Đang tải... (xem toàn văn)
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài 1... Thử lại thấy thỏa mãn.[r]
(1)UBND QUẬN BA ĐÌNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MƠN VĂN HĨA LỚP PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MƠN: TOÁN
Năm học: 2020 – 2021
Ngày thi: 5/11/2020, thời gian làm 150 phút Bài (4,0 điểm)
a) Cho 1 a
Tính giá trị
3
6
a a
b) Cho
2020 2020
99 99 99 99
chu so chu so
A Hỏi A có chữ số?
Bài (4,0 điểm)
a) Giải phương trình:
2x x 2x 1 x 2x1
b) Tìm cặp số nguyên x y, thỏa mãn: x x 26x12y327
Bài (4,0 điểm)
a) Cho a b c, , ba số tự nhiên liên tiếp Chứng minh rằng: a3 b3 c3 chia hết cho b) Cho biểu thức A 13 23 33 201932020 Tìm số dư A chia cho Bài (6,0 điểm)
Cho hình vng ABCD có tâm O, cạnh AB BC, lấy điểm M N, tương ứng cho BM CN a) Chứng minh MON vuông cân
b) AN cắt DC E, ON cắt BE F Tìm vị trí M N, để tứ giác ABEC MBFN, hình bình hành c) Tìm giá trị nhỏ chu vi tứ giác OBMN
Bài (2,0 điểm)
Cho a b, số thực dương thỏa mãn a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
3
2
6
3
A a b ab
a b
(2)-Hết -ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài (4,0 điểm)
a) Cho 1 a
Tính giá trị
3
6
a a
b) Cho
2020 2020
99 99 99 99
chu so chu so
A Hỏi A có chữ số?
Lời giải
a) Ta có: 1 3
1 a a a
Suy ra:
2
2 2
1
2 3 2
1 a a a a
a
Do đó:
6 2 2 10 10
a a a a a a a
b) Ta có:
2
2
2020 2020 2020 2020 2020 2019 2020
99 99 99 99 10 00 10 00 10 00 99 98 10 00
chu so chu so chu so chu so chu so chu so chu so
A
Vậy A có 4040 chữ số
Bài (4,0 điểm)
a) Giải phương trình: 2x2 x 2x 1 x 2x1
b) Tìm cặp số nguyên x y, thỏa mãn: x x 26x12y327
Lời giải
a) Điều kiện xác định:
x Phương trình tương đương:
2
2 1
1
1
1
2 1 1
x x x x
x x x x
x x x x x x x x
Với 1,
x ta có: 1 x x x
(3)b) Phương trình cho tương đương:
3
3 3
2 2
6 12 19
2 19
2 2 19
x x x y
x y
x y x x y y
Do 19 số nguyên tố nên x y 2 1; 1; 19;19
Với x y x y 1, thay vào phương trình ta được:
3
1 19 3 20 0,
y y y y phương trình khơng có nghiệm nguyên Với x y x y 1, thay vào phương trình ta được:
3 3
1 19 3
3
y x
y y y y
y x
Với x y 19 x y 19, thay vào phương trình ta được:
3
19 19 19 120 0,
y y y y phương trình khơng có nghiệm nguyên Với x y 19 x y 19, thay vào phương trình ta được:
3 3 2
19 19 57 362 0,
y y y y phương trình khơng có nghiệm ngun Thử lại thấy thỏa mãn
Vậy phương trình cho có hai nghiệm thỏa mãn x y; 5; , 0;3 Bài (4,0 điểm)
a) Cho a b c, , ba số tự nhiên liên tiếp Chứng minh rằng: a3 b3 c3 chia hết cho
b) Cho biểu thức A 13 23 33 201932020 Tìm số dư A chia cho Lời giải
a) Ta có: a3 b3 c3a b c a 2b2 c2 ab bc ca3abc
Do a b c, , ba số tự nhiên liên tiếp nên không tính tổng quát giả sử b a 1,c a
Khi ta có: a b c a a a 3a1 chia hết cho Mà 3abc chia hết cho
Từ suy 3
a b c chia hết cho
b) Ta có: A132333 43 53 63 2017320183201932020
(4)Bài (6,0 điểm)
Cho hình vng ABCD có tâm O, cạnh AB BC, lấy điểm M N, tương ứng cho BM CN a) Chứng minh MON vuông cân
b) AN cắt DC E, ON cắt BE F Tìm vị trí M N, để tứ giác ABEC MBFN, hình bình hành c) Tìm giá trị nhỏ chu vi tứ giác OBMN
Lời giải
a) Ta có: BM CN OB, OC OBM, OCN nên OMB ONCOM ON
Do MON cân O
Mặt khác: MONMOBBONNOCBONBOC90 Từ suy MON vuông cân O
b) Do CE AB nên tứ giác ABEC hình bình hành ABEC Khi ABN ECNNBNC
Do N trung điểm BC dẫn đến M trung điểm AB
Tương tự ta chứng minh MBFN hình bình hành N trung điểm BC M trung điểm AB
c) Do MON cân O nên OMON 2OM MN
Khi chu vi tứ giác OBMN CBMBNOMONBMBN 2MN Gọi a độ dài cạnh hình vng ABCD đặt BM x với 0 x a
F
E N
B
A D
O
(5)Khi ta có: CBMBNMN 2 x a x 2x2 a x2 a 2 x22axa2 Vì
2 2 2
2
2 2
2 2
a a a
x axa x
nên
2
2
2 a C a a
Đẳng thức xảy
2
a
x hay M trung điểm AB Kéo theo N trung điểm BC
Vậy chu vi tứ giác OBMN nhỏ 2a M N, trung điểm AB BC,
Bài (2,0 điểm)
Cho a b, số thực dương thỏa mãn a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
3
2
6
3
A a b ab
a b
Lời giải Do a3b3ab a 2abb22a2b22ab, nên:
2 2 2 2 2
2 2 2
6 2
2 3
2 2
a b a b
A a b ab a b
a b a b a b
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được:
2 2
2 2
2
2
2
a b a b
a b a b