CD50 các bài TOÁN cực TRỊ LIÊN QUAN đến điểm, mặt cầu

Chuyên đề Ⓐ ㊿ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ (OXYZ) KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Dạng ➊: Tìm điểm M thuộc (P) cho có đạt  Phương pháp giải: • Tìm điểm I thõa mãn hệ thức tọa độ điểm I là: • Phân tích • Khi • Viết phương trình đường thẳng IM qua I vng góc với (P) • Khi M hình chiếu vng góc I lên (P) Dạng ❷: Tìm điểm M thuộc (P) cho đạt max  Phương pháp giải: • Tìm điểm I thỏa mãn hệ thức • Phân tích = • Nếu • Khi T đặt min; T đặt max M hình chiếu vng góc I lên (P) Dạng ❸: Tìm điểm M thuộc (P) cho  Phương pháp giải: Kiểm tra vị trí tương đối điểm A B so với mặt phẳng (P) Nếu A B phía (P) tốn phải lấy đối xứng A qua (P) dấu xảy Bài tốn tìm thẳng hàng hay , ta có giao điểm trực tiếp đường thẳng AB (P) Dạng ❺: Bài tốn lập phương trình mặt phẳng, đường thẳng có yếu tố cực trị • Phương pháp đại số: • Gọi véc tơ pháp tuyến véc tơ phương mặt phẳng (hoặc đường thẳng) cần lập • • Thiết lập phương trình quy ẩn (a theo b,c ngược lại) từ kiện mặt phẳng chứa đường, song song vng góc Giả sử phương trình thu gọn ẩn • Thiết lập phương trình khoảng cách mà đề yêu cầu, thay vào ta phương trình hai ẩn b;c • Xét hàm khoảng cách • + Nếu • + Nếu • Khảo sát hàm lưu lại giá trị khoảng cách ta thu kết  Chú ý: • • Cơng thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng • Cơng thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng • Cơng thức khoảng cách hai đường thẳng ; với M thuộc Phương pháp hình học: Bài tốn: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất, với M điểm không thuộc d  Phương pháp giải: Đường thẳng d xác định qua điểm A có véc tơ phương • • Kẻ điểm K cố định • Ta có • Suy • Gọi Khi mặt phẳng chứa M d ta có: • • • Khi (P) qua A có véc tơ pháp tuyến là: Nếu A B khác phía (P) tốn phải lấy đối xứng A qua (P) tốn tìm M giao điểm trực tiếp đường thẳng AB (P) Dạng ❺: Bài tốn tìm điểm M thuộc đường thẳng có yếu tố cực trị  Phương pháp giải: • Tham số hóa điểm M theo phương trình đường thẳng • Biến đổi giả thiết dạng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số  Chú ý: • Tam thức bậc hai: • Bất đẳng thức véc tơ: Cho véc tơ • Khi Ⓑ có đỉnh ta có: dấu xảy BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu Cho điểm thuộc (P) cho A Tìm điểm M Độ dài đoạn thẳng OM B C D Lời giải Gọi I điểm thỏa mãn Phương trình đường thẳng MI là: Cho A Chọn Câu Trong không gian tọa độ cho tam giác ABC có Gọi mặt phẳng (P) cho điểm thuộc nhỏ Giá trị biểu thức A B C D Lời giải Gọi trọng tâm tam giác ABC Ta có: = (P) nhỏ M hình chiếu G mặt phẳng Phương trình MG: Do suy Chọn B Câu Cho điểm cho biểu thức A Biết điểm M thuộc (P) đạt giá trị lớn Tính OM B C D Lời giải Gọi I điểm thỏa mãn Biến đổi đạt giá trị lớn M hình