Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 22 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
22
Dung lượng
309,11 KB
Nội dung
Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượnggiác
Chương 4 Mộtsốchuyên ñề bài viết hay,thú vị
liên quan ñến bất ñẳng thức và lượnggiác
The Inequalities Trigonometry
77
Chương 4 :
M
ột sốchuyên ñề bài viết hay,
thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức và
lượng giác
ðúng như tên gọi của mình, chương này sẽ bao gồm các bài viết chuyên ñề về bất ñẳng
thức và lượng giác. Tác giả của chúng ñều là các giáo viên, học sinh giỏi toán mà tác giả
ñánh giá rất cao. Nội dung của các bài viết chuyên ñề ñều dễ hiểu và mạch lạc. Bạn ñọc
có thể tham khảo nhiều kiến thức bổ ích từ chúng. Vì khuôn khổ chuyên ñề nên tác giả
chỉ tập hợp ñược mộtsốbài viết thật sự là hay và thú vị :
Mục lục :
Xung quanh bàitoán Ecdôs trong tam giác ……………………………………….78
Ứng dụng của ñại số vào việc phát hiện và chứng minh bất ñẳng thức trong tam
giác…………………………………………………………………………………82
Thử trở về cội nguồn của môn Lượng giác……………………………… 91
Phương pháp giải mộtdạng bất ñẳng thức lượnggiác trong tam giác…… 94
Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượnggiác
Chương 4 Mộtsốchuyên ñề bài viết hay,thú vị
liên quan ñến bất ñẳng thức và lượnggiác
The Inequalities Trigonometry
78
Xung quanh bàitoán Ecdôs trong tam giác
Nguyễn Văn Hiến
(Thái Bình)
Bất ñẳng thức trong tam giác luôn là ñề tài rất hay. Trong bài viết nhỏ này, chúng ta
cùng trao ñổi vềmột bất ñẳng thức quen thuộc : Bất ñẳng thức Ecdôs.
Bài toán 1 : Cho một ñiểm
M
trong
ABC
∆
. Gọi
cba
RRR ,, là khoảng cách từ
M
ñến
CBA ,, và
cba
ddd ,, là khoảng cách từ
M
ñến ABCABC ,, thì :
(
)
(
)
EdddRRR
cbacba
++≥++ 2
Giải : Ta có :
a
bdcd
a
SS
a
SS
dhR
bc
AMCAMB
BMCABC
aaa
+
=
+
=
−
=−≥
22
22
B
ằng cách lấy ñối xứng M qua phân giác góc A
T
ương tự :
( )
1
+
≥
+
≥
+
≥⇒
c
bdad
R
b
cdad
R
a
cdbd
R
ab
c
ac
b
bc
a
( )
⇒++≥
++
++
+≥++⇒
cbacbacba
ddd
a
b
b
a
d
a
c
c
a
d
b
c
c
b
dRRR 2
ñ
pcm.
Th
ự
c ra
(
)
E
chỉ là
tr
ườ
ng h
ợ
p riêng
củ
a t
ổ
ng
quá
t sau :
Bài toán 2 : Chứng minh rằng :
(
)
(
)
22
k
c
k
b
k
a
k
k
c
k
b
k
a
dddRRR ++≥++
với
01
>
≥
k
Giải : Trước hết ta chứng minh :
Bổ ñề 1 :
0,
>
∀
yx và 01
>
≥
k thì :
(
)
(
)
(
)
Hyxyx
kkk
k
+≥+
−1
2
Chứng minh :
( ) ( ) ( )
( )
0121121
11
≥+−+=⇔
+≥
+⇔
−− kk
k
k
k
k
k
aaaf
y
x
y
x
H
với 0>= a
y
x
Vì
(
)
(
)
(
)
[
]
021'
11
=−+=
−− kk
aakaf
1
=
⇔
a
hoặc
1
=
k
. Với
1
=
k
thì
(
)
H
là ñẳng thức
ñúng.
Do
0
>
a
và
01
>
>
k
thì ta có :
(
)
00 >∀≥ aaf
và
01
>
>
k
Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượnggiác
Chương 4 Mộtsốchuyên ñề bài viết hay,thú vị
liên quan ñến bất ñẳng thức và lượnggiác
The Inequalities Trigonometry
79
(
)
H⇒
ñược chứng minh.
Trở lại bàitoán 2 :
Từ hệ
(
)
1
ta có :
+
≥
+≥
−
k
b
k
c
k
k
bc
k
a
a
cd
a
bd
a
cd
a
bd
R
1
2
( Áp dụng bổ ñề
(
)
H
với
a
cd
y
a
bd
x
bc
== ; )
Tương tự :
+
≥
+
≥
−
−
k
a
k
b
k
k
c
k
a
k
c
k
k
b
c
bd
c
ad
R
b
cd
b
ad
R
1
1
2
2
( )
k
c
k
b
k
a
k
kk
k
c
kk
k
b
kk
k
a
k
k
c
k
b
k
a
ddd
a
b
b
a
d
a
c
c
a
d
b
c
c
b
dRRR
++≥
+
+
+
+
+
≥++⇒
−
2
2
1
⇒
ñpcm.
ðẳng thức xảy ra khi
ABC
∆
ñều và M là tâm tam giác. Áp dụng
(
)
E
ta chứng minh
ñược bàitoán sau :
Bài toán 3 : Chứng minh rằng :
( )
3
111
2
111
++≥++
cbacba
RRRddd
Giải : Thực hiện phép nghịch ñảo tâm M, phương tích ñơn vị ta ñược :
=
=
=
c
b
a
R
MC
R
MB
R
MA
1
*
1
*
1
*
và
=
=
=
c
b
a
d
MC
d
MB
d
MA
1
''
1
''
1
''
Áp dụng
(
)
E
trong '''''' CBA
∆
:
(
)
++≥++⇔
+
+
≥
+
+
cbacba
RRRddd
MCMBMAMCMBMA
111
2
111
***2''''''
⇒
ñpcm.
Mở rộng kết quả này ta có bàitoán sau :
Bài toán 4 : Chứng minh rằng :
(
)
(
)
42
k
c
k
b
k
a
k
c
k
b
k
a
k
RRRddd ++≥++
Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượnggiác
Chương 4 Mộtsốchuyên ñề bài viết hay,thú vị
liên quan ñến bất ñẳng thức và lượnggiác
The Inequalities Trigonometry
80
với
10
−
≥
>
k
Hướng dẫn cách giải : Ta thấy
(
)
4
dễdàng ñược chứng minh nhờ áp dụng
(
)
2
trong
phép biến hình nghịch ñảo tâm M, phương tích ñơn vị. ðẳng thức xảy ra khi
ABC
∆
ñều
và M là tâm tam giác.
Bây giờ với
1
>
k
thì từ hệ
(
)
1
ta thu ñược ngay :
Bài toán 5 : Chứng minh rằng :
(
)
(
)
52
222222
cbacba
dddRRR ++>++
Xuất phát từ bàitoán này, ta thu ñược những kết quả tổng quát sau :
Bài toán 6 : Chứng minh rằng :
(
)
(
)
62
k
c
k
b
k
a
k
c
k
b
k
a
dddRRR ++>++
với
1
>
k
Giải : Chúng ta cũng chứng minh một bổ ñề :
Bổ ñề 2 :
0,
>
∀
yx và 1
>
k thì :
(
)
(
)
Gyxyx
kk
k
+≥+
Chứng minh :
( ) ( ) ( )
01111 >−−+=⇔+>
+⇔
k
k
k
k
k
aaag
y
x
y
x
G (ñặt
0>= a
y
x
)
Vì
(
)
(
)
[
]
1;001'
1
1
>>∀>−+=
−
−
kaaakag
k
k
(
)
1;00 >>∀>⇒ kaag
(
)
G⇒
ñược chứng minh xong.
Sử dụng bổ ñề
(
)
G
vào bàitoán
(
)
6
:
Từ hệ
(
)
1
:
k
b
k
c
k
bc
k
a
a
cd
a
bd
a
cd
a
bd
R
+
>
+≥
(ñặt
a
cd
y
a
bd
x
bc
== ; )
Tương tự :
k
a
k
b
k
c
k
a
k
c
k
b
c
bd
c
ad
R
b
cd
b
ad
R
+
>
+
>
( )
k
c
k
b
k
a
kk
k
c
kk
k
b
kk
k
a
k
c
k
b
k
a
ddd
a
b
b
a
d
a
c
c
a
d
b
c
c
b
dRRR
++≥
+
+
+
+
+
>++⇒
2
⇒
ñpcm.
