CHUYÊN đề 2 lũy THỪA

CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Bài 1: SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA LŨY THỪA A Lý thuyết n Khái niệm: Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: a  a a.a.a.a a ( n thừa số a với a  0; n  N ) Qui ước: a  (a  0) a  a a : Bình phương a  a   a3 : Lập phương a  a   Các phép tính luỹ thừa: m n m n - Nhân hai luỹ thưa số: a a  a m n m n - Chia hai luỹ thừa số: a : a  a (a  0; m  n) n n n - Luỹ thừa thương: (a : b)  a : b (b  0) m n m.n - Luỹ thừa luỹ thừa: (a )  a n n m (m ) - Luỹ thừa tầng: a  a - Luỹ thừa với số mũ âm: Ví dụ: 103  an  (a  0) an 103 B Bài tập Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau A 310.10  310.6 39.2 a c e a B 11.322.37  915 (2.314 ) D 212.14.126 355.6 C 3610.2515 308 d E 11.322.37  915 (2.314 ) 49.36  64 49.4.9  412 410.(9  ) F   4 100.164 100.48 48.100 f Lời giải a) Ta có: b) Ta có: A B 310.10  310.6 39.22  310.(10  6) 310.2  3 39.24 11.322.37  915 11.329  330 329 (11  3) 3.8    6 (2.314 ) 4.328 4.328 c) Ta có: d) Ta có: C 3610.2515 (62 )10 (52 )15 620.530   8  612.522 8 30 (6.5) D 212.14.126 32.7 2.2.7.2.32.7 22.34.7    5 35 2.3 2.3 7 11.322.37  915 E 2 (2.314 ) e) Ta có: 49.36  64 49.4.9  412 410.(9  ) F   4 100.164 100.48 48.100 f) Ta có: Bài 2: Viết tích sau dạng lũy thừa a y.3 y.3 y  y   100 b x x x ( x  0) 100 c z z z x ( z  0) 2 3 99 100 d (m ) (m ) (m ) (m ) (m  0) Lời giải a) Ta có: y.3 y.3 y  y     y  100 1  100  x5050 ( x  0) b) Ta có: x x x  x 100 1   100  z (1001).34:2  z101.17 c) Ta có: z z z x ( z  0)  z 1 2 3 99 100 1.2 2.3 99.10 d) Ta có: (m ) (m ) (m ) (m ) (m  0)  m m m  m 99.100.101 Bài 3: Tính tổng sau 2015 a A      2 2016 b B      Lời giải 2015 2016 2016 a) Ta có A       A       A  A  A   B      b) Ta có: 2016  3B     2017  2B  2017 32017  1  B  Bài 4: Tính S       8192 Lời giải 13 14 14 Ta có: S      S      S    16383 2015 Bài 5: Cho A      Viết A  dạng lũy thừa Lời giải Ta có A   21  22   22015  22016   A   22006   23  672  8672 2015 Bài 6: Cho B      Chứng minh B  lũy thừa Lời giải Ta có B   32  33   32015  B  32016   B   32016 (đpcm) Bài 7: Chứng minh a 10 2008  125 chia hết cho 45 2008 2007 2006 b   chia hết cho 31 20 c  chia hết cho 17 d 313 299  313 36 chia hết cho Lời giải a) Ta có: 102008 + 125 = A 10 2008  125  100  125  100 0125 43 2008 so 2005 so , A có tận chia hết cho 5,9   A Tổng chữ số A là:      A chia hết cho 9, mà   chia hết cho 45 b) Ta có: c) Ta có: d) Ta có: 52008  52007  52006  52006  52  51  1  52006.31   88  20  23  chia hết cho 31   20  24  20  20   17.2 20 chia hết cho 17 3135.299  3136.36  3135.299  3136  35.3136  3135  299  313  35.3136  14.3135  35.3136 Chia hết cho số hạng hiệu chia hết cho 60 AM 3; AM 5; AM Bài 8: Cho A      Chứng minh Lời giải 57 58 59 60 59 Ta có: A  (2  )  (2  )   (2  )  (2  )  2.(1  2)  (1  2)   (1  2)  (1  2).(2  23  259 )  3.( ) M3 A  (2  22  23 )  (24  25  26 )   (258  259  260 )  2.(1   2 )  24 (1   2 )   258 (1   2 )  (1   22 )(2  24  27   258 )  7.(2  24   258 ) M7  A  (2  23 )  (22  24 )   (258  260 )  2(1  22 )  2 (1  2 )   258 (1  2 )  (1  22 )(2  22   257  258 )  5.(2  2   258 ) M 2008 Bài 9: Tính tổng sau M       Lời giải 2008 2009 2009 Ta có: M        M        M  M   22009  M  Bài 2: SO SÁNH HAI LŨY THỪA BẰNG PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH TRỰC TIẾP A Quy tắc so sánh: Ta biến đổi hai lũy thừa cần so sánh thành lũy thừa số số mũ để so sánh - Nếu luỹ thừa số (lớn 1) luỹ thừa có số mũ lớn lớn a m  a n  a  1  m  n - Nếu luỹ thừa số (nhỏ 1) luỹ thừa có số mũ lớn nhỏ a m  a n  a  1  m  n - Nếu luỹ thừa số mũ (lớn 0) lũy thừa có số lớn lớn a n  bn  n    a  b - Khi số 1, hai lũy thừa với số mũ tự nhiên Dạng 1: Biến đổi số số mũ Bài 1: Hãy so sánh 19 25 a 16 11 b 27 81 Lời giải a) Phân tích: Ta nhận thấy, câu a) 16 số liên quan tới lũy thừa số 2, câu b) 27 81 liên quan tới lũy thừa số Do để so sánh, ta biến đổi lũy thừa các lũy thừa có số, dựa vào so sánh số mũ để so sánh chúng với b) Lời giải 19 19 76 25 25 75 a) Ta có 16  (2 )  ;8  (2 )  76 75 19 25 Vì   16  8 818   34   332  11   81  27 11 2711   33   333  b) Ta có Bài 2: Hãy so sánh 24 a 128 36 24 b 11 60 50 c 32 81 500 300 d Lời giải 1287  (27 )7  249   1287  24 24 24 24   (2 )   a) Ta có: 536  12512   536  1124 24 12  11  121  b) Ta có: 3260  2300  8100   3260  8150 50 200 100  c) Ta có : 81    3500  243100   3500  7300 300 100  d) Ta có:  343  Bài 3: Hãy so sánh 19 25 a) 16 b) 625 125 Lời giải 19 19 76 25 25 75 a) Ta có:16  (2 )  ;8  (2 )  76 75 19 25 Vì   16  5 20 21 625  (5 )  ;125  (5 )  b) Ta có: 21 20 Vì   125  625 Bài 4: Hãy so sánh 210 350 a) 21 31 b) 10 30 c) 3.24 Lời giải 210 70 350 70 210 350 a) Ta có:  27 ;  32   31 30 10 21 20 10 21 31 b) Ta có:  2.2  2.8 ;3  3.3  3.9   30 60 30 30 10 10 11 30 30 10 c) Ta có:   2 ;3.24  3.(3.8)    3.24 27 63 28 Bài 5: Chứng minh   Lời giải Ta có:  263  (29 )7  3127  27 63   (1); 28  263  528 (2) 63 9 7  (2 )  128   (5 )  625  527  1259 27 63 28 Từ (1) (2)    Bài 6: Hãy so sánh 2n 23 n  n  N *  a) 300 500 b) Lời giải *) Phân tích: Ta nhận thấy, câu a) lũy thừa có chung số mũa n, câu c) lũy thừa có chung số mũ 100 Do để soa sánh, ta biến đổi lũy thừa lũy thừa có số số mũ, dựa vào so sánh số để so sánh chúng với *) Lời giải a) Ta có: 32 n   32   n ; 23n   23   8n , b) Ta có: 5300   53  n n 100  125100 ; 3500   33  2n 3n mà      100  243100  5300  3500 Bài 7: Hãy so sánh n  n   n1 a) n n b) 256 16 (với n  N ) Lời giải 32 n ( n  2)  9n ( n  2)  9n 9( n 1)  9n a) Ta có: 2  n 1 n  2n   n  n 2n   ( n 1)  9n.