Chuyên đề 21 các bài toán tính tuổi 3 bài toán liên quan

I.PHƯƠNG PHÁP DÙNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG - Mỗi đại lượng sơ đồ hóa đoạn thẳng - Với sơ đồ đoạn thẳng ta thể trực quan đại lượng toán quan hệ chúng đẽ dàng tìm đáp án tốn * Loại tốn tính số tuổi Bài tập 1: Tuổi anh gấp lần tuổi em trước Khi anh tuổi em tổng số tuổi hai người 28 Tính số tuổi người Hướng dẫn Gọi độ dài đoạn thẳng AB biểu thị số tuổi em trước tuổi anh biểu thị đoạn thẳng AC gấp lần đoạn thảng AB ta có mơ hình quan hệ toán sau A A Tuổi em trước B B A Tuổi em D (tuổi D anh trước 28 C kia) A C E Tuổi em sau Do anh em số tuổi định nên ta biểu thị tuổi anh trước (tức tuổi em nay) đoạn AD, tuổi anh sau đoạn AE BD = DC = CE số tuổi anh em Từ sơ đồ ta tính AB = Vậy tuổi em tuổi Tuổi anh 12 tuổi Bài tập 2: Hiện nay, tuổi mẹ gấp lần tuổi Bốn năm trước đây, tuổi mẹ gấp lần tuổi Tính tuổi mẹ, tuổi Hướng dẫn Hiện nay, tuổi mẹ gấp bốn lần tuổi nên hiệu số tuổi mẹ số lần là: (lần) Bốn năm trước đây, tuổi mẹ gấp lần tuổi nên hiệu số tuổi mẹ bốn năm trước gấp tuổi trước là: (lần) Vì hiệu số tuổi hai mẹ khơng đổi nên lần tuổi cịn lần tuổi bốn năm trước, hay tuổi mẹ tuổi bốn năm trước Tuổi tuổi năm trước tuổi Ta có sơ đồ: Tuổi nay: | -| -| -| -| -| tuổi Tuổi năm trước: | -| -| -| Hiệu số phần là: Tuổi là: : 2x5 Tuổi mẹ là: 10x4 (phần) 10 (tuổi) 40 (tuổi) Vậy 10 tuổi; mẹ 40 tuổi Bài tập 3: Tuổi bà gấp đơi tuổi mẹ, tuổi tuổi mẹ Tính tuổi người, biết tổng số tuổi mẹ 36 Hướng dẫn Theo ta có sơ đồ: Tuổi con: | -| Tuổi mẹ: | -| -| -| -| -| Tuổi là: 36 : (1 5) Tuổi mẹ là: 36 Tuổi bà là: 30x2 tuổi (tuổi) 30 (tuổi) 60 (tuổi) Bài tập 4: Tuổi bố gấp lần tuổi anh, tuổi anh gấp lần tuổi em Tuổi bố cộng với tuổi em 42 tuổi Tính tuổi người Hướng dẫn Tuối bố gấp lần tuổi anh, tuổi anh gấp lần tuổi em Vậy tuổi bố gấp = ( lần ) tuổi em, tuổi bố + tuổi em = 42 tuổi Ta có sơ đồ: Tuổi em: | -| Tuổi bố: | -| -| -| -| -| -|  42 tuoi Tuổi em 42 : (1 + 6) = tuổi Tuổi bố 42 – = 37 tuổi Bài tập 5: Năm 2000, bố 40 tuổi, Mai 11 tuổi, em Nam tuổi Đến năm nào, tuổi bố tổng số tuổi hai chị em? Hướng dẫn Năm 2000, chênh lệch tuổi bố tổng số tuổi hai chị em là: 40 (11 5) 24 (tuổi) Cứ năm người tăng thêm tuổi nên chênh lệch tuổi bố tuổi chị em giảm đi: (1 1) Số năm để tuổi bố tổng số tuổi hai chị em là: 24 :1 Lúc năm: 2000 24 24 (năm) 2024 Bài tập 6: Năm tuổi cha lần tuổi tuổi Đến tuổi tuổi cha tuổi hai cha cộng lại 109 Tìm tuổi người Hướng dẫn Nếu coi tuổi phần tuổi cha phần cộng thêm tuổi Vậy hiệu số tuổi hai cha phần tuổi cộng thêm tuổi Vì hiệu số tuổi hai cha không thay đổi theo thời gian nên tuổi tuổi cha cha phần tuổi cộng thêm tuổi, ta có sơ đồ đó: phần 3t Tuổi con: | -| -| -| -| -| -| -| | phần phần Tuổi cha: 3t | -| -| -| -| -| -| | | -| -| -| -| -| -| | Theo sơ đồ ta có: phần phần phần 20 phần tuổi 109 tuổi tuổi 20 phần Vậy tuổi là: 100 : 20 Tuổi cha là: 5x7 3 tuổi tuổi 109 tuổi 100 tuổi (tuổi) 38 (tuổi) Bài tập 7: Năm năm trước cha 36 tuổi Hỏi năm cha tuổi lần tuổi cha lần tuổi con? Hướng dẫn Vì hiệu số tuổi hai cha không thay đổi theo thời gian nên cha 36 tuổi Đến năm mà lần tuổi cha lần tuổi nghĩa năm tuổi tuổi cha Ta có sơ đồ đó: Tuổi con: | -| -| -| 36 tuổi Tuổi cha: | -| -| -| -| -| -| -| Theo sơ đồ, hiệu số phần là: Khi tuổi cha là: 36 : 4x7 (phần) 63 (tuổi) Bài tập 8: Năm mẹ 73 tuổi Khi tuổi mẹ tuổi tuổi mẹ lần tuổi lúc tuổi Tính tuổi nay? Hướng dẫn Coi tuổi phần (khi tuổi mẹ tuổi nay) tuổi mẹ lúc phần cộng thêm tuổi Ta có hiệu số tuổi hai mẹ là: phần tuổi tuổi phần tuổi phần tuổi tuổi Vì hiệu số tuổi hai mẹ không đổi theo thời gian nên mẹ phần tuổi cộng thêm tuổi Ta có sơ đồ: Tuổi đó: | -| Tuổi mẹ đó: tuổi | -| -| -| -| -| -| -| -| Tuổi nay: | -| -| -| -| -| -| -| -| tuổi | -| -| -| -| -| -| -| -| -| -| -| -| -| -| | Tuổi