094 đề HSG toán 9 cần thơ 2012 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2012-2013 Khóa ngày: 11/04/2013 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút , không kể thời gian phát đề Câu (5,0 điểm) Cho biểu thức P  2m 16m  m m   m m1  m 2 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị tự nhiên m để P số tự nhiên 2013 Tính giá trị  a3  15a  25 với a  13  13 Câu (5,0 điểm)   Giải phương trình: x   3 x  15 2x  x   Tìm giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm 2x2  mx  1   mx  x   Câu (5,0 điểm) 1 1 Tìm tất số nguyên dương x, y, z thỏa x  y  z  x  y  2 Cho hai số x, y thỏa mãn  2 x  y  xy  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức T  x2  y2  xy Câu (2,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) hai điểm A, B nằm ngồi đường trịn cho OA = 2R Tìm điểm M đường trịn để MA + MB đạt giá trị nhỏ Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi P điểm di động cung BC không chứa A Gọi M, N hình chiếu vng góc hạ từ A xuống PB, PC Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Gọi I, D, E chân đường cao hạ từ A, B, C xuống cạnh BC, CA, AB Chứng minh chu vi tam giác IDE không đổi A, B, C thay đổi đường tròn (O;R) cho diện tích tam giác ABC ln a2 ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI CẦN THƠ 2012-2013 Câu 1 a) Điều kiện : m  0;m  P m m1 b) P  1 m1 Để P  ¥  m  4;9 a  13  13  a3  26  15a    a3  15a 25  1 a3  15a  25 2013 1 Câu Điều kiện : 5 x  Đặt t = x   3 x,t2  8 15 2x  x2  t  2 t   t  2(loai) Phương trình cho có dạng : t  t     t   x   3 x   2  x   4x2  8x  59     2  x   mx  2y  Đặt x2  y  Hệ trở thành  x  my  2 m  x  m2  Hệ ln có nghiệm  y  1 2m  0(m  1)  m2  2  m  1 2m Ta có x  y      (m 1)(m2  m 7)   m 1 m 2  m  2 Câu Khơng tính tổng qt , giả sử : 1 x  y  z 1     x1 x y z x  y  (vô lý) 1    1 y z y  2 Và y = suy z = Vậy (1;2;2) hoán vị chúng nghiệm phương trình cho x  y  x  y  2 a(a  0)   2 2 x  y  xy  x  y  xy  x  y   a ;  S2  4P    a  Do  xy    a  Hệ  T  x2  y2  xy  2xy  9 2 2 a Min T= x=1; y=1 x= - , y = - Max T = x  3,y   x   3,y  Câu R , ta có điểm C cố định Dễ thấy OCM đồng dạng với OMA  MA  2MC Ta có MA  MB  BC (khơng đổi) MA  2MB  2(MA  MC)  2BC Gọi C điểm đoạn thẳng OA cho OC  Dấu “=” xảy M nằm B C Vậy điểm M giao điểm đoạn BC đường tròn (O) MA + 2MB đạt giá trị nhỏ Câu · · Kẻ AI  BC , I  BC cố định Ta có BMA  BIA  900 nên tứ giác AMBI nội tiếp · · hay AIM  ABM · · · · Ta lại có tứ giác ABPC nội tiếp nên ABM AIM  ACP (1)  ACP · · · · Mặt khác AIC  AIN  1800 (2)  ANC  900 nên tứ giác AINC nội tiếp suy ACP · · Từ (1) (2) suy AIM  AIN  1800 Vậy đường thẳng MN qua điểm cố định I · · Tứ giác BCDE nội tiếp suy AED  ACB Kéo dài AO cắt (O;R) điểm A’ Ta có: · · · · EAO  AED  BAA '  ACB  900 1  AO  DE  SAEOD  AO.DE  R.DE 2 1 Tương tự ta có SBEOI  R.EI ;SCDOI  R.ID 2 Vậy SABC  SAEOD  SBIOE  SCDOI  R. DE  EI  ID 2 2S 2a  DE  EI  ID  ABC  (không đổi) R R