( n  2)  9( n 1)  32 n ( n  2) (n  N ) 9   n 2n b) Ta có 256  16 , suy tốn trở thành so sánh 2n n  n 2n +) Nếu 2n  n   n   256  16 n 2n +) Nếu 2n  n   n   256  16 n 2n +) Nếu 2n  n   n   256  16 5 Bài 8: Hãy so sánh 3.27 243 Lời giải 2435   35   325 ;3.275   33   3.315  316 Ta có 16 25 5 Vì   3.27  243 Dạng 2: Đưa tích có thừa số giống 303 202 Bài 1: Hãy so sánh 202 303 Lời giải 303 303 303 303 303 3.101 101 3.101 101 101 2.101 Ta có: 202  (2.101)  101  101  101  101 101 303202  (3.101) 2.101  32.101.101 2.101  9101.1012.101  202303  303202 15 Bài 2: Hãy so sánh 21 27 49 Lời giải 15 15 15 15 16 Ta có: 21  ; 27 49  15 16 15 Mà    21  27 49 2015 2014 2016 2015 Bài 3: Hãy so sánh 2015  2015 2015  2015 Lời giải Ta có: 20152015  20152014  20152014 (2015  1)  2014.20152014 ; 20152016  20152015  2014.20152015 2015 2014 2016 2015 2015 2014 Mà 2015  2015  2015  2015  2015  2015 10 10 Bài 4: Hãy so sánh 2015  2015 2016 Lời giải 10 9 10 Ta có: 2015  2015  2015 (2015  1)  2016.2015 ; 2016  2016.2016 10 10 Mà 2015  2016  2016  2015  2015 45 44 44 43 Bài 5: Hãy so sánh A  72  72 B  72  72 Lời giải 44 44 43 43 Ta có: A  72 (72  1)  72 71 B  72 (72  1)  72 71  A  B Mà 44  43  A  B 75 50 Bài 6: Hãy so sánh 37 71 Lời giải Ta có: 7150  7250   8.9  50  2150.3100  1 3775  3675   4.9  75  2150.3150   150 150 150 100 Mà   3 75 50 Từ (1)(2)(3) suy 37  71 Bài 7: Hãy so sánh 23 22 a) 6.5 13 16 b) 7.2 12 c) 15 81 125 Lời giải *) Phân tích: Ta nhận thấy số lũy thừa cần so sánh số mũ chúng đề khơng có ước chung, số chúng biểu diễn dạng chung số Do việc đưa lũy thừa lũy thừa có số (hoặc số mũ) để so sánh khơng khả quan Tuy nhiên số lũy thừa có ước chung, nên việc tách lũy thừa thành tích, để xuất thừa số chung so sánh thừa số riêng khả quan Để làm k n m k điều ta cần dùng phương pháp sau: Biến đổi a dạng c.d , biến đổi b dạng e.d n m so sánh hai số e c Từ so sánh hai số a b 23 22 22 22 23 a) Ta có:  5.5  6.5  6.5  13 13 13 16 16 13 b) Ta có: 7.2  8.2  2    7.2 813.1253   34   53   1512.53 , c) Ta có: 12 12 12 mà 15  15  81 125  15 *) Nhận xét: Việc phân tích lũy thừa thành tích lũy thừa giúp nhìn thừa số chung lũy thừa, từ việc so sánh hai lũy thừa cịn dựa vào việc so sánh thừa số riêng 20 10 Bài 8: Hãy so sánh 99 9999 Lời giải Ta có: 9920   992  Vì  99.99  10 10   99.99  ; 999910   99.101 10 10   99.101  99  999910 10 Bài 9: Hãy so sánh a) 3.4 10 b) 10 48.50 Lời giải 15 14 14 a) Ta có:   2.2 ; 3.4  3.2 14 14 Vì   2.2  3.2   3.4 10 10 10 10 48.505   3.24   25.510   3.29.510 b) Ta có: 10   2.2 ; 10 10 10 Vì   2.2  3.2  10  48.50 10 30 Bài 10: Hãy so sánh 3.24 Lời giải Ta có: Vì 430   22  30   2.2  30  230 230   23   22   810.415 2410   8.3  810.310.3  810 311 10 15 10 ; 311  415  810 311  810.415  430  3.2410 10 10 Bài 11: Hãy so sánh 1990  1990 1991 Lời giải 10 9 10 Ta có: 1990  1990  1990  1990  1  1991.1990 ; 1991  1991.1991 Vì 19909  19919  199010  19909  199110 12 11 11 10 Bài 12: Hãy so sánh 78  78 78  78 Lời giải 12 11 11 11 11 10 10 10 Ta có: 78  78  78  78  1  78 77 ; 78  78  78  78  1  78 77 Vì 7811  7810  7811.77  7810.77  7812  7811  7811  7810 Bài 3: SO SÁNH HAI LŨY THỪA – PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH GIÁN TIẾP Dạng 1: So sánh thông qua lũy thừa trung gian Cách giải: Để so sánh lũy thừa A B, ta tìm lũy thừa M cho A  M  B AM B Trong A M; M B so sánh trực tiếp 30 30 30 10 Bài 1: Hãy so sánh   3.24 Lời giải 10 Từ (1)(2)   n  11 Vậy n nhận giá trị nguyên là: 5;6;7;8;9;10;11 Bài 2: Tìm số nguyên dương n biết n a) 64   512 n b) 243   Lời giải n n  a) Ta có 64   512      n  8, mà n  Z  n  n n n  Z   n   2;3;4 b) Ta có 243        n  2, mà Bài 3: Tìm số tự nhiên n biết n a) 32   512 18 12 b)  n  20 Lời giải n n n n a) Với n  N , ta xét 32      n  512    n  Do  n   n   6;7;8 318  n12   33    n   33  n  27  n b) Với n  N , ta xét 6 2 2 Nhận thấy  27  , nên  n   n     20  n12  208  n3 4  n  202  n3  400 3 3 Nhận thấy  400  , nên n   n  Do  n   n   6; 7 Bài 4: Tìm số tự nhiên x  thỏa mãn x 1 x a)   x x1 b)   2268 Lời giải x 1 11 x x 1 x a) Nhận thấy x            loại x 1 x - Nếu x        VP (thỏa mãn) Vậy x  giá trị cần tìm b) Nhận thấy x   VT  VP x x 1 - Nếu x       2268 (không thỏa mãn) x x 1 - Nếu x     226  VP (không thỏa mãn) 24 Vậy x  giá trị cần tìm Bài 5: Tìm số tự nhiên x  thỏa mãn x x x a)    14 x b)  x  20 x b)  46  3x Lời giải a) Nhận thấy: x x x - Nếu x      14 (loại) - Nếu x  thỏa mãn x x x - Nếu x     14 (loại) Vậy x  giá trị cần tìm b) Nhận thấy x - Nếu x   x  20 (thỏa mãn) x - Nếu x   x    20 (loại) x - Nếu  x   x    20 (loại) Vậy x  giá trị cần tìm x x c) Ta có  46  3x   x  46 x x - Nếu x     21;3 x  3.5  15   x  47  46 (loại) x x - Nếu x     16;3 x  3.4  12   x  28  46 (loại) Vậy không tồn giá trị x thỏa mãn toán x x 1 x Bài 6: Tìm số tự nhiên x, biết    388 Lời giải - Nếu x  VT (1)  VP (1)  không tồn x - Nếu x  VT (1)  VP(1)  khơng tồn x - Nếu x   VT (1)  VP(1)  x  thỏa mãn Vậy x  giá trị cần tìm x y z Bài 7: Tìm x, y, z  N , biết x  y  z    156 Lời giải Ta có x  y  5z  156  5z  156  z   z   0;1; 2;3 x y x y - Nếu z   x  y  3, thay vào (1) ta   125  156    31(2) 25 y Ta có  31 y  x - Nếu y  3, thay vào (2) ta   x  (thỏa mãn) Vậy x  2; y  3; z  *) Cách khác: z Ta có  156  z  VT  1  22  32  52  156 - z   z  y  2, thay vào (1) ta được: (loại)  z  , thay vào (1) ta được: x  y  53  156  x  y  31 *  x  y   x y 2 - Nếu y   x       13  31 (loại) x x Vậy y     31    x  Vậy  x; y; z    2;3;  x y z x 2 y 1 z Bài 8: Tìm x, y, z  N , thỏa mãn    40    156 Lời giải Nhận thấy - Nếu 2x 2 x   40  x    x    x  x    1 : 22  32 y 1  5z  40  32 y 1  z  36   Ta có vế trái (2) khơng chia hết ch0 vế phải (2) chia hết