BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỬ DỤNG TÂM TỈ CỰ BÀI 11 TÌM ĐIỂM M (P) : u = aMA + bMB + cMC CÓ u ĐẠT MIN PHƯƠNG PHÁP ax A + bxB + cxC x1 = a+b+c ay + byB + cyC Bước 1: Tìm điểm I thỏa mãn hệ thức aIA + bIB + cIC = tọa độ điểm I là: y1 = A a+b+c az A + bz B + czC z1 = a+b+c C ( ) Bước 2: Phân tích u = aMA + bMB + cMC = ( a + b + c ) MI + aIA + bIB + cIC = ( a + b + c ) MI Bước 3: Khi u = a + b + c MI u M hình chiếu vng góc I lên ( P ) Bước 4: Viết phương trình đường thẳng IM qua I vng góc với ( P ) uIM = n( P ) Khi M = ( P ) ( IM ) Ví dụ Cho điểm A ( 2;1; −1) , B ( 0;3;1) ( P ) : x + y − z + = Tìm điểm M thuộc ( P ) cho: a) MA + MB b) 2MA − MB Ví dụ Cho điểm A (1;0; −1) , B ( 2; −2;1) , C ( 0; −1; ) ( P ) : x − y + z + = Tìm điểm M thuộc ( P) cho: a) MA + MB + MC b) 2MA − 4MB + 3MC “Nếu hôm chưa học được gì thì đừng nên ngủ” Liên hệ: 090.328.8866 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt TÌM ĐIỂM M (P) : T = aMA + bMB2 + cMC ĐẠT MAX HOẶC MIN PHƯƠNG PHÁP Bước 1: Tìm điểm I thỏa mãn hệ thức aIA + bIB + cIC = 2 ( ) ( ) ( Bước 2: Phân tích T = aMA + bMB + cMC = a MI + IA + b MI + IB + c MI + IC ( ) ) 2 = ( a + b + c ) MI + 2MI aIA + bIB + cIC + C aIA + bIB + cIC = ( a + b + c ) MI + aIA2 + bIB + cIC Tmin a + b + c Bước 3: Tmax a + b + c → M hình chiếu vng góc I lên ( P ) Khi Tmax , Tmin MI ⎯⎯ Ví dụ Cho điểm A ( −3;5; −5 ) , B ( 5; −3; ) , C (1; 0; 3) ( P ) : x + y + z = Tìm điểm M thuộc ( P ) cho: a) T = MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ b) T = MA2 − 2MB2 đạt giá trị lớn Ví dụ Cho điểm A (1; 4;5 ) , B ( 0;3;1) , C ( 2; −1; ) ( P ) : x − y − z − 15 = Tìm điểm M thuộc ( P) cho : a) T = MA2 + MB + MC đạt giá trị nhỏ b) T = MA2 + MB − 4MC đạt giá trị lớn TÌM ĐIỂM M (P) : ( MA + MB )min HOẶC MA − MB max PHƯƠNG PHÁP Bước 1: Kiểm tra vị trí tương đối điểm A B so với mặt phẳng ( P ) Bước 2: C ➢ Nếu A B phía so với ( P ) : • Bài tốn ( MA + MB )min : phải lấy A đối xứng A qua ( P ) Khi đó: MA + MB = MA + MB AB , dấu “=” xảy A, M , B thẳng hàng hay M = AB ( P ) “Nếu hôm chưa học được gì thì đừng nên ngủ” Liên hệ: 090.328.8866 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt • Bài tốn tìm MA − MB max : ta có MA − MB AB M giao điểm trực tiếp đường thẳng AB ( P ) ➢ Nếu A B khác phía so với ( P ) : C • Bài toán MA − MB max : phải lấy A đối xứng với A qua ( P ) • Bài tốn tìm ( MA + MB )min M giao điểm trực tiếp đường thẳng AB ( P ) Ví dụ Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( −1;3; −2 ) , B ( −3;7; −18 ) mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = Tìm điểm M thuộc ( P ) cho MA + MB nhỏ Ví dụ Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = điểm A ( 2;3;0 ) , B ( 2; −1; ) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng ( P ) cho MA − MB lớn Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A (1;0;3) , B ( −3;1;3) , C (1;5;1) M ( x; y;0 ) Tìm giá trị nhỏ Tmin biểu thức T = MA + MB + MC A Tmin = 35 B Tmin = 37 C Tmin = 38 D Tmin = 12 BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỬ DỤNG TÂM TỈ CỰ LIÊN QUAN ĐẾN MẶT CẦU Ví dụ Trong khơng gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A ( 5;8; −11) , B ( 3;5; −4 ) , C ( 2;1; −6 ) mặt cầu ( S ) : ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = Gọi M ( xM ; yM ; z M ) điểm ( S ) cho biểu 2 thức MA − MB − MC đạt giá trị nhỏ Tính P = xM + yM A P = B P = C P = −2 D P = Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A (1;1; −1) , B ( −1; 2;0 ) , C ( 3; −1; −2 ) Giả sử M ( a; b; c ) thuộc mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + y + ( z + 1) = 861 cho P = MA2 − MB + MC 2 đạt giá trị nhỏ Giá trị T = a + b + c A T = 49 B T = 51 C T = 55 D T = 47 “Nếu hôm chưa học được gì thì đừng nên ngủ” Liên hệ: 090.328.8866 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : x + y + z + = hai điểm A ( 3;1;1) , B ( 7;3;9 ) Gọi M ( a; b; c ) điểm mặt phẳng ( ) cho MA + MB đạt giá trị nhỏ Tính S = a − 2b + 3c A S = −6 B S = 19 Câu M ( a; b; c ) điểm thuộc ( P ) thỏa mãn MA + 3MB nhỏ nhất, tính giá trị tích abc A −20 B C 12 D 24 Cho điểm A ( 4;1; −1) , B ( 2;3; −2 ) , C ( 6;3; −12 ) ( P ) : x + y − z + = Tìm điểm M thuộc ( P) cho 2MA + 3MB − MC đạt giá trị nhỏ Độ dài đoạn thẳng OM là: A OM = Câu D S = Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A ( −5; 2; ) , B ( −1;6; ) Mặt phẳng ( P ) : x + y − z − = Gọi Câu C S = B OM = C OM = D OM = Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng cho điểm A ( 0; −3;1) , B ( 2;7;1) C (1; 0;3 ) mặt phẳng ( P) có phương trình x + y − z − = Gọi M ( a; b; c ) ( P) cho MA + MB + 2MC nhỏ Tính giá trị T = a + 2b − 3c A T = Câu B T = C T = Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1; 2; ) , B ( 5; 4; ) mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = Nếu M thay đổi thuộc ( P ) giá trị nhỏ MA2 + MB2 200 A 60 B 50 C Câu D 2968 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( −3;5; −5 ) , B ( 5; −3;7 ) mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = Lấy điểm M ( a; b; c ) mặt phẳng ( ) cho MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ Tính S = a + b + c A S = B S = Câu D T = −1 C S = D S = Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1; 2;1) , B ( 2; −1;3) Điểm M mặt phẳng ( Oxy ) cho MA2 − 2MB2 lớn Khi T = xM + yM có giá trị A T = Câu C T = −1 D T = Cho điểm A (1;1; −1) , B ( 2;0;1) , C (1; −1; −1) ( P ) : x + y + z + = Biết điểm M thuộc ( P) cho T = MA2 + 2MB − MC đạt giá trị nhỏ Tính độ dài OM A OM = Câu B T = B OM = C OM = D OM = Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 0; −2; −3) , B ( −4; −4;1) , C ( 2; −3;3 ) Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng ( Oxz ) cho MA2 + MB + MC đạt giá trị nhỏ A ( 0; 0;3 ) B ( 0; 0; ) C ( 0; 0;1) D ( 0; 0; −1) “Nếu hôm chưa học được gì thì đừng nên ngủ” Liên hệ: 090.328.8866 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt Câu 10 Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A ( 2;0; −1) , B (1;0; −1) , C ( 0;1;0 ) Gọi M điểm thuộc mặt phẳng ( Oxy ) cho AM − BM + 2CM đạt giá trị lớn Tính độ dài đoạn thẳng OM A 13 B 29 C 26 D Câu 11 Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) có phương trình ( P ) : x − y + z + = điểm A ( 0;1; −2 ) , B ( 2;0; −3) Gọi M ( a; b; c ) điểm thuộc mặt phẳng MA + MB nhỏ Tính giá trị T = a + b + c A T = −5 B T = − C T = −1 D T = ( P) cho Câu 12 Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai điểm A (1;0; ) , B ( 0; −1;6 ) mặt phẳng ( P ) : x + y − z + 12 = Gọi M điểm di