mẹ nay: tuổi 73 tuổi Theo sơ đồ ta có: tuổi phần tuổi Hay 13 phần tuổi 13 phần tuổi tuổi phần tuổi tuổi 73 tuổi 73 (tuổi) 65 (tuổi) Vậy phần tuổi là: 65:13 Tuổi là: 5x7 (tuổi) 39 (tuổi) Bài tập 9: Bố nói với con: " 10 năm trước tuổi bố gấp 10 lần tuổi con", 22 năm sau tuổi bố gấp đơi tuổi Hãy tính tuổi bố tuổi Hướng dẫn Mười năm trước đây, coi tuổi phần tuổi bố 10 phần Thời gian từ cách 10 năm đến sau 22 năm có số năm là: 10 22 32 (năm) Theo ta có sơ đồ: Tuổi 10 năm trước: | | Tuổi bố 10 năm trước: | | | | | | | | | | | 32 tuổi Tuổi bố 22 năm sau: | | | | | | 32 tuổi Tuổi 22 năm sau: | | | Nhìn sơ đồ ta thấy: phần tuổi 32 tuổi Hay phần tuổi 16 tuổi ( 10 phần tuổi 32 tuổi 32 tuổi) : phần tuổi phần tuổi Vậy tuổi cách 10 năm là: 16 : 4 (tuổi) 16 tuổi Tuổi bố cách 10 năm là: 4x10 40 (tuổi) Tuổi là: 10 14 (tuổi) Tuổi bố là: 40 10 50 (tuổi) tuổi mẹ Hỏi người Bài tập 10: Mẹ 24 tuổi Cách năm tuổi tuổi? Hướng dẫn Hiệu số tuổi hai mẹ không thay đổi theo thời gian nên cách năm mẹ 24 tuổi Ta có sơ đồ đó: Tuổi con: | -| 24 tuổi Tuổi mẹ: | -| -| -| -| Theo sơ đồ tuổi mẹ cách năm là: 24 : (4 1) x 32 (tuổi) Vì năm người tăng lên tuổi nên tuổi mẹ là: 32 x1 36 (tuổi) Tuổi là: 36 24 12 (tuổi) Bài tập 11: Ba năm trước em tuổi chị tuổi Hỏi năm sau lần tuổi chị lần tuổi em? Hướng dẫn Vì hiệu số tuổi hai chị em không thay đổi theo thời gian nên em chị tuổi Khi lần tuổi chị lần tuổi em nghĩa tuổi em tuổi chị Ta có sơ đồ đó: Tuổi em: | -| -| -| 6t Tuổi chị: | -| -| -| -| Theo sơ đồ hiệu số phần là: (phần) Khi tuổi em là: :1x 18 (tuổi) Từ em tuổi đến lúc em 18 tuổi có số năm là: 18 12 (năm) Vậy sau 12 năm từ lúc em tuổi lần tuổi chị lần tuổi em Bài tập 12: Năm 2000 , mẹ 36 tuổi, hai tuổi 12 tuổi Bắt đầu từ năm nào, tuổi mẹ tổng số tuổi hai con? Hướng dẫn Trước hết ta tính xem đến năm tuổi mẹ tổng số tuổi hai Đó năm 2017 Vậy từ năm 2018 trở tuổi mẹ tổng số tuổi hai Số năm để tuổi mẹ tổng tuổi hai là: 36 (7 12) 17 (năm) Số năm để tuổi mẹ bắt đầu nhỏ tổng số tuổi là: 17 18 (năm) Vậy năm tuổi mẹ tổng số tuổi là: 2000 18 2018 Bài tập 13: Anh em tuổi Tuổi anh gấp rưỡi tuổi em, lúc anh tuổi em Tính tuổi người Hướng dẫn Vì hiệu số tuổi anh em không thay đổi theo thời gian nên coi tuổi em trước phần tuổi anh trước phần cộng thêm tuổi Vậy tuổi em phần cộng thêm tuổi Tuổi anh là: phần tuổi Vì ( phần tuổi phần tuổi tuổi) 1,5 phần Vậy 0,5 phần tuổi Tuổi em là: 12 15 (tuổi) Tuổi anh là: 15 18 (tuổi) Bài tập 14: Tuổi mẹ gấp 2,3 lần tuổi 16 năm trước, tuổi mẹ gấp 7,5 lần tuổi Hỏi năm sau tuổi mẹ gấp đơi tuổi con? Hướng dẫn Hiện mẹ con: 2,3 1,3 lần tuổi Còn 16 năm trước mẹ con: 7,5 6,5 lần tuổi trước Vì mẹ ln số tuổi không đổi nên 6,5 lần tuổi trước 1,3 lần tuổi nay, tức tuổi gấp: 6,5 :1,3 lần tuổi trước Do lần tuổi trước là: 16 năm, tuổi trước tuổi, tuổi là: 16 20 tuổi, tuổi mẹ là: 20 x 2,3 Mẹ con: 46 20 46 tuổi 26 tuổi Lúc mẹ gấp đơi tuổi 26 tuổi, tức 26 20 tuổi mẹ gấp đơi tuổi * Loại toán biết mối liên hệ số phần, phân số năm sau số học sinh nam Sang đầu học kỳ II có bạn nữ từ lớp Bài tập 15: Lớp 5A có số học sinh nữ khác chuyển đến nên số học sinh nữ số học sinh nam Hỏi đầu năm học lớp 5A có học sinh nữ, học sinh nam? Hướng dẫn Theo ta có sơ đồ sau: ? Số học sinh nữ lúc đầu: | | | Số học sinh nữ lúc sau: | | | | ? Số học sinh nam: ? | | | | | | h/s Theo sơ đồ số học sinh nữ lúc đầu là: : (3 2)x2 Số học sinh nam là: : (học sinh) 20 (học sinh) Bài tập 16: Ba bình nước đựng nước chưa đầy Sau đổ nước có bình sang bình 3, cuối đổ 1 số nước bình sang bình 2, đổ số số nước có bình sang bình bình 10 có lít nước Hỏi lúc đầu bình có lít nước? Hướng dẫn Sau đổ số lít nước bình sang bình bình cịn lít nước 10 10 Vậy trước bình ba có số lít nước là: : Trước nhận 10x 10 số lít nước bình bình có số