8 GIẢI và BIỆN LUẬN PT, BPT BẰNG PP hàm số

Hàm Số Nâng Cao GẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT CHUNG Đối với phương trình chứa tham số Xét phương trình f(x,m) = g(m), (1) B1: Lập luận số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị (C ): y = f(x,m) đường thẳng d: y = g(m) B2: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = f(x,m) B3: Kết luận: * phương trình có nghiệm: f ( x, m ) ≤ g ( m ) ≤ max f ( x, m ) x∈D x∈D * phương trình có k nghiệm: d cắt (C) k điểm * phương trình vô nghiệm khi: d không cắt (C ) Đối với bất phương trình chứa tham số f ( x ) ≤ g ( m ) với x ∈ D ⇔ g ( m ) ≥ max f ( x ) x∈D f ( x ) ≤ g ( m ) có nghiệm g ( m ) ≥ f ( x ) x∈D f ( x ) ≥ g ( m ) với x ∈ D ⇔ g ( m ) ≤ f ( x ) x∈D f ( x ) ≥ g ( m ) có nghiệm g ( m ) ≤ max f ( x ) x∈D B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Phương trình 2017sin x = sin x + − cos x có nghiệm thực [ −5π ; 2017π ] ? A vô nghiệm Câu 2: C − ≤ m ≤ D −1 < m < B m < C m ≤ D m > B m ≤ C m ≥ D m ≤ Phương trình x3 + x ( x + 1) = m ( x + 1) có nghiệm thực khi: A −6 ≤ m ≤ − 229 B −1 < m < Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình x + = x + m có nghiệm thực? A m ≥ Câu 5: D 2023 Giá trị m để phương trình x + x + = m có nghiệm là: A m ≥ Câu 4: C 2022 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình m + tan x = m + tan x có nghiệm thực A − < m < Câu 3: B 2017 B −1 ≤ m ≤ C m ≥ D − ≤m≤ 4 Hàm Số Nâng Cao Câu 6: Tìm giá trị thực tham số m để phương trình − x + − x = m + x − x có hai nghiệm phân biệt  23  A m ∈ 5;   4  23  m ∈ 5;  ∪ {6}   Câu 7: B m ≤ −1 C m ≥ Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình có nghiệm dương? A ≤ m ≤ Câu 9:  23  C m ∈  5;  ∪ {6} D   Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình: m x − x + + m + x − x ≤ có nghiệm x ∈ 0;1 +  A m ≤ Câu 8: B m ∈ [5; 6] B −3 < m < C − < m < D m ≤ x2 − x + = m + x − x2 D −3 ≤ m < Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình: ( m ) + x − − x + = − x + + x − − x có nghiệm A m ≤ − −1 ≤ m ≤ B C m ≥ D m ≤ Câu 10: Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình: x − + m x + = x − (1) có nghiệm A m ≤ − −1 ≤ m ≤ B C −1 < m ≤ D m ≤ −1 Câu 11: Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình: x + mx + = x + có nghiệm thực phân biệt A m ≤ B m ≥ C −1 < m D m ≤ Câu 12: Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt x + x + − x + − x = m, ( m ∈ ℝ ) A + ≤ m ≤ + C + 24 ≤ m ≤ + B + ≤ m ≤ + D + 24 ≤ m ≤ +  π π Câu 13: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn  − ;   4 sin x + cos x + cos 4x = m A m ≤ 230 47 ; ≤m 64 B 49 x + x + 29 A m < 26 231 B m ≥ 26 x3 C m ≥ − 129 D m ≤ − 129 Hàm Số Nâng Cao 232 Hàm Số Nâng Cao C – HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Phương trình 2017sin x = sin x + − cos x có nghiệm thực [ −5π ; 2017π ] ? B 2017 A vô nghiệm C 2022 D 2023 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có