3 PT, BPT LÔGARIT

Mũ - Lơgarit Nâng Cao PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT A – LÝ THUYẾT CHUNG I PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT Phương trình logarit Với a > 0, a ≠ 1: log a x = b ⇔ x = a b Một số phương pháp giải phương trình logarit a) Đưa số Với a > 0, a ≠ 1:  f ( x) = g ( x) log a f ( x) = log a g ( x ) ⇔   f ( x) > (hay g ( x) > 0) b) Mũ hoá Với a > 0, a ≠ 1: log a f ( x ) = b ⇔ a log a f ( x ) = a b c) Đặt ẩn phụ d) Sử dụng tính đơn điệu hàm số e) Đưa phương trình đặc biệt f) Phương pháp đối lập Chú ý: • Khi giải phương trình logarit cần ý điều kiện để biểu thức có nghĩa • Với a, b, c > a, b, c ≠ 1: II alogb c = c logb a BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT • Khi giải bất phương trình logarit ta cần ý tính đơn điệu hàm số logarit  a >   f ( x) > g ( x ) > log a f ( x) > log a g ( x ) ⇔   0 < a <   0 < f ( x) < g ( x) • Ta thường sử dụng phương pháp giải tương tự phương trình logarit: – Đưa số – Đặt ẩn phụ – … Chú ý: Trong trường hợp số a có chứa ẩn số thì: log a B > ⇔ ( a − 1)( B − 1) > ; III log a A > ⇔ ( A − 1)( B − 1) > log a B HỆ MŨ-LƠGARIT Khi giải hệ phương trình mũ logarit, ta dùng phương pháp giải hệ phương trình học như: 51 Mũ - Lơgarit Nâng Cao • Phương pháp • Phương pháp cộng đại số • Phương pháp đặt ẩn phụ B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I - PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT Câu 1: Biết phương trình log  x x +1  = log  −  có nghiệm x = a + b x  2 x a, b số ngun Tính a + b ? A Câu 2: B nghiệm ( x + 1) + = log D − x + log ( + x ) C nghiệm D Vơ nghiệm Phương trình log ( x + x + 1) = x ( − x ) + log x có nghiệm A nghiệm Câu 4: C Phương trình sau có nghiệm: log A nghiệm Câu 3: B −1 B nghiệm C nghiệm D Vô nghiệm Cho phương trình log ( cotx ) = log ( cos x ) Phương trình có nghiệm  π 9π  khoảng  ;  6  A Câu 5: B C ( D ) B C ( D ) Số nghiệm phương trình log x − x = log x − x + A Câu 8: D Tìm số nghiệm phương trình: log x −1 x + x − + log x +1 ( x − 1) = (1) A Câu 7: C Phương trình + log x − 3log x = log x − có nghiệm nguyên? A Câu 6: B Biết phương trình B ( x − 2) C log  4( x − ) = ( x − ) có hai nghiệm x1 , D x2 ( x1 < x2 ) Tính x1 − x2 A Câu 9: C −5 B D −1 Tìm tất giá trị m để phương trình log 32 x − ( m + ) log x + 3m − = có hai nghiệm x1 x2 x x = 27 , cho A m = B m = C m = 25 D m = 28 Câu 10: Tập hợp giá trị m để phương trình m ⋅ ln (1 − x ) − x = m có nghiệm thuộc ( −∞; ) 52 Mũ - Lôgarit Nâng Cao A ( ln 2; +∞ ) B ( 0; +∞ ) C (1; e ) D ( −∞; ) Câu 11: Tìm m để phương trình log 22 x − log x + = m có nghiệm x ∈ [1;8] A ≤ m ≤ B ≤ m ≤ C ≤ m ≤ D ≤ m ≤ Câu 12: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình log x − log x + − m = có nghiệm x ∈ [1;9 ] A ≤ m ≤ B ≤ m ≤ C m ≤ D m ≥ Câu 13: Điều kiện cần đủ tham số m để phương trình log 22 x − ( m − 1) log x + − m = có hai nghiệm phân biệt thuộc [1; ] B ≤ m ≤ A < m ≤ 10 C 10 < m≤ D < m ≤ 10 Câu 14: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình log 2 x + log x − m = có nghiệm x > A m < −1 B m ≥ C m < D m > Câu 15: Tập tất giá trị m để phương trình 2( x −1) log ( x − x + 3) = 3 1 A  ; −1;  2 2 x−m log ( x − m + ) có ba nghiệm phân biệt là:  3 B  − ;1;   2 3 1 C  ;1; −  2 2 1 3 D  ;1;  2 2 Câu 16: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: log (1 − x ) + log ( x + m − 4) = A −1 < m < B ≤ m ≤ 21 C < m < Câu 