lít nước là: 10 (l) Vậy lúc đầu bình có số lít nước là: : Sau đổ Vậy trước nhận 3 12 (l) số nước bình sang bình bình cịn lít (theo ra), trước bình có số lít nước là: : 12 12x 10 (l) (l) 12 (l) số nước bình hay lúc đầu bình có số lít nước Bình đổ sang bình số lít nước là: 12x Theo lời giải đầu trước đổ (l) số nước sang bình bình có 10 lít nước, trước nhận 10 lít nước bình đổ sang hay lúc đầu bình có số lít nước là: 10 Bài tập 17: Cho phân số (l) 23 Hãy tìm số tự nhiên m cho bớt tử số mẫu số phân 28 số cho m ta phân số có giá trị Hướng dẫn 23 28 23 28 Hiệu mẫu số tử số phân số Nếu bớt m tử số mẫu số hiệu mẫu số tử số khơng đổi (vẫn ) mà phân số có giá trị Tử số mới: nên ta có sơ đồ: | -| -| Mẫu số mới: | -| -| -| Tử số là: 5: (3 2)x2 10 Số tự nhiên m là: 23 10 13 Bài tập 18: Cho phân số 107 Hãy tìm số tự nhiên, biết bớt tử số mẫu số số tự 187 nhiên ta phân số có giá trị Hướng dẫn Hiệu tử số mẫu số phân số 107 là: 187 107 187 80 Nếu bớt tử số mẫu số số tự nhiên hiệu mẫu số tử số không đổi (vẫn 80 ) mà phân số có giá trị Tử số mới: | -| -| -| -| -| Mẫu số mới: | -| -| -| -| -| -| -| -| -| Tử số là: 80 : (9 5) x 100 Số tự nhiên cần tìm là: 107 100 , có sơ đồ 80 Bài tập 19: Một quầy bán vải, lần thứ bán 2m vải, lần thứ hai bán thứ ba bán 1 số vải lại m Lần 2 1 1 số vải lại m , lần thứ tư bán số vải cịn lại m vừa hết Hỏi quầy vải 2 2 bán tất mét vải? Hướng dẫn Ta có sơ đồ: Số vải lúc đầu: 2m | -| -| m | -| | -| Số vải sau bán lần thứ nhất: m | | | -| Số vải sau bán lần thứ hai: Số vải sau bán lần thứ ba: | -| -| Theo sơ đồ vải lại sau bán lần thứ ba là: x2 Số vải lại sau bán vải lần thứ hai là: (1 )x2 Số vải lại sau bán lần thứ là: (3 )x2 Số vải cửa hàng bán tất là: 9(m) 1(m) 3(m) 7(m) Bài tập 20: Bình đọc truyện ngày Ngày đầu Bình đọc trang Ngày thứ hai Bình đọc m số trang 16 3 số trang lại 20 trang Ngày thứ ba Bình đọc số 10 trang lại 37 trang cuối Hỏi truyện có trang? Hướng dẫn Ta có sơ đồ: Số trang truyện: 16 trang | -| | -| -| | | 20 trang Số trang lại sau đọc ngày đầu: | | | | |- | | | | | | | 37 trang Số trang lại sau đọc ngày thứ 2: Theo sơ đồ, số trang cịn lại sau Bình đọc ngày thứ hai là: | -| -| -| -| 148 (trang) 37 x Số trang cịn lại sau Bình đọc ngày đầu là: (148 240 (trang) 20) : x10 Số trang truyện là: (240 16) : x 320 (trang) * Loại tốn tìm số tự nhiên Bài tập 21: Tìm bốn số tự nhiên chẵn liên tiếp có tổng 5420 Hướng dẫn Gọi bốn số tự nhiên chẵn có dạng: 2k ; 2k Theo ta có: 2k Hay 8k 8k k 12 2k 2k 2; 2k 2k 4; 2k , (k N) 5420 5420 5408 676 (TM) Vậy số tự nhiên cần tìm là: 1352;1354;1356;1358 Bài tập 22: Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp biết tổng số lớn số nhỏ 114 Hướng dẫn Gọi ba số tự nhiên lẻ liên tiếp là: 2k Theo ta có: 2k Hay 4k k 2k 1; 2k 3; 2k (k N) 114 114 27 (TM) Vậy số tự nhiên lẻ cần tìm là: 55;57;59 Bài tập 23: Hiệu hai số 1217 Nếu tăng số trừ gấp bốn lần số lớn số bị trừ 376 Tìm số bị trừ số trừ Hướng dẫn Theo ta có sơ đồ: Số bị trừ: | -| Số trừ: | -| Số trừ x4 : 1217 | -| -| -| -| Ba lần số trừ: 1217 Số trừ: 1953: 376 376 1593 531 Số bị trừ: 531 1217 1748 Bài tập 24: Tìm số tự nhiên có tận biết sau xoá số số tự nhiên giảm 484 đơn vị Vì 12 x 4,68  y 4,  7,    y Hơn x  * nên y   y  4, y  Với y   12 x  7.4  68  x  10 (ktm) Với y   x  (tm) Vậy có xe loại 12 chỗ ngồi, xe loại chỗ ngồi Câu (Đề thi HSG 6) Trên đường qua địa điểm A, B, C ( B nằm A C), có hai người xe máy Hùng Dũng Hùng xuất phát từ A, Dũng xuất phát từ B Họ khởi hành lúc để đến C vào lúc 11 ngày Ninh xe đạp từ C phía A, gặp Dũng lúc gặp Hùng lúc 24 phút Biết quãng đường AB dài 30km, vận tốc Ninh vận tốc Hùng Tính quãng đường BC Lời giải Thời gian từ A đến C Hùng là: 11   (giờ) Thời gian từ B đến C Dũng là: 11   (giờ) Quãng đường AB 30km khoảng cách Hùng Dũng bớt 10km