ,  H  quay quanh trục Oy ta vật thể tích V1 , V2 Đẳng thức sau đúng? B V1  V2 C V1  2V2 D V1  V2 2 Câu 12: Cho (H) hình phẳng giới hạn parabol y  x đường trịn x  y  (phần tơ đậm hình) Thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay (H) quanh trục hoành A V1  V2 Trang 38 A 5 B 44 15 C  D Câu 13: Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f '  x    f  x  f '  x   2020 x, x  22 15 f (0)  f '(0)  Gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f  x  trục hoành hai đường thẳng x  0, x  Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay (H) quanh trục Ox  8098  A V       Câu 14: Cho hình B V  4049  H  C V  8098  D V  8098  hình phẳng giới hạn parabol y  2 x , cung trịn có phương trình y   x ( với  x  ) trục hoành ( phần tơ đậm hình vẽ).Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình  H  quanh trục Ox 164 164 163 163 B C D 15 15 15 15 Câu 15: Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình trịn  C  : ( x  2)  ( y  3)  A quanh trục Ox A V  2 B V  6 C V   D V  6 Câu 16: Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b  Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành hai đường thẳng x  a, x  b  a  b  Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính theo công thức b A V    f  x  dx a b B V  2  f  x  dx C V   a b  f  x  dx a D V   b  f  x  dx a Câu 17: Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y  x  3, y  0, x  0, x  Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay (H) xung quanh trục Ox Mệnh đề sau đúng? Trang 39 A V     x  3 dx 2 B V     x  3 dx 2 C V     x  3 dx 2 D V    x  3 dx Câu 18: Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y  x  , trục hoành đường thẳng x  0, x  Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích A  x  dx B x  1 dx D    x  1 dx C   x  dx 0 Câu 19: Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y   sin x, trục hoành đường thẳng x  0, x   Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V  2(  1) B V  2 (  1) C V  2 D V  2 Câu 20: Cho hình phẳng D giới hạn đường y  x  3, y  0, x  0, x  Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D xung quanh trục Ox Mệnh đề sau đúng? 2 A V     x  3 dx 2 B V     x  3 dx 2 C V     x  3 dx 0 2 D V    x  3 dx Câu 21: Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y  e , trục hoành đường thẳng x  0, x  Khối tròn xoay tạo quay D quanh trục hồnh tích x A V   e2 B V    e2  1 e2  C V  D V    e2  1 Câu 22: Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y  x2  1, trục hoành đường thẳng x  0, x  Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích 4 B V  2 C V  D V  3 Câu 23: Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y  x2  2x, y  0, x  0, x  quanh trục hồnh có giá trị A V  A V  8 15 B V  7 C V  15 D V  Câu 24: Cho hình phẳng D giới hạn đường y   sin x  cos x , y  0, x  8  , x   Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành Ox 7 7 3 3 B C D 4 Câu 25: Cho hình phẳng D giới hạn đường y  x ln x, y  0, x  1, x  e Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành Ox bà A 32 B 28 C 34 D 20 Câu 26: Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y  ln x, trục hoành đường thẳng x  e Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh A V    e  1 B V    e   C V   e D V    e  1 A Câu 27: Thể tích vật trịn xoay quay hình phẳng (H) xác định đường y  x3  x , y  0, x  x  quanh trục Ox 81 81 71 71 A B C D 35 35 35 35 Trang 40 x 3 , trục hoành trục tung Khối tròn x 1 xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V   (a  b ln 2) với a, b số nguyên Giá Câu 28: Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y  trị T  a  b A T  B T  C T  10 D T  1 Câu 29: Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành cho hình phẳng giới hạn đường elip có phương trình x2 y   quay xung quanh trục Ox A 8 B 12 C 16 D 6 Câu 30: Vật thể paraboloid trịn xoay hình vẽ bên có đáy (phần gạch chéo) diện tích B  chiều cao h  (khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy) Thể tích vật thể A V   B V  C V   D V  Câu 31: Khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng (H) giới hạn đường cong y    x  4 ex , xe x  trục hoành hai đường thẳng x  0, x  quanh trục hồnh tích V    a  b ln  e  1  , a, b số nguyên Mệnh đề đúng? A a  b  B a  2b  3 C a  b  D 2a  b  13 Câu 32: Ký hiệu D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x   x e x trục hoành, đường thẳng x  Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay D quanh trục hồnh 1 A V  e2  B V    e  1 C V   e2  D V    e2  1 4 Câu 33: Trong mặt phẳng, cho đường elip (E) có độ dài trục lớn AA '  10 , độ dài trục nhỏ BB '  6, đường trịn tâm O có đường kính BB ' (như hình vẽ bên) Cho miền hình hình phẳng giới