loại (hoặc ta xét tiếp được) - Nếu x    1 : 23  32 y 1  z  40  32 y 1  z  32(3) y 1 Ta có  32  y    y  + Nếu y    3 : 27  z  32  z  + Nếu y    3 :  z  32  z  29 (loại) Vậy x  y  z  x y z 10 Bài 9*: Tìm x, y, z  N , thỏa mãn    Lời giải Vì x, y, z có vai trị nên khơng tính tổng quát, ta giả sử x  y  z 10 x y z x x 10 Ta có  1024     3.2  3.2   x  Lại có x  y  z  210  x   y  x  z  x   210   y  x  z  x  210 x  2108   * 26 - Nếu y  x  y  x   y  x  1; z  x  Ta có VT(*) số lẻ VP(*) số chẵn  loại, y  x , thay vào (*) ta được:  *   20  z  x  210 x  2108  ** - Nếu z  x   VT (**)  VP(**) số chẵn nên loại  z  x   (**)   z  x  210 x   z  x 1  29 x (***) - Nếu z  x    VT (***) số lẻ VP(***) số chẵn  loại  z  x   9 x Từ (***)    x   y  8; z  BÀI TẬP TỰ LUYỆN x Bài 1: Tìm x  N , biết  46  3x Lời giải x x +) Nếu x     32;3x  15   x  47 (loại) x +) Nếu    16;3 x  12  VT  28 (loại) Vậy không tồn x x x 1 x2 Bài 2: Tìm x  N , biết    388 Lời giải - Nếu x   VT  VP  x  (loại) - Nếu x   VT  VP  x  (loại) - Nếu x   VT  VP  x  (thỏa mãn) x y z Bài 3: Tìm x, y  N , biết x  y  z    156(1) Lời giải z Ta có:  156  z  VT  1  22  32  52  156 z   x  y  - Nếu , ta có (loại)  z  x y x y Thay z  vào (1) ta được:    156    31(2)( x  y  3) x y 2 x - Nếu y   x       13 (loại)  y     x  x x x Bài 4: Tìm số nguyên dương x cho   Lời giải 27 x x  3  4         1 5  5 Ta có x x x - Với x  (không thỏa mãn); x  thỏa mãn x x 2 3 3  4  4  3  4 x        ;          5 5  5  5  5  5 - Với Vậy x  giá trị cần tìm y Bài 5: Tìm số nguyên x, y cho x   317 Lời giải - Nếu y   x   khơng có giá trị ngun x thỏa mãn - Nếu y   x  (thỏa mãn) y 3 y - Nếu y  chia hết cho 9, mà 317 chia cho dư x   317 nên 5x chia dư Điều mẫu thuẫn 5x chia dư Vậy x  4; y  thỏa mãn tốn Bài 6: Tìm x  N , biết a) 16  128 x b) 18 x 5x 1.5 x   100 44 430 : 18 chuso Lời giải 16 x  1284   24    27  ; 44 x  228  x  28  x   x   0;1; 2;3; 4;5;6 x a) Ta có b) Ta có: 18 x 3 x 5x 1.5x   100  1018 : 218  53 x   518  x   18  x   x  ,1, 2,3, ,5 44 430 :  18 chuso m n Bài 7: Tìm số nguyên dương m n cho:   256 Lời giải Ta có: 2m  n  256  28  2n  2m n  1  28 (1) Dễ thấy m  n, ta xét trường hợp: 2n  1  28  n  8;m  - Nếu m  n  , từ (1) ta có  m n - Nếu m  n    số lẻ lớn nên vế trái (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ phân tách thừa số nguyên tố Còn vế phải (1) chứa thừa số nguyên tố  mâu thuẫn 28 Vậy m  9;n  đáp số BÀI 7: MỘT SỐ BÀI TỐN KHÁC TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT CỦA LŨY THỪA 2 Bài 1: Tìm số tự nhiên x, y, z khác biết x  y  z  116 chia x, y, z cho 2, 3, thương số dư Lời giải Theo đầu bài, ta đặt x  2m; y  3m; z  4m  m  N *  2 2 2 2 Vì x  y  z  116  ( m )  ( 3m )  ( 4m )  116  29m  116  m   m  29 Vậy x  4; y  4; z  Bài 2: Tìm số tự nhiên x, y biết x y a)  124  x y b)  80  Lời giải x x