(SKKN 2022) giúp học sinh yếu, kém giải được một số bài toán về cực trị liên quan đến đạo hàm

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH YẾU, KÉM GIẢI ĐƯỢC MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Mơn Tốn trường phổ thơng mang ý nghĩa mơn học cơng cụ, song mơn học rèn luyện nhiều hình thức tư cho học sinh đặc biệt tư logic tư sáng tạo Mơn tốn khơng giúp học sinh phát triển lực tính tốn mà cịn giúp học sinh hình thành lực chung theo u cầu chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể (đó lực tự chủ tự học, lực giao tiếp hợp tác, lực giải vấn đề sáng tạo) Trong chương trình Tốn THPT, đạo hàm công cụ quan trọng giúp ta giải nhiều toán hay đẹp Đặc biệt để giải toán liên quan đến hàm số như: tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, ta thường đến việc xét dấu đạo hàm lập bảng biến thiên Trong đạo hàm ngồi việc cho công thức, bảng xét dấu ta thường gặp đạo hàm cho đồ thị Từ việc đọc thay đổi dấu đạo hàm hàm số ta lập bảng biến thiên tìm nhiều tính chất hàm số từ giải nhiều toán hay Hơn nữa, đề thi thường xuất nhiều toán có giả thiết cho đạo hàm, nhiên dạng tốn tập sách giáo khoa chưa có, kiến thức trừu tượng nhiều đánh giá khó, em học sinh yếu Chính q trình dạy học lớp 12, dạng toán liên quan đến cực trị đưa hướng dẫn học sinh giải toán cực trị liên quan đến đạo hàm Qua trình giảng dạy, đặc biệt dạy ôn tập cho học sinh khối 12 thi tốt nghiệp THPTQG tơi tìm tịi, học hỏi, tiếp cận tinh thần đổi phương pháp, hình thức tổ chức dạy học; đổi kiểm tra đánh giá Bộ Giáo dục Đào tạo, bám sát cấu trúc đề thi cách hỏi đề thi trắc nghiệm, rút nhiều kinh nghiệm hướng dẫn cho học sinh Đây lí tơi chọn đề tài: “ Giúp học sinh yếu, giải số toán cực trị liên quan đến đạo hàm” 1.2 Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh, đặc biệt học sinh yếu, tiếp cận tốt phần chương giải tích 12 phần khác chương trình, đồng thời rèn luyện kĩ lập luận tư logic thơng qua q trình giải toán 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài số toán cực trị liên quan đến đạo hàm dành cho học sinh lớp 12 THPT, đặc biệt hướng tới học sinh yếu, 1.4 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu: Khám phá, tự tìm tịi, đưa vào thực nghiệm đúc rút thành kinh nghiệm, kết hợp với nghiên cứu tài liệu để tổng hợp thành hệ thống theo mức độ từ dễ đến khó II NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm *) Định lí cực trị: Cho hàm số x0 ∈ (a; b) y = f ( x) xác định liên tục khoảng y = f ( x) + Điều kiện cần để hàm số có cực trị (định lí ): Nếu hàm số ( a; b ) x0 f '( x0 ) = hàm khoảng đạt cực đại cực tiểu ( a; b ) , có đạo y = f ( x) + Điều kiện đủ (định lí 2) Giả sử hàm số liên tục khoảng K = ( x0 − h; x0 + h) K \ {x0 }, h > K