128 HSG t9 quận ba đình 16 17

Website:tailieumontoan.com PGD ĐÀO TẠO QUẬN BA ĐÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Năm học 2016 – 2017 Mơn: Tốn – Lớp  x x 1 x x   A     4  x x 2 x  1  x   Bài ( điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn A x b) Tính giá trị biểu thức A  2  2  3  3  Bài 2.( điểm): a) Giải phương trình: x  x   x  2 b) Tìm số nguyên x cho 3x  x  x  chia hết cho x  Bài ( điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB , M điểm thuộc nửa đường trịn, M  A, B Gọi H hình chiếu M AB E F hình chiếu H MA, MB a Chứng minh HA.HB  EA.EM  FB.FM ; b Tìm vị trí điểm M để EA.EH  FB.FH đạt giá trị lớn Bài 4: ( điểm): Cho nửa đường  O đường kính AB Gọi Ax, By tia vng góc với AB ( Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB ) Qua điểm M thuốc nửa đường tròn ( M khác A B ) kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn cắt tia By C ; tia BM cắt tia Ax D Chứng minh AC vng góc với OD Bài 5.( điểm) 1) Cho a, b, c số dương thỏa mãn a  2b  3c  Tìm giá trị nhỏ M 2) Tìm số thực x để biểu thức   a b c  x   x số nguyên HƯỚNG DẪN GIẢI  x x 1 x x 1  A     4 2  x 1  x x x   Bài Cho biểu thức c) Rút gọn A d) Tính giá trị biểu thức A Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn x  tốn: 2  2  3  3  TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com GIẢI a) Với x  0, x  1, ta có:   A  x  x 1 x  x 1 2x  A A x A b) x     x 1 x  2  x 1 2  2 x 1 x x 2  2  3  3   42    62          2 2     1    1          2   2   2 Thay x  vào A ta A  Bài 2: ( điểm): a) Giải phương trình: x  3x   x  b) Tìm số nguyên x cho 3x  x  x  chia hết cho x  giải:  3   x  x    x     0, x  x 1 2   x  a ĐKXĐ:  x  3x   x   x  x   x    x    x  1   x  1   x  Đặt x 1  t  t  0 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com    t  t  2t    t t    t  1   t  t  1  t  1   t  1     t  1  t   t  1  t    t  1 t  t  1     t2    t  2t      t  1 t  t  1   t  1  t  1     t  1 t   2t   t  2t   t  2t     t  1   0, x Thấy  t    t   x    x    x  ( tm) b x  x  x   3x  x  x  10  x         3x x   x   x   x   3x    x  Để x  x  x  chia hết cho x  x    x  4 Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB , M điểm thuộc nửa đường tròn, M  A, B Gọi H hình chiếu M AB E F hình chiếu H MA, MB a Chứng minh HA.HB  EA.EM  FB.FM ; b Tìm vị trí điểm M để EA.EH  FB.FH đạt giá trị lớn Giải a.Vì AMB có MO đường trung tuyến MO  AB nên AMB vuông M Xét AMB vuông M , đường cao MH , theo hệ thức cạnh góc tam giác vng ta có: MH  AH HB Xét MHA vng H , đường cao HE , theo hệ thức cạnh góc tam giác vng ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com HE  AE.EM Xét MHB vuông H , đường cao HF , theo hệ thức cạnh góc tam giác vng ta có: HF  FM FB · · · Xét tứ giác MEHF có FME  MEH  MFH  90 Do tứ giác MEHF hình chữ nhật ·  EHF  900 EF  MH Xét EHF vng H , theo định lí Pi ta go ta có: EF2  EH  HF 2 Hay EF  AE.EM  MF FB Mà MH  AH HB ; EF  MH Do HA.HB  EA.EM  FB.FM · · µ b Xét AEH AMB có A chung; AEH  AMB  90 Do AEH : AMB  g.g  AE.EH S AH AH  AH   AEH      AE.EH  AM MB  1  S AMB  AB  AB AB