động mặt phẳng ( P ) Tìm giá trị lớn MA − MB A C B 10 D 10 Câu 13 Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai điểm M ( 0;1;3) , B (10;6;0 ) mặt phẳng ( P ) có phương trình ( P ) : x − y + z − 10 = Điểm I ( −10; a; b ) thuộc mặt phẳng ( P ) cho IM − IN lớn Tính tổng T = a + b A T = B T = C T = D T = Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 3;1;0 ) , B ( −9; 4;9 ) mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = Gọi I ( a; b; c ) điểm thuộc mặt phẳng ( P ) lớn Khi tổng a + b + c A a + b + c = 22 B a + b + c = −4 cho IA − IB đạt giá trị C a + b + c = −13 D a + b + c = 13 Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( −1;3;5 ) , B ( 2;6; −1) , C ( −4; −12;5 ) mặt phẳng ( P ) : x + y − z − = Gọi M điểm thuộc mặt phẳng ( P) cho biểu thức T = MA − 4MB + MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ Biết M ( x0 ; y0 ; z0 ) , hỏi x thuộc khoảng khoảng sau? A ( 0; ) B ( 2; ) C ( −4; −1) D ( −5; −4 ) Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A (1;0;3) , B ( −3;1;3) , C (1;5;1) M ( x; y;0 ) Tìm giá trị nhỏ Tmin biểu thức T = MA + MB + MC A Tmin = 35 B Tmin = 37 C Tmin = 38 D Tmin = 12 Câu 17 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1;1;0 ) , B ( −2;0;1) , C ( 0;0; ) mặt phẳng ( P ) : x + y + z + = Gọi M ( a; b; c ) điểm thuộc mặt phẳng ( P) S = MA.MB + MB.MC + MC.MA đạt giá trị nhỏ Tính Q = a + b + 6c A Q = B Q = −2 C Q = D Q = “Nếu hôm chưa học được gì thì đừng nên ngủ” Liên hệ: 090.328.8866 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt cho Câu 18 Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A ( 5;8; −11) , B ( 3;5; −4 ) , C ( 2;1; −6 ) mặt cầu ( S ) : ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = Gọi M ( xM ; yM ; z M ) điểm ( S ) cho biểu 2 thức MA − MB − MC đạt giá trị nhỏ Tính P = xM + yM A P = B P = C P = −2 D P = Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 0;1;1) , B ( 3;0; −1) , C ( 0; 21; −19 ) mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = Gọi M ( a; b; c ) điểm thuộc mặt cầu ( S ) cho biểu 2 thức T = 3MA2 + MB + MC đạt giá trị nhỏ Tính tổng S = a + b + c 12 14 16 A S = B S = C S = D S = 5 Câu 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A (1;1; −1) , B ( −1; 2;0 ) , C ( 3; −1; −2 ) Giả sử M ( a; b; c ) thuộc mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + y + ( z + 1) = 861 cho P = MA2 − MB + MC 2 đạt giá trị nhỏ Giá trị T = a + b + c A T = 49 B T = 51 C T = 55 D T = 47 “Nếu hôm chưa học được gì thì đừng nên ngủ” Liên hệ: 090.328.8866 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt ... −3;1;3) , C (1;5;1) M ( x; y;0 ) Tìm giá trị nhỏ Tmin biểu thức T = MA + MB + MC A Tmin = 35 B Tmin = 37 C Tmin = 38 D Tmin = 12 BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỬ DỤNG TÂM TỈ CỰ LIÊN QUAN ĐẾN MẶT CẦU Ví dụ Trong... đạt giá trị nhỏ b) T = MA2 − 2MB2 đạt giá trị lớn Ví dụ Cho điểm A (1; 4;5 ) , B ( 0;3;1) , C ( 2; −1; ) ( P ) : x − y − z − 15 = Tìm điểm M thuộc ( P) cho : a) T = MA2 + MB + MC đạt giá trị nhỏ... , B ( −1; 2;0 ) , C ( 3; −1; −2 ) Giả sử M ( a; b; c ) thuộc mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + y + ( z + 1) = 861 cho P = MA2 − MB + MC 2 đạt giá trị nhỏ Giá trị T = a + b + c A T = 49 B T = 51 C T