SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 MƠN: TỐN Câu (4,0 điểm) 1) Rút gọn : 3 3 A = − + ÷: − + ÷ 10 12 P = x − 2012 + x − 2013 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức nhiên với x số tự Câu (5,0 điểm) x+ 2.3x+1.5 x = 10800 x 1) Tìm biết: 2) Ba bạn An, Bình, Cường có tổng số viên bi 74 Biết số viên bi An Bình tỉ lệ với 6; số viên bi Bình Cường tỉ lệ với Tính số viên bi bạn Câu (4,0 điểm) p + 2012 p 1) Cho số nguyên tố lớn Chứng minh hợp số n n n + 2n 2) Cho số tự nhiên có chữ số Tìm biết só phương Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A có ba góc góc nhọn ABE 1) Về phía ngồi tam giác vẽ tam giác vuông cân B Gọi H trung AI = BC AH điểm BC, tia đối tia lấy điểm I cho Chứng minh BEC BI ⊥ CE ABI hai tam giác và 2) Phân giác góc góc BDA cắt BC ABC , BDC cắt AC , BC N Chứng minh BD = MN Câu (1,0 điểm) S =1− Cho P= 1 1 1 + − + + − + 2011 2012 2013 1 1 + + + + 1007 1008 2012 2013 Tính ( S − P) 2013 D, M Phân giác ĐÁP ÁN Câu 1) 15 18 A = − + ÷: − + ÷ 10 10 10 12 12 12 12 11 12 72 = : = = 10 12 11 55 A= 72 55 Vậy P = x − 2012 + x − 2013 2) x = 2012 x = 2013 P =1 Nếu P = x − 2012 + x − 2013 > + x − 2013 > x > 2013 Nếu P = x − 2012 + x − 2013 > x − 2012 + > x < 2012 Nếu x = 2012 x = 2013 Do giá trị nhỏ P 1, đạt Câu 1) Ta có: x+ 2.3x +1.5x = x.22.3x.3.5 x = 10800 ⇔ ( 2.3.5 ) = 900 ⇔ 30 x = 30 ⇒ x = x Vậy x=2 kết cần tìm 2) Gọi số viên bi An, Bình, Cường a + b + c = 74 ba bạn 74 nên a, b, c Vì số viên bi An Bình tỉ lệ với nên Vì tổng số viên bi a b a b = ⇒ = 10 12 Vì số viên bi Bình Cường tỉ lệ với nên a b c a+b+c 74 = = = = =2 10 12 15 10 + 12 + 15 37 Từ ta có: a = 20; b = 24; c = 30 Suy b c b c = ⇒ = 12 15 Câu p p = 3k ± 1( k ∈ ¥ , k ≥ 1) 1) Vì số nguyên tố lớn nên p có dạng p = 3k + Với p + 2012 = ( 3k + 1) + 2012 = 9k + 6k + 2013 ⇒ ( p + 2012 ) M Suy p = 3k − Với p + 2012 = ( 3k − 1) + 2012 = 9k − 6k + 2013 ⇒ ( p + 2012 ) M Suy p + 2012 Vậy hợp số n < n < 100 ⇒ 18 < 2n < 200 2) Vì số có hai chữ số nên 36;64;100 2n 2n Mặt khác số phương chẵn nên nhận giá trị: ; 144;196 Với Với 2n = 36 ⇒ n = 18 ⇒ n + = 22 2n = 64 ⇒ n = 32 ⇒ n + = 36 không số phương số phương 2n = 100 ⇒ n = 50 ⇒ n + = 54 Với khơng số phương 2n = 144 ⇒ n = 72 ⇒ n + = 76 Với khơng số phương 2n = 196 ⇒ n = 98 ⇒ n + = 102 Với khơng số phương Vậy số cần tìm n = 32 Câu 1) Xét hai tam giác Góc · IAB Ta có: Do đó: Do AIB góc ngồi BCE ∆ABH AI = BC BE = BA có: ; nên: · IAB = ·ABH + ·AHB = ·ABH + 900 · · · · · EBC = EBA + ·ABC = ABC + 900 ⇒ IAB = EBC ∆ABI = ∆BEC (c.g c ) · ∆ABI = ∆BEC ⇒ ·AIB = BCE Trong tam giác vng Do đó: IHB · · BCE + IBH = 900 vng H có: ·AIB + IBH · = 900 Vậy CE vng góc với BI DM ⊥ DN 2) Do tính chất đường phân giác, ta có: MN FM = FD = FN F Gọi trung điểm Ta có: · · FMD = MDF FDM Tam giác cân F nên · · · FMD = MBD + BDM (góc ngồi tam giác) · · · · = MBD + CDM ⇒ MBD = CDF (1) Ta có: · · · MCD = CDF + CFD Do tam giác ABC (2) · · MCD = 2MBD (3) cân A nên · · ⇒ MBD = DFC DBF Từ (1), (2), (3) hay tam giác cân D BD = DF = MN Do đó: Câu Ta có: 1 1 + + + + 1007 1008 2012 2013 1 1 = 1 + + + + + + + + ÷ 1006 1007 1008 2012 2013 P= − 1 + + + ÷ 1006 1 1 = 1 + + + + + + + + ÷ 1006 1007 1008 2012 2013 1 1 −2. + + + + ÷ 2012 2 1 1 = − + − + − + =S 2012 2013 Do ( S − P) 2013 =0 ... 55 Vậy P = x − 2012 + x − 2013 2) x = 2012 x = 2013 P =1 Nếu P = x − 2012 + x − 2013 > + x − 2013 > x > 2013 Nếu P = x − 2012 + x − 2013 > x − 2012 + > x < 2012 Nếu x = 2012 x = 2013 Do giá trị... có dạng p = 3k + Với p + 2012 = ( 3k + 1) + 2012 = 9k + 6k + 2013 ⇒ ( p + 2012 ) M Suy p = 3k − Với p + 2012 = ( 3k − 1) + 2012 = 9k − 6k + 2013 ⇒ ( p + 2012 ) M Suy p + 2012 Vậy hợp số n < n