nhq4xPG de thi hoc sinh gioi mon toan lop 11 truon

TRƯỜNG THPT YJUT TỔ TOÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHÓI 11 NĂM HỌC 2012-2013 (Thời gian làm 180 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1(4đ): cho n số : a1 , a2 , a3 , a4 , an  0;1 Chứng minh rằng: (1  a1  a2  a3  a4   an )  4(a12  a22  a32  a42   an2 ) Bài 2(4đ):Giải phương trình : sin 2012 x  cos 2012 x  2(sin 2014 x  cos 2014 x)  cos2 x 15 Bài 4(4đ): Cho hình vng ABCD, H trung điểm AB, K trung điểm AD Trên đường thẳng vng góc với (ABCD) lấy điểm S khác H CMR: a) AC  ( SHK ) b) Tính góc gữa CK với mặt phẳng (SDH) Bài 5(4đ) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cạnh a B ' BA  B ' BC  ABC  600 Chứng minh A’B’CD hình vng Bài 3(4đ): Tìm số ngun dương bé n cho khai triển (1  x )n có hai hệ số liên tiếp có tỉ số HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2012 – 2013 Bài Bài (4đ) Nội dung Xét tam thức f ( x)  x  (1  a1  a2  a3  a4   an ) x  (a12  a22  a32  a42   an2 ) Ta có f (1)  12   a1  a2  a3  a4   an  a12  a22  a32  a42   an2  f (1)  a1 (a1  1)  a2 (a2  1)  a3 (a3  1)  a4 (a4  1)   an (an  1) Mặt khác a1 , a2 , a3 , a4 , an  0;1 nên a1 (a1  1)  a (a  1)   2 a3 (a3  1)   f (1)    an (an  1)  Mà f (0)  a12  a22  a32  a42   an2   f (1) f (0)  Điểm 0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Do phương trình f(x)=0 có nghiệm  0;1   (1  a1  a2  a3  a4   an )  4(a12  a22  a32  a42   an2 )   (1  a1  a2  a3  a4   an )2  4(a12  a22  a32  a42   an2 ) Bài (4đ) sin 2012 x  cos 2012 x  2(sin 2014 x  cos 2014 x )  cos2 x  cos 2012 x (2 cos x  1)  sin 2012 x(1  sin x)  cos2 x  cos2 x  0(1)  cos2 x (cos12 x   sin12 x)    2012 cos x   sin 2012 x  0(2)    *cos2 x   x   k ( k  Z ) *cos 2012 x   sin 2012 x  cos 2012 x  0x  R  2012 Ta nhận thấy *   c os x   sin 2012 x  0x  R 2012 x  0x  R   sin 2 Vậy pt(2) vô nghiệm   Phương trình có nghiệm là: x   k (k  Z ) 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài (4đ) n (1  x )n   Cnk x k  số hạng liên tiếp Cnk ; Cnk 1 ta có k 0 Cnk k 1 k 1     7n  22k  15  n  3k   k 1 Cn 15 n  k 15 k 1 Do n, k  ¥ đặt t  n  22t  đế n số nguyên dương bé t phải số nguyên dương bé k  nên 7t    t   t  (vì t số nguyên dương bé nhất) n  22.1   21 Bài 4: (4đ) 1 1 0.5 S A K D I 0.5 H B C 0.5 a) Cm: AC  ( SHK ) Vì H, K trung điểm AB, AD nên HK đường trung bình tam giác ABD nên HK//BD mà AC  BD  HK  AC (1) Mặt khác SH  ( ABCD)  SH  AC (2) từ (1);(2) ta có AC  ( SHK ) b) Tính góc gữa CK với mặt phẳng (SDH) · · Ta có CDK  DAH (c.g c)  CKD  DHA mà · · · · ·  900 (CK  DH  I ) hay HDA  DHA  900  CKD  HDA  900  KID CK  DH (1)mặt khác SH  ( ABCD)  SH  CK (2) từ (1); (2) ta có CK  ( SDH ) hay góc CK mặt phẳng (SDH) 900 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 D' A' B' C' A B Bài 5: (4đ) D C Theo giả thiết ta có tứ giác A’B’CD hình thoi uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uur 1 CB 'CD  ( BB '  BC ) BA  BB '.BA  BC.BA  a.a  a.a  2  CB '  CD Hay A’B’CD hình vng 1 1 Lưu ý: Học sinh có cách làm khác mà cho điểm tối đa câu  ... giả thi? ??t ta có tứ giác A’B’CD hình thoi uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uur 1 CB 'CD  ( BB '  BC ) BA  BB '.BA  BC.BA  a.a  a.a  2  CB '  CD Hay A’B’CD hình vng 1 1 Lưu ý: Học sinh. ..HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2012 – 2013 Bài Bài (4đ) Nội dung Xét tam thức f ( x)  x  (1  a1  a2  a3