Website:tailieumontoan.com PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017 HUYỆN XUN MỘC Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Khóa thi, ngày 10 tháng 01 năm 2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (3,0 điểm) A 62015 1 B 62016 bội a) Chứng minh số 102016 A 2017 10 11 b) So sánh Câu 2: 102016 B 2017 10 (5,5 điểm) P a) Rút gọn biểu thức: x x 1 x 3 x x 6 x x với x 0;x 4;x 9 \ b) Tìm giá trị lớn biểu thức: 2016 x x 2016 Q x2 1 2 c) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x y 74 Câu 3: (3,5 điểm) a) Trên mặt phẳng Oxy , m x m 3 y 1 đến đường thẳng cho đường thẳng phương trình ( m tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ d lớn b) Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: Câu 4: d có 1 a b c 2 a b b c c a (5,5 điểm) Cho nửa đường trịn (O) , đường kính AB 2 R Lấy điểm M nửa đường tròn ( M khác A B ); tiếp tuyến A M nửa đường tròn (O) cắt K Gọi E giao điểm AM OK a) Chứng minh OE.OK không đổi M di chuyển nửa đường trịn b) Qua O kẻ đường vng góc với AB cắt BK I cắt đường thẳng BM N Chứng minh: IN IO c) Vẽ MH vng góc với AB H Gọi F giao điểm BK MH Chứng minh: EF // AB Câu 5: (2,5 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com O; R Một điểm P chạy Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn cung nhỏ AB ( P khác A B ) Chứng minh tổng khoảng cách từ P đến A từ P đến B khơng lớn đường kính đường tròn O; R - HẾT - Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com PHỊNG GD&ĐT XUYÊN MỘC ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 MƠN THI TỐN LỚP (Hướng dẫn chấm có ……… trang) Câu 1: (3,0 điểm) a) Chứng minh số 102016 A 2017 10 11 b) So sánh A 62015 1 B 62016 bội 102016 B 2017 10 Lời giải a) Ta có: A 62015 16 1 77 B 62016 62 1013 162 357 10.(102016 1) 102017 11 1 A 1 2017 2017 2017 10 11 10 11 10 11 b) Ta có: 10 10.(102016 1) 102017 1 B 1 2017 2017 2017 10 10 10 10 Ta thấy 10 1 2017 2017 11 10 (*) (**) nên từ (*) (**) 10A > 10B A > B Câu 2: (5,5 điểm) P a) Rút gọn biểu thức: x x 1 x 3 x x 6 x x với x 0; x 4; x 9 \ b) Tìm giá trị lớn biểu thức: Q 2016 x x 2016 x2 1 2 c) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x y 74 Lời giải P a) Rút gọn x9 x 1 x 3 x x 6 x 2 x P x (2 x 1)( x 2) ( x 3)( x 3) ( x 2)( x 3) P x x ( x 2)( x 1) x 1 ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) x3 b) Tìm giá trị lớn nhất: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 2016 x x 2016 (2017 x 2017) ( x x 1) x2 1 x2 1 2017( x 1) ( x 1) ( x 1) 2017 (*) x2 1 x2 1 x2 1 Q ( x 1) 2 Vì x 0 nên từ (*) Q 2017 Dấu “=” xảy ( x 1) 0 x 0 x 1 x2 1 Vậy max Q = 2017 x 1 2 c) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x y 74 Cách 1: 2 2 2 Ta có: x y 74 x 24 50 – y 6( x 4) 5(10 – y ) (*) 2 Từ (*) suy ra: 6( x 4) , Mà UCLN (6,5) 1 nên x 2 Đặt x 5t ( t ) x 5t thay vào (*) y 10 6t x x 5t y 10 6t y Vì t 5 t t t 0 t 1 Khi t = thì y 10 (loại vì y ) Khi t = thì x 0, y ) x 9 y 4 x 3 y 2 (vì nghiệm nguyên dương nên lấy Cách 2: 2 2 2 Ta có: x y 74 x 24 50 – y 6( x 4) 5(10 – y ) (*) 2 Từ (*) suy ra: 6( x 4) , Mà UCLN (6,5) 1 nên x x 5 x (**) 2 2 Từ x 74 x 12 , Kết hợp (**) x 4 x 9 Khi x 4 thì y 10 (loại vì y ) Khi x 9 thì y 4 ( x 3, y 2 ) (vì x 0, y ) Câu 3: (3,5 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Trên mặt phẳng Oxy , m x m 3 y 1 đến đường thẳng cho đường d có thẳng phương trình ( m tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ d lớn b) Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: 1 a b c 2 a b b c c a Lời giải a) Xét pt: m x m 3 y 1 m m 3 0 1 nên d qua O 0;0 d O 0;0 + Với m 4 ta y 1 nên khoảng cách từ đến Ta thấy: y 1 d O 0;0 + Với m 3 ta x nên khoảng cách từ đến x 1 A ,0 d m 3; m + Với thì cắt Ox m cắt Oy B 0, m 3 d d Kẻ OH vng góc với H; ta có khoảng cách từ đến O 0;0 OH Dựa vào OAB vuông O 7 1 (m 4)2 (m 3) 2 m OH 2 2 Suy được: OH Suy khoảng cách từ O đến (d) lớn OH m b)Vì a, b, c số dương (gt) nên ta có: a a ac a b c a b a b c (1) b b ba a b c b c b c a (2) c c c b a b c c a c a b (3) Cộng vế (1), (2) (3), ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: 1 a b c 2 a b b c c a (đpcm) TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 4: (5,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O) , đường kính AB 2 R Lấy điểm M nửa đường tròn ( M khác A B ); tiếp tuyến A M nửa đường tròn (O) cắt K Gọi E giao điểm AM OK a) Chứng minh OE.OK không đổi M di chuyển nửa đường tròn b) Qua O kẻ đường vng góc với AB cắt BK I cắt đường thẳng BM N Chứng minh: IN IO c) Vẽ MH vng góc với AB H Gọi F giao điểm BK MH Chứng minh: EF // AB N K M I E A O F H B Lời giải a) Chứng minh OK AM E 2 Dựa vào OAK vuông A OE.OK OA R không đổi b) Chứng minh được: OK // BN ( AM) Chứng minh được: AOK OBN (g.c.g) OK BN Suy OBNK hình bình hành từ suy được: IN IO HB MB HB MB AO OK (1) c) Chứng minh AOK ∽ HBM AO OK 2 Chỉ MB HB AB OA OE.OK (câu a) (2) HB HB AB HB AB HB OE OK OE OK AB OK Từ (1) (2) suy OK OE HB FB Chứng minh AB BK (4) (3) FB OE Từ (3) (4) suy KB OK EF // OB // AB (đl Ta let) Câu 5: (2,5 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com O; R Một điểm P chạy Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn cung nhỏ AB ( P khác A B ) Chứng minh tổng khoảng cách từ P đến A từ P đến B không lớn đường kính đường trịn O; R Lời giải A 13 P O B Q C - Vì ABC đều, P AB nên AP PC Lấy điểm Q PC cho PQ PA 600 o APQ P Ta thấy APQ cân có (chắn cung 120 ) nên APQ AP AQ PQ - Chứng minh APB AQC (c.g c ) PB QC O; R nên PC 2 R Từ PA PB PQ QC PC Mà PC dây Chứng tỏ tổng khoảng cách từ P đến A từ P đến B khơng lớn đường kính đường trịn O; R (đpcm) - HẾT - Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC