Thông tin tài liệu
Website:tailieumontoan.com UBND HUYỆN XUYÊN MỘC THCS KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC NĂM HỌC 2016 – 2017 MƠN THI: TỐN Thời gian làm thi 150 phút ĐỀ DỰ BỊ Câu 1: (2,5 điểm) Tìm tất cặp số nguyên Câu 2: ( m, n ) 2n3 − mn − 3n + 14n − 7m − = cho (7,5 điểm) x −1 2x − x x −1 A = + ÷ ÷: 1− x x − x +1 x +1 a) Rút gọn biểu thức: x − 2014 + x − 2016 + y − 2016 + x = 2016 b) 3− x x +1 A= c) Tìm GTNN biểu thức: x+y+z=1 x, y , z d) Cho số không âm y+z + z+x ≤ x+y + Câu 3: (2,0 điểm) Cho tam giác tam giác) ABC có chu vi 2p = a +b +c a , b, c ( độ dài ba cạnh 1 1 1 + + ≥ + + ÷ p −a p −b p −c a b c Chứng minh : Câu 4: CMR: (5,0 điểm) Cho tam giác tam giác ( O) AI ABC ABC M , a HB = HI liệu ( O; R ) độ dài đoạn a) Tam giác Liên hệ tài 039.373.2038 tiếp điểm với đường tròn Gọi b) nội tiếp đường tròn AMI ( OI H AB khác ( O; R ) Gọi ( I;r ) với đường tròn A ), HK đường tròn nội tiếp ( I;r ) ; H giao điểm đường kính đường trịn Chứng minh: tam giác KCH đồng dạng word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com c) IA.IH = R − a R − Rr = a d) Câu 5: (3,0 điểm) (C ) Cho đường tròn đường kính đường trịn thay đổi ( đường trịn, ( d) MN PQ = R cố định đường kính PQ khác QM ) Qua P vẽ đường thẳng QN cắt E F theo R tiếp tuyến QFE đồng dạng với tam giác b) Tìm vị trí đường kính QMN a) Chứng minh tam giác ( d) MN MN để EF có độ dài nhỏ tính GTNN - HẾT - PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC ĐỀ DỰ BỊ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 MƠN THI TỐN LỚP (Hướng dẫn chấm có ……… trang) Câu 1: (2,5 điểm) Tìm tất cặp số nguyên ( m, n ) cho 2n3 − mn − 3n + 14n − 7m − = Lời giải: 2n3 − mn − 3n + 14n − m − = ⇔ m = 2n − + Ta có: Vì m, n ∈ ¢ Từ (1) (2) suy được: Câu 2: (1) n + ∈U (16) ⇒ n + ∈ { 8;16} ⇒ n ∈ { 1;9} ⇒ n ∈ { ±1; ±3} nên 16 n +7 2 (2) (m, n) = { (1;1), (−3; −1);(4;3), (−8; −3)} (7,5 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Rút gọn biểu thức: x −1 2x − x x −1 A = + ÷ ÷: x + 1 − x x − x + x − 2014 + x − 2016 + y − 2016 + x = 2016 b) A= c) Tìm GTNN biểu thức: 3− x x +1 x+y+z=1 x, y , z d) Cho số không âm A= x+y + y+z + z+x ≤ CMR: Lời giải: a)Rút gọn x −1 2x − x x −1 A = + ÷ ÷: 1− x x − x +1 x +1 = (2 x − 1)( x − x + 1) + x (2 x − 1)(1 − x ) x + × (1 − x )( x − x + 1) x −1 = (2 x − 1)( x − x + + x − x)( x + 1)( x − x + 1) x +1 = (1 − x )( x − x + 1)(2 x − 1) 1− x x − 2014 + x − 2016 + y − 2016 + x = 2016 b) (1) x − 2016 + x = 2016 − x + x ≥ x + 2016 − x = 2016 Ta có: (2) Chỉ dấu « = » xảy ≤ x ≤ 2016 (*) x − 2014 + y − 2016 = Từ (1) (2) suy được: Lập luận suy được: x − 2014 = x = 2014 ⇒ y − 2016 = y = 2016 Đối chiếu ĐK (*) kết luận nghiệm A= c) Tìm GTNN biểu thức: A= Liên hệ tài 039.373.2038 3− x x +1 ĐK: x≥0 − x ( x − x − 4) − ( x + 1) ( x − 2) = = −1 ≥ −1 x +1 x +1 x +1 liệu word mơn tốn: (vì x≥0 ) TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Chỉ được: A = −1 x=4 (tmđk) d) Áp dụng BĐT Bunhiakopski có ( A2 = x + y + y + z + z + x ≤ ( 12 + 12 + 12 ) (( x + y ) +( y + z ) ) +( z + x ) ) = 3.2( x + y + z ) = ( x + y + z = 1) A≤ Suy Câu 3: a=b=c= (2,0 điểm) Cho tam giác tam