Vì lúc Hùng cịn cách Dũng 20km, lúc Ninh gặp Dũng nên Ninh cách Hùng 20km Đến 24 phút, Ninh gặp Hùng tổng vận tốc Ninh Hùng là: 24 20 :  50  km / h  60 Do vận tốc Ninh vận tốc Hùng nên vận tốc Hùng là: 50 : 1    40  km / h  Từ suy quãng đường BC là: 40.3  30  90(km) Câu (Đề thi HSG ANH SƠN) Hội khỏe Phù Đổng lần thứ có 495 vận động viên học sinh toàn tỉnh tham gia thi đấu mơn thể thao Chứng minh có vận động viên có số người quen (Người A quen người B người B quen người A) Lời giải Giả sử có người khơng quen 495 vận động viên Như 494 người cịn lại có nhiều 493 người quen Ta chia thành nhóm số người quen: Nhóm người quen gồm người có số người quen Nhóm người quen gồm người có số người quen ………… …………… Như 493 người quen gồm có số người quen 493 Như ta có 494 nhóm (từ đến 493) Mà có 495 người Vậy theo ngun lý Dirichle có nhóm người quen gồm hay có người có số người quen giống Giả sử có người quen tất người lại Như 494 người cịn lại có nhiều 494 người quen Chia nhóm người quen: có 494 nhóm người quen (từ đến 994) Câu (Đề thi HSG 6) Có 64 người tham quan hai loại xe, loại 12 chỗ loại chỗ ngồi Biết số người vừa đủ số ghế ngồi Hỏi loại có xe ? Lời giải Gọi x loại số xe 12 chỗ, y loại số xe chỗ  x, y  * Ta có: 12 x  y  64 1 Ta thấy 12 x 4,64  y mà  4;7    y 4(2) Từ (1)  y  64  y  10 kết hợp với (2)  y  4;8 Với y   12 x  28  64  x  3(tm) Với y   12 x  56  64  12 x  8(ktm) Vậy có xe loại 12 chỗ, xe loại chỗ Câu (Đề thi HSG 6) Trong thi có 50 câu hỏi Mỗi câu trả lời 20 điểm, trả lời sai bị trừ 15 điểm Một học sinh tất 650 điểm Hỏi bạn trả lời đưọc câu Lời giải Nếu bạn trả lời 50 câu tổng số điểm 50.20 Nhưng bạn 650 điểm thiếu 1000 650 1000 (điểm) 350 (điểm) Thiếu 350 điểm số 50 câu bạn trả lời sai số câu Giữa câu trả lời trả lời sai chênh lệch 20 câu trả lời sai bạn là: 350 : 35 Vậy số câu bạn trả lời 50 10 15 35 (điểm) Do 10 câu 40 (câu) Câu (Đề thi HSG 6) a) Kết điều tra lớp học cho thấy: có 20 học sinh thích bóng đá, 17 học sinh thích bơi, 36 học sinh thích bóng chuyền, 14 học sinh thích đá bóng bơi, 13 học sinh thích bơi bóng chuyền, 15 học sinh thích bóng đá bóng chuyền, 10 học sinh môn, 12 học sinh không thích mơn Tính xem lớp học có học sinh? b) Cho số: A 123456789101112 .585960 Số A có chữ số Hãy xóa 100 chữ số số A cho số lại +Nhỏ nhất; +Lớn Lời giải a) Vẽ sơ đồ - Số học sinh thích mơn bóng đá bơi: 14 4(hs) 10 - Số học sinh thích mơn bơi bóng chuyền: 13 - Số học sinh thích mơn bóng đá, bóng chuyền: 15 10 - Số học sinh thích bơi: 17 10 - Số học sinh thích bóng chuyền: 36 10 Vậy số học sinh lớp: 10 18 10 5(hs) 1(hs) - Số học sinh thích bóng đá: 20 3(hs) 10 18(hs) 12 53(hs) b) Từ đến có chữ số Từ 10 đến 60 có: 51.2=102 chữ số Vậy: Số A có 102 111 chữ số * Nếu xóa 100 chữ số số A số A cịn 11 chữ số Trong số A có chữ số có chữ số đứng trước chữ số 51 52 53 ….58 59 60 Trong số có chữ số đứng trước Số nhỏ 00000123450 số nhỏ có chữ số 123450 * Trong số A có chữ số Nếu số lớn có chữ số đứng liền số 99999960 Số có chữ số khơng thỏa mãn Số lớn có chữ số liền số có dạng 99999 Các chữ số lại 785960 Vậy số lớn nhất: 99999785860 Câu (Đề thi HSG 6) Hai người mua gạo Người thứ mua gạo nếp, người thứ hai mua gạo tẻ Giá gạo tẻ rẻ giá gạo nếp 20% Biết khối lượng gạo tẻ người thứ hai mua nhiều khối lượng gạo nếp 20% Hỏi người trả tiền ? % so với người Lời giải Gọi giá gạo nếp a (đồng/kg); khối lượng gạo nếp mua b kg Suy giá gạo tẻ 80 120 b a; khối lượng gạo tẻ mua 100 10 Số tiền người thứ phải trả 80 120 a b 100 100 96 ab 100 Vậy người thứ hai trả tiền hươn người thứ là: ab 96 ab : ab 100 4% Câu (Đề thi HSG 6) Ba máy bơm bơm vào bể lớn, dùng máy máy hai sau 20 phút đầy bể, dùng máy hai máy ba sau 30 phút đầy bể dùng máy máy ba đầy bể sau 24 phút Hỏi máy bơm dùng bể đầy sau ? Lời giải + Máy