Tuyển tập các bài toán cực trị bồi dưỡng học sinh giỏi thcs

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ BỒI DƯỠNG HSG THCS (Liệu hệ tài liệu word mơn tốn SĐT (zalo) : 039.373.2038) Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng năm 2023 Website: tailieumontoan.com Mơc lơc Trang PHẦN HÌNH HỌC Chun đề Các toán cực trị tam giác Chuyên đề Các toán cực trị tứ giác, đa giác Chuyên đề Các toán cực trị đường tròn PHẦN SỐ HỌC, ĐẠI SỐ Chuyên đề Các toán cực trị số học Chuyên đề Các toán cực trị biểu thức biến Chuyên đề Các toán cực trị biểu thức nhiều biến Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 521 Website: tailieumontoan.com Chương Các toán cực trị tam giác 1.1 Giản lược kiến thức Các tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đại lượng gọi toán cực trị Giả sử A biểu thức (một biến nhiều biến) a) số m gọi giá trị nhỏ A thỏa mãn điều kiện: • A ≥ m với giá trị biến thuộc tập xác định biểu thức A; • Tồn giá trị biến để A nhận giá trị m Kí hiệu: m = A b) số M gọi giá trị lớn A thỏa mãn hai điều kiện: • A ≤ M với giá trị biến thuộc tập xác định biểu thức A; • Tồn giá trị biến để A nhận giá trị m Kí hiệu: M = max A Bất đẳng thức tam giác a) Với ba điểm A, B, C bất kì, ta có AB + AC ≥ BC Dấu " = " xảy A thuộc đoạn thẳng BC b) Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm A B ngắn độ dài đường gấp khúc có hai đầu A B Đường vng góc, đường xiên a) Trong đoạn thẳng nối từ điểm đến đường thẳng, đoạn vng góc với đường thẳng có độ dài ngắn b) Trong hai đường xiên kẻ từ điểm tới đường thẳng, đường xiên có hình chiếu lớn lớn ngược lại Quan hệ cạnh góc tam giác a) Trong tam giác, đối diện với cạnh lớn góc lớn ngược lại b) Đối diện với hai cạnh hai góc ngược lại Các hệ thức cạnh góc tam giác vuông a) Cho tam giác ABC vuông A, có đường cao AH, ta có: AB BH = = BC ; AC CH CB AH = HB.HC AH BC = AB AC BC = AB + AC 1 = + 2 AH AB AC b) Cho tam giác ABC vuông A, ta có: Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com AB BC sin C BC.cos B = = AC BC = = sin B BC.cos C AB AC = = tan C AC.cot B AC AB = = tan B AB.cot C S ∆ABC = BA.BC.sin B c) Nếu α + β = 90° thì: • sin α cos = = β ; cos α sin β • tan α cot = = β ; cot α tan β • < sin α < 1; < cos α < • sin α + cos α = • tan α cot α = • tan α = sin α cos α • cot α = cos α sin α Bất đẳng thức giá trị trung bình hai số dương a b a+b ≤ ab ≤ ≤ 1 + a b a + b2 Hệ thức lượng tam giác thường Cho tam giác ABC với AH đường cao a) Nếu góc  A nhọn BC = AB + AC − AB AH b) Nếu góc  A tù BC = AB + AC + AB AH c) Nếu M trung điểm cạnh BC AB + AC = AM + BC 2 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Định lý Heron (Hêrông) Cho đường thẳng xy hai điểm A, B nằm nửa mặt phẳng có bờ xy (A, B không thuộc xy) Điểm C thuộc đường thẳng xy Khi AC + CB nhỏ ⇔ AC BC tạo xy góc Chú ý: Hêrơng nhà tốn học Hy Lạp sống thành