có đạo hàm trên f '( x) > ∀x ∈ ( x0 − h; x0 ) f '( x) < ∀x ∈ ( x0 ; x0 + h) x0 - Nếu f ( x) điểm cực đại hàm số f '( x) < ∀x ∈ ( x0 − h; x0 ) f '( x) > ∀x ∈ ( x0 ; x0 + h) x0 - Nếu f ( x) điểm cực tiểu hàm số y = f ( x) + Định lí Giả sử hàm số có đạo hàm cấp hai khoảng K = ( x0 − h; x0 + h), h > Khi đó: f '( x0 ) = 0, f ''( x0 ) > x0 - Nếu điểm cực tiểu; f '( x0 ) = 0, f ''( x0 ) < x0 - Nếu điểm cực đại 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tiễn dạy học, dạy chương giải tích 12 nhận thấy nhiều học sinh không hiểu bài, thực nhiệm vụ mà giáo viên giao cho, theo chuẩn kiến thức kĩ nhiệm vụ dễ tơi cố gắng phân nhỏ nhiệm vụ để giảm bớt độ khó cho học sinh Bài kiểm tra thường xuyên định kì mơn giải tích chương điểm thấp phận học sinh yếu Tham khảo giáo viên tổ biết lớp khác có tình trạng tương tự em học sinh yếu, Tìm hiểu nguyên nhân từ em học sinh em trả lời: kiến thức nằm lớp 10, 11 em gần quên hết, mặt khác dạng tập lại khơng có sách giáo khoa nên việc tiếp thu kiến thức trở nên khó khăn Ngày nhiều kiến thức nên nhiều em chọn bỏ qua số dạng tập , chấp nhận điểm cách đáng tiếc Ngoài thời lượng dành cho chương hạn chế giáo viên khó truyền đạt hết cách chi tiết, tỉ mỉ cho học sinh học sinh yếu, NỘI DUNG CỤ THỂ Để giải vấn đề đưa bước tiến hành sau: Bước Nhắc lại định lí cực trị hàm số sách giáo khoa *) Các thuật ngữ cần nhớ x0 - Điểm cực đại ( điểm cực tiểu) hàm số Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) f ( x0 ) M ( x0 ; f ( x0 )) hàm số Điểm gọi điểm cực đại (cực tiểu) đồ thị hàm số - Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số Bước Định hướng nhận dạng dạng toán cực trị liên quan đến đạo hàm Trong chương trình tốn THPT có nhiều dạng, thời lượng định định hướng đưa dạng thường gặp sau phù hợp với đối tượng học sinh yếu, kém: y = f '( x) y = f ( x) Dạng 1: Từ bảng xét dấu xác định điểm cực trị hàm số *)Phương pháp: f '( x) +) Dựa vào bảng xét dấu xác định nghiệm phương trình giá trị thuộc tập xác định đạo hàm không xác định f '( x) +) Căn dấu dựa vào định lí suy kết luận điểm cực trị f ( x) f ( x) ¡ *) Minh họa: (Đề tham khảo 2020 – Lần 1) Cho hàm số xác định f '( x) có bảng xét dấu đạo hàm sau: Số điểm cực trị hàm số cho B Hướng dẫn giải: A Ta có C D  x = −1 f '( x) = ⇔  x =   x = f '( x) x −1 Từ bảng xét dấu ta thấy đổi dấu qua nghiệm nghiệm ; f '( x) x không đổi dấu qua nghiệm nên hàm số có hai điểm cực trị Đáp án C Từ định lí cực trị ví dụ minh họa nêu trên, ta có nhận xét mối liên hệ đạo hàm cực trị hàm số sau : Cho hàm số +) Nếu f '( x) y = f ( x) liên tục khoảng ( a; b ) đổi dấu từ âm sang dương x , x0 ∈ (a; b) qua điểm x0 hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu +) Nếu x0 f '( x) đổi dấu từ dương sang