máy bơm 20 phút hay đầy bể nên máy hai bơm bể + Máy máy bơm 30 phút hay đầy bể nên máy hai ba bơm bể + Máy máy ba bơm 24 phút hay 12 đầy bể nên máy máy bơm 12 bể Một ba máy bơm được: :2 12 11 (bể) 12 + Một giờ: Máy bơm 11 12 bể Máy ba bơm đầy bể Máy bơm 11 12 bể Máy bơm đầy bể Máy bơm 11 12 12 bể Máy bơm đầy bể Câu (Đề thi HSG 6) Cho 31 số nguyên tổng số số dương Chứng minh tổng 31 số dương Lời giải Trong số cho có số dương trái lại tất số âm tổng số chúng số âm trái với giả thiết Tách riêng số dương cịn 30 số chia làm nhóm Theo đề tổng số nhóm số dương nên tổng nhóm số dương tổng 31 số cho số dương Câu 10 (Đề thi HSG 6) Cho số tự nhiên từ đến 11 viết theo thứ tự tùy ý sau đem cộng với số với số thứ tự ta tổng Chứng minh tổng nhận được, tìm hai tổng mà hiệu chúng số chia hết cho 10 Lời giải Vì có 11 tổng mà có 10 chữ số tận số từ 0,1,2 nên ln tìm hai tổng có chữ số tận giống nên hiệu chúng số nguyên có tận số chia hết cho 10 Câu 7: Trên đường qua địa điểm A, B,C (B nằm A C), có hai người xe máy Hùng Dũng Hùng xuất phát từ A, Dũng xuất phát từ B Họ khởi hành lúc để đến C vào lúc 11 ngày Ninh xe đạp từ C phía A, gặp Dũng lúc gặp Hùng lúc 24 phút Biết quãng đường AB dài 30km, vận tốc Ninh vận tốc Hùng Tính quãng đường BC Lời giải Thời gian từ A đến C Hùng là: 11 (giờ) Thời gian từ B đến C Dũng là: 11 (giờ) Quãng đường AB 30km khoảng cách Hùng Dũng bớt 10km Vì lúc Hùng cịn cách Dũng 20km, lúc Ninh gặp Dũng nên Ninh cách Hùng 20km Đến 24 phút, Ninh gặp Hùng tổng vận tốc Ninh Hùng là: 20 : 24 60 50 km / h Do vận tốc Ninh 50 : 4 vận tốc Hùng nên vận tốc Hùng là: 40 km / h Từ suy quãng đường BC là: 40.3 30 90(km) Câu 11 Đề 243) Hai người mua gạo Người thứ mua gạo nếp, người thứ hai mua gạo tẻ Giá gạo tẻ rẻ giá gạo nếp 20% Biết khối lượng gạo tẻ người thứ hai mua nhiều khối lượng gạo nếp 20% Hỏi người trả tiền ? % so với người Lời giải Gọi giá gạo nếp a (đồng/kg); khối lượng gạo nếp mua b  kg  120 80 b a; khối lượng gạo tẻ mua 100 10 80 120 96 Số tiền người thứ phải trả a b ab 100 100 100 Suy giá gạo tẻ Vậy người thứ hai trả tiền hươn người thứ là: 96   ab  : ab  4%  ab  100   Câu 12 (Đề 247) Lúc giờ, người xe đap từ A đến B với vận tốc 12km / h Lát sau người thứ hai từ A đến B với vận tốc 20km / h Tính hai người gặp B Người thứ nửa quãng đường AB tăng vận tốc lên 24km/h Vì người gặp cách B 4km Hỏi người gặp lúc ? Lời giải Hiệu vận tốc nửa quãng dường đầu: 20  12  8(km / h) Hiệu vận tốc nửa quãng đường sau: 24  12  12(km / h) hiệu vận tốc nửa quãng đường sau Chỉ xét nửa quãng đường sau, thời gian xe II đuổi kịp xe I thực tế thời gian xe II đuổi kịp Hiệu vận tốc nửa quãng đường đầu theo dự định xe I theo dự định h  20' Thời gian hai xe đuổi kịp theo dự định: 20 ph.3  60 ph  1h Thời gian xe II cần để đuổi kịp xe I quãng đường: 1.2  2h Thời gian xe I trước là: 16 :12  h  1h20' Thời gian xe gặp theo dự định: 8h  1h20' 2h  11h20' Do xe thực tế gặp sớm dự định 20 phút Hai xe gặp lúc : 11h20' 20'  11h Thời gian hai xe đuổi kịp sớm hơn: :12  Câu 13 (Đề 248) Lúc người từ A đến B với vận tốc 25km / h Khi cách B 20km người tăng vận tốc lên 30km / h Sau làm việc B 30 phút, quay trở A với vận tốc không đổi 30km / h đến A lúc 12 phút Tính AB Lời giải Gọi điểm cách 20km C Thời gian quãng đường CB BC là:  20.2  : 30  h  1h20' Thời gian quãng đường AC CA là: 12h2' 8h  30' 1h20'  132' Tỷ số vận tốc quãng đường AC CA nên tỷ số vận tốc quãng đường AC CA Thời gian quãng đường AC là: 132 :11.6  72'  Chiều dài quãng đường AC: h 25  30(km) Chiều dài quãng đường AB: 50km Câu 14 (Đề 249) Ba máy bơm bơm vào bể lớn, dùng máy máy hai sau 20 phút dầy bể, dùng máy máy sau 30 phút bể đầy cịn dùng máy máy bể đầy sau 24 phút Hỏi máy bơm dùng đầy bể ? Lời giải bể, máy bơm bể, máy bơm bể 12 11 3  Nên ba máy