Chuyên đề 4 lũy thừa của một số hữu tỉ

Chuyên đề LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ A Kiến thức cần nhớ Lũy thừa với số mũ tự nhiên x n x.x ..x  x Q ;n N;n  1 n thõa sè Quy ước : x x ,x 1 x 0 Các phép tính lũy thừa x m x n x m n x m : x n x m  n  x 0;m , n N  x m  n x m.n  x y  n x n y n  x n x n    n  y 0 y  y Lũy thừa với số mũ nguyên âm x  n  n với  x 0, n N x B Một số ví dụ A 212.35  46.81 ;B  30.47.329  5.145.212 14 55 Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức :  22.3  345 54.6  12.8 Giải  Tìm cách giải Để thực phép tính chứa nhiều lũy thừa, ta dùng cơng thức biến đổi lũy thừa số ngun tố Sau dùng tính chất phân phối phép nhân đối phép cộng  Trình bày lời giải 212.35  212.34 212.34   1 A  212.36  212.35  212.35  1 a) Ta có : 212.34.2 A  12  b) Ta có : 2.3.5.214.329  5.25.75.212 215.330.5  217.5.75 5 215.330  217.75  B  14 14 14 15  15 31 17  15 30 17  2.3 3  3.2  3.7 3.   Ví dụ 2: Tìm x a)  x  2 64; b)  x  5  125 c) 2x  2x 2 320; Giải  Tìm cách giải Khi tìm x có chứa lũy thừa phần số ta đưa hai vế số mũ lưu ý: an b n (với n lẻ) a b an b n (với n chẵn) a b a  b Để tìm x phần số mũ ta đưa hai vế số sử dụng : am an (với a 0,1) m n  Trình bày lời giải a)  x  2 64   x  2 82  x  8 x   Suy x  6; 10 b)  x  5  125   x  53   5  x    x  10 c) 2x  2x 2 320  2x 1  22  320 2x 64  2x 26  x 6 Ví dụ 3: a) Chứng minh 165  215 chia hết cho 66 b) Chứng minh với số nguyên dương n 3n2  2n4  3n  2n chia hết cho 30 Giải  Tìm cách giải Để chứng minh A k ta vận dụng tính chất : A b.k A k A B C mà B k C k A k  Trình bày lời giải a) Ta có : 165  25 220  215 215  25 1 215.33 214.6666 b) Ta có : 3n2  3n  2n4  2n 3n  32 1  2n. 24  1 3n.10  2n.15 3n 1.30  2n1.3030 Ví dụ 4: Thu gọn biểu thức sau: a) A 32020  32019  32018  32017   32   1; b) B 52020  52019  52018  52017   52   c) C 72021  72019  72017  72015   75  73  Giải  Tìm cách giải Những tốn tính tổng đại số lũy thừa có số theo quy luật , cần nhân hai vế với lượng thích hợp để biểu thức mới, mà hạng tử đối cộng biểu thức ban đầu với biểu thức mới, trừ biểu thức với biểu thức ban đầu  Trình bày lời giải a) Xét 3.A 32021  32020  32019  32018   33  32   3.A  A 32021   A 32021  b) Xét 5.B 52021  52020  52019  52018   53  52   5.B  B 52021   B 52021  c) Xét 49.A 72023  72021  72019  72017   77  75  73  49.C C 72023   C 72023  50 Ví dụ 5: Chứng minh tổng: 111 11 11 S      4n  4n   2018  2020  0, 222 22 Giải  Tìm cách giải Bản chất toán thu gọn tổng S Tương tự ví dụ trên, dễ dàng phát nhân hai vế tổng S với 22 Sau cộng với biểu thức S Cuối đánh giá  Trình bày lời giải Xét 22 S 24  26  28   22016  22018 11  S  S   2020  S   S  22 44 hay S  0,2 Ví dụ 6: Đặt A 101  102  103   3200 Chứng minh A chia hết cho 120 3 Giải Biểu thức A có 100 số hạng Kể từ số hạng đầu, nhóm số hạng liên tiếp với 25 nhóm A                  101102103104105106107 108 197 198 199 200 A 10   32  33  34   3104   32  33  34      32  33  34  3 100 104 196 A 3 120  120   120 A 120. 