AM MB · µ HFB  ·AMB  900 HFB AMB B Xét Do có chung; HFB : AMB  g.g  HF FB HB S HFB  HB  HB      HF FB  AM MB    S AMB  AB  AB AB AM MB Lấy  1    AE.EH  HF FB  AM MB vế với vế ta được: Áp dụng bất đẳng thức cô sy ta : AM  MB AB  2 AB  AM MB  Dấu xảy  AM  MB  M điểm cung AB AM MB  Vậy M điểm cung AB EA.EH  FB.FH đạt giá trị lớn Bài 4: ( điểm): Cho nửa đường  O đường kính AB Gọi Ax, By tia vng góc với AB ( Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB ) Qua điểm M thuốc Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com nửa đường tròn ( M khác A B ) kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn cắt tia By C ; tia BM cắt tia Ax D Chứng minh AC vng góc với OD giải: · · · · Ta có MC , MB hai tiếp tuyến ngồi đường trịn  MCO  BCO; MOC  BOC · · Tứ giác BCMC nôi tiếp  MCO  MBO + Xét MAD MCO có ·AMD  CMO ·  90o  · · · MAD  MCO  MBA   MAD# MCO  g.g   Có MA MC  MD MO ·AMC  ·AMB  BMC · ·  900  BMC · · · · · · DMO  EMO  DME  900  DME mà BMC  DME ( đối đỉnh) ·AMC  DMO · Suy ra, + Xét MAC MDO có MA MC  ·AMC  DMO · (cmt) MD MO · ·  MAC# MDO  c.g c   MCA  MOD · · hay MCK  MOF + Xét KOF KCN có · · · · MCK  MOF FKO  MKC ( đối đỉnh) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com · ·  KOF# KCM  g g   KOF  KMC mà · · KMC  900  KFO  900  KF  FO  DO  AC Bài 3) Cho a, b, c số dương thỏa mãn a  2b  3c  Tìm giá trị nhỏ M 4) Tìm số thực x để biểu thức   a b c  x   x số nguyên GIẢI 1) Ta có M     a  2b  3c   12 a b c 6  3  8     a    3b    c  12 a  b  c  Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số không âm ta được: M    36  12  12   a  a    b    b    16 c  c   Dấu "  " xảy  a  2, b  1, c  Vậy giá trị nhỏ M  12  x  0 3 2) Đặt M   x   x Ta có M3    1 x  1 x  33 1 x  1 x    3.M  x   3M (Vì  x  x  0)  M  3M     M  1  M  M      M  1  M  2   M  1  M  Đặt a   x    b   x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu  a  1, b  1 word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a  1  b  a  b  1       3b  3b  b3   b3  a  b     +) Với M  1 , ta có a  1  b  b  b    hệ vô nghiệm M   a  b    a  b    a  b  3ab  a  b   +) Với  ab  a  b    ab  a  b   a  b3   a  b   a  b   a  b  a  b  Nếu a  b  2a   a   x  M   0;1; 2 Nếu a  b    M  Vì M nguyên nên  a  b  a   b M 0   0   hệ vô nghiệm a  b   a  b  a   b a   b M 1    2 2 a  b  a  ab  b  1  2b  b  b  b  b    21  a      21  b    21    b    21   a   b  a      21   3b  3b   b     b   21 a   b       21  21 a  1  x  28    x  27 b   21 1  x   21   Kết hợp điều kiện ta  (TM )  a  b  a   b   4b  b  2b  b2  b  M2   a  b  a  ab  b  a   b b   x0 a  (TM ) Vậy với x  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word x môn 28 27 thỏa mãn yêu cầu tốn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... · Tứ giác BCMC nôi tiếp  MCO  MBO + Xét MAD MCO có ·AMD  CMO ·  90o  · · · MAD  MCO  MBA   MAD# MCO  g.g   Có MA MC  MD MO ·AMC  ·AMB  BMC · ·  900  BMC · · · · · · DMO ... đẳng thức Cô-si cho số không âm ta được: M    36  12  12   a  a    b    b    16 c  c   Dấu "  " xảy  a  2, b  1, c  Vậy giá trị nhỏ M  12  x  0 3 2) Đặt M  