CD40 PT BPT LOGA

Chuyên đề ㊵ Ⓐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TÌNH LOGARIT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Phương trình logarit ① Định nghĩa: Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số biểu thức dưới dấu lôgarit ② Phương trình lôgarit bản: cho Phương trình lôgarit bản có dạng: ③ Phương pháp giải phương lôgarit o Đưa về cùng số:  , với mọi o Đặt ẩn phu o Mũ hóa o Phương pháp hàm số đánh giá Bất phương trình logarit ① Định nghĩa: Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số biểu thức dưới dấu lôgarit ② Bất phương trình lôgarit bản: cho Bất phương trình lôgarit bản có dạng: ③ Phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit o Đưa về cùng số  Nếu thì  Nếu thì o Đặt ẩn phu o Mũ hóa o Phương pháp hàm số đánh giá Ⓑ Câu BÀI TẬP RÈN LUYỆN Phương trình log  x  1  A x  log 82 có nghiệm B x  log 65 C x  log 81 D x  log 66 Lời giải Chọn A Ta có Câu log  x  1   x   81  x  log 82 x  log  x  y   y y  2020 Có giá trị nguyên của y thỏa mãn Biết rằng A C B D Lời giải Chọn A Điều kiện x  y  Đặt log  x  y   t  x  y  5t x 5  t  y  5t  t  x  x  t 5  x  y Khi đó: Xét hàm sớ Ta có: f  u   5u  u  f   u   5u.ln    f  t   f  x  t  x hàm số đồng biến với u  ¡ x x Khi đó:  x  y  y   x Đặt g  x   5x  x  g   x   5x.ln    x   log  ln  Để phương trình có nghiệm Mà Câu y  2020  log  ln   0,917 ln nên có đúng 2020 giá trị nguyên của y thỏa mãn yêu cầu đề Có cặp số A 2021 y  x; y thuộc đoạn  1; 2020 B 2020 y thỏa mãn y số nguyên x  ln x  y  e ? C D Lời giải Chọn C Xét hàm số f  t   t  et  f   t    et  t  ¡  f  t  , đồng biến ¡ (1) x  ln x  y  e y  f  ln x   f  y  (2) y Từ (1) (2) suy ln x  y  x  e y Để  x  2020  e  2020   y  ln 2020 y   1; 2020  y   1; 2;3; 4;5; 6; 7 Mà y nguyên nên Với giá trị y   1; 2;3; 4;5; 6; 7 1; 2020 ta có giá trị x tương ứng thuộc đoạn  x; y Vậy có cặp số  thỏa mãn Câu log16  x  y   log x  log12 y Xét các số thực dương x , y thỏa mãn Giá trị của biểu thức x x P  1    y  y  bằng A P  C P   B P  16 D P Lời giải Chọn A Đặt  x  9t    y  12t  x  y  16t log16  x  y   log x  log12 y  t  2t t 3 3       1  t t t t t x  y  16 4      12  16 Khi (vì 16  )  t 1  (N )    4   t  t 1  x 9t 3    ( L)  t     1    Vậy y 12   2 x  x    1    1     P  1    2  y y      Khi  x    x  x  log  5  2x   Tính tích tất các nghiệm thực của phương trình Câu A B C Lời giải Chọn D Điều kiện: x  D 3  x2 1   2x    x     log   2x   PT: Đặt t 5  1 2x2  1  x  x  2x 2x 2x PT trở thành Xét hàm log t  2t  (2)  f  t   log t  2t t   hàm đồng biến nên:    f  t   f    t  (t/m) 2x2  1   2x2  4x   x1 x2  (theo Viet) Với t  x (t/m) Vậy Câu   log x  3x  m  log x m S Gọi tập hợp các số nguyên thỏa mãn phương trình có nghiệm Sớ phần tử của tập hợp A S   2;   B C D Lời giải Chọn A Cách 1: Điều kiện: x  log  x  3x  m   log x  1  x  3x  m  x  x  x  m  Để  1  2 có nghiệm dương  2 có nghiệm dương    có nghiệm kép dương: x1  x2  hoặc  2 có hai nghiệm phân biệt, nghiệm bằng 0, nghiệm dương: hoặc  2 có nghiệm phân biệt trái dấu: x2  x1  x1   x2   