095 đề hsg toán 7 tỉnh bắc giang 2012 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 MƠN: TỐN Câu (4,0 điểm) 3  3  A     :      10   12  1) Rút gọn : 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  2012  x  2013 với x số tự nhiên Câu (5,0 điểm) x 2 x 1 x 1) Tìm x biết: 10800 2) Ba bạn An, Bình, Cường có tổng số viên bi 74 Biết số viên bi An Bình tỉ lệ với 6; số viên bi Bình Cường tỉ lệ với Tính số viên bi bạn Câu (4,0 điểm) 1) Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p  2012 hợp số 2) Cho n số tự nhiên có chữ số Tìm n biết n  2n só phương Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A có ba góc góc nhọn 1) Về phía ngồi tam giác vẽ tam giác ABE vng cân B Gọi H trung điểm BC, tia đối tia AH lấy điểm I cho AI BC Chứng minh hai tam giác ABI BEC BI  CE 2) Phân giác góc ABC , BDC cắt AC , BC D, M Phân giác BD  MN góc BDA cắt BC N Chứng minh Câu (1,0 điểm) 1 1 1       2011 2012 2013 Cho 1 1 2013 P     1007 1008 2012 2013 Tính  S  P  S 1  ĐÁP ÁN Câu 1)  15   18  A     :     10 10 10   12 12 12  12 11 12 72  :   10 12 11 55 72 A 55 Vậy 2) P  x  2012  x  2013 Nếu x 2012 x 2013 P 1 Nếu x  2013 P  x  2012  x  2013   x  2013  Nếu x  2012 P  x  2012  x  2013  x  2012   Do giá trị nhỏ P 1, đạt x 2012 x 2013 Câu 1) Ta có: x2.3x 1.5 x 2 x.22.3x.3.5 x 10800 x   2.3.5  900  30 x 302  x 2 Vậy x 2 kết cần tìm 2) Gọi số viên bi An, Bình, Cường a, b, c Vì tổng số viên bi ba bạn 74 nên a  b  c 74 a b a b    Vì số viên bi An Bình tỉ lệ với nên 10 12 b c b c    Vì số viên bi Bình Cường tỉ lệ với nên 12 15 a b c a b c 74     2 Từ ta có: 10 12 15 10  12  15 37 Suy a 20; b 24; c 30 Câu 1) Vì p số nguyên tố lớn nên p có dạng p 3k 1 k  , k 1 Với p 3k  p  2012  3k  1  2012 9k  6k  2013   p  2012  3 Suy Với p 3k  p  2012  3k  1  2012 9k  6k  2013   p  2012  3 Suy Vậy p  2012 hợp số 2) Vì n số có hai chữ số nên  n  100  18  2n  200 Mặt khác 2n số phương chẵn nên 2n nhận giá trị: 36;64;100 ; 144;196 Với 2n 36  n 18  n  22 khơng số phương Với 2n 64  n 32  n  36 số phương Với 2n 100  n 50  n  54 khơng số phương Với 2n 144  n 72  n  76 không số phương Với 2n 196  n 98  n  102 khơng số phương Vậy số cần tìm n 32 Câu I A D E B H M C F 1) Xét hai tam giác AIB BCE có: AI BC ; BE BA  ABH  AHB  ABH  900  góc ngồi ABH nên: IAB Góc IAB       Ta có: EBC EBA  ABC  ABC  90  IAB EBC Do đó: ABI BEC (c.g c )   Do ABI BEC  AIB BCE   Trong tam giác vng IHB vng H có: AIB  IBH 90   Do đó: BCE  IBH 90 Vậy CE vng góc với BI 2) Do tính chất đường phân giác, ta có: DM  DN N Gọi F trung điểm MN Ta có: FM FD FN   MDF Tam giác FDM cân F nên FMD    FMD MBD  BDM (góc ngồi tam giác)     MBD  CDM  MBD CDF (1)    Ta có: MCD CDF  CFD (2)   (3) Do tam giác ABC cân A nên MCD 2MBD   Từ (1), (2), (3)  MBD DFC hay tam giác DBF cân D BD DF  MN Do đó: Câu Ta có: 1 1 P     1007 1008 2012 2013 1 1             1006 1007 1008 2012 2013           1006   1 1             1006 1007 1008 2012 2013    1 1  2.      2012  2 1 1 1       S 2012 2013 Do  S  P  2013 0