95 hsg 17 xuyen moc de 2 hoang sanh

Website:tailieumontoan.com UBND HUYỆN XUYÊN MỘC THCS KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC NĂM HỌC 2016 – 2017 MƠN THI: TỐN Thời gian làm thi 150 phút ĐỀ DỰ BỊ Câu 1: (2,5 điểm) Tìm tất cặp số nguyên Câu 2:  m, n  2 cho 2n  mn  3n  14n  m  0 (7,5 điểm)  x  2x  x  x  A   :  x x  x   x   a) Rút gọn biểu thức: b) x  2014  x  2016  y  2016  x 2016 c) Tìm GTNN biểu thức: A 3 x x 1 d) Cho x, y, z số không âm x + y + z = CMR: x+y + Câu 3: y+z + z+x  (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi p a  b  c ( a, b, c độ dài ba cạnh tam giác) 1  1 1   2     a b c Chứng minh : p  a p  b p  c Câu 4: (5,0 điểm)  O; R  Gọi  I ; r  đường tròn nội tiếp Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  I ; r  ; H giao điểm tam giác ABC , M tiếp điểm AB với đường tròn AI với đường tròn  O; R  ( H khác A ), HK đường kính đường trịn  O  Gọi a độ dài đoạn OI Chứng minh: a) Tam giác AMI tam giác KCH đồng dạng b) HB  HI 2 c) IA.IH R  a 2 d) R  Rr a Câu 5: (3,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Cho đường trịn (C ) đường kính PQ 2 R cố định đường kính MN  d  tiếp tuyến đường tròn thay đổi ( MN khác PQ ) Qua P vẽ đường thẳng  d  cắt QM QN E F a) Chứng minh tam giác QMN đồng dạng với tam giác QFE b) Tìm vị trí đường kính MN để EF có độ dài nhỏ tính GTNN theo R đường trịn, - HẾT - PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC ĐỀ DỰ BỊ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 MƠN THI TỐN LỚP (Hướng dẫn chấm có ……… trang) Câu 1: (2,5 điểm) Tìm tất cặp số nguyên  m, n  2 cho 2n  mn  3n  14n  m  0 Lời giải: Ta có: 2n3  mn  3n  14n  m  0  m 2n   16 n 7 (1) n   U (16)  n    8;16  n   1;9  n   1; 3 Vì m, n   nên (2) Từ (1) (2) suy được: (m, n)  (1;1), ( 3;  1);(4;3), (  8;  3) Câu 2: (7,5 điểm)  x  2x  x  x  A   :  x x  x   x   a) Rút gọn biểu thức: b) x  2014  x  2016  y  2016  x 2016 c) Tìm GTNN biểu thức: A 3 x x 1 d) Cho x, y, z số không âm x + y + z = CMR: A x+y + y+z + z+x  Lời giải: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  x  2x  x  x  A    :  x x  x    x 1 a)Rút gọn  (2 x  1)( x  x  1)  x (2 x  1)(1  (1  x )( x  x  1)  b) x) x3 1  x1 (2 x  1)( x  x   x  x)( x  1)( x  (1  x )( x  x  1)(2 x  1) x  2014  x  2016  y  2016  x 2016 x 1  1 x (1) x  2016  x  2016  x  x  x  2016  x 2016 Ta có: x  1) (2) Chỉ dấu « = » xảy x 2016 (*) Từ (1) (2) suy được: x  2014  y  2016 0  x  2014 0  x 2014    y  2016   y 2016  Lập luận suy được:  Đối chiếu ĐK (*) kết luận nghiệm c) Tìm GTNN biểu thức: A 3 x x 1 ĐK: x 0  x ( x  x  4)  ( x  1) ( x  2)   1  1 x 1 x 1 x 1 (vì x 0 ) Chỉ được: A  x 4 (tmđk) A d) Áp dụng BĐT Bunhiakopski có         x  y    y  z    A2  x  y  y  z  z  x 2 2 2 z  x   3.2( x  y  z ) 6  x  y  z 1 a b c  Suy A  Câu 3: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi p a  b  c ( a, b, c độ dài ba cạnh tam giác) 1  1 1   2     a b c Chứng minh : p  a p  b p  c Lời giải: Chỉ được: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu p a  word b c  a  0; p  b  0; p  c  mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Áp dụng BĐT Cơ si ta có : 1   4  2 ( p  a)( p  b) ( p  a )( p  b)  p a p b   ( p  a )  ( p  b)   1 4    Suy được: p  a p  b p  a  p  b c 1 1   ;   Tương tự: p  b p  c a p  c p  a b  1   1 1     4     p a p b p c  a b c Suy được:  Suy đpcm dấu “=” xảy a b c Câu 4: (5,0 điểm)  O; R  Gọi  I ; r  đường tròn nội tiếp Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  I ; r  ; H giao điểm tam giác ABC , M tiếp điểm AB với đường tròn AI với đường tròn  O; R  ( H khác A ), HK đường kính đường tròn  O  Gọi a độ dài đoạn OI Chứng minh: a) Tam giác AMI tam giác KCH đồng dạng b) HB  HI 2 c) IA.IH R  a 2 d) R  Rr a Lời giải: K A 12 M E I O F B C H a) Chứng minh tam giác AMI KCH tam giác vuông    - Chứng minh A1 A K Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com - Suy tam giác AMI ∽ KCH (đpcm)         b) Chứng minh I1 A1  B1 ; IBH B2  B3 B1  A1   Do I1 IBH  HB HI (đpcm)  O  qua I c) Gọi EF đường kính - Nêu được: IA.IH IE.IF (hệ thức đường tròn) - Suy ra: IA.IH  R – a   R  a  R  a IA IM   IA.HC HK IM 2 Rr (*) d) Vì AMI ∽ KCH (Từ câu a) nên HK HC   Mà HB HC (do A1 A )  HC HI 2 Kết hợp câu c), thay vào (*) ta có: R – a2 = 2Rr  R  2Rr a (đpcm) Câu 5: (3,0 điểm) Cho đường tròn (C ) đường kính PQ 2 R cố định đường kính MN  d  tiếp tuyến đường tròn thay đổi ( MN khác PQ ) Qua P vẽ đường thẳng  d  cắt QM QN E F a) Chứng minh tam giác QMN đồng dạng với tam giác QFE đường trịn, b) Tìm vị trí đường kính MN để EF có độ dài nhỏ tính GTNN theo R Lời giải: P E M F C N Q a) Chứng minh được: QM QE QN QF  PQ   QM QN  QF QE Chỉ được: QMN ∽ QFE (c.g c ) b) Xét QFE vng Q có PQ  EF (gt) (1)  PQ PE.PF (hệ thức 2) PE.PF  R  4 R Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số EP, PF > ta có EF EP  PF  EP.PF 2 4R 4 R Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  EF nhỏ 4R EP PF (2) Từ (1) (2)  QEF cân Q có PQ đường cao đồng thời phân giác Chỉ PMQN hình chữ nhật  PMQN hình vuông  MN  PQ Vậy MN  PQ EF có độ dài nhỏ 4R - HẾT - Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC