Chuyên đề 4 lũy thừa của một số hữu tỉ

LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈA.. Để thực hiện phép tính chứa nhiều lũy thừa, ta dùng các công thức biến đổi về lũy thừa của các số nguyên tố.. Sau đó có thể dùng tính chất phân phối của phé

Chuyên đề 4 LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ

A Kiến thức cần nhớ

1 Lũy thừa với số mũ tự nhiên

thõa sè

n

n

x x x x x Q n N n

Quy ước : x1x x, 0 1x 0

2 Các phép tính về lũy thừa





m n m n



m n m n

x mn x m n.

 . n  n. n

x y x y

 

 

 

0

n n

n

y

3 Lũy thừa với số mũ nguyên âm



 1

n

n

x

x với x 0,nN

B Một số ví dụ





2 3 4 81 30.4 3 5.14 2

; 54.6 9 12.8 7

2 3 8 3

Giải

 Tìm cách giải Để thực hiện phép tính chứa nhiều lũy thừa, ta dùng các công thức biến đổi về

lũy thừa của các số nguyên tố Sau đó có thể dùng tính chất phân phối của phép nhân đối và phép cộng

 Trình bày lời giải

a) Ta có :





12 4

12 5 12 4

12 6 12 5 12 5

2 3 3 1

2 3 2 3

2 3 2 3 2 3 3 1

A

 

12 5

2 3 2 1

6

2 3 4

A

b) Ta có :



15 30 17 5

14 29 5 5 12 15 30 17 5

3 14 14 14 2 15 5 15 31 17 5 15 30 17 5

5 2 3 2 7

3 2.3 2 3 3 2 3.2 7 2 3 2 3.7 3 2 3 2 7

B

Ví dụ 2: Tìm x

a)    

2

3

2x 2x 320;

Giải

ý:



n n

a b (với n lẻ) thì ab



n n

a b (với n chẵn) thì ab hoặc ab

Để tìm x ở phần số mũ ta đưa hai vế về cùng cơ số và sử dụng :



m n

a a (với a 0, 1) thì m n

a)            

Suy ra x 6; 10 

b)                

2x 2x 320 2x 1 2 320

   6  

Ví dụ 3:

a) Chứng minh rằng 165 215 chia hết cho 66

b) Chứng minh rằng với số nguyên dương n thì  

3n 2n 3n 2n chia hết cho 30

Giải

 Tìm cách giải Để chứng minh A k ta có thể vận dụng tính chất :



A b k thì A k

A B C mà B k thì C k thì A k

a) Ta có : 5  5  20  15  15 5    15  14 

3n 3n 2n 2n 3n 3 1 2 2n 1

    1   1 

3 10n 2 15n 3n 30 2n 30 30

Ví dụ 4: Thu gọn các biểu thức sau:

a) A 32020 32019 32018 32017 3 2  3 1;

b)  2020  2019  2018  2017   2  

B

c)  2021  2019  2017  2015  5  3

C

Giải

chúng ta cần nhân hai vế với một lượng thích hợp để được biểu thức mới, mà bắt đầu từ hạng

tử đối nhau thì cộng biểu thức ban đầu với biểu thức mới, bằng nhau thì trừ biểu thức mới với biểu thức ban đầu

a) Xét 3.A 32021 32020 32019  32018  3 3  32 3



2021

4

b) Xét 5.B 5202152020 5201952018 5352 5



2021

4

c) Xét 49.A  72023  72021 72019  72017   77  75 73



2023

50

Ví dụ 5: Chứng minh rằng tổng:

 12  14  16   412  14   20181  20201  0, 2

S

Giải

phát hiện ra nhân hai vế của tổng S với 2

1

2 Sau đó cộng với biểu thức S Cuối cùng đánh giá

Xét 2  4  6  8   2016  2018

 12  12  20201  5 1  1

2 S S 2 2 S S hay S  0,2

Giải

Biểu thức A có 100 số hạng Kể từ số hạng đầu, cứ nhóm 4 số hạng liên tiếp với nhau được 25 nhóm

 101 102  103  104  105 106  107  108   197  198 199  200

A

 100  2  3  4  104  2  3  4   196  2  3  4

A

3 120100 3 120 3 120104   196

A

120 3100 3104  3 196 120

A

Điều phải chứng minh

C Bài tập vận dụng

4.1 Tính:

a)



6 3 2 6.3

;

3 3.3 3

A

b)  





12 5 6 2

6

2 3 4 9

2 3 8 3







10 3 5 2

5 7 25 49 125.7 5 14

A

4.3 Cho T 2  2  2  2 1  Tính 2021

4.4 Tìm x, biết :

a)  2  

2x 3x 5x 10800

4.5 Tìm số tự nhiên x, biết :



4.6 Tìm x , biết :

1 2 3 4 5 30 31

4 ;

4 6 8 10 12 62 64

x

b)



x

4.7 Chứng minh rằng :



50

B

1 2 2 3 3 4 9 10

T

Hãy so sánh T với 3

S

1007 1008 2012 2013

P

.Tính

S  P2013

(Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán, lớp 7, tỉnh Bắc Giang, năm học 2012 - 2013)

4.14 Chứng tỏ rằng:

a) 6363 3737 chia hết cho 10

b) 2 2 2 chia hết cho 7

c) 7100  799  798 chia hết cho 41

4.15 Thu gọn biểu thức sau :

a)   2  3  4   2020

A

b)   2  3  4   2019  2020

B

c)   2  3  4   2020

C

4.16 Đố Bạn có thể điền các lũy thừa của 2 vào

các ô vuông còn lại trong bảng bên sao cho tích các lũy thừa trong mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo bằng nhau được không ?

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 4.1

a)

 

 

2

2

3 3

3 1 3 3

A

b)





12 4

2 3 3 1

2 3 2 3 2 3 3 1 3 4 6

B

4.2

10 3

10 3 10 4

5 7 1 7 5 6

5 7 5 2 7 5 7 1 2

A

   2020    2020 

2R R 2 1 R 2 1 do đó : T 22020  R 1

 2021T  2021

4.4

a) 3x 32 1 810 3 10x 810 3x 81 x 4

b) Ta có 2 2.3 1.5 10800 2 2 3 3.52 10800 2.3.5 900

x

  2  

4.5

 

 

25

x

x

4.6.

2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.31 64

x



  30 6   2 36  0

30

1

2 64

 2x 36 0 x 18

b)

4.4 6.6 4.6 4.6

3.2 3.2 3.3 2.2

 5  3  12  3    

4.7 Đặt vế trái của bất đẳng thức là A

Xét : 49   1 12   414  412   196  198

A

Suy ra :    100

1

7

A A

50 7

Điều phải chứng minh

   2021   

2 3

A

4.5 5.6 6.7 99.100

A

         

A

     

1

4 100 4

A

Ta có :     

5.6 6.7 99.100 100.101

A

         

A

          

2

5 101 5 100 100 300 300 6

A

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

1 2 2 3 3 4 9 10

2  2  2  2  2  2   2  2    

100 100

Điều phải chứng minh

T

mà   2  3   2018  2019

T

Suy ra :     2  3  2018 2019

T T

   2 1 12  13   20181  20202019

T

 2    4 1 1 12   20171  20202018

T

   2 1 12  13   20181  20202019  2    3 20212018 20202019  3

 T  3

4.12 Ta có :

 1  1   1  1

1007 1008 2012 2013

P

  1 111   1  1 

Do đó    

2013 0

S P

Xét b 45 b 45  b 4545 b b 450 là số chẵn

 2a  37 là số chẵn  2a

là số lẻ  a 0 1 37  b 45  b 45 Theo nhận xét trên thì b 45 do đó 382b 90 b 64

Vậy a0;  b64

4.14.

a) 6363  63 6360 3 63415.633

Ta có 4

63 tận cùng là 1 nên  415

63 tận cùng là 1 , mà 3

63 tận cùng là 7

Suy ra  415 3

63 63

tận cùng là 7  6363tận cùng là 7

Ta có: 3737  37 3736 3749.37

Ta có 4

37 tận cùng là 1 nên  49

37 tận cùng là 1 Suy ra  49

37 37

tận cùng là 7

Do vậy 633  3737tận cùng là 0 Vậy 633 3737 chia hết cho 10

b) 100   2  100

chia hết cho 7 c) 98 2     98

7 7 7 1 7 41

chia hết cho 41

4.15.

a) Xét    2  3   2019

A

suy ra    2020    2020

b) Xét    2  3   2018  2019

B

suy ra



2020

c) Xét    2  3   2019

C

suy ra     2  3   2019  2020

C C

 1 12  13   20191 20202020

C

Xét     2  3  2018  2019

C

Suy ra :

4.16 Bạn có thể điền như sau :