phố cổ A – lếch – xan – đri vào kỉ thứ sau Công Nguyên Chu vi – Diện tích a) Trong hình chữ nhật có diện tích hình vng có chu vi nhỏ b) Trong hình chữ nhật có chu vi hình vng có diện tích lớn c) Cho tam giác ABC có AB= c, BC= a, CA= b, a + b + c= p ; r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Ta có hệ thức S ABC = p.r Bất đẳng thức Bunhiakopski a) Cho số thực a, b, x, y Ta có bất đẳng thức ( ax + by ) ≤ ( a + b )( x + y ) Dấu " = " xảy ⇔ ay = bx b) Cho số thực a, b, c, x, y, z Ta có bất đẳng thức ( ax + by + cz ) Dấu " = " xảy ⇔ ≤ ( a + b + c )( x + y + z ) a b c = = ( x, y, z khác 0) x y z Bất đẳng thức Côsi Cho ba số a, b, c không âm Ta có a+b+c ≥ abc Dấu " = " xảy ⇔ a = b = c 1.2 Các toán vận dụng Bài 1: Cho hai làng A B nằm phía bờ sơng thẳng Hãy tìm vị trí M bờ sông để xây cầu cho tổng khoảng cách MA + MB có độ dài bé Hướng dẫn Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Giả sử hai bờ sông a b Gọi A′ điểm đối xứng A qua bờ a A′B giao cắt bờ sông a M M vị trí đầu cầu M cần xác định (của cầu MN vng góc với bờ sông a, b) Thật vậy, áp dụng định lý Hêrơng, ta có MA + MB < AC + CB với C vị trí khác M bờ a  điểm M nằm góc Hãy tìm Ox điểm A, Oy điểm Bài 2: Cho góc nhọn xOy B cho tam giác AMB có chu vi bé Hướng dẫn Gọi N, P tương ứng điểm đối xứng M qua Ox Oy Gọi A, B giao điểm NP với Ox Oy Khi đó, tam giác AMB có chu vi bé Thật vậy, C điểm Ox, C khác A, D điểm Oy, D khác B Chu vi ( CMD ) = CM + CD + DM = CN + CD + DP > NP = Chu vi (AMB)  hai điểm A, B phân biệt nằm góc xOy  Hãy xác định điểm M cạnh Bài 3: Cho góc nhọn xOy Ox điểm N cạnh Oy cho đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ Hướng dẫn Dựng A′ đối xứng với điểm A qua cạnh Ox Dựng B ′ đối xứng với điểm B qua cạnh Oy Dựng đường thẳng qua hai điểm A′, B ′ Đường thẳng cắt Ox, Oy M, N Ta có độ dài đường gấp khúc AMNB 1 = AM + MN + NB = A′M + MN + NB ′ = A′B ′ Các điểm M, N điểm cần xác định thỏa yêu cầu toán  hai điểm A B nằm miền góc Hãy xác định điểm N tia Oy Bài 4: Cho góc nhọn xOy điểm M tia Ox cho đường gấp khúc ANMB có độ dài nhỏ Hướng dẫn Dựng A′ đối xứng với điểm A qua cạnh Oy Dựng B ′ đối xứng với điểm B qua cạnh Ox Đường thẳng A′B ′ cắt Oy Ox tương ứng N M có độ dài đường ANMB thỏa mãn Bài 5: Cho trước đoạn thẳng BC độ dài h Hãy dựng điểm A cách đường thẳng BC đoạn h cho tam giác ABC có chu vi nhỏ Hướng dẫn Điểm A cách BC khoảng h Do đó, A thuộc đường thẳng xy song song với BC cách BC Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com khoảng h Xét chu vi ( ABC ) = BC + AB + AC BC khơng đổi nên chu vi (ABC) nhỏ ⇔ ( AB + AC ) nhỏ Bài tốn đưa tìm A xy cho BA + CA nhỏ nhất, B C nằm nửa mặt phẳng có bờ xy Áp dụng định lý Herông, ta dựng điểm A thuộc xy tam giác ABC cân A Bài 6: Cho đoạn thẳng BC cố định Điểm A thay đổi cho tổng khoảng cách AB + BC = a (khơng đổi) Hãy tìm số tất