a) Nếu x   số chẵn   124 số chẵn x y y Mặt khác số lẻ với y  N   124  (loại) b) Chứng minh tương tự ta x  0; y  Bài 3: Tìm số nguyên dương x, a, b biết x  19  3a  1 b x   Lời giải *) Phân tích: Ta phải tìm cách khử ẩn a, b x Theo đầu ta có: x   3b  x  10  2.3b   b 1     3a  2.3  *   Lấy ta  33  a  b   VP(*)M  VP(*)M 33 , mà VT  *   M b   b   b   - Nếu b  theo (*)  a  b   VP(*)M3  VP(*)M3  VT(*)  VP(*) (loại) a a - Nếu b       15 (loại) b - Nếu b   a  , x    x  * x  57  y  1 Bài 4: Tìm x, y  N thỏa mãn Lời giải Nếu x số lẻ, đặt x  2k   x  22 k 1  4{ k M du1 chia cho dư Ta có vế trái (1) chia dư 2, vế phải (1) chia dư nên loại Vậy x phải chẵn 2k 2 k k k Đặt x  2k  ( )   57  y  y  ( )  57  ( y  )( y  )  57  1.57  3.19 k  y  29  y      k  28( khong  k ) y  2k  57    +) TH1: 30 +) TH2:  y  2k   y  11  y  11     k k 2   k   x   y   19 2 Bài 5: Hai số tự nhiên x, y thỏa mãn x  y  Chứng minh y số chẵn Lời giải 2 2 Ta có x  y   x  y  2 Giả sử y số lẻ  y chia dư 1; y chia dư 2; y  chia dư Mà x chia dư nên suy y phải chẵn (đpcm) c b Bài 6: Tìm số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a  3a   a   Lời giải b  c  a  3a   5b  a ( a  )   5b  a 5c   5b   b  1( hoacb  ) Ta có b mà chia hết 25 với b   c  2( loai )  c  1;a  2;b  x  y  20  1 Bài 7: Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn x  y Lời giải Ta có 20 số chẵn suy x, y phải tính chẵn lẻ Nếu x, y lẻ vế trái chia dư vế phải chia dư nên vô lý  x, y chẵn Đặt x  x1 ; y  y2 thay vào (1) ta x12  y12  10 14 43 chia{4 du M du Suy x1 ; y phải chẵn 2 Đặt x1  x2 ; y1  y2  x2  y   y2   y   y2   x  x22  y 22  52      y2   x2   y  12 x yx  y y  25   Ta có Từ 2 2 Bài 8: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 3x  63  y  1 Lời giải Giả sử x số lẻ, đặt x  2k  1 k  N   3x  32 k 1  3.9 k k k k Ta có chai dư nên chia cho dư  3.9 chia dư   63 chia dư 2 Mà y chia dư  x số lẻ loại 31 Vậy x số chẵn Đặt x  2k , thay vào (1) ta được: 32 k  63  y   3k   63  y  63  y   3k    y  3k   y  3k  2 k  y  32  y      k 3k  31(loai ) +) TH1:  y   63   y  3k   y  12  y  12   (t / m)   k k k   y   21    +) TH2:  k y   y    y    (loai )    k k k   y     +) TH3:  Vậy x  4; y  12 32 BÀI 7: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG A Chữ số tận tích - Chữ số tận tích chữ số tận tích chữ số hàng đơn vị - Tích số lẻ ln số lẻ - Tích số chẵn số TN số chẵn - x0.a  y - x5.a  y ( với a chẵn ) - x5.a  y5 ( với a lẻ ) B Chữ số tận lũy thừa n - x0  y ( STN tận nâng lên lũy thừa bậc n chữ số tận ) n n n * - x1  y1; x5  y5; x6  y 6(n  N ) 4k - x  y 6( k  0); x 4k k 1 - x3  y1; x3 2k - x  y 6; x 4k - x7  y1; x  y 2; x 4k 2  y3; x3 k 1 k 1 k 1  y 7; x 27 k 1  y8; x8 2k k 1  y9 - x9  y1; x9  y 4; x 4k 3  y 9; x3 4k 3  y8  y7  y4 4k - x8  y 6; x8 4k 2 4k 2 4k 2  y 9; x  y 4; x8 k 3 k 3  y3  y2 Dạng : TÌM