17: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình 21 D −1 ≤m≤2 log 22 x + log x − = m ( log x − 3) có nghiệm thuộc [32; +∞ ) ? ( A m ∈ 1;  Câu 18: Phương trình log B m ∈ 1; ) C m ∈  −1; ( mx − x ) + log ( −14 x 2 ) ( D m ∈ − 3;1 + 29 x − ) = có nghiệm thực phân biệt khi: A m < 19 C 19 < m < B m > 39 Câu 19: Tìm m để phương trình : ( m − 1) log 21 ( x − ) + ( m − ) log 2 39 D 19 < m < 39 + 4m − = có nghiệm x−2 5   ,  A −3 ≤ m ≤ 53 B m ∈ ℝ C m ∈∅ D −3 < m ≤ Mũ - Lôgarit Nâng Cao Câu 20: Cho phương trình log x + m log x + log x + m − = ( m tham số ) Tìm m để 3 phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1.x2 = Mệnh đề sau đúng? A < m < C < m < B < m < D < m < Câu 21: Xét số nguyên dương a, b cho phương trình a ln x + b ln x + = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 phương trình log x + b log x + a = có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn x1 x2 > x3 x4 Tính giá trị nhỏ S S = 2a + 3b 466666 A S = 30 B S = 25 C S = 33 Câu 22: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình D S = 17 log 22 x + log x − = m ( log x − 3) có nghiệm thuộc [32; +∞ ) ? ( A m ∈ 1;  ) B m ∈ 1; ) C m ∈  −1; ( D m ∈ − 3;1 Câu 23: Tìm giá trị tham số m để phương trình log 22 x + log 22 x + − 2m − = có nghiệm đoạn 1;    A m ∈ ( −∞; −2 ] ∪ [ 0; +∞ ) B [ −2; +∞ ) C m ∈ ( −∞; ) D m ∈ [ −2; ] Câu 24: Tìm tập hợp tất giá trị tham số thực m để phương trình log ( x − 1) log ( 2.5 x − ) = m có nghiệm x ≥ 1  A  ; + ∞  2    B  − ; + ∞    C [1; + ∞ ) D [3; + ∞ ) Câu 25: Tìm tập hợp tất giá trị tham số thực m để phương trình 5  + 4m − = có nghiệm thực đoạn  ;  : ( m − 1) log 21 ( x − ) + ( m − ) log x−2 4  2 B −3 ≤ m ≤ 7 C m > D −3 < m < 3 Câu 26: Tìm tất giá trị thực m để phương trình log x + log x + = m có ba nghiệm thực phân biệt A m < −3 A m ∈ ( 0; ) B m ∈ {0; 2} C m ∈ ( −∞; ) D m ∈ {2} Câu 27: Cho m n số nguyên dương khác Gọi P tích nghiệm phương trình ( log m x )( log n x ) − log m x − log n x − 2017 = Khi P số nguyên, tìm tổng m + n để P nhận giá trị nhỏ nhất? 54 A m + n = 20 B m + n = 48 C m + n = 12 D m + n = 24 Mũ - Lơgarit Nâng Cao Câu 28: Tìm tất giá trị m để phương trình log x − − log ( x + 1) = m có ba nghiệm phân biệt A m > B m < C m > D m = Câu 29: Xét số nguyên dương a , b cho phương trình a ln x + b ln x + = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 phương trình 5log x + b log x + a = có hai nghiệm phân việt x3 , x4 thỏa mãn x1 x2 > x3 x4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = 2a + 3b A 25 B 33 C 30 D 17 Câu 30: Cho hai số thực a,b lớn thay đổi thỏa mãn a + b = 10 Gọi m,n hai nghiệm phương trình ( log a x )( logb x ) − log a x − = Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = mn A 279 B 90 C 81 D 45 Câu 31: Cho hai số thực a,b lớn thay đổi thỏa mãn a + b = 10 Gọi m,n hai nghiệm phương trình ( log a x )( logb x ) − log a x − 3logb x − = Tìm giá trị lớn biểu thức S = mn A 16875 16 B 4000 27 C 15625 D 3456 Câu 32: Biết m, n số nguyên dương thay đổi lớn phương trình 8log m x.log n x − 7log m x − 6log n x − 2017 = ln có hai nghiệm phân biệt a , b Tính S = m + n để ab số nguyên dương nhỏ 500 700 650 A S = B S = C S = D S = 200 3 Câu 33: Cho ba số thực a, b, c thay đổi lớn thỏa mãn a + b + c = 100 Gọi m, n hai nghiệm phương trình ( log a x ) − (1 + log a b + 3log a c ) log a x − = Tính S = a + 2b + 3c mn đạt giá trị lớn 500 700 650 A S = B S = C S = D S = 200 3 Câu 34: Cho a , b số nguyên dương thỏa mãn log log 2a ( log 2b 21000 ) = Giá trị lớn ( ) ab là: A 500 B 375 C 250 D 125 Câu 35: Cho số thực a, b > phương trình log a ( ax ) log b ( bx ) = 2018 có hai nghiệm phân biệt m A < a0 < B e < a0 < e2 C < a0 < D e2 < a0 < e3 Câu 36: Cho số thực a, b > phương trình log a ( ax ) log b ( bx ) = 2018 có hai nghiệm phân biệt m A < a0 < B e < a0 < e2 C < a0 < D e2 < a0 < e3 55 Mũ - Lôgarit Nâng Cao II - BẤT PT LÔGARIT ( ) Câu 37: Cho a số nguyên dương lớn thỏa mãn 3log + a + a > log a Tìm phần nguyên log ( 2017a ) A 14 B 22 C 16 D 19 15 nghiệm bất phương trình log a ( 23 x − 23) > log Tập nghiệm T bất phương trình (*) là: a 19   A T =  −∞;  2  D T = ( 2;19 ) Câu 38: Biết x =  17  B T =  1;   2 C T = ( 2;8 ) (x + x + 15 ) (*) Câu 39: Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log (5 x − 1).log (2.5 x − 2) ≥ m có nghiệm với x ≥ ? A m ≥ B m > Câu 40: Tập giá trị m để bất phương trình A ( −∞;1] B [1; +∞ ) C m ≤ log 22 x log 22 x − D m < ≥ m nghiệm với x>0 là: C ( −5; ) D [ 0;3) Câu 41: Số giá trị nguyên tham số m cho bất phương trình: log + log ( x + 1) ≥ log ( mx + x + m ) nghiệm với x thuộc ℝ A B ∀m ∈ ℤ m ≤ C D Câu 42: Tìm m để bất phương trình + log ( x + 1) ≥ log ( mx + x + m ) thoã mãn với x ∈ ℝ A −1 < m ≤ B −1 < m < C < m ≤ D < m < Câu 43: Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log ( x + ) ≥ log ( mx + x + m ) , ∀x ∈ ℝ A m ∈ ( 2;5] B m ∈ ( −2;5] C m ∈ [ 2;5 ) D m ∈ [ −2;5 ) Câu 44: Tìm tất giá trị thực tham số m cho khoảng ( 2;3) thuộc tập nghiệm bất phương trình log ( x + 1) > log ( x + x + m ) − (1) A m ∈ [ −12;13] B m ∈ [12;13] C m ∈ [ −13;12 ] D m ∈ [ −13; −12 ] Câu 45: Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình x x + x + 12 ≤ m.log 5− 4− x có nghiệm A m > B m ≥ C m ≥ 12 log ln x − m ln x + m + ≤  Câu 46: Hệ bất phương trình  x − có nghiệm >   x 56 A m < −3 m ≥ B m ≤ −3 C m < −3 D m ≥ D ≤ m ≤ 12 log Mũ - Lôgarit Nâng Cao Câu 47: Trong nghiệm ( x; y ) thỏa mãn bất phương trình log x + y (2 x + y ) ≥ Giá trị lớn biểu thức T = x + y bằng: A B C D Câu 48: Trong tất cặp ( x; y ) thỏa mãn log x2 + y + ( x + y − ) ≥ Tìm m để tồn cặp ( x; y ) cho x + y + x − y + − m = ( C ( A ) 2) 10 − 10 − B 10 − 10 + ( ) 10 + D 10 − Câu 49: Cho x, y số thực dương thỏa mãn ln x + ln y ≥ ln ( x + y ) Tìm giá trị nhỏ P = x+ y A P = B P = 2 + C P = + D P = 17 + Câu 50: Cho số dương a b thỏa mãn log ( a + 1) + log ( b + 1) ≥ Giá trị nhỏ S = a + b A S = 12 Câu 51: C S = D S = 16 Cho x , y số thực thỏa mãn log ( x + y ) + log ( x − y ) ≥ Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P = x − y A Pmin = 57 B S = 14 B Pmin = −4 C Pmin = D Pmin = 10 Mũ - Lôgarit Nâng Cao C – HƯỚNG DẪN GIẢI I - PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT Câu 1: Biết phương trình log  x x +1  = log  −  có nghiệm x = a + b x  2 x a, b số nguyên Tính a + b ? B −1 A C D Hướng dẫn giải: log  x x +1  x +1 x −1 = log  − = log  ⇔ log  x x x  2 x x > Đk:  ⇔ x >1 x −1 > ( ) Pt ⇔ log5 x + − log x = log ( x − 1)2 − log3 x ( ) ⇔ log5 x + + log x = log x + log3 ( x − 1) (1) Đặt t = x + ⇒ x = ( t − 1) (1) có dạng log t + log (t − 1) = log x + log ( x − 1) (2) Xét f ( y ) = log y + log ( y − 1) , x > ⇒ t > ⇒ y > Xét y > 1: f '( y ) = 1 + 2( y − 1) > y ln ( y − 1) ln ⇒ f ( y) hàm đồng biến miền (1; +∞ ) (2) có dạng f (t ) = f ( x) ⇔ t = x ⇔ x = x + ⇔ x − x − =  x = 1+ ⇔ ⇔ x = + 2 (tm)  x = − (vn) Vậy x = + 2 Chọn A Câu 2: Phương trình sau có nghiệm: log A nghiệm ( x + 1) B nghiệm + = log C nghiệm − x + log ( + x ) D Vô nghiệm Hướng dẫn giải: log ( x + 1) + = log 2 − x + log8 ( + x ) x +1 ≠  −4 < x <  (2) Điều kiện:  − x > ⇔   x ≠ −1 4 + x >  (2) ⇔ log x + + = log ( − x ) + log ( + x ) ⇔ log x + + = log (16 − x ) ⇔ log x + = log (16 − x ) ⇔ x + = 16 − x 58 Mũ - Lôgarit Nâng Cao x = + Với −1 < x < ta có phương trình x + x − 12 = (3) ; (3) ⇔   x = −6 ( lo¹i )  x = − 24 + Với −4 < x < −1 ta có phương trình x − x − 20 = (4); ( ) ⇔   x = + 24 ( lo¹i ) ( ) Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = x = − , chọn B Câu 3: Phương trình log ( x + x + 1) = x ( − x ) + log x có nghiệm A nghiệm B nghiệm C nghiệm D Vô nghiệm Chọn A Hướng dẫn giải: điều kiện x >  x2 + x +  Phương trình tương đương với log3   = 2x − x x   Ta có x − x = − ( x − 1) ≤ 2    x2 + x +     Và log  +  ≥ log 3 =  = log  x + + 1 = log   x −   x x  x      ( x − 1) =  x + x +1   Do log  ⇔ x =1  = 2x − x ⇔  x =0    x− x  Câu 4: Cho phương trình log ( cotx ) = log ( cos x ) Phương trình có nghiệm  π 9π  khoảng  ;  6  A B C D Hướng dẫn giải: u cot x = Điều kiện sin x > 0, cos x > Đặt u = log ( cos x )  u cos x = u 2u ) ( cos x 4 u Vì cot x = suy = ⇔ f ( u ) =   + 4u − = 2 u − cos x 3 1− (2 ) 2 u 4 4 f ' ( u ) =   ln   + 4u ln > 0, ∀u ∈ ℝ Suy hàm số f(u) đồng biến R, suy 3 3 phương trình f ( u ) = có nhiều nghiệm, ta thấy f ( −1) = suy cos x = 59 π ⇔ x = ± + k 2π ( k ∈ ℤ ) Mũ - Lôgarit Nâng Cao π Theo điều kiện ta đặt suy nghiệm thỏa mãn x = + k 2π Khi phương trình nằm π 7π  π 9π  Vậy phương trình có hai nghiệm khoảng khoảng  ;  x = , x = 3 6   π 9π   ;  6  Chọn C Câu 5: Phương trình + log9 x − 3log x = log x − có nghiệm nguyên? A B C D Hướng dẫn giải: Giải phương trình: + log9 x − 3log x = log x − Điều kiện xác định: x ≥ 1 + log x − 3log x = log x − ⇔ + log x − 3log x = log x − ⇔ − log x = ( log x − 1) ( log x − 1) ( ( ) + log x + log x ⇔ ) + log x + log x + = ⇔ log x = vì: + log9 x + 3log x + > ⇔ x = Vậy nghiệm phương trình cho: x = Chọn B Câu 6: ( ) Tìm số nghiệm phương trình: log x −1 x + x − + log x +1 ( x − 1) = (1) A B C Hướng dẫn giải:  x > ĐK:  Phương trình:  x ≠ ⇔ ⇔ log x +1 ( x + x + 1) log x +1 ( x − 1) + log x +1 ( x − 1) = log x +1 ( x − 1) + log x +1 ( x + 1) ⇔ 1+ log x +1 ( x − 1) + log x +1 ( x − 1) = + log x +1 ( x − 1) = log x +1 ( x − 1) ( 3) Đặt t = log x +1 ( x − 1) , (3) viết thành: 60 D Mũ - Lôgarit Nâng Cao Chọn C Đặt t = log m x , lúc x = mt Phương trình trở thành 8t ( log n mt ) − 7t − log n mt − 2017 = ⇔ 8t log n m − 7t − 6t log n m − 2017 = ⇔ ( log n m ) t − ( + log n m ) t − 2017 = Ta có ∆ = ( + log n m ) + 4.2017.8 log n m Lúc x1 = m t1 ; x2 = m t2 x1.x2 = mt1 +t2 = m + 6log n m 8log n m = P nguyên Lần lượt thử đáp án ta chọn đáp án C Câu 28: Tìm tất giá trị m để phương trình log x − − log ( x + 1) = m có ba nghiệm phân biệt A m > B m < C m > D m = Hướng dẫn gải: Điều kiện: −1 < x ≠ Phương trình cho tương đương với log x − + log ( x + 1) = m 2 m 3 ← → log ( x − ( x + 1) ) = m ← → x − ( x + 1) =   (*) 2 Phương trình (*) phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số m 3 f ( x ) = x − ( x + 1) đường thẳng y =   (cùng phương với trục hoành) 2 Xét hàm số f ( x ) = x − ( x + 1) xác định ( −1; ) ∪ ( 2; +∞ )  h ( x ) = ( x − )( x + 1) = x − x − x > Ta có f ( x ) = x − ( x + 1) =   g ( x ) = − ( x − )( x + 1) = − x + x + − < x < Đồ thị 74 Mũ - Lôgarit Nâng Cao Dựa vào đồ thị, ta thấy để phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt m 3 <   < max g ( x ) ( −1;2 ) 2 m 3 ← →   < ← →m <   Chọn B Câu 29: Xét số nguyên dương a , b cho phương trình a ln x + b ln x + = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 phương trình 5log x + b log x + a = có hai nghiệm phân việt x3 , x4 thỏa mãn x1 x2 > x3 x4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = 2a + 3b A 25 B 33 C 30 D 17 Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có điều kiện để hai phương trình có hai nghiệm phân biệt  ∆1 = b − 20a > ⇔ b > 20a  ∆ = b − 20a > Khi theo Vi-ét, ta có Vậy theo giả thiết, ta có b a b b b > − ln10 ⇔ a > ≈ 2,1714 a ln10 ⇒ a ≥ ⇒ b > 20 a ≥ 20.3 = 60 ⇒ b ≥ ⇒ S ≥ 2.3 + 3.8 = 24 + = 30 x1 x2 > x3 x4 ⇔ e − > 10 − ⇔− Câu 30: Cho hai số thực a,b lớn thay đổi thỏa mãn a + b = 10 Gọi m,n hai nghiệm phương trình ( log a x )( logb x ) − 2log a x − = Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = mn A 279 B 90 C 81 D 45 Hướng dẫn giải: Chọn A Phương trình tương đương với ( log a x )( logb a.log a x ) − log a x − 3logb x − = ⇔ log b a ( log a x ) − log a x − = Theo Vi-ét ta có log a m + log a n = 75 = log a b = log a b2 ⇔ log a ( mn ) = log a b ⇔ mn = b logb a Mũ - Lôgarit Nâng Cao  279 279  Vậy P = b − 9a = b + (10 − b ) =  b −  + ≥ 2 4  2 Dấu đạt b = 11 ,a = 2 Câu 31: Cho hai số thực a,b lớn thay đổi thỏa mãn a + b = 10 Gọi m,n hai nghiệm phương trình ( log a x )( logb x ) − log a x − 3logb x − = Tìm giá trị lớn biểu thức S = mn A 16875 16 B 4000 27 C 15625 D 3456 Hướng dẫn giải: Chọn D Phương trình tương đương với ( log a x )( logb a.log a x ) − ( + 3logb a ) log a x − = Theo Vi-ét ta có log a m + log a n = ( + log b a ) = log log b a a ( ) b + = log a a 3b ⇔ mn = a 3b Khi ta có S = f ( a ) = a (10 − a ) ≤ max f ( a ) = f ( ) = 3456 (1;9 ) Câu 32: Biết m, n số nguyên dương thay đổi lớn phương trình 8log m x.log n x − 7log m x − 6log n x − 2017 = ln có hai nghiệm phân biệt a, b Tính S = m + n để ab số nguyên dương nhỏ 500 700 650 A S = B S = C S = D S = 200 3 Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có phương trình tương đương với: 8log m x.log n m.log m x − 7log m x − 6log n m.log m x − 2017 = ⇔ log n m ( log m x ) − ( + log n m ) log m x − 2017 = ⇒ log m a + log m b =  7 + log n m = + log m n ⇔ log m ( ab ) = log m  m n  log n m 8   ∈ ⇔ ab = m n ℤ ⇒ m = 8; n = 4; ab = 16 ⇒ S = + = 12 Mẹo: Bước cuối thay n = S − m với S đáp án; nhập hàm F ( X ) = X ( S − X ) Start?2 End? S − Step? 76 Mũ - Lôgarit Nâng Cao Nên thử với S nhỏ trước Chọn đáp án cho kết F ( X ) nguyên dương nhỏ Câu 33: Cho ba số thực a , b, c thay đổi lớn thỏa mãn a + b + c = 100 Gọi m, n hai nghiệm phương trình ( log a x ) − (1 + log a b + 3log a c ) log a x − = Tính S = a + 2b + 3c mn đạt giá trị lớn 500 700 A S = B S = 3 Hướng dẫn giải: C S = 650 D S = 200 Chọn B Theo Viet ta có: log a m + log a n = + log a b + 3log a c = log a ( ab c ) ⇔ mn = ab c Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: mn = ab2 (100 − a − b ) =  3b 3b   3a (100 − a − b )(100 − a − b )(100 − a − b )  27  2     3b  3a +   + (100 − a − b )   625.108  2  = ≤  27  27      Dấu đạt 3a = 3b 50 100 150 700 = 100 − a − b ⇔ a = , b = ,c = ⇒S= 3 3 ( ( Câu 34: Cho a , b số nguyên dương thỏa mãn log log 2a log 2b 21000 ab là: A 500 Hướng dẫn giải: B 