hàm số y = 2017 sin x − sin x − − cos x tuần hoàn với chu kỳ T = 2π Xét hàm số y = 2017sin x − sin x − − cos x [ 0; 2π ] Ta có y′ = cos x.2017sin x.ln 2017 − cos x −  sin x  = cos x  2017sin x.ln 2017 − −  2 − cos x + sin x   2sin x.cos x Do [ 0; 2π ] , y′ = ⇔ cos x = ⇔ x = π ∨x= 3π π   3π  −1− < y   = 2017 − − > ; y  = 2   2017 Bảng biến thiên x π y′ + π  y  2 y 3π − 2π +  3π  y   2 Vậy [ 0; 2π ] phương trình 2017sin x = sin x + − cos2 x có ba nghiệm phân biệt Ta có y (π ) = , nên [ 0; 2π ] phương trình 2017sin x = sin x + − cos x có ba nghiệm phân biệt 0, π , 2π Suy [ −5π ; 2017π ] phương trình có 2017 − ( −5 ) + = 2023 nghiệm Câu 2: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình m + tan x = m + tan x có nghiệm thực A − < m < Hướng dẫn giải: Chọn C 233 B −1 < m < C − ≤ m ≤ D −1 < m < Hàm Số Nâng Cao pt ⇔ m = tan x + tan x − Đặt tan x = t ⇒ m = Xét hàm số f ( t ) = t + t2 −1 t + t −1 ⇒ f ' (t ) = − + t2 2+t ( ( ) ) 2 + t −1 Lập BBT với lim f ( t ) = 1, lim f ( t ) = −1, f − = 2, f t →+∞ Câu 3: t →−∞ =0⇔t=± ( 2) = ⇒ m ∈  − 2;  Giá trị m để phương trình x + x + = m có nghiệm là: A m ≥ B m < C m ≤ D m > Hướng dẫn giải: Chọn A Đặt f ( x) = x + x + ⇒ f ′ ( x ) = + 2x x2 + x ≤  Ta có: f ′ ( x ) = ⇔ x + = −2 x ⇔  ⇔ x=− x = ±  Bảng biến thiên −∞ x f ′( x) − − 2 +∞ + +∞ +∞ f ( x) Vậy, m ≥ Câu 4: 2 Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình x + = x + m có nghiệm thực? A m ≥ B m ≤ C m ≥ D m ≤ Chọn A Chọn B Đặt t = x + 1, t ≥ Phương trình thành: 2t = t − + m ⇔ m = −t + 2t + 234 Hàm Số Nâng Cao Xét hàm số f (t ) = −t + 2t + 1, t ≥ 0; f ′(t ) = −2t + Bảng biến thiên f ( t ) : Từ suy phương trình có nghiệm m ≤ Câu 5: Phương trình x3 + x ( x + 1) = m ( x + 1) có nghiệm thực khi: A −6 ≤ m ≤ − B −1 ≤ m ≤ C m ≥ D − ≤m≤ 4 Hướng dẫn giải: Sử dụng máy tính bỏ túi x3 + x ( x + 1) = m ( x + 1) ⇔ mx − x + ( 2m − 1) x − x + m = Chọn m = phương trình trở thành x − x + x − x + = (khơng có nghiệm thực) nên loại đáp án B, C Chọn m = −6 phương trình trở thành −6 x − x − 13 x − x − = (khơng có nghiệm thực) A nên loại đáp án Kiểm tra với m = phương trình trở thành − x − x − x = ⇔ x = nên chọn đáp án D Tự luận Ta có x3 + x ( x + 1) = m ( x + 1) ⇔ m = Xét hàm số y = (x y′ = ( 3x = = x3 + x + x xác định ℝ x4 + x2 + + x + x )′ ( x + x + 1) − ( x + x + x )( x + x + 1)′ (x + x + 1) + x + 1)( x + x + 1) − ( x + x + x )( x + x ) (x + x + 1) − x6 − x5 − x + x2 + x + ( x + x + 1) ( − x + 1)( x + x + 1) = ( x + x + 1) 4 2 235 x3 + x + x (1) x4 + x2 + 2 Hàm Số Nâng Cao x = y′ = ⇔ ( − x + 1)( x + x + 1) = ⇔   x = −1 Bảng biến thiên Phương trình (1) có nghiệm thực đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = ⇔ x3 + x + x x4 + x2 + −1 ≤m≤ 4 Chọn D Câu 6: Tìm giá trị thực tham số m để phương trình − x + − x = m + x − x có hai nghiệm phân biệt  23  A m ∈ 5;   4  23  m ∈ 5;  ∪ {6}   B m ∈ [5; 6]  23  C m ∈  5;  ∪ {6} D   Hướng dẫn giải: +) − x + − x = m + x − x ( 1) Điều kiện: −1 ≤ x ≤ +) (1) ⇔ + − x + x + = − x + x + m Đặt: − x + x = t ; f ( x ) = − x + x; f ′ ( x ) = −2 x + 1 1  f ( −1) = 2, f ( ) = −2, f   = ⇒ t ∈  −2;  4 2  (1) ⇔ + t + = t + m ⇔ t + = t + m −3 ⇔ m = t + +3−t Đặt f ( t ) = t + + − t f ′ (t ) = 1− t − −1 = f ′ ( t ) = ⇒ − t − = ⇔ t = −1 t+2 t−2 Bảng biến thiên 236 Hàm Số Nâng Cao t -∞ -2 -1 +∞ f'(t) f(t) 23 +) − x + x = t ⇔ − x + x − t = Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = − 4t > ⇔ t ≤ 1  Do để phương trình có hai nghiệm phân biệt phương trình ( ∗) có nghiệm t ∈  −2;  4  Từ bảng biến thiên ⇒ m ∈ [5;6] Chọn B Câu 7: Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình: m x − x + + m + x − x ≤ có nghiệm x ∈ 0;1 +  A m ≤ B m ≤ −1 C m ≥ D m ≤ Hướng dẫn giải: Bpt ⇔ ( ) x2 − x + + + x ( − x ) ≤ ⇔ m ≤ x2 − x x2 − 2x + + , (1) Đặt t = x − x + ⇒ x − x = t − Ta xác đinhk ĐK t: Xét hàm số t = x − x + với x ∈ 0;1 +  , ta tìm ĐK ràng buộc t Ta có: t ' = x −1 x − 2x + ,t ' = ⇔ x = Vậy với x ∈ 0;1 +  ≤ t ≤ Khi đó: (1) ⇔ m ≤ t2 − với t ∈ [1; 2] t +1 Xét hàm số f ( t ) = t2 − t + 2t + với t ∈ [1; 2] Ta có: f ' ( t ) = > 0, ∀x ∈ [1; 2] Vậy hàm t +1 (t + 2) số f tăng [1;2] Do đó, u cầu tốn trở thành tìm m để (1) có nghiệm t ∈ [1; 2] 237 Hàm Số Nâng Cao ⇔ m ≤ max f ( t ) = f ( ) = t∈[1;2] Vậy m ≤ pt có nghiệm Chọn A Câu 8: Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình có nghiệm dương? A ≤ m ≤ B −3 < m < C − < m < x2 − x + = m + x − x2 D −3 ≤ m < Hướng dẫn giải: Chọn B Đặt t = f ( x) = x − x + Ta có f ′( x) = x−2 x − 4x + f ′( x ) = ⇔ x = Xét x > ta có bảng biến thiên Khi phương trình cho trở thành m = t + t − ⇔ t + t − − m = (1) Nếu phương trình (1) có nghiệm t1 , t2 t1 + t2 = −1 (1) có nhiều nghiệm t ≥ Vậy phương trình cho có nghiệm dương phương trình (1) có ( ) nghiệm t ∈ (1; ) Ta có g ′(t ) = 2t + > 0, ∀t ∈ (1; ) nghiệm t ∈ 1; Đặt g (t ) = t + t − Ta tìm m để phương trình g (t ) = m có Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy −3 < m < giá trị cần tìm Câu 9: Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình: m ( A m ≤ − 238 ) + x − − x + = − x + + x − − x có nghiệm B −1 ≤ m ≤ C m ≥ D m ≤ Hàm Số Nâng Cao Hướng dẫn giải: ĐK: x ∈ [ −1;1] Đặt t = + x − − x Với x ∈ [ −1;1] , ta xác định ĐK t sau: Xét hàm số t = + x − − x với x ∈ [ −1;1] Ta có: t'= x + x2 + x − x2 = x ( − x2 + + x2 − x4 ) , cho t ' = ⇔ x = Ta có t ( −1) = 2, t ( ) = 0, t (1) = Vậy với x ∈ [ −1;1] t ∈ 0;  Từ t = + x − − x ⇒ − x = − t −t + t + Khi pt cho tương đương với: m ( t + ) = −t + t + ⇔ t+2 Bài tốn trở thành tìm m để phương trình Xét hàm số f ( t ) = Ta có: f ' ( t ) = −t + t + = m có nghiệm t ∈  0;  t+2 −t + t + với t ∈  0;  t+2 −t − 4t (t + 2) < 0, ∀t ∈ 0;  Suy ra: max f ( t ) = f ( ) = 1, f ( t ) = f t∈0;  t∈0;  ( 2) = − Bây yêu cầu toán xảy khi: f ( t ) ≤ m ≤ max f ( t ) ⇔ − ≤ m ≤ t∈0;  Vậy