Bài toán 7 : Chứng minh rằng :
(
)
(
)
72
k
a
k
a
k
a
k
a
k
a
k
a
RRRddd ++>++
với
1
−
<
k
Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượnggiác
Chương 4 Mộtsốchuyên ñề bài viết hay,thú vị
liên quan ñến bất ñẳng thức và lượnggiác
The Inequalities Trigonometry
81
Hướng dẫn cách giải : Ta thấy
(
)
7
cũng ñược chứng minh dễdàng nhờ áp dụng
(
)
6
trong phép biến hình nghịch ñảo tâm M, phương tích ñơn vị. ðẳng thức không thể xảy ra
trong
(
)
6
và
(
)
7
.
Xét về quan hệ giữa
(
)
cba
RRR ,, với
(
)
cba
ddd ,, ngoài bất ñẳng thức
(
)
E
và những mở
rộng của nó, chúng ta còn gặp mộtsố bất ñẳng thức rất hay sau ñây. Việc chứng minh
chúng xin dành cho bạn ñọc :
( )( )( )
( )( )( )
ccbbccaabbaacba
cbcabacba
c
ba
b
ca
a
cb
cbacba
dRdRdRdRdRdRRRR
ddddddRRR
R
dd
R
dd
R
dd
dddRRR
+++≥
+++≥
≤
+
+
+
+
+
≥
222
)4
)3
3)2
8)1
Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượnggiác
Chương 4 Mộtsốchuyên ñề bài viết hay,thú vị
liên quan ñến bất ñẳng thức và lượnggiác
The Inequalities Trigonometry
82
Ứng dụng của ñại số vào việc phát hiện và chứng
minh bất ñẳng thức trong tam giác
Lê Ngọc Anh
(HS chuyêntoán khóa 2005 – 2008
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ)
1/ Chúng ta ñi từ bàitoán ñại số sau:
Với
x
π
ππ
π
∀ ∈ 0,
∀ ∈ 0,∀ ∈ 0,
∀ ∈ 0,
2
22
2
ta luôn có:
x x 2x
< tg < < sinx < x
2 2 π
.
Chứng minh:
Ta chứng minh 2 bất ñẳng thức:
2
sin
x
x
π
> và
2
2
x x
tg
π
< .
ðặ
t
1
( ) sin
f x x
x
= là hàm s
ố
xác
ñị
nh và liên t
ụ
c trong
0,
2
π
.
Ta có:
2
os x- sin x
'( )
xc
f x
x
= .
ðặ
t
( ) os x- sin x
g x xc
=
trong
0,
2
π
khi
ñ
ó
(
)
(
)
' sin 0
g x x x g x
= − ≤ ⇒
ngh
ị
ch bi
ế
n trong
ñ
o
ạ
n
0,
2
π
nên
(
)
(
)
0
g x g<
=0 v
ớ
i
0,
2
x
π
∈
. Do
ñ
ó
(
)
' 0
f x
<
v
ớ
i
0,
2
x
π
∀ ∈
suy ra
( )
2
2
f x f
π
π
> =
hay
2
sin
x
x
π
>
v
ớ
i
0,
2
x
π
∀ ∈
.
ðặ
t
( )
1
h x tgx
x
= xác
ñị
nh và liên t
ụ
c trên
0,
2
π
.
Ta có
( )
2 2
sin
' 0
2 os
2
x x
h x
x
x c
−
= >
0,
2
x
π
∀ ∈
nên hàm s
ố
(
)
h x
ñồ
ng bi
ế
n, do
ñ
ó
( )
2 2
x
h x h
π
< =
hay
2
2
x x
tg
π
< v
ớ
i
0,
2
x
π
∀ ∈
.
Còn 2 b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
2 2
x x
tg
>
và
sin
x x
<
dành cho b
ạ
n
ñọ
c t
ự
ch
ứ
ng minh.