MỘT CHỮ SỐ TẬN CÙNG Bài 1: Tìm chữ số tận số sau a 2152005 có : 2005 = 4.2501 + suy tận b 932005 = 934.501 + = [(93)4]501 93  tận tận  tận c 67102 có : 102 = 4.25 +  67102 =[ (67)4]25 672  tận tận  tận d 99 4199  2.991  (4 { )  tan cung tan cung 503 e 20122013  [(2012) ] 2012  tan cung 14 43 tan cung 1004 f 2007 2008  (2007 )1004  ( A9)1004  .1;13582008  (13582 )1004  A4 33  16 g 23456  (22 )1728  41728  6;5235  5232.53  (522 )16 A8  B A8  C A8  h 99 Ta có: 99 số lẻ nên 99 có tận 67 i 45  4mule  4;81975  8.81974  (82 )987  4.8  Bài 2: Tìm chữ số tận số sau a 4k 20022005  2002 {  .8 2002 t / c8 t / c6 b 431999 671001 Ta có : 4k 1001 4q 431999  43 { 43 {  7;67  67 { 67 {   t / c t / c1 t / c7 tc1 t / c7 100 1   100  98101.17  984 k 1  984 k.981  .8 c 98.98 98 98  98 Bài 3: Tìm chữ số tận : 999 999 99  92 k 1  92 k có tận Ta có : 99999 = 2k +1 ( số lẻ )  99 a 202 203 201 b 207 203 202  4k   207 k 1  207 k.207  .7 Ta có : 201 chia dư 201 199 c 198 200 Ta có : 199 = 4k + ; 1992 = ( 4k+3)2 = 16k2 + 24k + = 4q +  199200  (1992 )100  (4q  1)100  4n   1984 n1  1984 n.198  Bài 4: Cho A = 172008 – 112008 – 32008 Tìm chữ số tận A Lời giải: 1004 1004 1004 A = (172)   (3 )  1004 (172)1004   (32 )1004    91004       91004     Cho M = 1725 + 2424 – 1321 chia hết cho 10 17 25  17.17 24  17.(17 )12  17  7; 24  1321  1320.13  (132 )10 13  1.13  Bài 5: Chứng tỏ rằng: n 4n 10(n  N , n  1) a A   1M5(n  N , n  2); b.B   4M 34 n n-2 2 a A    [(2 )]  16 n 2     5M5 n 1 n 1 4n 4 10 b B    (2 )   16   .6   .0 M Bài 6: a Cho A = 9999932015 – 6666672013 , chứng minh A chia hết cho 10 b Tìm chữ số tận của: B = 2.4.6….2016 – 1.3.5.7…2015 Lời giải: a Ta có: 2015 = 4k + ; 2013 = 4q + 4k 2013 49  9999932015  999993 14 43 999993 14 43  7;666667  666667 14 43 666667 14 43  .7 tc1 tc tc1 tc Vậy A có chữ số tận suy A chia hết cho 10 b 2.4.6 2016 44 43  1.3.5.7 2015 4 43  .5 .0 Bài 7: Chứng minh số sau số tự nhiên 2017 2016 (20072012  20032014 ) b B = 10 a A = 0,7 ( 20132003 - 19971997 ) Lời giải: k 3  7;19971997  1997 q 1   20132013  19971997   A  N a 2013 2012 b 2007 20032014 2016 2017  2007 k (do2012M4  2012 2017 M4)  2007 2012 2017  20034 q  1; 2007 2012 2016  20032014 2017    B  N Bài 8: Cho S = 72015 – 32015 a Tìm chữ số tận S b CMR: chữ số hàng chục S lẻ Lời giải: a Chữ số tận S b Cách 1: Dùng công thức an – bn chia hết cho a – b ( a , b thuộc N , a > b ) 72015 – 32015 chia hết cho ( – ) = Vậy S chia hết cho Cách 2: 72015 = (72)1007 = 491007 chia dư 32015 = (32)1007 = 91007 chia cho dư Vậy 72015 – 32015 chia hết cho 4, mà S có tận Suy chữ số hàng chục lẻ ( đpcm) *) Chú ý: số có chữ số tận mà chia hết cho chữ số hàng chục phải lẻ BÀI TẬP VỀ NHÀ: 35 Bài 1: Tìm chữ số tận 2014 a 2014 2014 Có : 2014 = 4q + 2; (2014)2 = 4m suy : 20142014 chia hết cho  20144q tận 207 b 42 42 Có: 207 chia dư  207 = 4k + ; 2072 = 4q + ; 20742 = 4q + suy 424q+1 tận Bài 2: Chứng minh rằng: 19831983 – 19171917 số tự nhiên chia hết cho 10 Lời giải: 19831983 = 19834k+3 có tận 7; 19171917 = 19174q+1 có tận Vậy 19831983 – 19171917 có tận O suy chia hết cho 10 Bài 3: Tìm chữ số tận a S1 = + 22 + 23 + … + 2100 ( 100 số hạng ) b S2 = + + 32 + … + 350 ( 51 số hạng ) Lời giải: a S1 = (2  2  23  )  .