Đề thi HSG môn Toán lớp 9 và lời giải chi tiết Quận Ba Đình - Tp Hà Nội năm 2020 - 2021

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài 1... Thử lại thấy thỏa mãn.[r]

UBND QUẬN BA ĐÌNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MƠN VĂN HĨA LỚP PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MƠN: TOÁN

Năm học: 2020 – 2021

Ngày thi: 5/11/2020, thời gian làm 150 phút Bài (4,0 điểm)

a) Cho 1 a 

 Tính giá trị

3

6

a  a

b) Cho

2020 2020

99 99 99 99

chu so chu so

A    Hỏi A có chữ số?

Bài (4,0 điểm)

a) Giải phương trình:

2x   x 2x 1 x 2x1

b) Tìm cặp số nguyên x y,  thỏa mãn: x x 26x12y327

Bài (4,0 điểm)

a) Cho a b c, , ba số tự nhiên liên tiếp Chứng minh rằng: a3 b3 c3 chia hết cho b) Cho biểu thức A 13 23  33 201932020 Tìm số dư A chia cho Bài (6,0 điểm)

Cho hình vng ABCD có tâm O, cạnh AB BC, lấy điểm M N, tương ứng cho BM CN a) Chứng minh MON vuông cân

b) AN cắt DC E, ON cắt BE F Tìm vị trí M N, để tứ giác ABEC MBFN, hình bình hành c) Tìm giá trị nhỏ chu vi tứ giác OBMN

Bài (2,0 điểm)

Cho a b, số thực dương thỏa mãn a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

3

2

6

3

A a b ab

a b

   



-Hết -ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài (4,0 điểm)

a) Cho 1 a 

 Tính giá trị

3

6

a  a

b) Cho

2020 2020

99 99 99 99

chu so chu so

A    Hỏi A có chữ số?

Lời giải

a) Ta có: 1 3

1 a a a           

Suy ra:    

2

2 2

1

2 3 2

1 a a a a

a

 

           

 

  

Do đó:    

6 2 2 10 10

a  a a a  a  a  a  

b) Ta có:

2

2

2020 2020 2020 2020 2020 2019 2020

99 99 99 99 10 00 10 00 10 00 99 98 10 00

chu so chu so chu so chu so chu so chu so chu so

A            

 

       Vậy A có 4040 chữ số

Bài (4,0 điểm)

a) Giải phương trình: 2x2  x 2x 1 x 2x1

b) Tìm cặp số nguyên x y,  thỏa mãn: x x 26x12y327

Lời giải

a) Điều kiện xác định:

x Phương trình tương đương:

         2

2 1

1

1

1

2 1 1

x x x x

x x x x

x x x x x x x x                                        

Với 1,

x ta có: 1 x x x     

b) Phương trình cho tương đương:

 

     

3

3 3

2 2

6 12 19

2 19

2 2 19

x x x y

x y

x y x x y y

    

   

 

        

 

Do 19 số nguyên tố nên x   y 2  1; 1; 19;19 

Với x       y x y 1, thay vào phương trình ta được:

 3

1 19 3 20 0,

y y   y  y  phương trình khơng có nghiệm nguyên Với x      y x y 1, thay vào phương trình ta được:

 3 3   

1 19 3

3

y x

y y y y

y x

    

       

     

Với x  y 19   x y 19, thay vào phương trình ta được:

 3

19 19 19 120 0,

y y   y  y  phương trình khơng có nghiệm nguyên Với x   y 19   x y 19, thay vào phương trình ta được:

 3 3 2

19 19 57 362 0,

y y   y  y  phương trình khơng có nghiệm ngun Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy phương trình cho có hai nghiệm thỏa mãn x y;     5; , 0;3  Bài (4,0 điểm)

a) Cho a b c, , ba số tự nhiên liên tiếp Chứng minh rằng: a3 b3 c3 chia hết cho

b) Cho biểu thức A 13 23  33 201932020 Tìm số dư A chia cho Lời giải

a) Ta có: a3 b3 c3a b c a 2b2 c2 ab bc ca3abc

Do a b c, , ba số tự nhiên liên tiếp nên không tính tổng quát giả sử b a 1,c a

Khi ta có: a       b c a a a 3a1 chia hết cho Mà 3abc chia hết cho

Từ suy 3

a  b c chia hết cho

b) Ta có: A132333  43 53 63  2017320183201932020

Bài (6,0 điểm)

Cho hình vng ABCD có tâm O, cạnh AB BC, lấy điểm M N, tương ứng cho BM CN a) Chứng minh MON vuông cân

b) AN cắt DC E, ON cắt BE F Tìm vị trí M N, để tứ giác ABEC MBFN, hình bình hành c) Tìm giá trị nhỏ chu vi tứ giác OBMN

Lời giải

a) Ta có: BM CN OB, OC OBM,  OCN nên OMB ONCOM ON

Do MON cân O

Mặt khác: MONMOBBONNOCBONBOC90 Từ suy MON vuông cân O

b) Do CE AB nên tứ giác ABEC hình bình hành ABEC Khi ABN ECNNBNC

Do N trung điểm BC dẫn đến M trung điểm AB

Tương tự ta chứng minh MBFN hình bình hành N trung điểm BC M trung điểm AB

c) Do MON cân O nên OMON 2OM MN

Khi chu vi tứ giác OBMN CBMBNOMONBMBN 2MN Gọi a độ dài cạnh hình vng ABCD đặt BM x với 0 x a

F

E N

B

A D

O

Khi ta có: CBMBNMN 2   x a x 2x2 a x2  a 2 x22axa2 Vì

2 2 2

2

2 2

2 2

a a a

x  axa  x   

  nên

2

2

2 a C a   a

Đẳng thức xảy

2

a

x hay M trung điểm AB Kéo theo N trung điểm BC

Vậy chu vi tứ giác OBMN nhỏ 2a M N, trung điểm AB BC,

Bài (2,0 điểm)

Cho a b, số thực dương thỏa mãn a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

3

2

6

3

A a b ab

a b

   



Lời giải Do a3b3ab a 2abb22a2b22ab, nên:

 2 2  2 2 2

2 2 2

6 2

2 3

2 2

a b a b

A a b ab a b

a b a b a b

     

   

             

      

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được:

2 2

2 2

2

2

2

a b a b

a b a b

 

   

 