Bây giờ mới là phần ñáng chú
ý:
Xét
∆ABC
:
BC = a
,
BC = b
,
AC = b
. G
ọ
i
A, B, C
là
ñộ
l
ớ
n các góc b
ằ
ng radian;
r, R, p, S
l
ầ
n l
ượ
t là bán kính
ñườ
ng tròn n
ộ
i ti
ế
p, bán kính
ñườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p, n
ử
a
chu vi và di
ệ
n tích tam giác;
l
a
, h
a
, m
a
, r
a
,
t
ươ
ng
ứ
ng là
ñộ
dài
ñườ
ng phân giác,
ñườ
ng
cao,
ñườ
ng trung tuy
ế
n và bán kính
ñườ
ng tròn bàng ti
ế
p
ứ
ng v
ớ
i
ñỉ
nh
A
Bài toán 1:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng trong tam giác ABC nh
ọ
n ta luôn có:
2 2 2
os os os
4
p p
Ac x Bc B Cc C
R R
π
< + + <
Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượnggiác
Chương 4 Mộtsốchuyên ñề bài viết hay,thú vị
liên quan ñến bất ñẳng thức và lượnggiác
The Inequalities Trigonometry
83
Nhận xét:
Từ ñịnh lí hàm số sin quen thuộc trong tam giác ta có:
sin sin sin
p
A B B
R
+ + =
và
bài toán ñại số
ta d
ễ
dàng
ñư
a ra bi
ế
n
ñổ
i sau
2 2 2
4
os 2 os sin os
2
A
Ac A tg c A A Ac A
π
< = <
, t
ừ
ñ
ó
ñư
a
ñế
n l
ờ
i gi
ả
i nh
ư
sau.
Lời giải:
Ta có:
2 2 2
4
os 2 os sin os
2
A
Ac A tg c A A Ac A
π
< = <
⇒
2
os sin
p
Ac A A
R
< =
∑ ∑
và
2 2
4
os sin os
4
p p
Ac A A Ac A
R R
π
π
> = ⇒ >
∑ ∑ ∑
. T
ừ
ñ
ây suy ra
ñ
pcm.
Trong m
ộ
t tam giác ta có nh
ậ
n xét sau:
1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
tg tg tg tg tg tg
+ + =
k
ế
t h
ợ
p
v
ớ
i
2
2
x x
tg
π
< nên ta có
2 2 2 2 2 2
1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A A B B C C A
tg tg tg tg tg tg
π π π π π π
+ + > + + =
⇒
2
. . .
4
A B B C C A
π
+ + >
(1). M
ặ
t khác
2 2
x x
tg
>
nên ta c
ũ
ng d
ễ
dàng có
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A B B C C A A B B C C A
tg tg tg tg tg tg
+ + < + + =
t
ừ
ñ
ây ta l
ạ
i có
. . . 4
A B B C C A
+ + <
(2). T
ừ
(1) và (2) ta có bàitoán m
ớ
i.
Bài toán 2:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng trong tam giác ABC nh
ọ
n ta luôn có:
2
. . . 4
4
A B B C C A
π
< + + <
Lưu ý: Khi dùng cách này ñể sáng tạo bàitoán mới thì ñề toán là
ABC
∆
phải là nhọn
vì trong bàitoán ñại số thì
0,
2
x
π
∀ ∈
. Lời giải bàitoán tương tự như nhận xét ở trên.
Mặt khác, áp dụng bất ñẳng thức
( )
2
3
a b c
ab bc ca
+ +
+ + ≤ thì ta có ngay
( )
2
2
. . .
3 3
A B C
A B B C C A
π
+ +
+ + ≤ = . Từ ñây ta có bàitoán “chặt” hơn và “ñẹp” hơn:
2 2
. . .
4 3
A B B C C A
π π
〈 + + ≤
Bây giờ ta thử ñi từ công thức l
a
, h
a
, m
a
, r
a
ñể tìm ra các công thức mới.
Trong
ABC
∆
ta luôn có:
2 sin sin sin
2 2
a a
A A
S bc A cl bl= = +
Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượnggiác
Chương 4 Mộtsốchuyên ñề bài viết hay,thú vị
liên quan ñến bất ñẳng thức và lượnggiác
The Inequalities Trigonometry
84
⇒
1 1 1 1
A
2 2
2 os
2
a
b c b c
l bc b c
bcc
+ +
= > = +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 sin sin sin
a b c
l l l a b c R A B C
⇒ + + > + + > + +
1 1 1 1 1 1 1
2
a b c
l l l R A B C
⇒ + + > + +
.
Như vậy chúng ta có Bàitoán 3.
Bài toán 3: Chứng minh rằng trong tam giác ABC nhọn ta luôn có:
1 1 1 1 1 1 1
2
a b c
l l l R A B C
+ + > + +
Mặt khác, ta lại có
(
)
2 sin sin
A
2 os
2sin
2
2 2
a
R B C
bc b c
A
l
c
π
+
+
= =
−
. Áp dụng bàitoán ñại số ta
ñược:
( )
(
)
2
2 2
a
B C
R
R B C
bc
A
A l
π
π
π
π
+
+
> >
−
−
⇒
(
)
(
)
( )
4
a
R B C R B C
bc
B C l B C
π
π
+ +
> >
+ +
⇒
4
a
bc R
R
l
π
π
> >
.
Hoàn toàn tương tự ta có:
4
c
ab R
R
l
π
π
> > và
4
b
ca R
R
l
π
π
> > . T
ừ
ñ
ây, c
ộ
ng 3 chu
ỗ
i b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c ta
ñượ
c:
Bài toán 4:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
trong tam giác ABC nh
ọ
n ta luôn có:
12
3
c a b
R ab bc ca
R
l l l
π
π
< + + <
Trong tam giác ta có k
ế
t qu
ả
sin
b c
h h
A
c b
= =
, sin
c a
h h
B
a c
= = và sin
a b
h h
C
b a
= =
,
mà t
ừ
k
ế
t qu
ả
c
ủ
a
bài toán ñại số ta dễdàng có
2 sin sin sinA B C
π
< + + <
, mà
( )
1 1
2 sin sin sin
a
A B C h
b c
+ + = +
1 1 1 1
b c
h h
c a a b
+ + + +
, t
ừ
ñ
ây ta có
ñượ
c
Bài
toán 5.
Bài toán 5
:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
trong tam giác ABC nh
ọ
n ta luôn có:
1 1 1 1 1 1
4 2
a b c
h h h
b c c a a b
π
< + + + + + <
Ta xét ti
ế
p bàitoán sau:
Bài toán 6:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng trong tam giác nh
ọ
n ta luôn có:
( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
4
3
a b c
m m m
A B C A B C
R
π
+ +
+ + < < + +
Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượnggiác
Chương 4 Mộtsốchuyên ñề bài viết hay,thú vị
liên quan ñến bất ñẳng thức và lượnggiác
The Inequalities Trigonometry
85
Nhận xét:Liên hệ với
2
a
m
trong tam giác ta có
2 2 2
2
2 4
a
b c a
m
+
= −
, từ ñó ta suy ra
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
3 sin sin sin
4
a b c
m m m a b c R A B C
+ + = + + = + + và t
ừ
ñư
a
ñế
n l
ờ
i gi
ả
i.
Lời giải:
Áp d
ụ
ng
bài toán ñại số
ta
ñượ
c:
2
2 2
2
4
sin
x
x x
π
< <
ta l
ầ
n l
ượ
t có:
2
2 2
2
4
sin
A
A A
π
< <
,
2
2 2
2
4
sin
B
B B
π
< <
và
2
2 2
2
4
sin
C
C C
π
< < .
C
ộ
ng 3 chu
ỗ
i b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c trên ta
ñượ
c:
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
4
sin sin sin
A B C A B C A B C
π
+ + < + + < + +
, mà ta có:
(
)
2 2 2 2 2 2 2
3 sin sin sin
a b c
m m m R A B C
+ + = + +
( )
2 2 2
2 2 2
2
sin sin sin ,
3
a b c
m m m
A B C
R
+ +
⇔ = + + t
ừ
ñ
ây ta
ñượ
c:
( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
4
3
a b c
m m m
A B C A B C
R
π
+ +
+ + < < + +
(
ñ
pcm).
Bây gi
ờ
ta th
ử
sáng t
ạ
o m
ộ
t b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c liên quan t
ớ
i
r
a
, ta có công th
ứ
c tính
r
a
là
2
a
A
r ptg
= , t
ừ
bài toán ñại số
2
2 2
x x x
tg
π
< < ch
ắ
c ch
ắ
n ta d
ễ
dàng tìm th
ấ
y
2
2
a
r
A A
p
π
< <
, t
ươ
ng t
ự
ta c
ũ
ng có
2
2
a
r
B B
p
π
< < và
2
2
a
r
C C
p
π
< < , c
ộ
ng 3 chu
ỗ
i b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c ta thu
ñượ
c
(
)
2
2
a b c
A B C
r r r
A B C
p
π
+ +
+ +
+ +
< <
và ta thu
ñượ
c
Bài toán 7.
Bài toán 7
:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng trong tam giác ABC nh
ọ
n ta luôn có:
(
)
2
2
a b c
A B C
r r r
A B C
p
π
+ +
+ +
+ +
< <
Ta tìm hi
ể
u bàitoán sau:
Bài toán 8:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng trong tam giác ABC nh
ọ
n ta luôn có:
(
)
(
)
2 4 2
R r aA bB cC R r
π
− < + + < −
Nhận xét:
Ta có các k
ế
t qu
ả
:
2
a
A
r ptg
=
,
2
b
B
r ptg
=
,
2
c
C
r ptg
=
,
( )
2
A
r p a tg
= − =
( ) ( )
2 2
B C
p b tg p c tg
= − = − d
ẫ
n
ñế
n
2
a
A
r r atg
= + ,
2
b
B
r r btg
= + ,
2
c
C
r r ctg
= + và
4
a b c
r r r R r
+ + = +
(các k
ế
t qu
ả
này b
ạ
n
ñọ
c t
ự
ch
ứ
ng minh), t
ừ
ñ
ó ta suy ra
4 3
2 2 2
A A A
R r r ptg ptg ptg
+ = + + + và nh
ờ
k
ế
t qu
ả
này ta d
ễ
dàng
ñ
ánh giá t
ổ
ng
aA bB cC
+ +
t
ừ
bài toán ñại số
nên ta d
ễ
có l
ờ
i gi
ả
i nh
ư
sau.
Lời giải:
Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượnggiác
Chương 4
M
ột sốchuyên ñề bài viết hay,thú vị
liên quan ñến bất ñẳng thức và lượnggiác
The Inequalities Trigonometry
86
Ta có:
2
a
A
r ptg
=
,
2
b
B
r ptg
=
,
2
c
C
r ptg
=
,
( ) ( ) ( )
2 2 2
A B C
r p a tg p b tg p c tg
= − = − = −
, từ
ñó dẫn ñến
2
a
A
r r atg
= +
,
2
b
B
r r btg
= +
,
2
c
C
r r ctg
= +
. Mà ta lại có: 4
a b c
r r r R r
+ + = +
suy ra
4 3
2 2 2
A A A
R r r ptg ptg ptg
+ = + + +
. Áp dụng bàitoán ñại số ta ñược:
●
( )
2
4 3 3
2 2 2
A A A
R r r ptg ptg ptg r aA bB cC
π
+ = + + + < + + +
(
)
2
R r aA bB cC
π
⇔ − < + +
●
( )
1
4 3 3
2 2 2 2
A A A
R r r ptg ptg ptg r aA bB cC
+ = + + + > + + +
(
)
4 2
R r aA bB cC
⇔ − > + +
Kết hợp 2 ñiều trên ta có ñiều phải chứng minh.
Sau ñây là các bàitoán ñược hình thành từ các công thức quen thuộc ñể các bạn luyện
tập:
Bài toán: Chứng minh rằng trong tam giác ABC nhọn ta luôn có:
a/
(
)
(
)
2 8 2 2
p R r aA bB cC p R r
π π π
− + < + + < − +
.
b/
( )( ) ( )( ) ( )( )
2
2
S
p a p b p b p c p c p a S
π
< − − + − − + − − < .
c/
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
abc a p a b p b c p c abc
π
< − + − + − < .
d/
1 1 1 1 1 1
4 2
a b c
l l l
b c c a a b
π
< + + + + + <
.
2/Chúng ta xét hàm:
( )
in
x
f x =
s x
với
(
)
x 0,
∀ ∈ π
∀ ∈ π∀ ∈ π
∀ ∈ π
.
Ta có
(
)
f x
là hàm s
ố xác ñịnh và liên tục trong
(
)
0,
π
và
( )
'
2
sinx-xcosx
sin
f x
x
= .
ðặ
t
(
)
sinx-xcosx
g x =
,
(
)
0,
x
π
∈
, ta có
(
)
' sin 0
g x x x
= ≥
⇒
(
)
g x
ñồ
ng bi
ế
n trong
ñ
o
ạ
n
(
)
0,
π
(
)
(
)
0 0
g x g
⇒ > =
(
)
'
0
f x
⇒ >
nên hàm
(
)
f x
ñồ
ng bi
ế
n .
Chú ý 3 b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
ñạ
i s
ố
:
1.Bất ñẳng thức AM-GM:
Cho n số thực dương
1 2
, , ,
n
a a a
, ta luôn có:
1 2
1 2
n
n
n
a a a
a a a
n
+ + +
≥
D
ấ
u “=” x
ả
y ra
1 2
n
a a a
⇔ = = =
.