(297  298  299  2100 )  S1 M 10  S  42 43 4 42 4 43 M 10 M 10 (1   32 )  (33  34  35  36  (347   350 )  13  BS (10)  = b S Bài 4: Chứng tỏ số có dạng n n a A = (2  1)M5(n  N ; n  2) b B = (24  4)M 10( n  N , n  1) n c C = (9  3)M2(n  N , n  1) Lời giải: n 2 2 a Với n thuộc N , n ≥ ta có:  n n1 n1 n 2  (24 ) n 2  162 n   AM5 n1 4.4  (24 )  164   M 10 b  n n 1 n 1 n 1 2.2  (92 )  812   M4  M2 c  Bài 5: Tồn hay không STN n để: n2 + n + chia hết cho 19952000 Lời giải 19952000 tận chữ số nên chia hết cho 5, tư tưởng n2 + n + chia hết cho Ta có : n2 + n = n ( n + ) tích hai số tự nhiên liên tiếp suy có tận 0, 2, Suy n2 + n + tận 1, 3, suy không chia hết cho Suy khơng tồn 36 Dạng : TÌM HAI CHỮ SỐ TẬN CÙNG Công thức: n n n n * +) 01  01; 25  25;76  76; 26  76( n  N ) 10 5 4 +) ;16 ;6 ;18 ; 24 ;68 ;74  76 10 16 2 +) ;9 ;81 ;7 ;51 ;99  01 51 99 666 101 101 Bài 1: Tìm hai chữ số tận của: 51 ;99 ;6 ;14 16 Lời giải 25 51 50 25 a 51  51 51  (51 ) 51  01 51  01.51  51 49 99 98 49 b 99  99 99  (99 ) 99  01 99  01.99  99 666 665 123 c  6  (6 )  76.6  56 101 101 101 101 100 50 d 14 16  (14.16)  224  224 224  (224 ) 224  76.224  24(laaaay 76.24) Bài 2: Tìm hai chữ số tận ( k, n thuộc N* ) k 2k k k 1 2k a 51  (51 )  01  01;51  51 51  01.51  51 n 99 2n n n 1 2n 99 le n 1 b 99  (99 )  01  01;99  99 99  01.99  99;99  99  99  99 n 5n n n 1 5n c  (6 )  76  76;6  6  76.6  56 100 203 2000 20 100 d   (2 )  76  76.8  08 37 Dạng : TÌM BA CHỮ SỐ TẬN CÙNG n n n * Công thức: 001  001;625  625;376  376( n  N ) Bài 1: Tìm ba chữ số tận 2000 500 500 a  (5 )  625  625 3n n n n n n b 47  47  (8.7)  376  376 3n 3 n 3.( n 1) 47 n   8n1.47 n1.47  (8.47) n 1.47  376.47  672 c 47  n 3n n 2n * Bài 2: Chứng tỏ rằng: 2001  47  25 ( n  N )  002 Lời giải: 2001n  001; 23n.47 n  376; 252 n  625  002  dpcm 38 ... 71 72 Bài 2: So sánh A   20 12  20 12   20 12  20 12 B  20 12  15 Lời giải 71 72 73 Ta có A   20 12  20 12   20 12  20 12  20 12 A  20 12  20 12   20 12  20 12 A  A  20 11A  20 127 3...  2 )  (1   22 ) (2  24  27   25 8 )  7. (2  24   25 8 ) M7  A  (2  23 )  (22  24 )   (25 8  26 0 )  2( 1  22 )  2 (1  2 )   25 8 (1  2 )  (1  22 ) (2  22   25 7  25 8... 20 16 20 15 Bài 3: Hãy so sánh 20 15  20 15 20 15  20 15 Lời giải Ta có: 20 1 520 15  20 1 520 14  20 1 520 14 (20 15  1)  20 14 .20 1 520 14 ; 20 1 520 16  20 1 520 15  20 14 .20 1 520 15 20 15 20 14 20 16 20 15 20 15 20 14