tam giác ABC thỏa mãn điều kiện trên, tam giác có diện tích lớn Hướng dẫn a Ta chứng minh cho tam giác cân ABC có AB + AC = tam giác có diện tích lớn Thật vậy, gọi S diện tích tam giác cân ABC có a AB + AC = Nếu tam giác DBC có diện tích S, A D thuộc đường thẳng xy song song với BC Theo tốn đây, ta có DB + DC > AB + AC = a Nếu tam giác DBC có diện tích S ′ > S Khi đó, số tam giác có cạnh BC cố định diện tích S ′ tam giác cân có chu vi nhỏ Nhưng DB + DC > AB + AC = a Vậy tam giác cân ABC có AB = AC = a có diện tích lớn Bài 7: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Hãy tìm cạnh BC, CA, AB điểm tương ứng M, N, P cho tam giác MNP có chu vi nhỏ Hướng dẫn Trước hết, nhận xét: cố định điểm M cạnh BC tam giác MNP có chu vi nhỏ ⇔ N , P tương ứng giao điểm M ′M ′′ với cạnh AB, AC, M ′, M ′′ tương ứng điểm đối xứng M qua AB AC (xem 1) Bài toán đưa dựng điểm M cạnh BC để đoạn thẳng M ′M ′′ có độ dài ngắn Ta= có AM ′ AM = , AM ′′ AM ⇒ AM ′ = AM ′′   (không đổi) ′AM ′′ = BAC ⇒ tam giác AM ′M ′′ cân A có M  nhỏ ⇔ AM ′ nhỏ ⇔ AM bé Do đó, M ′M ′′ = AM ′.sin BAC ⇔ M chân đường cao hạ từ A xuống cạnh BC Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Suy cách dựng sau: - Dựng đường cao AH tam giác ABC - Dựng K, L điểm đối xứng với H qua cạnh AB AC - Đường thẳng KL cắt AB, AC tương ứng N, P Ta có tam giác HNP có chu vi bé thỏa mãn yêu cầu đề Nhận xét: Xét tam giác HNP Ta có NB phân giác góc ngồi N, PC phân giác góc ngồi đỉnh P, hai phân giác cắt A, suy HA phân giác góc đỉnh H Ta lại có BC ⊥ AH , suy HB phân giác góc ngồi đỉnh H, mà HB cắt PC C Do đó, NC phân giác góc N Vậy CN ⊥ AB Lập luận tương tự, ta có BP ⊥ AC Vậy tam giác HNP có chu vi nhỏ tam giác có ba đỉnh H, N, P tương ứng chân ba đường cao AH, CN, BP tam giác ABC Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Xét tập hợp tam giác MNP nội tiếp tam giác ABC Ba đỉnh M, N, P nằm ba cạnh tam giác Hãy tìm tam giác có chu vi nhỏ Hướng dẫn Xem nhận xét toán Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A có= AB c= , AC b Điểm M di động cạnh BC Gọi E, F hình chiếu điểm M cạnh AB, AC Xác định vị trí điểm M để EF có độ dài nhỏ Tính giá trị nhỏ theo b c Hướng dẫn Khi M trùng với H chân đường cao vẽ từ A tam giác ABC EF = AH = AB AC = BC bc b + c2 Bài 10: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Điểm M thuộc cạnh BC Gọi E, F hình chiếu điểm M cạnh AB AC Xác định vị trí điểm M để đoạn thẳng EF có độ dài nhỏ Hướng dẫn Gọi K trung điểm đoạn AM Ta có EK = FK = AM ⇒ Tam giác EKF cân K = BAC  ⇒ EF= AM sin BAC  Ta có EKF  khơng đổi, dó, EF nhỏ Ta có sin BAC ⇔ AM nhỏ ⇔ M trùng với chân H đường cao vẽ từ A tam giác ABC Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com  điểm C thuộc miền góc vng Hãy dựng qua C đường Bài 11: Cho góc vng xAy thẳng d cắt cạnh Ax M cắt cạnh Ay N (M, N khác A) cho tam giác AMN có