âm x0 đạt cực đại x qua điểm x0 hàm số y = f ( x) f ( x) Ví dụ (Đề tham khảo 2020 – Lần 2) Cho hàm số f '( x) sau: có bảng xét dấu Số điểm cực trị hàm số cho A B Hướng dẫn giải: C D f ′( x ) x Dựa vào bảng xét dấu hàm số cho có lần đổi dấu −2;0 x = −2 x=0 qua nên hàm số có điểm cực trị Do đáp án cần chọn đáp án C f ( x) Ví dụ Cho hàm số liên tục ¡ f '( x) có bảng xét dấu sau: Số điểm cực đại hàm số cho A B C D Hướng dẫn giải: f ( x) Do hàm số liên tục ¡ , f '(−1) = f '(1) không xác định f ′( x) f (1) "+ " hàm số liên tục nên tồn đổi dấu từ sang x = −1 x = "− " qua điểm , nên hàm số cho đạt cực đại điểm ¡ Vậy số điểm cực đại hàm số cho Do đáp án đáp án C Ví dụ Cho hàm f ( x) liên tục ¡ f '( x) có bảng xét dấu sau: Số điểm cực tiểu hàm số A B Hướng dẫn giải: f '( x ) Ta thấy đổi dấu lần từ C ( −) sang D ( +) x = 1; x = −1 qua điểm f (1) ¡ Mặt khác hàm số xác định tồn hàm số có điểm cực tiểu Đáp án đáp án C Chú ý: Giáo viên cần nhấn mạnh điểm đạo hàm khơng xác định hàm số cho xác định để giúp học sinh tránh sai lầm Dạng Từ đồ thị *)Phương pháp: y = f '( x ) xác định điểm cực trị hàm số +) Dựa vào đồ thị xác định nghiệm phương trình f '( x) = y = f ( x) f '( x) +) Căn vào vị trí tương đối đồ thị với trục hoành, xác định dấu , f ( x) suy cực trị y = f ( x) y = f '( x ) *) Minh họa: Cho hàm số có đồ thị đạo hàm (như hình vẽ ) f '( x) = yêu cầu học sinh dựa vào đồ thị nghiệm phương trình f '( x) > 0, f '( x) < f '( x) x khoảng ứng với Từ suy bảng xét dấu (hoặc f ( x) bảng biến thiên ) để kết luận điểm cực trị hàm số y = f '( x ) Dựa vào đồ thị hàm số ta có kết luận sau: f '( x) > y = f '( x ) +) ứng với phần đồ thị hàm số nằm phía trục hồnh f '( x) < y = f '( x) +) ứng với phần đồ thị hàm số nằm phía trục hoành f '( x) = y = f '( x ) +) giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành x0 y = f '( x ) +) Nếu đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hồnh điểm có hồnh độ x0 y = f '( x) x0 f '( x) nghiệm bội chẵn phương trình qua đạo hàm x0 khơng đổi dấu Do khơng phải điểm cực trị hàm số +) Nếu đồ thị hàm số x0 x0 x0 cắt trục hoành điểm có hồnh độ nghiệm x0 x0 f '( x) = f '( x) bội lẻ phương trình qua đạo hàm đổi dấu Do điểm cực trị hàm số Dựa vào kết luận ta có bước giải cho toán minh họa sau: Từ đồ thị ta thấy: đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt nên hàm số có điểm cực trị Giáo viên làm rõ vấn đề thông qua lời giải sau:  x = −1 f '( x) = ⇔  x =   x = Phương trình Bảng biến thiên: x −∞ −1 +∞ f '( x) − + − + f ( x) Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực tiểu hai điểm x =1 đạt cực đại điểm *)Ví dụ: x = −1; x = hàm số y = f ( x) Ví dụ Cho hàm số ¡ liên tục Biết đồ thị hàm y = f '( x ) số hình vẽ Số điểm y = f ( x) cực trị hàm số A B C D Hướng dẫn giải: y = f '( x ) Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 0; x1 ; x2 x3 theo thứ tự tiếp xúc với trục hồnh điểm có hồnh độ Xét dấu đạo hàm ta có bảng biến thiên sau : Vậy hàm số có điểm cực trị Đáp án B y = f ( x) Ví dụ Cho hàm số liên ¡ tục Biết đồ thị hàm số y = f '( x ) đường cong hình vẽ y = f ( x) Số điểm cực trị hàm số A B C D Hướng dẫn giải: 10  x = −1 f '( x) = ⇔   x =1 Dựa vào hình vẽ ta có: nằm phía trục hoành , đồ thị hàm số y = f '( x ) Ta có bảng biến thiên: Vậy hàm số y = f ( x) khơng có cực trị Đáp án B Chú ý: Qua ví dụ giáo viên lưu ý cho học sinh trường hợp đồ thị tiếp xúc với trục hoành y = f ( x) y = f '( x ) Ví dụ Cho hàm số , đồ thị hàm số đường cong hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng? 11 A Hàm số B Hàm số C Hàm số D Hàm số Hướng dẫn giải: y = f ( x) y = f ( x) y = f ( x) y = f ( x) có điểm cực tiểu khơng có cực đại có điểm cực đại điểm cực tiểu có điểm cực đại khơng có cực tiểu có điểm cực đại điểm cực tiểu y = f '( x ) Dựa vào hình vẽ ta thấy hàm số đổi dấu lần đổi dấu từ âm sang dương nên suy hàm số có điểm cực tiểu khơng có điểm cực đại Đáp án A y = f '( x ) Dạng Từ cơng thức tìm điểm cực trị hàm số *)Phương pháp: y = f '( x ) +) Từ cơng thức tìm giá trị làm cho đạo hàm không xác định +) Lập bảng biến thiên hàm số bảng xét dấu đạo hàm, dựa vào định lí suy kết luận cực trị hàm số y = f ( x) *) Minh họa: (Đề tham khảo 2019) Cho hàm số f ′( x ) = x ( x − 1)( x + 2)3 ∀x ∈ ¡ , A y = f ( x) có đạo hàm Số điểm cực trị hàm số cho B C D Hướng dẫn giải: Phương trình f ′( x ) = ⇔ x ( x − 1)( x + 2)3 = 12 x = ⇔ x =   x = −2 Ta có bảng xét dấu đạo hàm: +∞ x −2 − f '( x) + f ′( x) = +∞ − 0 + f ′( x ) Do có ba nghiệm phân biệt đổi dấu qua ba nghiệm nên hàm số có ba điểm cực trị Do đáp án đáp án A Từ ví dụ minh họa nêu ta có nhận xét mối liên hệ nghiệm phương f '( x) = trình điểm cực trị hàm số sau: x0 f '( x) = x0 f '( x) +) Nếu nghiệm bội lẻ phương trình qua đạo hàm x0 y = f ( x) đổi dấu nên điểm cực trị hàm số x0 f '( x) = x0 f '( x) +) Nếu nghiệm bội chẵn phương trình qua đạo hàm x0 y = f ( x) không đổi dấu nên điểm cực trị hàm số *)Ví dụ: Ví dụ Cho hàm số y = f ( x) định số điểm cực trị hàm số A có đạo hàm y = f ( x) B f '( x ) = x ( x − 1)( x + 2) , ∀x ∈ ¡ Xác ? C D Hướng dẫn giải: 13 Xét phương trình  x=0 f '( x) = ⇔  x =   x = −2 Ta có bảng xét dấu sau: x +∞ −2 + f '( x) − f '( x) Dễ thấy đổi dấu qua có điểm cực trị x = −2 Trả lời trắc nghiệm : Do phương trình điểm cực trị Đáp án C +∞ − 0 f '( x) đổi dấu qua f '( x) = + x =1 nên hàm số có nghiệm bội lẻ nên hàm số có Tuy nhiên học sinh phải hiểu bước tìm điểm cực trị hàm số để giải tốn sau : y = f ( x) Ví dụ Cho hàm số có đạo hàm điểm cực tiểu hàm số cho B A f ′ ( x ) = x ( x − 1) ( x − ) , ∀x ∈ ¡ C D Số Hướng dẫn giải: Ta có: x = f '( x) = ⇔  x =   x = 14 Bảng xét dấu: x −∞ f '( x) - + +∞ - + f '( x) Dựa vào bảng xét dấu nhận thấy hàm số có đạo hàm đổi dấu từ âm f ( x) x sang dương lần qua Do hàm số có điểm cực tiểu Đáp án D Ví dụ Cho hàm số đại hàm số? A y = f ( x) x =1 B có f '( x) = x( x − 1)( x − 2) , ∀x ∈ ¡ x=0 C Tìm điểm cực x = −2 D x=2 Hướng dẫn giải: Ta có  x=0 f '( x) = ⇔  x =   x = −2 ( x + 2) > ∀x ∈ ¡ ⇒ f '( x) Nhận thấy không đổi dấu qua nghiệm x = −2 điểm cực trị hàm số Ta có bảng xét dấu: x f '( x) −∞ + −2 0 + x = −2 +∞ - nên + 15 f '( x) x=0 Dễ thấy đổi dấu từ dương sang âm qua x=0 đại Đáp án B nên hàm số có điểm cực Bước Đưa số tập trắc nghiệm củng cố nâng cao mức độ f ( x) Bài (Đề thi TNTHPT 2019) Cho hàm số f '( x ) = x( x − 1) , ∀x ∈ ¡ Số điểm cực trị hàm số cho A B C Bài 2.(Đề thi TNTHPT 2019) Cho hàm số điểm cực trị hàm số cho A B f ( x) Bài Cho hàm số có đạo hàm cực tiểu hàm số cho A B f ( x) Bài Cho hàm số cho đạt cực đại tai điểm A x=0 Bài Cho hàm số hàm số cho f (−1) có đạo hàm f '( x) + f '( x) - f (0) C x = −4 f '( x ) = x ( x + 1)( x − 4), ∀x ∈ ¡ B sau: −2 C f ( x) f (4) liên tục Hàm số D - x=3 Giá trị cực đại ¡ D f (1) có bảng xét +∞ + Số điểm x =1 Số C D f '( x) = x ( x − 1)( x + 4) , ∀x ∈ ¡ Bài (Đề thi TNTHPT 2020) Cho hàm số dấu đạo hàm −∞ x có đạo hàm D f '( x) = x( x + 2) C D f '( x) = x( x − 1)( x + 2) , ∀x ∈ ¡ B f ( x) A có đạo hàm f ( x) có đạo hàm 16 Số điểm cực trị hàm số cho A B Bài (Đề thi TNTHPT 2020) Cho hàm số dấu đạo hàm x f '( x) f '( x) −∞ f ( x) D liên tục ¡ có bảng xét sau: −1 - C 0 + +∞ - + + Số điểm cực tiểu hàm số cho A B Bài (Đề tương tự đề minh họa 2021) Cho hàm số xét dấu đạo hàm −∞ x f '( x) + f '( x) −1 sau: 0 - C D f ( x) + liên tục - có bảng +∞ ¡ + Số điểm cực đại hàm số cho A y = f ( x) B C D Bài Cho hàm số liên tục ¡ Biết đồ thị hàm số y = f '( x ) hình vẽ Số điểm cực trị y = f ( x) hàm số A B C D 17 y = f ( x) Bài 10 Cho hàm số liên tục ¡ Biết đồ thị hàm số y = f '( x ) hình vẽ Điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = f ( x) A x=2 (2; f (2)) B (1; f (1)) C D x =1 III KẾT LUẬN 1.Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm a Hiệu đạt sử dụng đề tài - Khi áp dụng kinh nghiệm dạy học thấy học sinh dạy hứng thú với phần này, đặc biệt em học sinh yếu, Các em tự tin gặp dạng toán cực trị liên quan đến đạo hàm đề thi , giải nhanh xác yêu cầu đề Khi chia sẻ kinh nghiệm với đồng nghiệp thấy đồng nghiệp ủng hộ góp ý nhiều ý kiến bổ ích giúp tơi ngày hồn thiện biện pháp giáo dục - Sau nắm vững nội dung nêu đề tài học sinh giải tập cực trị tốt hơn, toán cực trị liên quan đến đạo hàm - Đề tài giáo viên