giác) ABC có chu vi Chứng minh : 2p = a +b+c a , b, c ( độ dài ba cạnh 1 1 1 + + ≥ + + ÷ p −a p −b p −c a b c Lời giải: p−a = Chỉ được: b+c−a > 0; p − b > 0; p − c > Áp dụng BĐT Cơ si ta có : 1 + =4 ÷ ≥ ( p − a )( p − b) ( p − a )( p − b) p−a p −b [ ( p − a ) + ( p − b) ] 1 4 + ≥ = p −a p −b p −a + p−b c Suy được: Tương tự: 1 1 + ≥ ; + ≥ p −b p −c a p −c p −a b Suy được: 1 1 1 + + ÷ ≥ + + ÷ a b c p − a p −b p −c Suy đpcm dấu “=” xảy Câu 4: a = b = c (5,0 điểm) Cho tam giác tam giác Liên hệ tài 039.373.2038 ABC ABC M liệu , word nội tiếp đường tròn tiếp điểm mơn tốn: AB ( O; R ) Gọi ( I;r ) với đường tròn đường tròn nội tiếp ( I;r ) ; H giao điểm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ( O) AI với đường tròn Gọi a độ dài đoạn AMI a) Tam giác b) ( O; R ) HB = HI H ( OI khác A HK ), đường kính đường tròn Chứng minh: tam giác KCH đồng dạng IA.IH = R − a 2 c) d) R − Rr = a Lời giải: K A 12 E M I O F B C H a) Chứng minh tam giác - Chứng minh Do c) Gọi - Suy ra: liệu ∆KCH tam giác vng (đpcm) $ µ1+B µ 1; IBH · µ +B µ3 =B µ1+A µ1 I1 = A =B (đpcm) đường kính - Nêu được: Liên hệ tài 039.373.2038 ∆AMI ∽ ∆KCH $ · I1 = IBH ⇒ HB = HI EF µ1=A µ2 =K µ A - Suy tam giác b) Chứng minh ∆AMI IA.IH = IE.IF ( O) qua I (hệ thức đường tròn) IA.IH = ( R – a ) ( R + a ) = R − a word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com d) Vì Mà ∆AMI ∽ ∆KCH HB = HC IA IM = ⇒ IA.HC = HK IM = Rr HK HC (Từ câu a) nên µ1=A µ ⇒ HC = HI A (do ) 2 Kết hợp câu c), thay vào (*) ta có: R – a = 2Rr Câu 5: (*) ⇒ R − 2Rr = a (đpcm) (3,0 điểm) (C ) Cho đường trịn đường kính K đường tròn thay đổi ( đường tròn, ( d) E MN N M khác PQ = R PQ ) Qua vẽ đường thẳng ( d) MN A MN tiếp tuyến QFE đồng dạng với tam giác b) Tìm vị trí đường kính O H R P QM QN E F I cắt và F QMN a) Chứng minh tam giác theo cố định đường kính EF để B có độ dài nhỏ tính GTNN Lời giải: P E M F C N Q a) Chứng minh được: Chỉ được: b) Xét QM QE = QN QF ( = PQ ) ⇒ QM QN = QF QE ∆QMN ∽ ∆QFE (c.g.c) ∆QFE Q vng có PQ ⊥ EF (gt) (1) ⇒ PQ = PE.PF (hệ thức 2) PE.PF = ( R ) = R 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số EP, PF > ta có EF = EP + PF ≥ EP.PF = R = R ⇒ EF Liên hệ tài 039.373.2038 nhỏ liệu word 4R mơn EP = PF tốn: (2) TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Từ (1) (2) ⇒ ∆QEF Q cân PQ có đường cao đồng thời phân giác PMQN Chỉ ⇒ PMQN Vậy hình chữ nhật hình vng MN ⊥ PQ EF ⇒ MN ⊥ PQ có độ dài nhỏ 4R - HẾT - Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... 1) (2 x − 1) 1− x x − 20 14 + x − 20 16 + y − 20 16 + x = 20 16 b) (1) x − 20 16 + x = 20 16 − x + x ≥ x + 20 16 − x = 20 16 Ta có: (2) Chỉ dấu « = » xảy ≤ x ≤ 20 16 (*) x − 20 14 + y − 20 16 = Từ (1) (2) ... HỌC 20 16 – 2 017 MƠN THI TỐN LỚP (Hướng dẫn chấm có ……… trang) Câu 1: (2, 5 điểm) Tìm tất cặp số nguyên ( m, n ) cho 2n3 − mn − 3n + 14n − 7m − = Lời giải: 2n3 − mn − 3n + 14n − m − = ⇔ m = 2n... − 20 14 = x = 20 14 ⇒ y − 20 16 = y = 20 16 Đối chiếu ĐK (*) kết luận nghiệm A= c) Tìm GTNN biểu thức: A= Liên hệ tài 039.373 .20 38 3− x x +1 ĐK: x≥0 − x ( x − x − 4) − ( x + 1) ( x − 2)
Ngày đăng: 30/10/2022, 22:52
Xem thêm:
