HD: Lời giải bài toán này tương đối đơn giản... os 2 R sin sin sin Qua đây tôi muốn nói với các bạn rằng: nếu chịu khótìm tòi suy nghĩ thì các bạn sẽ có thể tạo ra nhiều bài toán hay từ
Trang 1Bùi Văn Đắc THPT Yên Phong 1 – Bắc Ninh
TỪ MỘT BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN
Bài toán mở đầu: Xác định dạng của tam giác ABC biết:
(p – a)sin2A + (p – b)sin2B = c.sinA.sinB (*), trong đó:
2
a b c
p
HD: Lời giải bài toán này tương đối đơn giản
Ta dễ dàng tính được VT(*) – VP(*) = 2
8
a b a b c R
Vậy VT(*) = VP(*) khi và chỉ khi a = b, tức là tam giác ABC cân tại C
Phân tích bài toán: Ta dễ dàng chứng minh được kết quả sau:
p a r p b r
Thay vào (*) ta được: cot sin2 cot sin2 (cot cot )sin sin
cot sin cot sin cot cot sin sin
Vậy ta có bài toán 1: Xác định dạng của tam giác ABC biết:
cot sin cot sin cot cot sin sin
Mặt khác ta có thể biến đổi (*) theo hướng khác:
(*) cot sin2 cot sin2 sin sin
cot sin2 cot sin2 2 sin sin sin
(2 sin )cot sin (2 sin )cot sin 4 2 sin sin sin
r
cot 2sin osA cot 2sin osB 4 2 sin sin sin
r
os2 A os2 B 2 2sin sin sin
r
Vậy ta có bài toán toán 2: Xác định dạng của tam giác ABC biết:
2
2 A 2 B 2 os os sin sin sin
r
Mặt khác ta có: 2 sin ¸cinB sinA.sinB= 4S22
abc
Dó đó (**)
2
2 2
4 cot sin2 cot sin2
4 cot sin cot sin
4 cot sin cot sin cot sin cot sin ( )
abc
cot sinA2 A cot sinB2 B sinA sinB sinC
Vậy ta có bài toán 3: Xác định dạng của tam giác ABC biết:
cot sin cot sin
R
cot sinA2 A cot sinB2 B sinA sinB sinC
Ta lại có: (3) 2 sin cot sin 2 sin cot sin
.2 os 2 os (1 osA)+b(1+cosB)=a+b+c
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Trang 2Bùi Văn Đắc THPT Yên Phong 1 – Bắc Ninh
osA+bcosB=c
ac
Vậy ta có bài toán 4: Xác định dạng của ABC biết:
osA+bcosB=c
ac (4) hoặc acos2A2 bcos2B2 a b c 2 (4*) Mặt khác khi chứng minh bài toán mở đầu ta phát hiện ra một điều khá thú vị là:
VT(*) VP(*), tức là: (p a )sin2A (p b)sin2B c sin sinA B
Căn cứ vào đó và vào việc biến đổi tương đương (*) đến các đẳng thức (2),(3),(4),(4*) ta có các nhóm BĐT sau:
Nhóm 1: (p a )sin2A (p b)sin2B2 sin sin sinR A B C
Hoàn toàn tương tự, ta có:
(p b )sin B (p c)sin C 2 sin sin sinR A B C
(p c )sin C (p a)sin A2 sin sin sinR A B C
Nhóm 2: os2 A os2 B 2 2 sin sin sin
r
Hoàn toàn tương tự ta có:
2
2B 2C 2 os os sin sin sin
r
2
2C 2 A 2 os os sin sin sin
r
Nhóm 3: cot sinA2 2Acot sinB2 2BsinAsinBsinC
Hoàn toàn tương tự, ta có:
cot sin cot sin sin sin sin
cot sin cot sin sin sin sin
Nhóm 4: ac osA+bcosB c bc osB+ccosC a cc osC+acosA b
Từ các nhóm BĐT trên ta có các bài toán sau:
Bài toán 5: Xác định dạng của ABC biết:
(p a )sin A (p b)sin B (p c)sin C 3 sin sin sinR A B C
Bài toán 6: Xác định dạng của ABC biết:
2
2 A 2 B 2C 3 os os os sin sin sin
r
Bài toán 7: Xác định dạng của ABC biết:
a+b+c osA+b.cosB+c.cosC=
2
Bài toán 8 : Xác định dạng của ABC biết:
cot sin cot sin cot sin (sin sin sin )
Ta có: 3sin sin sinA B C sin3Asin3Bsin3C ( BĐT Cauchy ) Vậy căn cứ vào đó và vào bài toán 6 ta có
Bài toán 9: Xác định dạng của ABC biết:
2
os 2 os 2 os 2 R sin sin sin
Qua đây tôi muốn nói với các bạn rằng: nếu chịu khótìm tòi suy nghĩ thì các bạn sẽ có thể tạo ra nhiều bài toán hay từ những bài toán đơn giản
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com