dạy dạng chủ đề hai tiết tự chọn tổ ban giám hiệu đánh giá thành cơng, có hiệu áp dụng tốt cho lớp 12 đặc biệt lớp thi khối có mơn Tốn 18 b Các kết quả, minh chứng tiến học sinh áp dụng đề tài Năm học 2021-2022 phân công giảng dạy lớp: 12B2; 12B5; 12B6, lớp 12B2; 12B6 có nhiều học sinh yếu so với học sinh lớp khối 12 Năm học 2020-2021 chưa áp dụng biện pháp vào dạy học, năm 20212022 áp dụng vào dạy học lớp 12B2 Tôi thực kiểm tra hai lớp đạt kết qủa sau: Kết kiểm tra năm học 2021-2022 Lớp 12 B6 chưa áp dụng biện pháp Điểm Dưới Lớp 12B6 (40 em) 11 Từ 5-dưới 6,5 Từ 6,5-dưới 14 Từ 8-10 13 Lớp 12 B2 áp dụng biện pháp Điểm Dưới Từ 5-dưới 6,5 Từ 6,5-dưới Từ 8-10 Lớp 12B2 (40 em) 7 25 Kết thu từ điểm số cho thấy điểm 12B2 tốt chứng tỏ tính khả thi hiệu biện pháp c Kết luận - Đề tài đưa biện pháp dạy học giúp học sinh, đặc biệt học sinh yếu, tiếp cận tốt phần chương giải tích 12 phần khác chương trình - Khi sử dụng đề tài vào dạy học thấy kết nâng cao rõ rệt phần này, đồng thời học sinh rèn luyện tính tích cực, độc lập, sáng tạo Hình thành phát triển lực Toán học - Thông qua đề tài này, cho thấy giáo viên cần ln tìm tịi, học hỏi đổi mới, áp dụng thành cách mạng 4.0 vào dạy học qua giúp học sinh 19 nắm vững kiến thức mà em học, điều tạo hứng thú u thích mơn tốn Một số đề xuất Mơn Tốn mơn học địi hỏi nhiều kĩ lập luận tư logic, cần trang bị nhiều kĩ để tiếp cận tốt với dạng toán phương pháp giải Điều đòi hỏi tạo điều kiện cấp quản lý việc tăng cường tài liệu học tập, thiết bị hỗ trợ trình học, thi thử giúp học sinh tiếp cận đề thi từ nhiều kênh học tập khác Đề tài “ Giúp học sinh yếu, giải số toán cực trị liên quan đến đạo hàm” tổng hợp kinh nghiệm , kết hợp với nghiên cứu học hỏi vận dụng vào thực tiễn giảng dạy thân Tôi cam kết tính trung thực sáng kiến kinh nghiệm Chọn đề tài cá nhân mong muốn chia sẻ kinh nghiệm thực tế làm, từ góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn sở cơng tác Vì mong nhận góp ý từ ban giám khảo để sáng kiến kinh nghiệm hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Nông Cống, ngày 10 tháng năm 2022 CƠ QUAN ĐƠN VỊ XÁC NHẬN Người viết SKKN Bùi Thị Hoa 20 THƯ MỤC THAM KHẢO SGK Giải Tích 12 – NXBGD, 2015 21 ... hàm số điểm cực trị hàm số cho A B f ( x) Bài Cho hàm số có đạo hàm cực tiểu hàm số cho A B f ( x) Bài Cho hàm số cho đạt cực đại tai điểm A x=0 Bài Cho hàm số hàm số cho f (−1) có đạo hàm. .. cho học sinh Đây lí tơi chọn đề tài: “ Giúp học sinh yếu, giải số toán cực trị liên quan đến đạo hàm? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh, đặc biệt học sinh yếu, tiếp cận tốt phần chương giải. .. (cực tiểu) đồ thị hàm số - Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số Bước Định hướng nhận dạng dạng toán