diện tích nhỏ Hướng dẫn Gọi K hình chiếu C cạnh Ax Dựng điểm M Ax cho K trung điểm AM Đường thẳng MC cắt cạnh Ay N Ta có đường thẳng MN đường thẳng phải dựng Thật vậy, giả sử đường thẳng PQ qua C, P thuộc Ax, Q thuộc Ay với PQ không trùng với MN Ta cần chứng minh S AMN < S APQ Nhận xét C trung điểm PQ C trung điểm MN Giả sử CP < CQ Trên CQ lấy điểm L cho CP = CL Ta có ∆PCM =∆LCN ( c − g − c ) ⇒ S PCM = S LCN S AMN =S PMC + S PCNA =S LCN + S PCNA =S PANL < S APQ Vậy ta có tam giác AMN có diện tích nhỏ  khác góc bẹt điểm C thuộc miền góc Hãy dựng qua C đường thẳng d Bài 12: Cho góc xAy cắt cạnh Ax, Ay điểm M N khác A cho tam giác AMN có diện tích nhỏ Hướng dẫn Qua C vẽ đường thẳng song song với Ay, cắt Ax K Gọi M điểm cạnh Ax cho K trung điểm AM Dựng đường thẳng MC cắt Ay N Ta có đường thẳng MN đường thẳng phải dựng Chứng minh tương tự trên, C trung điểm đoạn MN tam giác AMN có diện tích nhỏ Bài 13: Cho đoạn thẳng BC cố định đường thẳng d song song với BC Hãy dựng điểm M d cho tam giác BMC có chu vi bé Hướng dẫn Xem Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Điểm M di động cạnh BC, M khác B C Gọi P, Q tương ứng hình chiếu điểm B C lên đường thẳng AM Xác định vị trí M để ( BP + CQ ) có giá trị lớn Hướng dẫn Ta có BP ≤ BM , CQ ≤ CM ⇒ BP + CQ ≤ BM + CM = BC ⇒ max ( BP + CQ ) =BC ⇔ điểm P, Q trùng với M ⇔ AM ⊥ BC Vậy M hình chiếu vng góc điểm A cạnh BC ( BP + CQ ) lớn BC Bài 15: Cho tam giác ABC Đường thẳng d qua A khơng cắt cạnh BC Gọi P,Q hình chiếu điểm B C lên đường thẳng d Tìm đường thẳng d thỏa mãn ( BP + CQ ) có giá trị lớn Hướng dẫn Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng BC PQ Ta có MN đường trung bình hình thang BCQP MN ⇒ BP + CQ = Ta có MN ≤ AM ⇒ BP + CQ ≤ AM ⇒ max ( BP + CQ ) = AM ⇔ N trùng với A ⇔ d vuông góc với trung tuyến AM A Bài 16: Cho tam giác ABC Đường thẳng d qua A không cắt cạnh BC Gọi P, Q hình chiếu điểm B C lên đường thẳng d Tìm đường thẳng d cho ( BP + CQ ) có giá trị nhỏ Hướng dẫn Làm tương tự 15, ta có ⇒ ( BP + CQ ) = AH ⇔ đường thẳng d vng góc với đường cao AH tam giác ABC A Bài 17: Cho tam giác ABC có = AB c= , BC a= , CA b Điểm M nằm tam giác ABC Gọi D, E , F hình chiếu điểm M cạnh BC , CA, AB Xác định vị trí điểm M để biểu thức sau có giá trị nhỏ P = a b c + + MD ME MF Hướng dẫn Đặt= , ME y= , MF z MD x= Gọi S , S1 , S , S3 diện tích tam giác ABC , MBC , MCA, MAB Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com P= a b c + + a + 2018a + bc b + 2018b + ca c + 2018c + ab Hướng dẫn Xem lời giải 34 Bài 48: (Thi vào lớp 10 THPT tỉnh Vĩnh Phúc 2014) Cho x, y cá số thực thỏa mãn x + y = Hãy tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức = M 3.xy + y Hướng dẫn Tìm giá trị lớn Áp dụng bất đẳng thức ab ≤ M = ( 3x ) y + y ( ≤ ) 3.x + y 2 a + b2 3( x2 + y ) y += = 2  ;y x = =    3.x = y 2 ⇒ max M = ⇔ ⇔ 2   x + y = − ;y= − x = 2  Tìm giá trị nhỏ Xét M= +1 ( ) 3.xy + y 2= + 3.xy + y + x + y 2 M + = x + 3.xy + y = (x + y ) ≥0  x + y = 1 ⇒ M ≥ − ⇒ M = − ⇔  2  x + y =  − x= ;y=  2 − ⇔ M =  ;y= − x =  2 Bài 49: (Thi vào lớp 10 THPT Cao Nguyên tỉnh Đắk Lắk 2014) Cho a, b số thực dương thỏa mãn a + b =  1  1 Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức T = (1 + a ) 1 +  + (1 + b ) 1 +   b  a Hướng dẫn T =2 + a + b + 1 a b + + + a b b a 11 1    a b T =2 +  +  +  a +   b +  +  +  2a b  2a   2b   b a  Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 30 Website: tailieumontoan.com   1 T ≥ +  + + +2   ab  2 Ta có = a + b ≥ 2ab ⇒ ≥2 ab a = b ⇒ T ≥ + ⇒ T = + ⇔  2 ⇔a=b= a b + =  Bài 50: (Thi vào lớp 10 Trung học phổ thông tỉnh Vĩnh Phúc 2018)  x − y =3 − m Cho hệ phương trình  với m tham số Tìm m để hệ có nghiệm ( x, y ) thỏa 2 x + y = ( m + ) mãn biểu thức A = x + y có giá trị nhỏ Hướng dẫn  x= m + Ta có với m , hệ có nghiệm  y = m 9 A= ( m + 3) + m =2  m +  + ⇒ A = ⇔ m =− 2 2  2 ( m − 1) x − my = 3m − (với m tham số) Xác định m để hệ có nghiệm Bài 51: Cho hệ phương trình  2 x − y = m + ( x, y ) cho biểu thức B = x + y đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn Khi m ≠ −1 hệ có nghiệm x =m + 1; y =m − B = ( m − 1) + ⇒ B = m = ( m − 1) x − my = 2m − Bài 52: Cho hệ phương trình  (với m tham số) Tìm m để hệ có nghiệm mx − y = m − ( x, y ) thỏa mãn P = xy đạt giá trị lớn Hướng dẫn Hệ có nghiệm x= m − y= − m  3 P =( m − 1)( − m ) = −  m −  ⇒ max P = m =  2 Bài 53: (Thi vào lớp 10 Trung học phổ thông tỉnh Cao Bằng 2018) m x + y = (với m tham số) Cho hệ phương trình  2  x + y =6 − m Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 31 Website: tailieumontoan.com Tìm giá trị m để hệ có nghiệm ( x, y ) cho biểu thức P =xy + ( x + y ) đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ nghiệm ( x, y ) tương ứng Hướng dẫn = = x + y m x + y m ⇒ Ta có   2  x + y =6 − m  xy =m − ⇒ P =m + 2m − =( m + 1) − ⇒ P =−4 m = −1  x =  −1   y = −2 x + y = Lúc  ⇔   x = −2  xy = −2    y = Bài 54: (Thi vào lớp 10 Trung học phổ thông Hà Nội 2017) Cho x, y số thực thỏa mãn x − x + = y+6 − y Hãy tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P= x + y Hướng dẫn x− x+6= y +6 − y ⇔ x + y= x + + y + Trong điều kiện x ≥ −6; y ≥ −6 từ đẳng thức bên suy P = x + y > ( x + y )= ( ) x + 6.1 + y + 6.1 ≤ ( x + + y + ) (12 + 12 ) Do P ≤ P + 24 ⇔ P − P − 24 ≤ ⇔ ( P − )( P + ) ≤ ⇔ P ≤ (vì P + > ) ⇒ max P = ⇔ x + = y + ⇔ ( x + y ) = ( x + y ) + 12 + 2 = Mặt khác P − P − 12 ⇔ ( P − )( P + 3= ) ( x + )( y + ) ( x + )( y + ) ≥ ( x + )( y + ) ≥ ⇒ P−4≥0⇒ P ≥  x = −6   y = 10 ⇒ P = 4⇔   x = 10    y = −6 a + b + c = 11 Bài 55: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn  Tìm giá trị lớn nhỏ ab + bc + ca = c Hướng dẫn Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 32 Website: tailieumontoan.com