375 C 250 ) ) = Giá trị lớn D 125 Chọn A Ta có biến đổi mũ loagarit ( ( log log 2a log 2b 21000 ) ) = ⇔ log ( log 2a 2b ) Do a , b số nguyên dương nên 1000⋮ a ⇒ a < +) Nếu a = ⇒ b = 125 ⇒ ab = 375 +) Nếu a = ⇒ b = 250 ⇒ ab = 500 +) Nếu a = ⇒ b = 500 ⇒ ab = 500 Vậy giá trị lớn ab 500 77 a 21000 = ⇔ log 2b 21000 = 2a ⇔ 21000 = 2b.2 ⇔ b.2 a = 1000 Mũ - Lôgarit Nâng Cao Câu 35: Cho số thực a , b > phương trình log a ( ax ) logb ( bx ) = 2018 có hai nghiệm phân biệt m A < a0 < B e < a0 < e2 C < a0 < D e2 < a0 < e3 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có phương trình tương đương với: (1 + log a x )(1 + logb x ) = 2018 ⇔ log a x logb x + log a x + logb x + = 2018 ⇔ log b ( log a x ) + (1 + log b a ) log a x − 2017 = Khi theo Viet ta có: log a m + log a n = − + log b a 1 = − log a b − = log a ⇔ mn = logb a ab ab Vì áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 36  36  P = 4a + 9b2  2 + 1 ≥ 4a 9b 2 2 = 144 ab a b  ( ) Dấu đạt a = 9b , 36 = ⇒ a = 3, b = a 2b Câu 36: Cho số thực a , b > phương trình log a ( ax ) log b ( bx ) = 2018 có hai nghiệm phân biệt m A < a0 < B e < a0 < e2 C < a0 < D e2 < a0 < e3 Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có phương trình tương đương với: 8log m x.log n m.log m x − 7log m x − 6log n m.log m x − 2017 = ⇔ log n m ( log m x ) − ( + log n m ) log m x − 2017 = Theo viet ta có log m a + log m b = 7  7 log n m + 7 = + log m n ⇔ log m ( ab ) = log m  m n  8log n m 8   Vì ab = m n = m ( 2017 − m ) ⇒ ln ( ab ) = f ( m ) = ln m + ln ( 2017 − m ) Khảo sát hàm số ta có 12102  12102  12102 14119 − =0⇔m= ⇒ ln ( ab ) = f  + ln  = ln 4m ( 2017 − m ) 13 13 13  13  Do c = 12102, d = 14119 ⇒ S = 66561 f '( m) = 78 Mũ - Lôgarit Nâng Cao 79 Mũ - Lơgarit Nâng Cao II - BẤT PT LƠGARIT ( ) Câu 37: Cho a số nguyên dương lớn thỏa mãn 3log + a + a > log a Tìm phần nguyên log ( 2017a ) A 14 B 22 C 16 D 19 Hướng dẫn giải: Đặt t = a , t > , từ giả thiết ta có 3log (1 + t + t ) > log t ⇔ f ( t ) = log (1 + t + t ) − log t > f ′ (t ) = 3t + 2t ( 3ln − ln 3) t + ( ln − ln 3) t − ln = − ln t + t + ln t ln 2.ln ( t + t + t ) Vì đề xét a nguyên dương nên ta xét t ≥ Xét g ( t ) = ( 3ln − ln ) t + ( ln − ln ) t − ln 8 4  Ta có g ′ ( t ) = 3ln t + ln t = t  3ln t + ln  9 9  g′(t ) = ⇔ t = ln 3ln < Lập bảng biến thiên suy hàm số g ( t ) giảm khoảng [1; +∞ ) Suy g ( t ) ≤ g (1) = 5ln − ln < ⇒ f ′ ( t ) < Suy hàm số f ( t ) giảm khoảng [1; +∞ ) Nên t = nghiệm phương trình f ( t ) = Suy f ( t ) > ⇔ f ( t ) > f ( ) ⇔ t < ⇔ a < ⇔ a < 4096 Nên số nguyên a lớn thỏa mãn giả thiết toán a = 4095 Lúc log ( 2017 a ) ≈ 22, 97764311 Nên phần nguyên log ( 2017a ) 22 Chọn B 15 nghiệm bất phương trình log a ( 23 x − 23 ) > log Tập nghiệm T bất phương trình (*) là: a 19   A T =  −∞;  2  D T = ( 2;19 ) Câu 38: Biết x =  17  B T =  1;   2 C T = ( 2;8 ) (x Hướng dẫn giải: log a ( 23 x − 23 ) > log 80 a (x + x + 15 ) ⇔ log a ( 23 x − 23 ) > log a ( x + x + 15 ) + x + 15 ) (*) Mũ - Lôgarit Nâng Cao Nếu a > ta có  23 x − 23 > x + x + 15 log a ( 23 x − 23) > log a ( x + x + 15 ) ⇔  ⇔ < x < 19  x + x + 15 > Nếu < a < ta có 23 x − 23 < x + x + 15 1 < x < ⇔ log a ( 23 x − 23) > log a ( x + x + 15 ) ⇔   x > 19 23 x − 23 > Mà x = 15 nghiệm bất phương trình Chọn D BÌNH LUẬN: - Sử dụng tính chất hàm số logarit y = log a b đồng biến a > nghịch biến < a <  a >   g ( x ) >   f ( x ) > g ( x ) - log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔   0 < a <  f ( x ) >    f ( x ) < g ( x ) Câu 39: Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log (5 x − 1).log (2.5 x − 2) ≥ m có nghiệm với x ≥ ? A m ≥ B m > C m ≤ D m < Hướng dẫn giải: BPT ⇔ log (5 x − 1).log (2.5 x − 2) ≤ m ⇔ log (5 x − 1) 1 + log (5 x − 1)  ≤ m ( ) Đặt t = log x + x − x ≥ ⇒ t ∈ [ 2; +∞ ) BPT ⇔ t (1 + t ) ≥ m ⇔ t + t ≥ m ⇔ f (t ) ≥ m Với f (t ) = t + t f , (t ) = 2t + > với t ∈ [ 2; +∞ ) nên hàm đồng biến t ∈ [ 2; +∞ ) Nên Minf (t ) = f (2) = Do để để bất phương trình log (5 x − 1).log (2.5 x − 2) ≥ m có nghiệm với x ≥ thì: m ≤ Minf (t ) ⇔ m ≤ Câu 40: Tập giá trị m để bất phương trình A ( −∞;1] 81 B [1; +∞ ) log 22 x log 22 x − ≥ m nghiệm với x>0 là: C ( −5; ) D [ 0;3 ) Mũ - Lôgarit Nâng Cao Giải: Đặt t = log 22 x ( t > 1) Khi ta có: t ≥ m (*) t −1 Bất phương trình ban đầu có nghiệm với x>0 ⇔ (*) nghiệm với t>1 Xét hàm số f ( t ) = f '(t ) = t , t ∈ (1; +∞ ) t −1 t−2 ( t −1 ) f '(t ) = ⇒ t = lim f ( t ) = +∞, lim f ( t ) = +∞ x →∞ t →1 BBT t f '(t ) || f (t ) || +∞ +∞ +∞ Từ BBT ta kết luận bất phương trình có nghiệm với t>1 ⇒ m ≤ Chọn A Câu 41: Số giá trị nguyên tham số m cho bất phương trình: log + log ( x + 1) ≥ log ( mx + x + m ) nghiệm với x thuộc ℝ B ∀m ∈ ℤ m ≤ C A Giải: Bất phương trình xác định với x thuộc ℝ khi: mx + x + m > 0, ∀x ∈ ℝ  m > m > ⇔ ⇔ ⇔ m > (1) ∆ < 4 − m < Bất phương trình nghiệm với x thuộc ℝ khi: x + ≥ mx + x + m, ∀x ∈ ℝ ⇔ ( − m ) x − x + − m ≥ 0, ∀x ∈ ℝ m < 5 − m > ⇔ ⇔ ⇔m≤3 ∆ ≤ −m + 10m − 21 ≤ ( 2) Từ (1) (2) ta < m ≤ 3, m ∈ ℤ ⇒ m = Vậy có giá trị m 82 D Mũ - Lôgarit Nâng Cao Chọn C Câu 42: Tìm m để bất phương trình + log ( x + 1) ≥ log ( mx + x + m ) thoã mãn với x ∈ ℝ A −1 < m ≤ B −1 < m < C < m ≤ D < m < Hướng dẫn giải: Chọn C  mx + x + m > ( ∀x ∈ ℝ ) ⇔ BPT thoã mãn với x ∈ ℝ ⇔  2 5 ( x + 1) ≥ mx + x + m m >  m >   m < −2  2 m >  mx + x + m > 16 − 4m <  ( ) ⇔ < m ≤ ⇔ ⇔ ℝ ∀ ∈ x    m − > m < ( − m ) x − x + − m ≥   16 − ( − m ) ≤   m ≤     m ≥ BÌNH LUẬN: a > + f ( x ) = ax + bx + c ≥ 0∀x ∈ R ⇔  ∆ ≤ Sử dụng dấu tam thức bậc hai không đổi R : a > + f ( x ) = ax + bx + c > 0∀x ∈ R ⇔  ∆ < Câu 43: Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log ( x + ) ≥ log ( mx + x + m ) , ∀x ∈ ℝ A m ∈ ( 2;5] B m ∈ ( −2;5] C m ∈ [ 2;5 ) D m ∈ [ −2;5 ) Hướng dẫn giải: Bất phương trình tương đương x + ≥ mx + x + m > 0, ∀x ∈ ℝ ( − m ) x − x + − m ≥ (2) ⇔ , ∀x ∈ ℝ (3) mx + x + m >  m = : (2) không thỏa ∀x ∈ ℝ  m = : (3) không thỏa ∀x ∈ ℝ 7 − m > m <    ∆′ = − ( − m ) ≤ m ≤ ⇔  ⇔ < m ≤ (1) thỏa ∀x ∈ ℝ ⇔  m > m >  ∆′ = − m < m >  Câu 44: Tìm tất giá trị thực tham số m cho khoảng ( 2;3) thuộc tập nghiệm bất phương trình log ( x + 1) > log ( x + x + m ) − (1) A m ∈ [ −12;13] Hướng dẫn giải: 83 B m ∈ [12;13] C m ∈ [ −13;12 ] D m ∈ [ −13; −12 ] Mũ - Lôgarit Nâng Cao  x2 + x + m m > − x − x = f ( x) + > x  ⇔ (1) ⇔   m < x − x + = g ( x) x2 + 4x + m >  m ≥ Max f ( x) = −12 x = 2< x −21   − − > ⇔ ⇔ ≤ x ≤ x     x ≠ −12 5 − − x ≠  x ≤ 4 − x ≥ 3  g '( x) =  x+  log − − x + x x + x + 12 x + 12  2 ( ) ( ) ( 4− x − − x ln ) 1 3  log − − x + x x + x + 12 ⇒ g '( x) =  x+  x + 12  − x − − x ln 2 ( ) ( ) ( ⇒ g ' ( x ) > ∀x ∈ [ 0; 4] ⇒ g ( x ) đồng biến [ 0; ] ( ) ( ) ⇒ GTLN g ( x ) = g ( ) = 4 + + 12 log − − x∈[0;4] ⇒ GTLN g ( x ) = 12 log x∈[0;4] ⇒ m ≥ 12 log 84 ) Mũ - Lôgarit Nâng Cao ln x − m ln x + m + ≤  Câu 46: Hệ bất phương trình  x − có nghiệm  >0  x