với t∈0;  − ≤ m ≤ thảo yêu cầu toán Chọn B Câu 10: Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình: x − + m x + = x − (1) có nghiệm A m ≤ − B −1 ≤ m ≤ Hướng dẫn giải: ĐK xác định phương trình: x ≥ Khi đó: 239 C −1 < m ≤ D m ≤ −1 Hàm Số Nâng Cao x −1 x2 −1 x −1 x −1 + m = 24 ⇔3 + m = 24 x +1 x +1 x +1 ( x + 1) (1) ⇔ x −1 , ( t ≥ ) Vì x +1 Đặt t = 4 ( 2) x −1 = 1− < nên t 0, ∀t > Do hàm số đồng biến [0; +∞ ) (1) ⇔ f ( x − 1) > f (3 − x ) ⇔ x − > ⇔ x > So với điều kiện, bpt có tập nghiệm S = (2;3] Câu 20: Tìm tất giá trị thực tham số m cho nghiệm bất phương trình: x − x + ≤ nghiệm bất phương trình mx + ( m + 1) x + m + ≥ ? B m ≤ − A m ≤ −1 C m ≥ − D m ≥ −1 Hướng dẫn giải: Chọn C Bất phương trình x − x + ≤ ⇔ ≤ x ≤ Bất phương trình mx + ( m + 1) x + m + ≥ ⇔ m( x + x + 1) ≥ − x − ⇔ m ≥ Xét hàm số f ( x) = −x − x2 + x + x + 4x + −x − ′ ≤ x ≤ = > 0, ∀x ∈ [1;2] f x với Có ( ) x2 + x + ( x + x + 1)2 Yêu cầu toán ⇔ m ≥ max f ( x) ⇔ m ≥ − [1;2] Câu 21: Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình: − x + 3mx − < − nghiệm ∀x ≥ ? 246 x3 Hàm Số Nâng Cao A m < B m ≥ C m ≥ D − ≤ m ≤ Hướng dẫn giải: Chọn A Bpt ⇔ 3mx < x − 13 + 2, ∀x ≥ ⇔ 3m < x − 14 + = f ( x ) , ∀x ≥ x x x ( ) Ta có f ′ ( x ) = x + 45 − 22 ≥ 2 x 45 − 22 = 22− > suy f ( x ) tăng x x x x x Ycbt ⇔ f ( x ) > 3m, ∀x ≥ ⇔ f ( x ) = f (1) = > 3m ⇔ > m x ≥1 x − x + ≥ x − x + m (1) có nghiệm thực Câu 22: Tìm tham số thực m để bất phương trình: đoạn [ 2;3] A m < −1 B m ≤ −1 C m ≤ − D m < − Hướng dẫn giải: Tập xác định: D = ℝ Đặt t = x − x + ≥ ⇒ x − x = t − Khi đó: (1) ⇔ t ≥ t − + m ⇔ m ≤ −t + t + = g ( t ) , t ∈ [1; +∞ ) Ta có: g ' ( t ) = −2t + Cho g ' ( t ) = ⇔ t = Bảng biến thiên: −∞ t +∞ g ' (t ) − + − − g (t ) −1 Dựa vào bảng biến thiên, m ≤ −1 thỏa yêu cầu toán Câu 23: Tìm m để bpt sau có tập nghiệm ( −∞; +∞ ) : ( x + 1)( x + 3) + m > x + x + 29 A m < 26 Hướng dẫn giải: 247 B m ≥ 26 C m ≥ − 129 D m ≤ − 129 Hàm Số Nâng Cao ( x + 1)( x + 3) + m > x + x + 29 ⇔ m > − x − x − + x + x + 29 ⇔ m > −t + 5t + 26 Với t = x + x + 29, t = ( x + 2) + 25 ≥ BPT ( x + 1)( x + 3) + m > x + x + 29 có nghiệm ( −∞; +∞ ) ⇔ m ≥ max f (t ) với [5; +∞ ) f (t ) = −t + 5t + 26 Do f (t ) = −t + 5t + 26 = t ( − t ) + 26 ≤ 26 với t ≥ nên max f (t ) = 26 [5; +∞ ) Chọn B 248 ... 129 Hàm Số Nâng Cao 232 Hàm Số Nâng Cao C – HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Phương trình 2017sin x = sin x + − cos x có nghiệm thực [ −5π ; 2017π ] ? B 2017 A vô nghiệm C 2022 D 2023 Hướng dẫn giải: ... nghiệm phân biệt t∈[-1; 1), (3) 242 Hàm Số Nâng Cao Xét hàm số g(t) = 4t + t với t ∈ [ −1;1) , g’(t) = 8t+1 g’(t) = ⇔ t = − Lập bảng biến thiên t g’(t) + g(t) Dựa vào bảng biến thiên suy (3) xảy... Vậy hàm t +1 (t + 2) số f tăng [1;2] Do đó, u cầu tốn trở thành tìm m để (1) có nghiệm t ∈ [1; 2] 237 Hàm Số Nâng Cao ⇔ m ≤ max f ( t ) = f ( ) = t∈[1;2] Vậy m ≤ pt có nghiệm Chọn A Câu 8: Tìm