4m       4 m4  b      có nghiệm kép dương x1  x2    2a 2 TH1: TH2:  2 có nghiệm phân biệt, nghiệm bằng 0, nghiệm dương: x2  x1    16  4m      x1.x2   m  m0  x  x  4    TH3:  2 Suy Vậy có nghiệm phân biệt trái dấu: x1   x2  ac   1.m   m  S   m  ¢ | m   ;0   4  S   2;     1; 0; 4 Cách 2: Dùng hàm số Điều kiện: x  log  x  3x  m   log x  1 2  x  3x  m  x  x  x  m   m   x  x Đặt  2 f  x   x2  4x Ta có f   x   2 x    x  Ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy, để  1 có nghiệm dương   2 có nghiệm dương m   m  Suy Vậy Câu S   m  ¢ | m   ;0   4  S   2;     1;0; 4 log 32 x   m   log x  3m   Tìm tất các giá trị của tham sớ m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1.x2  27 A m  2 B m  1 C Lời giải D m  Chọn C Điều kiện: x  t   m   t  3m   Đặt log x  t ta có phương trình Phương trình log 32 x   m   log x  3m   có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1.x2  27     t   m   t  3m   t1  t2  có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 thỏa mãn t1  t2  m   2  m  8m      m   2   m  m    m 1 Câu Gọi m0 giá trị thực nhỏ của tham sớ m cho phương trình  m  1 log 21  x     m  5 log  x    m   2 có nghiệm thuộc khoảng  2;  Hỏi mệnh đề sau đúng? 5  m0   5;   2  A 4  m0   1;  3  B  10  m0   2;    C D m0   4;6  Lời giải Chọn A Xét phương trình Đặt  m  1 log 21  x     m  5 log  x    m    1 t  log  x   ,  x    x    t  1 Phương trình trở thành Phương trình khoảng  m  1 t   m   t  m    m  có nghiệm thuộc khoảng  1;   Xét hàm số f  t    1 t f  t  t  5t  t  t  với t  1 4t   t  1 t  f  t    t  1 Bảng biến thiên:  2;  t  5t   2 t2  t 1  Phương trình  2 có nghiệm thuộc Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình  3  m   1 có nghiệm thuộc khoảng  2;  5  m0  3   5;   2  Suy Câu Cho phương trình Giá trị m log 35 x   3m  3 log 52 x   9m  16  log x  6m  12  m ( tham số thực) a a b , với b phân số tối giản để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 thỏa mãn A  3;5 x1  x2  x3  B 151 Khi a  b thuộc khoảng sau đây?  2;3 C  7;10  D Lời giải Chọn C log35 x   3m  3 log 52 x   9m  16  log x  6m  12   * Điều kiện x  Khi  *   log5 x  1  log5 x    log5 x  3m     log x    log x   log x  3m  Ta có log x   x  log x   x  25 * Do   có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1  x2  x3  151  5;   log x  3m  có nghiệm  53m   Suy x 151   25  5  3m   1  m  a  5; b   a  b    7;10  x; y  Câu 10 Gọi S tập hợp tất các giá trị thực của tham số m để tồn cặp  thỏa mãn các điêu kiện log S bằng A 33 x2  y  (4 x  y  4)  2 x  y  x  y   m  Tổng các giá trị của B 24 C 15 D Lời giải Chọn B Điều kiện: x  y   log x2  y  (4 x  y  4)   x2  y2  4x  y     2 x  y2  2x  y   m    x  y  x  y   m  có nghiệm  Ta có  x; y  x  y  x  y   phương trình đường trịn tâm A(2; 2) , bán kính R1  x  y  x  y   m  phương trình đường trịn tâm B (1;1) , bán kính R2  m với m  Hai đường trịn có điếm chung xảy các trường hợp sau: 1.Hai đường trịn tiếp xúc ngồi AB  R1  R2  m   10  m  ( 10  2) Hai đường tròn tiếp xúc AB  R1  R2  m   10  m  ( 10  2) 2 Vậy tổng các giá trị của