Từ giả thiết suy a + b + c = Ta có ( − c ) =( a + b ) ≤ ( a + b ) =2 (11 − c ) 2 ⇒ ( − c ) ≤ 22 − 2c ⇔ 3c − 10c + ≤ ⇔ ( 3c − 1)( c − 3) ≤ ⇔ ≤ c ≤ 3 ⇒ max c = a= b= 1 c = a= b= 3 Bài 56: (Thi vào lớp 10 chuyên Tốn Thành phố Hồ Chí Minh 2015) a + 3ab + b Cho a, b hai số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ab ( a + b ) Hướng dẫn ( a + b ) + ab = a + b + ab = a + b +  a + b + ab  P=   ab ( a + b ) ab a + b ab  ab a + b  ab 5 P≥ +2 = + = ⇒ P = ⇔ a = b ab 2 Bài 57: (Thi vào lớp 10 Trung học phổ thơng chun Lam Sơn tỉnh Thanh Hóa 2015) Cho x, y, z ba số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức S = ( xyz x + y + z + x + y + z (x +y +z 2 ) ( xy + yz + zx ) Hướng dẫn Ta có ( x + y + z ) ≤ ( x + y + z ) ⇒ x + y + z ≤ x + y + z 2 ⇒S≤ ⇒S≤ xyz ( ) x + y + z + x + y + z (x + y + z ) ( xy + yz + zx ) xyz ( ) +1 x + y + z ( xy + yz + zx ) Áp dụng bất đẳng thức Côsi x + y + z ≥ 3 x y z ; xy + yz + zx ≥ 3 x y z x + y + z ≥ 3 x y z =3 xyz ⇒ x + y + z ( xy + yz + zx ) ≥ 3.xyz ⇒ xyz ( ) +1 x + y + z ( xy + yz + zx ) ≤ xyz ( )= +1 +1 3.xyz 3 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 33 ) Website: tailieumontoan.com ⇒ max S = +1 ⇔ x = y = z 3 Bài 58: (Thi vào lớp 10 chuyên Tin Lam Sơn tỉnh Thanh Hóa 2015) Cho x, y, z số dương thỏa mãn x2 + y + y + z + z + x2 = 2014 Tìm giá trị nhỏ biểu x2 y2 z2 + + thức T = y+z z+x x+ y Hướng dẫn Đặt a= x + y ; b= Tính x = y + z ; c= z + x ⇒ a + b + c= 2014 a − b + c 2 a + b − c 2 −a + b + c = ;y = ;z 2 2 z ) b 2; z + x ≤ ( z + x= Ta có y + z ≤ ( y + = ) a ) c 2; x + y ≤ ( x2 + y= ⇒ 1 1 1 ≥ ; ≥ ; ≥ y+z b z+x c x+ y a ⇒T ≥ T≥  a − b + c a + b − c −a + b + c  + +   b c a 2    a c2 a b2 b2 c2  + + + + + − a − b − c  c a a 2 b b c  Ta có a2 c2 a2 b2 b2 c2 + b ≥ 2a; + b ≥ 2c; + c ≥ 2a; + c ≥ 2b; + a ≥ 2b; + a ≥ 2c b b c c a a Cộng vế ta có ⇒T ≥ 2 a c2 a b2 b2 c2 + + + + + ≥ 2(a + b + c) b b c c a a 1007 2014 x= y= z= (a + b + c) = Bài 59: Cho a, b hai số dương thỏa mãn điều kiện 3a + b ≤ Hãy tìm giá rị nhỏ biểu thức B= 1 + a ab Hướng dẫn Ta có a + b ≥ ab ⇒ B= Dấu “=” xảy ⇔ a = b ≥ ab a + b 1 1 + ≥ + = + ≥ = a ab a a + b a a + b a + a + b 3a + b 2 2 Vì 3a + b ≤ ⇒ a = b ≥ ⇒ B ≥ ⇒ B = ⇔  3a + b 3a + b = Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 34 Website: tailieumontoan.com Vậy B = ⇔ a = b = Bài 60: (Thi vào lớp 10 Trung học phổ thơng tỉnh Ninh Bình 2018-2019) Cho a, b hai số thực dương thỏa mãn a + b ≤ 25 + + ab a +b ab Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức= S Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức = S S≥ 1 + ≥ ; ( A + B ) ≥ AB A B A+ B 1 16 17 + + + ab + a +b 2ab ab 2ab a + b + 2ab 2 +2 16 17 ab += 2ab ab Vì a + b ≤ ⇒ ( a + b ) ≤ 16 ⇒ Suy S ≥ (a + b) Vì 4ab ≤ ( a + b ) ≤ 16 ⇒ (a + b) 2 +8+ 17 2ab ≥ 17 17 ≥ 2ab a = b 17 83 83 ⇔ ⇔ a = b = +8+ = ⇒ S = 4 8 a + b = Bài 61: Cho a, b, c > Tìm giá trị lớn A = abc ( a + b )( b + c )( c + a ) Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a + b ≥ ab ; b + c ≥ bc ; c + a ≥ ca ⇒ max A = ⇔ a = b = c Bài 62: Cho x, y số thực Tìm giá trị lớn biểu thức E = xy + x + y − x − y Hướng dẫn Xét E =−  x − xy + y + x − x + + y − y + − 8 E =8 − ( x − y ) − ( x − ) − ( y − ) ⇒ max E =4 ⇔ x =y =2 2 0 ≤ x, y , z ≤ Bài 63: Cho x, y, z thỏa mãn điều kiện  x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = x + y + z Hướng dẫn Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 35 Website: tailieumontoan.com Từ giả thiết suy xyz ≥ 0; − x ≥ 0; − y ≥ 0; − z ≥ ⇒ xyz + ( − x )( − y )( − z ) ≥ ⇒ xyz + − x − y − z + xy + yz + zx − xyz ≥ ⇒ − ( x + y + z ) + xy + yz + zx ≥ Vì x + y + z = ⇒ xy + yz + zx ≥ ⇒ x + y + z + xy + yz + zx ≥ + x + y + z ⇒ + P ≤ ( x + y + z) = ⇒ P ≤ ⇒ max P = ⇔ ( x; y; z ) = ( 0;1; ) , (1;0; ) , (1; 2;0 ) , ( 2;1;0 ) , ( 2;0;1) , ( 0; 2;1) Bài 64: Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện x + y + z ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 + + + xy + yz + zx Hướng dẫn 1 1 Áp dụng bất đẳng thức ( a + b + c )  + +  ≥ Dấu “=” xảy ⇔= a= b= c a b c Do 1 + + ≥ a b c a+b+c 1 + + ≥ + xy + yz + zx + xy + yz + zx Chứng minh x + y + z ≥ xy + yz + zx ⇒ + x + y + z ≥ + xy + yz + zx ⇒ + ≥ + xy + yz + zx ⇒ ⇒P≥ 1 ≥ + xy + yz + zx 3 = ⇒ P = ⇔ x = y = z = 2 Bài 65: Cho a, b > thỏa mãn a + b ≥ Tìm giá trị nhỏ A = 3a + 2b + + a b Hướng dẫn A= b 3 b 3 ( a + b ) + a + + + ≥ + a + = 19 2 2 b a b ⇒ A = 19 ⇔ a = b = Bài 66: Cho a > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a4 + a ( a − 1)( a + 1) Hướng dẫn Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 36 Website: tailieumontoan.com a − 2a + + 2a P = = a ( a − 1) ⇒P≥2 (a − 1) + 2a a − 2a = + 2 a a −1 a ( a − 1) 2 a − 2a 2 = a a2 −1 ⇒ P = 2 a2 −1 2a = ⇔= a a −1 Vậy P= 2 ⇔ a= ( 2+ = ;a 2− (loại) ) 2+ Bài 67: Cho a, b > thỏa mãn a + b ≤ Tìm giá trị nhỏ E= 1 + a b Hướng dẫn Ta có 1 (Dấu “=”xảy ⇔ a = b > ) + ≥ a b a+b  a=  4 1  a+b ≤ 5⇒ ≥ Do E ≥ ⇒ E = ⇔  5 a+b b =  Bài 68: Tìm giá trị lớn biểu thức P =2 − x − y − xy + x Hướng dẫn 2 P =3 − ( x + xy + y ) + ( x − x + 1)  =3 − ( x + y ) − ( x − 1) x = ⇒ max P = 3⇔   y = −2 Bài 69: Cho a, b > Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a − a − b + b3 ( a − 1)( b − 1) Hướng dẫn A= a ( a − 1) + b ( b − 1) a2 b2 ab = + ≥ b −1 a −1 ( a − 1)( b − 1) b − a − Ta có a = b= ( a − 1) + ≥ ( b − 1) + ≥ a −1 ⇒ b −1 ⇒ a ≥2 a −1 ≥2 b −1 ⇒ A ≥ ⇒ A = a= b= Bài 70: Cho a, b số thực khác Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức = B  a10 b10  16 16 2  +  + ( a + b ) − (1 + a b ) a  2 b Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 37 Website: tailieumontoan.com Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho bốn số dương a10 b10 a10 b10 + + + ≥ 1 b2 a b2 a  a10 b10  ⇒  +  ≥ 2a 