hạn đường elip đường trịn (được tơ đậm hình vẽ) quay xung quanh trục AA ' Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành A V  36 B V  60 C V  24 D V  20 Trang 41 Câu 34: Một hình cầu có bán kính dm, người ta cắt bỏ hai phần hai mặt phẳng song song vng góc với đường kính để làm mặt xung quanh lọ chứa nước (như hình vẽ) Tính thể tích V mà lu chứa được, biết mặt phẳng cách tâm mặt cầu 4dm 368 368 14 40 B V  C V  D V   dm2  dm2 3 3 Câu 35 : Cho hai đường tròn  O1 ;5   O2 ;3  cắt hai điểm A,B cho AB đường kính A V  đường trịn  O2 ;3  Gọi D hình phẳng giới hạn hai đường trịn (ở ngồi đường trịn lớn, phần gạch chéo hình vẽ) Quay D quanh trục O1O2 ta khối trịn xoay Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành 68 14 40 C V  D V  3 Câu 36 : Một bình cắm hoa dạng khối trịn xoay với đáy bình miệng bình đường trịn có đường kính Mặt xung quanh bình phần mặt tròn xoay quay đường A V  36 B V  y  x  quay quanh trục Ox Thể tích bình cắm hoa đỏ A a  B 15 x C 14 D 14 Câu 37 : Gọi V thể tích khối trịn xoay giới hạn đồ thị hàm số y  x a y  a (2  a ) x ,  a  quay quanh trục Ox Giá trị a để V đạt giá trị lớn 3 A a -1 B a  C a  D a  2 Câu 38 : Cho hình H giới hạn đường y  x x2  y  (phần gạch sọc hình) Khối trịn xoay quay H xung quanh trục Ox tích bao nhiêu? Trang 42  32  4 (8  7) C  D       Câu 39 : Một trống trường có bán kính đáy 30 cm , thiết diện vng góc với trục cách hai đáy có diện tích 1600 (cm), chiều dài trống m Biết mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh trống đường parabol Hỏi thể tích trống bao nhiêu? A 425, 2dm3 B 425, 2mm3 C 425, 2cm3 D 425, 2m2 Câu 40 : Một bình hoa dạng khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   sin x  trục Ox (tham khảo hình vẽ bên) Biết đáy bình hoa hình trịn có bán kính dm, miệng bình hoa đường trịn bán kính 1,5 dm Bỏ qua độ dày bình hoa, thể tích bình hoa gần với giá trị giá trị sau đây? A 2 (8  7) B 4 (13  2) A 100dm3 B 104dm3 C 102dm3 D 103dm3 Câu 41 : Hình elip ứng dụng nhiều thực tiễn, đặc biệt kiến trúc xây dựng đấu trường La Mã, tòa nhà Ellipse Tower Hà Nội, sử dụng thiết kế logo quảng cáo, thiết bị nội thất, Xét Lavabo (bồn rửa) làm sứ đặc hình dạng nửa khối elip trịn xoay có thơng số kĩ thuật mặt Lavabo là: dài x rộng: 660  380 mm (tham khảo hình vẽ bên) Biết Lavabo có độ dày 20 mm Thể tích chứa nước Lavabo gần với giá trị giá trị sau: Trang 43 A 18,66dm3 B 18,76dm3 C 18,86dm3 D 18,96dm3 Câu 42 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vật thể (H) giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x  a x  b(a  b) Gọi S(x) diện tích thiết diện (H) bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x với a  x  b Giả sử hàm số y  S ( x) liên tục đoạn [a,b] Khi đó, thể tích V vật thể (H) cho công thức: b A V     S  x   dx B V    S ( x)dx a b C V    S  x   dx a a D V   S ( x)dx a Câu 43 : Cho (T) vật thể nằm hai mặt phẳng x  0, x  Tính thể tích V (1) biết cắt (T) mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hoành độ x(0  x  1) ta thiết diện tam giác có cạnh  x 3 3 3  A V  B V  C V  D V   8 2 Câu 44 : Cho vật thể (T) giới hạn hai mặt phẳng x  0; x  Cắt vật thể (T) mặt phẳng vng góc với trục Ox x(0  x  2) ta thu thiết diện hình vng có cạnh ( x  1)e x Thể tích vật thể (T)  13e4  1 13e  C 2e2 D 2 e2 4 Câu 45 : Ta vẽ hai nửa đường trịn hình vẽ bên, đường kính nửa đường trịn lớn gấp đơi đường kính nửa đường trịn nhỏ Biết nửa hình trịn đường kính AB có diện tích 8m A B BAC  300 Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình (H) (phần tơ đậm) xung quanh đường thẳng AB  13e4  1 98 224  C D 4  3 Câu 46 :Một đồ chơi thiết kế gồm hai mặt cầu  S1  ,  S  có bán kính R thỏa mãn tính chất: A B tâm  S1  thuộc  S  ngược lại (xem hình vẽ) Tính thể tích phần chung V hai khối cầu tạo (S) (SA) Trang 44 A  R3 B  R3 C  R3 12 D 2 R ĐÁP ÁN 1-C 2-D 3-D 4-B 5-D 6-C 7-B 8-B 9-A 10-C 11-A 12-B 13-C 14-A 15-B 16-A 17-C 18-D 19-B 20-C 21-D 22-A 23-A 24-A 25-A 26-B 27-A 28-D 29-C 30-B 31-D 32-D 33-C 34-C 35-D 36-B 37-D 38-D 39-A 40-D 41-B 42-D 43-C 44-B 45-B 46-C Trang 45 ...  m, MQ  m Hỏi số tiền để mua hoa trang trí gần với số tiền sau đây? A 34 3 430 0 đồng B 33 734 00 đồng C 34 3 730 0 đồng D 37 333 00 đồng Câu 12: Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng kích thước hình... 14-A 15-B 16-A 17-C 18-D 19-B 20-C 21-D 22-A 23- A 24-A 25-A 26-B 27-A 28-D 29-C 30 -B 31 -D 32 -D 33 -C 34 -C 35 -D 36 -B 37 -D 38 -D 39 -A 40-D 41-B 42-D 43- C 44-B 45-B 46-C Trang 45 ... chuồng bò hết 35 0000 đồng /m2 cách BC khoảng m Số tiền chi phí ơng Bình bỏ để xây dựng chuồng bò (làm tròn đến hàng nghìn) bao nhiêu? A 633 3000 đồng B 7 533 000 đồng C 6 533 000 đồng D 733 3000 đồng Trang