tham số m  ( 10  2)  ( 10  2)  24 log 23 x  log x  m   Câu 11 Tìm tất các giá trị của tham sớ m để phương trình có đúng nghiệm phân biệt thuộc khoảng A m B  0;1 0m C 0m Lời giải Chọn C D m log 23 3x  log3 x  m     log x  1  log x  m   Ta có:  log 32 x  log x   log3 x  m    log 32 x  3log3 x  m   1 x   0;1 Đặt t  log3 x với t  Phương trình  1 thuộc khoảng  0;1 trở thành t  3t  m    phương trình  2 Để phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt có hai nghiệm âm phân biệt 9  4m        m    S       0m P   m   m  Câu 12 Cho phương trình log 32 x  log 32 x   2m   m ( tham số thực) Tập hợp tất các giá 1;3   trị của m để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn  A  1;1 B  1;1 C  1;1 D  1;   Lời giải Chọn B log32 x  log 32 x   2m   (1) t  log 32 x   t  1 Điều kiện x  Đặt 2 Ta có t   t  2m    t  t  2m   (2) x  1;3    log x    t  log 32 x   Với 1;3   (2) có nghiệm thuộc đoạn  1; 2 Để (1) có nghiệm thuộc đoạn  t  t  2m    t  t  2m  Xét f  t   t2  t Hàm số f  t với t   1; 2 đờng biến đoạn  1; 2 Ta có f (1)  2, f (2)  Phương trình (2) có nghiệm thuộc đoạn  1; 2   2m   f  1  2m    1  m   6  m   f    2m  1;3     m  Vậy với phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn  Câu 13 Tìm m để phương trình  m  1 log 21  x   2     m   log   4m    x2 có nghiệm 5   ;  A 3  m  B m  ¡ C m   1 D 3  m  Lời giải Chọn D Đặt t  log  x   5  x   ; 4   nên t   1;1 Do Ta có phương trình:  m  1 t   m   t  4m     m  1 t   m   t  m   t  5t   m   m  t  t  1  t  5t  t2  t 1  m  f  t  2 Xét hàm số f  t   t f  t  4t   t  1 t  5t  t  t  với t   1;1  4   t  t  t  1 0 t   1;1  1;1 hàm số nghịch biến đoạn  y  f  t Phương trình có nghiệm đường thẳng y  m có điểm chung với đờ thị hàm số 1;1  f  1  m  f  1  3  m  đoạn  Câu 14 Có tất giá trị thực của tham số m cho phương trình log m 1  1 m x  y   log  x  y   có nghiệm nguyên B C A Lời giải Chọn C Điều kiện 1  m  10  x ; y  nhất? D Phương trình log x  a log x  a   có nghiệm 2 t  at  a   0, t  hay phương trình có nghiệm 3a   a  1 ln  m  2sin x  ln  m  3sin x    sin x Câu 16 Có sớ ngun m để phương trình  có nghiệm thực? A B D C Lời giải Chọn C u   1;1 Đặt sin x  u với Khi phương trình ban đầu có dạng ln  m  2u  ln  m  3u    u  1 m  3u   *  m  2u  ln  m  3u     Điều kiện: Đặt ln  m  3u   y  e y  m  3u  e y  u  m  2u  1 Thay vào phương trình Do hàm sớ f  t   et  t Xét hàm số g  u   eu  3u Ta có ta ln e y  u  y   u  e u  e y  u  y  eu  u  e y  y y  u  ln  m  3u   u  eu  3u  m đồng biến ¡ nên suy đoạn  1;1 g '  u   eu  g '  u    u  ln   1;1 ; BBT 12  m¢  m  e  3;  3   m   0;1; 2;3  * e   Nhận thấy để phương trình có nghiệm thỏa ln m  2sin x  ln  m  3sin x    sin x Câu 17 Có sớ ngun m để phương trình  có nghiệm thực? A C B D Lời giải Chọn B m  3sin x   m  2sin x  ln  m  3sin x   Điều kiện:  Với điều kiện phương trình đã cho tương đương: m  2sin x  ln  m  3sin x   esin x  m  3sin x  ln  m  3sin x   esin x  sin x e ln  m 3sin x   ln  m  3sin x   esin x  sin x  1 Xét hàm số f  t   et  t , t  ¡ Nên hàm số f  t Vậy  1  Ta có f   t   