bơm:     :  bể 12  12  Mỗi máy bơm Máy ba bơm đầy bể Máy bơm đầy bể Máy bơm đầy bể Câu 15 (Đề thi HSG huyện NGA SƠN 2018-2019) Một người từ A đến B với vận tốc 24km / h Một lát sau người khác từ A đến B với vận tốc 40km / h Theo dự định hai người gặp B nửa quãng đường AB người thứ hai tăng vận tốc lên thành 48km / h Hỏi hai người gặp địa điểm cách B km ? Biết quãng đường AB dài 160km Lời giải Hiệu vận tốc hai người là: 40  24  16  km / h  20 h  6h40' Thời gian người thứ hai hết quãng đường AB theo dự kiến: 160 : 40  4h Thời gian người thứ trước người thứ hai là: 6h40' 4h  2h40'  h Quãng đường người thứ trước là: 24  64  km  Khoảng cách hai người người thứ hai tăng vận tốc: 64  16.2  32  km  Thời gian người thứ hết quãng đường AB là: 160 : 24  Thời gian từ người thứ hai tăng vận tốc đến lúc gặp là: 32 :  48  24   h Đến lúc gặp người thứ hai quãng đường là: 80  48  144  km  Chỗ gặp cách B là: 160  144  16  km  Câu 16 (Đề thi HSG cấp trường 2018-2019) Bạn Tâm đánh số trang có 110 trang cách viết dãy số tự nhiên: 1, 2,3., ,110 Bạn Tâm phải viết chữ số Lời giải Viết số tự nhiên 1, 2,3, ,9 phải viết số tự nhiên có chữ số nên viết chữ số Viết số tự nhiên từ 10 đến 99 phải viết:  99  10 :1   90 số, nên cần phải viết 90.2  180 chữ số Viết số tự nhiên từ 100 đến 110 phải viết: 110  100 :1   11 (số) nên cần phải viết 11.3  33 chữ số Vậy bạn Tâm phải viết tất cả:  180  33  222 chữ số Câu 17 (Đề thi chọn HSG khối năm học 2018-2019) Học sinh khối trường xếp hàng thừa em, xếp hàng thừa em, xếp hàng thừa em Số học sinh khối bao nhiêu? Biết số học sinh khối khoảng từ 100 đến 200 em Lời giải Gọi số hs khối x , ( x  ) Theo đề ta có: x  , x  , x   x   BCNN(6, 7, 9) Từ tìm số hs khối 122 học sinh Câu 18 (Đề thi HSG toán cấp trường 2018-2019) Lấy tờ giấy cắt thành mảnh Lấy mảnh cắt thành mảnh khác Cứ tiếp tục nhiều lần a) Hỏi sau cắt số mảnh đó, tất 75 mảnh giấy nhỏ không ? b) Giả sử cuối đếm 121 mảnh giấy nhỏ Hỏi cắt tất mảnh giấy Lời giải a) Khi ta cắt tờ giấy thành mảnh số mảnh giấy tăng thêm Cắt nhiều lần tổng số mảnh giấy tăng thêm 5k (k tờ giấy đem cắt) Ban đầu có tờ giấy, tổng số mảnh giấy 5k  Số chia dư 1: Vậy có tất 75 mảnh giấy nhỏ (vì 75 ) b) Ta có: 5k   121  k  24 Vậy ta cắt tất 24 mảnh giấy Câu 19 (Đề thi HSG huyện TAM DƯƠNG 2018-2019) Tìm chữ số x, y để A  x183 y chia cho 2;5;9 dư Lời giải Do A  x183 y chia cho dư nên y  Ta có: A  x1831 chia cho dư  x1830   x       x  Vậy x  6; y  Câu 20 (Đề thi HSG huyện TAM DƯƠNG 2018-2019) Ba xe buýt khởi hành lúc sáng từ bến xe theo ba hướng khác Xe thứ quay bến sau phút sau 10 phút lại Xe thứ hai quay bến sau 56 phút lại sau phút Xe thứ ba quay bến sau 48 phút sau phút lại Hỏi ba xe lại xuất phát từ bến lần thứ hai vào lúc ? Lời giải Giả sử sau a phút (kể từ lúc 6h) xe lại xuất phát bến lần thứ hai Lập luận để suy a BCNN (75;60;50)  300 phút = Sau 5h ba xe lại xuất phát, lúc 11 ngày Câu 21 (Đề thi HSG huyện TAM DƯƠNG 2018-2019) Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 84 UCLN chúng Lời giải Gọi hai số tự nhiên phải tìm a, b  a  b   a  6a ' Ta có:  a, b      a ', b '  1 a ', b '  b  6b '  Do a  b  84   a ' b '  84  a ' b '  14 Chọn cặp số a ', b ' nguyên tố có tổng 14  a '  b ' ta có trường hợp sau: a '  1; b '  13  a  6, b  78 a '  3; b '  11  a  18; b  66 a '  5; b '   a  30; b  54 Câu 22 (Đề thi HSG huyện TAM DƯƠNG 2018-2019) Trong buổi giao lưu tốn học, ngoại trừ Bình, hai người bắt tay nhau, Bình bắt tay với người quen Biết cặp hai người bắt tay không lần có tổng cộng 420 lần bắt tay Hỏi Bình có người quen buổi giao lưu ? Lời giải Giả sử buổi giao lưu, ngồi Bình cịn có n người nữa, Bình có k người quen (ĐK: k , n  , k  n) n  n  1 Số lần bắt tay n người khác (khơng kể Bình): (lần) Số lần bắt tay Bình người quen Bình k (lần) n  n  1  k  420 Vì có tổng cộng 420 lần bắt tay nên: (*) Hay n  n  1  2k  840 Vì k , n  ,0  k  n nên n2  n  n  n  1  2k  n2  n  2n Hay n2  n  n  n  1  2k  n2  n Kết hợp với (*) suy ra: n2  n  840  n2  n   n  1 n  840  n  n  1 Ta có: 28.29  840  29.30  n  29 Thay vào (*) tính k  14 Vậy Bình có 14 người quen Câu 23 (Đề thi HSG CẤP TRƯỜNG 2019-2020) Học sinh khối xếp hàn; xếp hàng 10, hàng 12, hàng 15 dư học sinh Nhưng xếp hàng 11 vừa đủ Biết số học sinh khối chưa đến 400 học sinh Tính số học sinh khối Lời giải Gọi số học sinh khối a   a  400  Vì xếp hàng 10,12,15 dư   a  3 10;12;15  a   BC 10;12;15 ta có BCNN (10;12;15)  60  a  60;120;180;240;300;360;420;   a 63;123;183;243;303;363;423;  , a 11, a  400  a  363 Vậy số học sinh khối 363 em Câu 24 (Đề thi HSG huyện THANH MAI 2019-2020) Tìm ba số có tổng 210, biết số thứ số thứ hai số thứ ba 11 Lời giải 21 (số thứ hai) :  11 22 27 Số thứ ba (số thứ hai) :  11 22 21  22  27 70 Tổng ba số (số thứ hai)  (số thứ hai) 22 22 70 Số thứ hai là: 210 :  66 22 21 Số thứ : 66  63 22 27 Số thứ ba là: 66  81 22 Câu 25 (Đề thi HSG TRƯỜNG THCS BÍCH HỊA 2018-2019) Số thứ bằng: Tổng bình phương ba số tự nhiên 2596 Biết tỉ số số thứ số thứ hai số thứ hai số thứ ba ; Tìm ba số Lời giải Gọi a, b, c ba số tự nhiên phải tìm a b Theo đề ta có:  ;  1 a2  b2  c2  2596 (2) b c 6 Từ (1) suy : a  b; c  b , thay vào (2) ta có: 36 b  b  b  2596  b  900 25  b  30; a  20; c  36 Vậy số phải tìm 30; 20;36 Câu 26 (Đề thi HSG HUYỆN 2018-2019) Cho 31 số nguyên tổng số số dương Chứng minh tổng 31 số dương Lời giải Trong số cho có số dương trái lại tất số âm tổng số chúng số âm trái với giả thiết Tách riêng số dương cịn 30 số chia nhóm Theo đề tổng số nhóm số dương nên tổng nhóm số dương tổng 31 số cho số dương Câu 27 (Đề thi HSG CẤP TRƯỜNG 2019-2020) Ba máy bơm bơm vào bể lớn, dùng máy máy hai sau 20 phút đầy bể, dùng máy hai máy ba sau 30 phút đầy bể cịn dùng máy máy ba đầy bể sau 24 phút Hỏi máy bơm dùng bể đầy sau ? Lời giải Máy máy bơm 20 phút hay đầy bể nên máy hai bơm bể Máy máy bơm 30 phút hay đầy bể nên máy hai ba bơm bể 12 đầy bể nên máy máy bơm bể 12 3  11  Một ba máy bơm được:     :  (bể) 12  12  Máy máy ba bơm 24 phút hay Một giờ: Máy bơm 11   bể  Máy ba bơm đầy bể 12 Máy bơm 11   bể  Máy bơm đầy bể 12 11   bể  Máy bơm đầy bể 12 12 Câu 28 (Đề thi HSG CẤP TRƯỜNG 2018-2019) Ở lớp 6A, số học sinh giỏi học kỳ I số lại Cuối năm có thêm học sinh đạt loại giỏi nên Máy bơm số học sinh giỏi số cịn lai Tính số học sinh lớp 6A Lời giải Số học sinh giỏi kỳ I số học sinh lớp 10 Số học sinh giỏi cuối năm học sinh ứng với số học sinh lớp  số học sinh lớp 10 1 số học sinh lớp nên số học sinh lớp: :  40 10 10 Câu 29 (Đề thi HSG CẤP TRƯỜNG 2018-2019) Bạn Tâm đánh số trang có 110 trang cách viết dãy số tự nhiên 1,2,3, ,110 Bạn Tâm phải viết tất số Lời giải Viết số tự nhiên từ đến hết số Viết số từ 10 đến 99 hêt 90.2=180 số Viết số từ 100 đến 110 cần 11.3=33 số Vậy bạn Tâm phải viết:  180  33  222 chữ số Câu 30 (Đề thi HSG TRẦN PHÚ 2018-2019) Tìm số tự nhiên có chữ số tận chữ số Biết chuyển chữ số lên đầu cịn chữ số khác giữ nguyên ta số gấp lần số cũ Lời giải Gọi số cần tìm abcde4 , ta có: abcde4.4  4abcde Đặt abcde  x  abcde4  x4 Ta có: x4.4  400 000  x 10x  4  400 000  x 40x  16  400 000  x 39x  399984 x  10256 Vậy số cần tìm 102564 Câu 31 (Đề thi HSG HỒI NHƠN 2018-2019) Cùng cơng việc người làm riêng người A,B,C hồn thành cơng việc thời gian giờ, giờ, 12 Hai người B C làm chung sau người C chuyển làm việc khác, người A làm với người B tiếp tục cơng việc hồn thành Hỏi người A làm Lời giải Trong giờ, người A,B,C B C làm được: A B làm được:  5  (CV) 24 12  (CV) 12 12 1   (CV) 24 7 :  (giờ) Thời gian A làm với B: 12 24 A B làm được: 1 1 CV, CV, B C làm   (CV) 8 12 24 Câu 32 (Đề thi HSG CẤP TRƯỜNG 2018-2019) đàn gà nhà bạn Hà gà trống Số gà trống 14 Hỏi: Đàn gà nhà bạn Hà có ? Tỉ số phần trăm số gà trống đàn gà ? Lời giải Đàn gà nhà bạn Hà có: 14 :  35 (con) Tỉ số phần trăm gà trống so với đàn gà: 14 100%  40% 35 Câu 33 (Đề thi HSG huyện Vĩnh Tường 2019-2020) Một người quãng đường AB dài 20km Biết 10km đầu người với vận tốc 20km / h 10km sau người với vận tốc 30km / h Hỏi vận tốc trung bình người qng đường AB ? Lời giải 10  h 20 10  h Thời gian người 10km sau là: 30 Thời gian người 10km đầu  24  km / h  Câu 34 (Đề thi HSG huyện Vĩnh Tường 2019-2020) Tìm số tự nhiên nhỏ mà số chia cho 5, cho 7, cho có số dư theo thứ tự 3, 4,5? Lời giải Tổng thời gian người quãng đường AB là: 20 : Gọi số cần tìm a Số 2a chia cho 5, cho 7, cho có số dư Suy 2a   BCNN  5,7,9  Vậy a  158 Câu 35 (Đề thi HSG huyện số 287 năm học 2018-2019) Một hiệu sách có hộp bút bi bút chì Mỗi hộp đựng loại bút Hộp 1:78 chiếc, Hộp 2: 80 chiếc, Hộp 3: 82 chiếc, Hộp 4: 114 chiếc, Hộp 5: 128 Sau bán hộp bút chì số bút bi cịn lại gấp lần số bút chì cịn lại cho biết lúc đầu hộp đựng bút bi, hộp đựng bút chì? Lời giải Tổng số bút bi bút chì lúc đầu: 78  80  82  114  128  482 (chiếc) Vì số bút bi cịn lại gấp lần số bút chì cịn lại nên tổng số bút bi bút chì cịn lại chia hết cho 5, mà 482 chia ccho dư nên hộp bút chì bán có số lượng chia cho dư Trong số 78;80;82;114;128 có 82 chia cho dư Vậy hộp bút chì bán hộp 3: 82 Số bút bi bút chì cịn lại: 482  82  400 (chiếc) Số bút chì cịn lại: 400 :  80 (chiếc) Vậy: hộp đựng bút chì: Hộp 2, hộp Các hộp đựng bút bi: Hộp 1, hộp 4, hộp Câu 36 (Đề thi HSG huyện 282 năm học 2018-2019) Một xe tải khởi hành từ A lúc 7h đến B lúc 12h Một xe khởi hành từ B lúc rưỡi đến A lúc 11 rưỡi Biết vận tốc xe xe tải 10km / h Hỏi hai xe gặp lúc giờ, tính quãng đường AB? Lời giải Chọn quãng đường AB làm đơn vị quy ước Thời gian xe tải từ A đến B 5h, xe từ B đến A 4h Trong 1h hai xe gần được: 1    AB 20 Xe khởi hành sau xe tải: 7h30ph  7h  30ph  h 1 Khi xe khởi hành hai xe cách nhau:   (AB) 10 Hai xe gặp sau: 9 :  2h 10 20 Hai xe gặp lúc: 7h30ph  2h  9h30ph 10km là: 1   (AB) 20 Vậy quãng đường AB dài: 10 :  200(km) 20 Câu 37 (Đề thi HSG huyện Cẩm Thủy năm học 2017-2018) Người ta thả số bèo vào ao sau ngày bèo phủ kín đầy mặt ao,Biết sau ngày diện tích bèo lại tăng gấp đôi Hỏi: a) Sau ngày bèo phủ nửa ao b) Sau ngày thứ bèo phủ phần ao Lời giải Gọi x số ngày bèo đầy ao Suy ngày thứ x-1 1 (a0) ngày thứ x – được: 1 ( ao) 22 ………………………… ngày thứ x – n được: Thay x = vào ta thấy 1 ( ao) 2n a) để bèo 1 ao số – = ngày b) sau ngày thứ ta có: – n =  n = hay số bèo ao có : Vậy: sau ngày bèo 1  ao 32 1 ao, sau ngày thứ bèo ao 32 Câu 38 (Đề HSG Toán 6_huyện_2016-2017) Trong thi có 50 câu hỏi Mỗi câu trả lời 20 điểm, trả lời sai bị trừ 15 điểm Một học sinh tất 650 điểm Hỏi bạn trả lời câu đúng? Lời giải Nếu bạn trả lời 50 câu tổng điểm 50.20  1000 (điểm) Nhưng bạn 650 điểm thiếu 1000  650  350 (điểm) Thiếu 350 điểm số 50 câu bạn trả lời sai số câu Giữa câu trả lời trả lời sai chênh lệch 20+15=35 (điểm) Do số câu trả lời sai bạn là: 350 : 35  10 (câu) Vậy số câu bạn trả lời là: 50 10  40 (câu) ... thấy: phần tuổi 32 tuổi Hay phần tuổi 16 tuổi ( 10 phần tuổi 32 tuổi 32 tuổi) : phần tuổi phần tuổi Vậy tuổi cách 10 năm là: 16 : 4 (tuổi) 16 tuổi Tuổi bố cách 10 năm là: 4x10 40 (tuổi) Tuổi là:... tuổi tuổi phần tuổi tuổi 73 tuổi 73 (tuổi) 65 (tuổi) Vậy phần tuổi là: 65: 13 Tuổi là: 5x7 (tuổi) 39 (tuổi) Bài tập 9: Bố nói với con: " 10 năm trước tuổi bố gấp 10 lần tuổi con", 22 năm sau tuổi. .. là: 36 : 4x7 (phần) 63 (tuổi) Bài tập 8: Năm mẹ 73 tuổi Khi tuổi mẹ tuổi tuổi mẹ lần tuổi lúc tuổi Tính tuổi nay? Hướng dẫn Coi tuổi phần (khi tuổi mẹ tuổi nay) tuổi mẹ lúc phần cộng thêm tuổi