Website:tailieumontoan.com UBND HUYỆN XUYÊN MỘC THCS KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC NĂM HỌC 2016 – 2017 MƠN THI: TỐN Thời gian làm thi 150 phút ĐỀ DỰ BỊ Câu 1: (2,5 điểm) Tìm tất cặp số nguyên Câu 2: m, n 2 cho 2n mn 3n 14n m 0 (7,5 điểm) x 2x x x A : x x x x a) Rút gọn biểu thức: b) x 2014 x 2016 y 2016 x 2016 c) Tìm GTNN biểu thức: A 3 x x 1 d) Cho x, y, z số không âm x + y + z = CMR: x+y + Câu 3: y+z + z+x (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi p a b c ( a, b, c độ dài ba cạnh tam giác) 1 1 1 2 a b c Chứng minh : p a p b p c Câu 4: (5,0 điểm) O; R Gọi I ; r đường tròn nội tiếp Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn I ; r ; H giao điểm tam giác ABC , M tiếp điểm AB với đường tròn AI với đường tròn O; R ( H khác A ), HK đường kính đường trịn O Gọi a độ dài đoạn OI Chứng minh: a) Tam giác AMI tam giác KCH đồng dạng b) HB HI 2 c) IA.IH R a 2 d) R Rr a Câu 5: (3,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Cho đường trịn (C ) đường kính PQ 2 R cố định đường kính MN d tiếp tuyến đường tròn thay đổi ( MN khác PQ ) Qua P vẽ đường thẳng d cắt QM QN E F a) Chứng minh tam giác QMN đồng dạng với tam giác QFE b) Tìm vị trí đường kính MN để EF có độ dài nhỏ tính GTNN theo R đường trịn, - HẾT - PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC ĐỀ DỰ BỊ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 MƠN THI TỐN LỚP (Hướng dẫn chấm có ……… trang) Câu 1: (2,5 điểm) Tìm tất cặp số nguyên m, n 2 cho 2n mn 3n 14n m 0 Lời giải: Ta có: 2n3 mn 3n 14n m 0 m 2n 16 n 7 (1) n U (16) n 8;16 n 1;9 n 1; 3 Vì m, n nên (2) Từ (1) (2) suy được: (m, n) (1;1), ( 3; 1);(4;3), ( 8; 3) Câu 2: (7,5 điểm) x 2x x x A : x x x x a) Rút gọn biểu thức: b) x 2014 x 2016 y 2016 x 2016 c) Tìm GTNN biểu thức: A 3 x x 1 d) Cho x, y, z số không âm x + y + z = CMR: A x+y + y+z + z+x Lời giải: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x 2x x x A : x x x x 1 a)Rút gọn (2 x 1)( x x 1) x (2 x 1)(1 (1 x )( x x 1) b) x) x3 1 x1 (2 x 1)( x x x x)( x 1)( x (1 x )( x x 1)(2 x 1) x 2014 x 2016 y 2016 x 2016 x 1 1 x (1) x 2016 x 2016 x x x 2016 x 2016 Ta có: x 1) (2) Chỉ dấu « = » xảy x 2016 (*) Từ (1) (2) suy được: x 2014 y 2016 0 x 2014 0 x 2014 y 2016 y 2016 Lập luận suy được: Đối chiếu ĐK (*) kết luận nghiệm c) Tìm GTNN biểu thức: A 3 x x 1 ĐK: x 0 x ( x x 4) ( x 1) ( x 2) 1 1 x 1 x 1 x 1 (vì x 0 ) Chỉ được: A x 4 (tmđk) A d) Áp dụng BĐT Bunhiakopski có x y y z A2 x y y z z x 2 2 2 z x 3.2( x y z ) 6 x y z 1 a b c Suy A Câu 3: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi p a b c ( a, b, c độ dài ba cạnh tam giác) 1 1 1 2 a b c Chứng minh : p a p b p c Lời giải: Chỉ được: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu p a word b c a 0; p b 0; p c mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Áp dụng BĐT Cơ si ta có : 1 4 2 ( p a)( p b) ( p a )( p b) p a p b ( p a ) ( p b) 1 4 Suy được: p a p b p a p b c 1 1 ; Tương tự: p b p c a p c p a b 1 1 1 4 p a p b p c a b c Suy được: Suy đpcm dấu “=” xảy a b c Câu 4: (5,0 điểm) O; R Gọi I ; r đường tròn nội tiếp Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn I ; r ; H giao điểm tam giác ABC , M tiếp điểm AB với đường tròn AI với đường tròn O; R ( H khác A ), HK đường kính đường tròn O Gọi a độ dài đoạn OI Chứng minh: a) Tam giác AMI tam giác KCH đồng dạng b) HB HI 2 c) IA.IH R a 2 d) R Rr a Lời giải: K A 12 M E I O F B C H a) Chứng minh tam giác AMI KCH tam giác vuông - Chứng minh A1 A K Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com - Suy tam giác AMI ∽ KCH (đpcm) b) Chứng minh I1 A1 B1 ; IBH B2 B3 B1 A1 Do I1 IBH HB HI (đpcm) O qua I c) Gọi EF đường kính - Nêu được: IA.IH IE.IF (hệ thức đường tròn) - Suy ra: IA.IH R – a R a R a IA IM IA.HC HK IM 2 Rr (*) d) Vì AMI ∽ KCH (Từ câu a) nên HK HC Mà HB HC (do A1 A ) HC HI 2 Kết hợp câu c), thay vào (*) ta có: R – a2 = 2Rr R 2Rr a (đpcm) Câu 5: (3,0 điểm) Cho đường tròn (C ) đường kính PQ 2 R cố định đường kính MN d tiếp tuyến đường tròn thay đổi ( MN khác PQ ) Qua P vẽ đường thẳng d cắt QM QN E F a) Chứng minh tam giác QMN đồng dạng với tam giác QFE đường trịn, b) Tìm vị trí đường kính MN để EF có độ dài nhỏ tính GTNN theo R Lời giải: P E M F C N Q a) Chứng minh được: QM QE QN QF PQ QM QN QF QE Chỉ được: QMN ∽ QFE (c.g c ) b) Xét QFE vng Q có PQ EF (gt) (1) PQ PE.PF (hệ thức 2) PE.PF R 4 R Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số EP, PF > ta có EF EP PF EP.PF 2 4R 4 R Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com EF nhỏ 4R EP PF (2) Từ (1) (2) QEF cân Q có PQ đường cao đồng thời phân giác Chỉ PMQN hình chữ nhật PMQN hình vuông MN PQ Vậy MN PQ EF có độ dài nhỏ 4R - HẾT - Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC