Website:tailieumontoan.com PGD ĐÀO TẠO QUẬN BA ĐÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Năm học 2016 – 2017 Mơn: Tốn – Lớp x x 1 x x A 4 x x 2 x 1 x Bài ( điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn A x b) Tính giá trị biểu thức A 2 2 3 3 Bài 2.( điểm): a) Giải phương trình: x x x 2 b) Tìm số nguyên x cho 3x x x chia hết cho x Bài ( điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB , M điểm thuộc nửa đường trịn, M A, B Gọi H hình chiếu M AB E F hình chiếu H MA, MB a Chứng minh HA.HB EA.EM FB.FM ; b Tìm vị trí điểm M để EA.EH FB.FH đạt giá trị lớn Bài 4: ( điểm): Cho nửa đường O đường kính AB Gọi Ax, By tia vng góc với AB ( Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB ) Qua điểm M thuốc nửa đường tròn ( M khác A B ) kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn cắt tia By C ; tia BM cắt tia Ax D Chứng minh AC vng góc với OD Bài 5.( điểm) 1) Cho a, b, c số dương thỏa mãn a 2b 3c Tìm giá trị nhỏ M 2) Tìm số thực x để biểu thức a b c x x số nguyên HƯỚNG DẪN GIẢI x x 1 x x 1 A 4 2 x 1 x x x Bài Cho biểu thức c) Rút gọn A d) Tính giá trị biểu thức A Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn x tốn: 2 2 3 3 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com GIẢI a) Với x 0, x 1, ta có: A x x 1 x x 1 2x A A x A b) x x 1 x 2 x 1 2 2 x 1 x x 2 2 3 3 42 62 2 2 1 1 2 2 2 Thay x vào A ta A Bài 2: ( điểm): a) Giải phương trình: x 3x x b) Tìm số nguyên x cho 3x x x chia hết cho x giải: 3 x x x 0, x x 1 2 x a ĐKXĐ: x 3x x x x x x x 1 x 1 x Đặt x 1 t t 0 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com t t 2t t t t 1 t t 1 t 1 t 1 t 1 t t 1 t t 1 t t 1 t2 t 2t t 1 t t 1 t 1 t 1 t 1 t 2t t 2t t 2t t 1 0, x Thấy t t x x x ( tm) b x x x 3x x x 10 x 3x x x x x 3x x Để x x x chia hết cho x x x 4 Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB , M điểm thuộc nửa đường tròn, M A, B Gọi H hình chiếu M AB E F hình chiếu H MA, MB a Chứng minh HA.HB EA.EM FB.FM ; b Tìm vị trí điểm M để EA.EH FB.FH đạt giá trị lớn Giải a.Vì AMB có MO đường trung tuyến MO AB nên AMB vuông M Xét AMB vuông M , đường cao MH , theo hệ thức cạnh góc tam giác vng ta có: MH AH HB Xét MHA vng H , đường cao HE , theo hệ thức cạnh góc tam giác vng ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com HE AE.EM Xét MHB vuông H , đường cao HF , theo hệ thức cạnh góc tam giác vng ta có: HF FM FB · · · Xét tứ giác MEHF có FME MEH MFH 90 Do tứ giác MEHF hình chữ nhật · EHF 900 EF MH Xét EHF vng H , theo định lí Pi ta go ta có: EF2 EH HF 2 Hay EF AE.EM MF FB Mà MH AH HB ; EF MH Do HA.HB EA.EM FB.FM · · µ b Xét AEH AMB có A chung; AEH AMB 90 Do AEH : AMB g.g AE.EH S AH AH AH AEH AE.EH AM MB 1 S AMB AB AB AB AM MB · µ HFB ·AMB 900 HFB AMB B Xét Do có chung; HFB : AMB g.g HF FB HB S HFB HB HB HF FB AM MB S AMB AB AB AB AM MB Lấy 1 AE.EH HF FB AM MB vế với vế ta được: Áp dụng bất đẳng thức cô sy ta : AM MB AB 2 AB AM MB Dấu xảy AM MB M điểm cung AB AM MB Vậy M điểm cung AB EA.EH FB.FH đạt giá trị lớn Bài 4: ( điểm): Cho nửa đường O đường kính AB Gọi Ax, By tia vng góc với AB ( Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB ) Qua điểm M thuốc Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com nửa đường tròn ( M khác A B ) kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn cắt tia By C ; tia BM cắt tia Ax D Chứng minh AC vng góc với OD giải: · · · · Ta có MC , MB hai tiếp tuyến ngồi đường trịn MCO BCO; MOC BOC · · Tứ giác BCMC nôi tiếp MCO MBO + Xét MAD MCO có ·AMD CMO · 90o · · · MAD MCO MBA MAD# MCO g.g Có MA MC MD MO ·AMC ·AMB BMC · · 900 BMC · · · · · · DMO EMO DME 900 DME mà BMC DME ( đối đỉnh) ·AMC DMO · Suy ra, + Xét MAC MDO có MA MC ·AMC DMO · (cmt) MD MO · · MAC# MDO c.g c MCA MOD · · hay MCK MOF + Xét KOF KCN có · · · · MCK MOF FKO MKC ( đối đỉnh) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com · · KOF# KCM g g KOF KMC mà · · KMC 900 KFO 900 KF FO DO AC Bài 3) Cho a, b, c số dương thỏa mãn a 2b 3c Tìm giá trị nhỏ M 4) Tìm số thực x để biểu thức a b c x x số nguyên GIẢI 1) Ta có M a 2b 3c 12 a b c 6 3 8 a 3b c 12 a b c Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số không âm ta được: M 36 12 12 a a b b 16 c c Dấu " " xảy a 2, b 1, c Vậy giá trị nhỏ M 12 x 0 3 2) Đặt M x x Ta có M3 1 x 1 x 33 1 x 1 x 3.M x 3M (Vì x x 0) M 3M M 1 M M M 1 M 2 M 1 M Đặt a x b x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu a 1, b 1 word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a 1 b a b 1 3b 3b b3 b3 a b +) Với M 1 , ta có a 1 b b b hệ vô nghiệm M a b a b a b 3ab a b +) Với ab a b ab a b a b3 a b a b a b a b Nếu a b 2a a x M 0;1; 2 Nếu a b M Vì M nguyên nên a b a b M 0 0 hệ vô nghiệm a b a b a b a b M 1 2 2 a b a ab b 1 2b b b b b 21 a 21 b 21 b 21 a b a 21 3b 3b b b 21 a b 21 21 a 1 x 28 x 27 b 21 1 x 21 Kết hợp điều kiện ta (TM ) a b a b 4b b 2b b2 b M2 a b a ab b a b b x0 a (TM ) Vậy với x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word x môn 28 27 thỏa mãn yêu cầu tốn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... · Tứ giác BCMC nôi tiếp MCO MBO + Xét MAD MCO có ·AMD CMO · 90o · · · MAD MCO MBA MAD# MCO g.g Có MA MC MD MO ·AMC ·AMB BMC · · 900 BMC · · · · · · DMO ... đẳng thức Cô-si cho số không âm ta được: M 36 12 12 a a b b 16 c c Dấu " " xảy a 2, b 1, c Vậy giá trị nhỏ M 12 x 0 3 2) Đặt M