et   0, t  ¡ đồng biến ¡ f  ln  m  3sin x    f  sin x   ln  m  3sin x   sin x a   1;1 Đặt a  sin x , Phương trình trở thành: Xét ln  m  3a   a  m  e a  3a g  a   e a  3a, a   1;1 g   a   e a   0, a   1;1 ; Hàm số g  a nghịch biến  1;1 Phương trình có nghiệm thực g  1  m  g  1  e   m  e  m   0;1; 2;3 Mà m  ¢ nên Vậy có giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu toán log m  x  x    log m  x  x  Câu 18 Tìm tập nghiệm S của bất phương trình với m tham sớ thực dương khác , biết x  nghiệm của bất phương trình đã cho 1  1  S   2;    ;3 S   1; 0   ;3   B 3  A 13 C S   1;0    1;3 1  S   1;0    ;3 3  D Lời giải Chọn D Do x  nghiệm nên ta có log m  log m   m  1  x  2 x  x   x  x  x  x       x  0; x   x  x  x  x    Bất phương trình tương đương với   1  x   1   x3 3 1  S   1;    ;3 3  Vậy Câu 19 Cho bất phương trình log10 x  log x   m log100 x với m tham số thực Có 1;    giá trị của m ngun dương để bất phương trình có nghiệm thuộc  ? B A C Vô số D Lời giải Chọn A Tập xác định: D   1;    log10 x  log x   m log100 x m log10 x  log x  log x  log x   log100 x log x  Đặt t  log x x   t  , bất phương trình trở thành: Để bất phương trình ban đầu có nghiệm Xét f  t  m t2  t   2 t2  1;    bất phương trình   t2  t  t   0;    0;   Trên  f  t   ta có: t  4t   t  2  x  2   tm  f  t      x  2   l  , Bảng biến thiên: 14 có nghiệm  0;    Bất phương trình Mà m nguyên nên  2 m   1 có nghiệm ax f  t   m  3   0;     m  m0;   Vậy có giá trị nguyên dương thõa mãn Câu 20 Tìm các giá trị thực của tham số m để bất phương trình nghiệm với x   ;0  A m    log 0,02 log  3x  1  log 0,02 m B m  C  m  D m  Lời giải Chọn D   log 0,02 log  3x  1  log 0,02 m TXĐ: D  ¡ ĐK tham số m : m  Ta có:   log 0,02 log  3x  1  log 0,02 m  log  3x  1  m Xét hàm số f  x   log  3x  1 , x   ;0  Bảng biến thiên f ( x)  có 3x.ln  0, x   ;0   3x  1 ln f  x Khi với yêu cầu toán m  Câu 21 Tìm m để bất phương trình log 2 x  2(m  1) log x   có nghiệm x  ( 2; ) A m  (0;  ) m  ( ;0) B m  ( ; ) C 15 D m  ( ;0) có Lời giải Chọn C 2 Ta có: log 2 x  2(m  1) log x    (1  log x)  2(m  1) log x    log 22 x  2m log x   log x  t x  ( 2; )  t  ( ; ) Đặt , Khi bất phương trình log 2 x  2( m  1) log x   có nghiệm x  ( 2; ) t  ( ; ) bất phương trình t  2mt   có nghiệm Hay bất phương trình Ta có t 1 1  t   f (t ) t  ( ; ) t t có nghiệm (1) 1  t  ( ; ) t f ' (t )   Do (1) 2m  3  2m  f (t )  f ( )    m   1 2  ; ) 2 Câu 22 Xét bất phương trình log 22 x   m  1 log x   bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng A m   0;    2;   Tìm tất các giá trị của tham số m để    m    ;0    B   m    ;     C D m   ;0  Lời giải Chọn C Điều kiện: x  log 22 x   m  1 log x      log x    m  1 log x   Đặt t  log x Vì x  nên  1 thành 1 t   1 log x  log 2  1  t   ;   2  Do   m  1 t    t  2mt     16 1   ;    Cách 1: Yêu cầu toán tương đương tìm m để bpt (2) có nghiệm thuộc  2 Xét bất phương trình (2) có:  '  m   0, m  ¡ f  t   t  2mt   có ac  nên (2) ln có nghiệm phân biệt t1   t2 1  t2  m  m    m   Khi cần Cách 2: t  2mt    f  t   t 1