2.Bất ñẳng thức Cauchy-Schwarz:
Cho 2 b
ộ
n s
ố
(
)
1 2
, , ,
n
a a a
và
(
)
1 2
, , ,
n
b b b
trong
ñ
ó
0, 1,
i
b i n
> =
. Ta luôn có:
[...]... Trigonometry 90 Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác Th tr v c i ngu n c a môn lư ng giác Lê Qu c Hán ð i h c Sư ph m Vinh “Lư ng giác h c” có ngu n g c t Hình h c Tuy nhiên ph n l n h c sinh khi h c môn Lư ng giác h c (gi i phương trình lư ng giác, hàm s lư ng giác …), l i th y nó như là... t công c ñ gi i các bàitoán hình h c (ph n tam giác lư ng) mà không th y m i liên h hai chi u gi a các b môn y Trong bài vi t này, tôi hy v ng ph n nào có th cho các b n m t cách nhìn “m i” : dùng hình h c ñ gi i các bàitoán lư ng giác Trư c h t, ta l y m t k t qu quen thu c trong hình h c sơ c p : “N u G là tr ng tâm tam giác ABC và M là m t ñi m tùy ý trong m t ph ng ch a tam giác ñó thì” : 1 1... hình) The Inequalities Trigonometry 93 Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác Phương pháp gi i m t d ng b t ñ ng th c lư ng giác trong tam giác Nguy n Lái GV THPT Lương Văn Chánh – Phú Yên Gi s f ( A, B, C ) là bi u th c ch a các hàm s lư ng giác c a các góc trong ∆ABC Gi s các góc A, B, C th... y ra khi và ch khi tam giác ABC ñ u M i các b n ti p t c gi i các bàitoán sau ñây theo phương pháp trên 3 3 Ch ng minh r ng v i m i tam giác ABC, ta có : 1 A B C 1) tan 3 + tan 3 + tan 3 ≤ 2 2 2 3 1 1 1 2) + + ≥ 3.2 n (n ∈ N ) A B C sin n sin n sin n 2 2 2 The Inequalities Trigonometry 97 Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên... Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác 3 2 1 1 1 ⇒ 1 + ≥ 1 + 1 + 1 + 3 sin A sin B sin C ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u Thí d 3 Ch ng minh r ng v i m i tam giác ABC ta có : 3 A B C sin 6 + sin 6 + sin 6 ≥ 2 2 2 64 L i gi i Trư ng h p tam giác ABC... (2) ⇔ 3π ≥ 2 p ∑ cyc a A 3π A π ∑ a ≤ 2 p (ii), và (3) ⇔ ∑ ( p − a ) a ≤ 2 (iii) cyc cyc The Inequalities Trigonometry 87 Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác ● M t khác ta có th áp d ng b t ñ ng th c Chebyshev cho 2 b s A B C ≥ ≥ A B C , , và ( p − a, p − b, p − c) Ta có: a ≥ b... cos B cos C sin C Thay vào (*) ta có : 1 OH 2 = 8R 2 − cos A cos B cos C (3) 8 The Inequalities Trigonometry 91 Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác N u ∠BAC = 90 0 ch ng h n, thì (3) là hi n nhiên Gi s ∆ABC có góc A tù Khi ñó ℘H / (O ) = R 2 − OH 2 = HA HE trong ñó AH = −2 R... bao nhiêu b n tr m i làm quen v i lư ng giác Qua m t vài ví d trên ñây, h n các b n ñã th y vai trò c a hình h c trong vi c phát hi n và ch ng minh các h th c “thu n túy lư ng giác M t khác, nó cũng nêu lên cho chúng ta m t câu h i : Ph i chăng các h th c lư ng giác trong m t tam giác khi nào cũng có m t “ngu n g c hình h c” làm b n ñư ng ? M i các b n gi i vài bài t p sau ñây ñ c ng c ni m tin c a... a) Ch ng minh : 1 2 O1O2 = a 2 + b 2 + c 2 − 4 3S 6 b) Suy ra b t ñ ng th c tương ng : ( The Inequalities Trigonometry ) 92 Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác 2 2 2 sin A + sin B + sin C ≥ 2 3 sin A sin B sin C 3 Ch ng minh r ng n u ∆ABC có 3 góc nh n, thì : sin A + sin B + sin C