2b − 2 b a  Ta có a16 + b16 + + ≥ 4 a16b16 =4a 4b ⇒ 16 16 a + b ) ≥ a 4b − ( 2 ⇒ B ≥ 2a 2b − + a 4b − − (1 + a 2b ) =− 2 ⇒ B = − b2 = ⇔ a2 = Bài 71: Cho a, b số thực không âm thỏa mãn điều kiện a + b = Hãy tìm giá trị lớn nhỏ P = 2a + + 2b + Hướng dẫn Xét P= ( ) 2a + 1.1 + 2b + 1.1 ≤ ( 2a + + 2b + 1= ) ( a + b + 1) 2 ( a + b2 ) ≥ ( a + b ) ⇒ ≥ ( a + b ) ⇒ a + b ≤ 2 ⇒ P2 ≤ ( ) +1 ⇒ P ≤ ⇒ max P= 2 +1 + ⇔= b= P 2= ( a + b ) + + (a + b) 2 ( 2a + 1)( 2b + 1) = a + b + 2ab ≥ a + b =1 ⇒ a + b ≥ ( ) ⇒ P2 ≥ + + = + =3 + ⇒ P ≥ + ⇒ P= + ( a, b ) = ( 0;1) , (1;0 ) Bài 72: Cho a, b > thỏa mãn điều kiện: a + b =     Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q =  a +  +  b +  a   b   Hướng dẫn   Khai triển Q = + ( a + b ) 1 + 4   ab  Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 38 Website: tailieumontoan.com ( a + b ) ≥ ( a + b ) =1 ⇒ a + b ≥ a + b ≥ 2ab ⇒ ≥ 2ab ⇒ 1 ≥ ⇒ 4 ≥ 16 ab ab 11 25  25 ⇒ Q ≥ +  + 16  = ⇒ Q = ⇔ a = b2 = 22 2  Bài 73: Cho a, b, c > thỏa mãn abc = Tìm giá trị lớn biểu thức A = 1 + 3 + 3 a + b + b + c + c + a3 + Hướng dẫn Ta có a − ab + b ≥ ab ⇒ ( a + b ) ( a − ab + b ) ≥ ab ( a + b ) ⇒ a + b3 ≥ ab ( a + b ) ⇒ a + b3 + ≥ ab ( a + b ) + ⇒ a + b3 + ≥ ab ( a + b + c ) ⇒ 1 ≤ a + b + ab ( a + b + c ) Chứng minh tương tự 1 ≤ b + c + bc ( a + b + c ) 1 ≤ c + a + ca ( a + b + c ) Cộng vế ta có A ≤ A≤ 1 + + ab ( a + b + c ) bc ( a + b + c ) ca ( a + b + c ) a+b+c = =1 ⇒ max A =1 ⇔ a =b =c =1 abc ( a + b + c ) abc Bài 74: Cho a, b hai số thực dương thỏa mãn điều kiện 8a + Tìm giá trị nhỏ biểu + b2 = 4a thức P = ab Hướng dẫn Ta có 8a + 1   + b =⇔  4a + −  + ( b + 4ab + 4a ) = 4ab + 2 4a 4a     ⇔ 4ab + 2=  2a −  + ( b + 2a ) ≥ 2a    = 1  2a − ⇒ P = ab ≥ − ⇒ P = − ⇔  2a 2 b + 2a = Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 39 Website: tailieumontoan.com   a =   1  b = −1 a = − ⇔ Vậy P = ⇔ b = −2a  a = −   b =  Bài 75: Cho a, b số thực thỏa mãn điều kiện a + b khác cho a + b2 − a − b ≤ Hãy tìm giá a + b2 − trị lớn biểu thức P= a + 2b Hướng dẫn Điều kiện  a + b − a − b ≤ nÕu a + b > a + b2 − a − b ≤ ⇔  2 2 a + b2 −  a + b − a − b ≥ nÕu a + b < Nếu a + b > 1: a + b − a − b ≤ ⇔ ( P − 2b ) + b − ( P − 2b ) − b ≤ ⇒ 5b + (1 − P ) b + P − P ≤ (1) Xem (1) bất phương trình bậc hai với ẩn b Vì bất phương trình (1) có nghiệm, chẳng hạn= a nên ∆= ⇒P≤ (1 − P ) = ,b − 20 ( P − P ) ≥ ⇔ P − 12 P − ≤ + 10 + 10 + 10 + 10 a = ;b ⇒ max P = = 10 10 2 Nếu a + b < Ta có a + b − a − b ≥ ⇔ a + b ≤ a + b ⇒ P = a + 2b = a + b + b ⇒ a + b + b < + b < ⇒P ⇒ a + = x; Ta có y − = b > ⇒ b + = y x2 y2 a + 4a + b + 4b + 8a 8b += + ≥ + ≥ 16 y−2 x−2 b a b a ⇒ A ≥ 16 ⇒ A = 16 ⇔ a = b = ⇒ x = y = ( x + y) x2 y2 + ≥ Cách 3: Chứng minh y−2 x−2 x+ y+4 Mặt khác ( x + y) x+ y+4 = ( x + y + 4) + 16 + ≥ 16 x+ y+4 ⇒ A ≥ 16 ⇒ A = 16 ⇔ x = y = Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 44