3100  3104   3196  120 Điều phải chứng minh C Bài tập vận dụng 4.1 Tính:  32.2  6.32 212.35  46.92 A 4; a)  3.3  b)  22.3  84.35 10 52  25 49 A 4.2 Thực phép tính: 125.7  14 93 4.3 Cho T 22020  22019  22018    1.Tính 2021T 4.4 Tìm x, biết : a) 3x 2  3x 810 b) 2x 2.3x 1.5x 10800 4.5 Tìm số tự nhiên x, biết : 7x 2  7x 1  7x  52x  52x 1  52x 3 57 131 4.6 Tìm x , biết : 30 31 4x ; a) 10 12 62 64 45  45  45  45 65  65  65  65  65  x 8 b) 35  35  35 25 4.7 Chứng minh :    4n   4n   98  100  77 7 50 11 11 4.8 Chứng minh : B 3  32  33   32020  32021  4.9 Chứng minh :  52  62  72   1002  14 19 4.10 Chứng minh : 12.22  22.32  32.42   92.102  4.11 Xét tổng T 22  22  23   22018 2019  22019 2020 Hãy so sánh T với 4.12 Cho S 1        P      234 2011 2012 2013 1007 1008 2012 2013 Tính  S  P  2013 (Đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn, lớp 7, tỉnh Bắc Giang, năm học 2012 - 2013) 4.13 Tìm tất số tự nhiên a, b cho : 2a  37 b  45 b  45 4.14 Chứng tỏ rằng: a) 6363  3737 chia hết cho 10 b) 2100  2101  2102 chia hết cho c) 7100  799  798 chia hết cho 41 4.15 Thu gọn biểu thức sau : 11 1 A       2020 a) 2 2 b) B 15  52  53  54   52019  52020 12 2020 c) C 3  32  33  34   32020 4.16 Đố Bạn điền lũy thừa vào vng cịn lại bảng bên cho tích lũy thừa hàng, cột đường chéo không ? HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 4.1 6.1   32  A  a) 32 1   32  32 3 212.35  212.34 212.34   1 34.2 B 212.36  212.35 212.35  1 35.4 6 b) 10 10   7 5.  6   10 A  4.2 59.73  59.23.73 59.73.1  23    4.3 Xét R 22019  22018   1  2R 22020  22019   22   2R  R 22020   R 22020  : T 22020  R 1  2021T 2021 4.4 a) 3x  32 1 810  3x 10 810  3x 81  x 4 b) Ta có 2x 2.3x 1.5x 10800  2x 22.3x 3.5x 10800   2.3.5 x 900  30x 302  x 2 7x 2  7x 1  7x 52x  52x 1  52x 3 7x  72   1 52x 1   53     4.5 57 131 57 131  x 7x 52x  7x 25x    1  x 0  25  4.6 30 31 4x a) Ta có 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.31 64 301 4x  4x 230.26 1  22x 36 20 64  2x  36 0  x  18 4.45 6.6 x 4.6  4.6  x 8    8 b) 3.3 2.2 3.2  3.2   4.45 23x  212 23x  3x 12  x 4 4.7 Đặt vế trái bất đẳng thức A 11 11 49.A 1    4n  4n   96  98 Xét : 77 77 Suy : 49A  A 1  7100 hay: 50.A 1  7100   A  150 Điều phải chứng minh 4.8 Xét 3.B 1  13  32   32019  32020  3B  B 1  32021  2.B 1  2021   B  111 A      4.9 Đặt 100 A      Ta có 4.5 5.6 6.7 99.100  A          56 99 100  A    1 100 A      Ta có : 5.6 6.7 99.100 100.101  A          56 78 100 101  A      19  57  50 1  2 101 100 100 300 300 Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 4.10 Ta có : 12.22  22.32  32.42   92.102 19  21         1   99  12 334 10 100 100 Điều phải chứng minh 4.11 Xét : 2T 2  32  22   22018 2020 23 2019 2020 T      2018  2019 mà 2 Suy : 2T  T 2      2018  2019 2020 22 22 11 2020  T 2      2018  2019 22  2T 4 1     2017  2018 2020 22 11 2020 2021 2020  T 2      2018  2019  2T  T 3  2018  2019  22  T 3 4.12 Ta có : P      1007 1008 2012 2013  11 1 1 1 1            1       23 1006 1007 1008 2012 2013   1006   11  1 1 1 1                   23 1006 1007 1008 2012 2013   2012  1       S 234 2012 2013 Do  S  P  2013 0 4.13 Xét b 45  b  45  b  45 b  45  b  45 2b  90 số chẵn Xét b  45  b  45  b  45 45  b  b  45 0 số chẵn  2a  37 số chẵn  2a số lẻ  a 0   37  b  45  b  45 Theo nhận xét b 45 38 2b  90  b 64 Vậy a 0; b 64 4.14 6363 6360.633  634 15 633 a) Ta có 634 tận nên  634  tận , mà 633 tận 15 Suy  634 15 633 tận  6363 tận Ta có: 3737 3736.37  374  37 Ta có 374 tận nên  374  tận Suy  374  37 tận Do 633  3737 tận Vậy 633  3737 chia hết cho 10 b) 2100 1   22  2100.7 chia hết cho c) 798  72   1 798.41 chia hết cho 41 4.15 a) Xét 2.A 1  12  22  23   22019 2A  A 1  2020  A 1  2020 suy b) Xét 5B 1  15  52  53   52018  52019 suy 52020  5B  B 1  2020  B  2020 6.5 13 2020 c) Xét 3C 1   32  33   32019 11 2020 3C  C 1      2019  2020 suy 33 33 2C 1      2019  2020 2020 33 11 2020 6C 3      2018  2019 Xét 33 3 2019 2020  2019 2020  6C  2C 3  2019  2020  C   2019  2020  : Suy : 3 3 4.16 Bạn điền sau :