A m < −3 m ≥ B m ≤ −3 C m < −3 D m ≥ Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có x −3 >0⇔ x>3 x2 ln x − m ln x + m + ≤ ⇔ m ( ln x − 1) ≤ ln x + m≤ ln x + ln x − Đặt t = ln x ; t ≥ ln Ta xét hàm số f ( t ) = t2 + t −1 t2 + = t +1+ t −1 t −1 t = 4 ; f ′ (t ) = ⇔ − ⇒ f ′ (t ) = − =0⇔ 2 ( t − 1) ( t − 1) t = −1 f (t ) = Vậy hệ có nghiệm m ≥ Câu 47: Trong nghiệm ( x; y ) thỏa mãn bất phương trình log x + y2 (2 x + y ) ≥ Giá trị lớn biểu thức T = x + y bằng: A B C D Chọn B  x + y > Bất PT ⇔ log x + y (2 x + y ) ≥ ⇔  ( I ), 2  x + y ≥ x + y 0 < x + y < ( II )  2 0 < x + y ≤ x + y Xét T= x + y TH1: (x; y) thỏa mãn (II) < T = x + y ≤ x + y < 85 Mũ - Lôgarit Nâng Cao TH2: (x; y) thỏa mãn (I) x + y ≤ x + y ⇔ ( x − 1) + ( y − x + y = 2( x − 1) + Suy ra: max T = 2 )2 ≤ Khi 1  2 9 9 ( 2y − ) + ≤ (22 + )  ( x − 1) + ( y − ) + ≤ + =  2 2 2  ⇔ ( x; y) = (2; ) 2 BÌNH LUẬN: - Sử dụng tính chất hàm số logarit y = log a b đồng biến a > nghịch biến < a   g ( x ) >   f ( x ) > g ( x ) log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔   0 < a <  f ( x ) >    f ( x ) < g ( x ) - Sử dụng bất đẳng thức BCS cho hai số ( a; b ) , ( x; y ) ax + by ≤ Dấu “=” xảy (a + b )( x + y ) a b = >0 x y Câu 48: Trong tất cặp ( x; y ) thỏa mãn log x2 + y + ( x + y − ) ≥ Tìm m để tồn cặp ( x; y ) cho x + y + x − y + − m = ( C ( A ) 2) 10 − 10 − B 10 − 10 + ( ) 10 + D 10 − Hướng dẫn giải: Ta có log x2 + y + ( x + y − ) ≥ ⇔ x + y − x − y + ≤ (1) Giả sử M ( x; y ) thỏa mãn pt (1) , tập hợp điểm M hình trịn ( C1 ) tâm I ( 2; ) bán kính R1 = Các đáp án đề cho ứng với m > Nên dễ thấy x + y + x − y + − m = phương trình đường tròn ( C ) tâm J ( −1;1) bán kính R2 = m Vậy để tồn cặp ( x; y ) thỏa đề khi ( C1 ) ( C ) tiếp xúc ⇔ IJ = R1 + R2 ⇔ 10 = m + ⇔ m = ( ) 10 − Chọn A Câu 49: Cho x, y số thực dương thỏa mãn ln x + ln y ≥ ln ( x + y ) Tìm giá trị nhỏ P = x+ y 86 Mũ - Lôgarit Nâng Cao A P = B P = 2 + C P = + D P = 17 + Hướng dẫn giải: Chọn B Từ ln x + ln y ≥ ln ( x + y ) ⇔ xy ≥ x + y Ta xét: Nếu < x ≤ y ≥ xy ≥ x + y ⇔ ≥ x mâu thuẫn Nếu x > xy ≥ x + y ⇔ y ( x − 1) ≥ x ⇔ y ≥ Ta có f ( x ) = x + x2 x2 Vậy P = x + y ≥ x + x −1 x −1 x2 xét (1; +∞ ) x −1  2− x= (loai )  2x − 4x +1  Có f ' ( x ) = =0⇔ x − 2x +1  2+ ( nhan) x =   2+  Vậy f ( x ) = f    = 2 + (1; +∞ )   Câu 50: Cho số dương a b thỏa mãn log ( a + 1) + log ( b + 1) ≥ Giá trị nhỏ S = a + b A S = 12 B S = 14 C S = D S = 16 Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có log ( a + 1) + log ( b + 1) ≥ ⇔ log ( a + 1)( b + 1) ≥ ⇔ ( a + 1)( b + 1) ≥ 64  a + b ≥ 14  a+b+2 Mà 64 ≤ ( a + 1)( b + 1) ≤   ⇔ ( a + b ) + ( a + b ) − 252 ≥ ⇔  a + b ≤ −18 L ( )    Nên S = 14 Câu 51: Cho x , y số thực thỏa mãn log ( x + y ) + log ( x − y ) ≥ Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P = x − y A Pmin = B Pmin = −4 C Pmin = Hướng dẫn giải: Chọn C x − y > Điều kiện:  x + y > Từ điều kiện ta có: x > ⇔ x > Ta có: log ( x + y ) + log ( x − y ) ≥ ⇔ log ( x − y ) ≥ ⇔ x − y ≥ 87 D Pmin = 10 Mũ - Lôgarit Nâng Cao Vì x − y ≥ x > ta có: x ≥ y2 + P = 2x − y = y2 + − y Xét: f ( y ) = y + − y ⇒ f '( y ) = Bảng biến thiên x y' −∞ +∞ y Từ bảng biến thiên ta có: Pmin = 88 2y y +4 − ⇒ f '( y ) = ⇔ y = ... ( t − 3) ( t + 1) = m ( t − 3) ⇔ t − ( t +1 t ? ?3 ⇔ t +1 − m t − = ⇔ m = Ta có: 1< ) t +1 − m t − = t +1 4 = 1+ ≤ 1+ = hay: Với t ≥ ⇒ < + t ? ?3 t ? ?3 t ? ?3 5? ?3 t +1 t +1 ≤ ⇒1< ≤ t ? ?3 t ? ?3 Suy