chiếu vng góc I lên (P) Khi phương trình MI là: Cho Chọn Câu Trong không gian phẳng A , cho hai điểm cho Điểm M mặt lớn Khi B B C có giá trị D Lời giải Gọi M điểm thỏa mãn Khi lớn phẳng ( nhỏ ) Suy Chọn C Câu : Trong khơng gian hệ tọa độ cho điểm (P) có phương trình (P) cho A M hình chiếu I mặt mặt phẳng Gọi I (a;b;c) điểm thuộc mặt phẳng đạt giá trị lớn Khi tổng a +b +c B C D Lời giải Đặt Do hai điểm A, B nằm khác phía so với mặt phẳng (P) Gọi điểm đối xứng B qua mặt phẳng (P) Điểm Ta có phẳng (P) I giao điểm Lại có Điểm Chọn B Câu Trong không gian hệ tọa độ cho mặt phẳng (P) có phương trình điểm Gọi M (a;b;c) điểm thuộc mặt phẳng (P) cho A mặt B nhỏ Tính giá trị T= a+b+c C D Lời giải Kí hiệu Gọi ta có nên A,B nằm phía với (P) điểm đối xứng A qua mặt phẳng (P) Khi dấu xảy Phương trình thẳng hàng Gọi Cho Khi Chọn B Câu Trong không gian hệ tọa độ phẳng chứa đường thẳng cho ba điểm đồng thời cách điểm cắt trục tọa dộ điểm là: Thể tích Mặt khoảng lớn khối chóp A B C D Lời giải Giả sử Ta có: Ta có Suy Khi Ta có: Khi Chọn A Câu Trong không gian hệ tọa độ cho điểm Mặt phẳng đường thẳng chứa đường thẳng khoảng lớn Khi khoảng cách từ A B C đồng thời cách điểm đến bằng: D Lời giải Đường thẳng d xác định qua điểm có véc tơ phương Ta có: Áp dụng cơng thức nhanh ta có: Chọn A Câu Trong không gian hệ tọa độ cho hai điểm mặt phẳng (P) có phương trình Gọi d đường thẳng qua A nằm mặt phẳng (P), cách điểm B khoảng lớn Đường thẳng d cắt mặt phẳng điểm A B C D Lời giải Ta có: Mặt phẳng Câu 10 có phương trình Trong khơng gian hệ tọa độ điểm ; Chọn cho đường thẳng hai Viết phương trình đường thẳng góc với đường thẳng d cho khoảng cách từ B đến A B C D C qua A, vuông nhỏ Lời giải Đường thẳng nằm mặt phẳng (P) qua điểm Ta có: Áp dụng cơng thức nhanh ta có: Phương trình đường thẳng là: Câu 11 Trong khơng gian hệ tọa độ đường thẳng Chọn cho hai điểm B ; Gọi d đường thẳng qua A cắt đường thẳng cho khoảng cách từ B đến điểm sau: lớn nhất, đường thẳng d qua điểm A B C D Lời giải Gọi (P) mặt phẳng qua A chứa ; qua Ta có: Khi Suy Câu 12 Chọn A Trong khơng gian hệ tọa độ , gọi d đường thẳng qua song song với mặt phẳng , cho khoảng cách d lớn Đường thẳng d qua điểm điểm sau: A B C D Lời giải Gọi (Q) mặt phẳng qua A song song với Khi đó, Gọi hình chiếu vng góc điểm A Ta có: Suy Khi Chọn D Câu 13 Trong không gian hệ tọa độ cho ba điểm Gọi làm điểm thuộc đường thẳng CD cho tam giác ABM có chu vi nhỏ Tính A B C D Lời giải Ta có: Phương trình đường thẳng CD là: Vì nên Chu vi tam giác MAB là: Vì A,B cố định nên AB khơng đổi Ta có: = Dấu = xảy Câu 14 Chọn Trong không gian hệ tọa độ , cho hai đường thẳng Một mặt phẳng (P) vng góc với cắt A , cắt trục B C D Lời giải Gọi Vì B Tìm độ dài nhỏ đoạn AB B suy vuông góc với Khi 10 A Vậy độ dài nhỏ đoạn AB Câu 15 Trong khơng gian hệ tọa độ kính mặt cầu Chọn cho mặt cầu có tâm A có tâm bán kính phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu B mặt Đặt M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ khoảng cách từ điểm O đến A bán C Giá trị M + m D Lời giải Do nên mặt cầu cắt Giả sử cắt Suy M ta có J trung điểm MI Khi Mặt khác Do Đặt chọn Mặt khác Chọn C Câu 16 Trong không gian hệ tọa độ điểm cho mặt phẳng Mặt cầu hai qua hai điểm A, B tiếp xúc với điểm C Biết C ln thuộc đường trịn cố định Tính bán kính đường trịn A B C Lời giải 11 D Phương trình đường thẳng AB là: Suy giao điểm AB mặt phẳng tuyến mặt cầu MC tiếp Theo tính chất phương tích ta có: Do tập hợp điểm C đường trịn tâm B Câu 17 Trong khơng gian hệ tọa độ bán kính Chọn , cho ba điểm mặt cầu điểm thuộc mặt cầu cho biểu thức đạt giá trị nhỏ Tính tổng a + b + c A B C D Lời giải Gọi điểm thỏa mãn Khi đó: Ta có: nhỏ Mặt cầu Tính D MI nhỏ có tâm Cho điểm thỏa mãn yêu cầu nên 12 Chọn Câu 18 Trong không gian hệ tọa độ với , cho điểm mặt cầu có bán kính ngoại tiếp tứ diện OABC Khi tổng đạt giá trị nhỏ mặt cầu mặt phẳng mặt phẳng sau đây? A B C D tiếp xúc với Lời giải Bán kính mặt cầu Ta có ngoại tiếp tứ diện Đặt Khi Vì nên Dấu “ = ” xảy Tâm mặt cầu D Câu 19 Chọn Trong không gian với hệ tọa độ , , cho tam giác Tìm tọa độ điểm với thuộc mặt phẳng , cho nhỏ A B C Lời giải 13 D Chọn A Gọi điểm thỏa mãn Ta có Khi Do thuộc mặt phẳng Câu 20 nên để hình chiếu nhỏ hay Trong không gian với hệ tọa độ cho thay đổi thuộc mặt phẳng A nhỏ , Điểm Tìm giá trị biểu thức nhỏ B C D Lời giải Chọn C Gọi điểm thỏa mãn Phương trình mặt phẳng đó: Xét tọa độ điểm Vậy cần tìm 14 Câu 21 Trong không gian cho ba điểm thuộc mặt phẳng A , , cho B Điểm đạt giá trị nhỏ C Lời giải D Chọn D Lấy trọng tâm tam giác Ta có: Do bé lên mặt phẳng Vậy Câu 22 bé hình chiếu điểm Trong không gian với hệ toạ độ Tìm toạ độ điểm trục A B , cho hai điểm so cho , đạt giá trị nhỏ C D Lời giải Chọn C Gọi trung điểm Ta có: không đổi nên đạt giá trị nhỏ đạt giá trị nhỏ hình chiếu trục Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ bán kính cho mặt cầu có tâm điểm 15 , , , , có Gọi mặt cầu tiếp xúc với ba mặt cầu Mặt cầu nhỏ A B C có bán kính D Lời giải Chọn D Ta có , , vng Gọi mặt cầu thỏa mãn đề mặt cầu có bán kính Câu 24 trung điểm nên tam giác Trong không gian cho điểm thuộc mặt phẳng , , , Gọi cho biểu thức đạt giá trị nhỏ Khi A Do B có giá trị C Lời giải D Chọn D Do thuộc mặt phẳng Ta có nên , , Vậy đạt giá trị nhỏ 16 Câu 25 Trong không gian điểm , cho ba điểm cho A , Tìm đạt giá trị nhỏ nhất? C , B D Lời giải Chọn D Cách 1: Giả sử Dấu xảy Cách 2: Ta có: , Chọn điểm Để nhỏ , , cho Vậy 17 Câu 26 Trong không gian với hệ trục tọa độ , Gọi cho biểu thức là: A , cho bốn điểm , điểm nằm