095 đề HSG toán 7 tỉnh bắc giang 2012 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 MƠN: TỐN Câu (4,0 điểm) 3  3  A     :      10   12  1) Rút gọn : 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  2012  x  2013 với x số tự nhiên Câu (5,0 điểm) x  x 1 x 1) Tìm x biết:  10800 2) Ba bạn An, Bình, Cường có tổng số viên bi 74 Biết số viên bi An Bình tỉ lệ với 6; số viên bi Bình Cường tỉ lệ với Tính số viên bi bạn Câu (4,0 điểm) 1) Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p  2012 hợp số 2) Cho n số tự nhiên có chữ số Tìm n biết n  2n só phương Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A có ba góc góc nhọn 1) Về phía ngồi tam giác vẽ tam giác ABE vuông cân B Gọi H trung điểm BC, tia đối tia AH lấy điểm I cho AI  BC Chứng minh hai tam giác ABI BEC BI  CE 2) Phân giác góc ABC , BDC cắt AC , BC D, M Phân giác BD  MN góc BDA cắt BC N Chứng minh Câu (1,0 điểm) 1 1 1       2011 2012 2013 Cho 1 1 2013 P     1007 1008 2012 2013 Tính  S  P  S 1 ĐÁP ÁN Câu 1)  15   18  A     :      10 10 10   12 12 12  12 11 12 72  :   10 12 11 55 72 A 55 Vậy 2) P  x  2012  x  2013 Nếu x  2012 x  2013 P  Nếu x  2013 P  x  2012  x  2013   x  2013  Nếu x  2012 P  x  2012  x  2013  x  2012   Do giá trị nhỏ P 1, đạt x  2012 x  2013 Câu 1) Ta có: x 2.3x 1.5x  x.22.3x.3.5 x  10800   2.3.5   900  30 x  30  x  Vậy x  kết cần tìm 2) Gọi số viên bi An, Bình, Cường a, b, c Vì tổng số viên bi ba bạn 74 nên a  b  c  74 a b a b    Vì số viên bi An Bình tỉ lệ với nên 10 12 b c b c    Vì số viên bi Bình Cường tỉ lệ với nên 12 15 a b c abc 74     2 10 12 15 10  12  15 37 Từ ta có: Suy a  20; b  24; c  30 x Câu 1) Vì p số nguyên tố lớn nên p có dạng p  3k  1 k  ¥ , k  1 Với p  3k  p  2012   3k  1  2012  9k  6k  2013   p  2012  M Suy Với p  3k  p  2012   3k  1  2012  9k  6k  2013   p  2012  M Suy Vậy p  2012 hợp số 2) Vì n số có hai chữ số nên  n  100  18  2n  200 Mặt khác 2n số phương chẵn nên 2n nhận giá trị: 36;64;100 ; 144;196 Với 2n  36  n  18  n   22 khơng số phương Với 2n  64  n  32  n   36 số phương Với 2n  100  n  50  n   54 khơng số phương Với 2n  144  n  72  n   76 khơng số phương Với 2n  196  n  98  n   102 không số phương Vậy số cần tìm n  32 Câu 1) Xét hai tam giác AIB BCE có: AI  BC ; BE  BA · · · · · Góc IAB góc ABH nên: IAB  ABH  AHB  ABH  90 · · · · · · Ta có: EBC  EBA  ABC  ABC  90  IAB  EBC Do đó: ABI  BEC (c.g c ) · · Do ABI  BEC  AIB  BCE · · Trong tam giác vuông IHB vng H có: AIB  IBH  90 · · Do đó: BCE  IBH  90 Vậy CE vng góc với BI 2) Do tính chất đường phân giác, ta có: DM  DN Gọi F trung điểm MN Ta có: FM  FD  FN · ·  MDF Tam giác FDM cân F nên FMD · · · FMD  MBD  BDM (góc ngồi tam giác) · · · ·  MBD  CDM  MBD  CDF (1) · · · (2) Ta có: MCD  CDF  CFD · · Do tam giác ABC cân A nên MCD  2MBD (3) · · Từ (1), (2), (3)  MBD  DFC hay tam giác DBF cân D BD  DF  MN Do đó: Câu Ta có: 1 1     1007 1008 2012 2013 1 1    1          1006 1007 1008 2012 2013   P    1     1006   1 1    1          1006 1007 1008 2012 2013    1 1 2.      2012  2 1 1        S 2012 2013 Do  S  P  2013 0 ... x  2012  x  2013 Nếu x  2012 x  2013 P  Nếu x  2013 P  x  2012  x  2013   x  2013  Nếu x  2012 P  x  2012  x  2013  x  2012   Do giá trị nhỏ P 1, đạt x  2012 x  2013. ..  1 Với p  3k  p  2012   3k  1  2012  9k  6k  2013   p  2012  M Suy Với p  3k  p  2012   3k  1  2012  9k  6k  2013   p  2012  M Suy Vậy p  2012 hợp số 2) Vì n số... 1 1     10 07 1008 2012 2013 1 1    1          1006 10 07 1008 2012 2013   P    1     1006   1 1    1          1006 10 07 1008 2012 2013    1 1