mặt phẳng đạt giá trị nhỏ Khi tọa độ B C D Lời giải Chọn D Ta có: , Suy ra: Gọi , , , nên không đồng phẳng trọng tâm tứ diện Khi Ta có: Do nhỏ Vậy Câu 27 hình chiếu vng góc lên mặt phẳng nên , cho ba điểm , Trong không gian với hệ tọa độ Biết điểm nằm giá trị nhỏ Khi tổng A B ngắn cho có C D Lời giải Chọn C Gọi điểm cho Khi Nên có giá trị nhỏ hình chiếu vng góc 18 ngắn nhất, Do Vậy Câu 28 Trong không gian với hệ tọa độ , Điểm , cho tam giác với thuộc mặt phẳng , cho đạt giá trị nhỏ Tính giá trị biểu thức A B C D Lời giải Chọn A Gọi trọng tâm tam giác Suy ra: Ta có: Do tổng khơng đổi nên Mà nhỏ nên Suy ra: hình chiếu vng góc lên , cho ba điểm , Vậy Câu 29 nhỏ nằm mặt phẳng mặt phẳng đạt giá trị nhỏ Trong không gian với hệ tọa độ điểm thuộc mặt cầu Khi biểu thức đạt giá trị nhỏ độ đài đoạn A B , C D Lời giải Chọn A Gọi trọng tâm tam giác Ta có 19 Khi đó: Do ngắn Ta lại có, mặt cầu qua tâm thuộc trục , Mà nên Vậy Câu 30 có bán kính ngắn Do Trong khơng gian với hệ tọa độ Biết , cho cho , , nhỏ Khi tổng A B C Lời giải D Chọn C Gọi trọng tâm tam giác Ta có Ta có nhỏ ngắn Do Câu 31 hình chiếu Suy Trong không gian , Gọi nhỏ Biết , ngắn Mà , nên Ta có , cho mặt cầu tập hợp điểm đường trịn bán kính 20 hai điểm để Tính đạt giá trị A B C D Lời giải Chọn A Mặt cầu có tâm Với bán kính tùy ý, ta có Do đó, Khi đó, ta có Ta hệ (Lấy PT thứ trừ theo vế cho PT thứ hai ta Do thuộc đường tròn ) giao tuyến Ta có: có tâm Ta có Câu 32 , bán kính nên đường trịn Trong khơng gian có bán kính , cho ba điểm Tìm tọa độ điểm mặt phẳng đạt giá trị nhỏ , cho biểu thức A B C D Lời giải 21 , Chọn B Chọn điểm cho Khi đó: đạt giá trị nhỏ hình chiếu vng góc lên mặt phẳng Vậy Câu 33 Trong không gian với hệ tọa độ Điểm A , cho hai điểm không gian thỏa mãn B ; Khi độ dài C lớn D Lời giải Chọn B Gọi Ta có Như vậy, điểm thuộc mặt cầu 22 tâm bán kính Do Câu 34 lớn Trong khơng gian với hệ trục tọa độ trình cầu A Cho ba điểm cho C , cho mặt cầu Diện tích tam giác B , , có phương nằm mặt có giá trị lớn bằng? D Không tồn Lời giải Chọn A Ta có Bài có tâm , , nằm mặt cầu Ta có Dấu bán kính qua xảy Do diện tích tam giác có giá trị lớn - HẾT - 23 ... mặt cầu có tâm A có tâm bán kính phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu B mặt Đặt M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ khoảng cách từ điểm O đến A bán C Giá trị M + m D Lời giải Do nên mặt cầu. .. cầu có tâm điểm 15 , , , , có Gọi mặt cầu tiếp xúc với ba mặt cầu Mặt cầu nhỏ A B C có bán kính D Lời giải Chọn D Ta có , , vng Gọi mặt cầu thỏa mãn đề mặt cầu có bán kính Câu 24 trung điểm... tọa độ với , cho điểm mặt cầu có bán kính ngoại tiếp tứ diện OABC Khi tổng đạt giá trị nhỏ mặt cầu mặt phẳng mặt phẳng sau đây? A B C D tiếp xúc với Lời giải Bán kính mặt cầu Ta có ngoại tiếp