SỞ GD&ĐT BẮC GIANG Trường THPT Nhã Nam KÌ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 11 NĂM HỌC 2012 – 2013 ĐỀ ĐỀ XUẤT Mơn thi: TỐN 11 THPT Thời gian làm bài: 180 phút Câu I: (2 điểm) 1.Giải phương trình: (1 t anx)cos3x (1 cot x)sin x 2sin 2x Tìm nghiệm khoảng ; phương trình: 2sin 3x 8sin 2x cos 2x 4 Câu II: (3 điểm) Có số tự nhiên gồm chữ số khác có số chẵn số lẻ ? Cho k số tự nhiên thỏa mãn k 2011 1 5 Chứng minh rằng: C50 C k2011 C15 Ck2011 C55 Ck2011 Ck2016 u1 11 3.Cho dãy số (un) xác định : u n1 10u n n, n N Tìm cơng thức tính un theo n Câu III: (2 điểm) Cho Pn= 1 1 1 2.3 3.4 (n 1)(n 2) Gọi Un số hạng tổng quát Pn Tìm lim Un n (x 2012) 2x 2012 4x Tìm giới hạn: lim x 0 x Câu IV: ( điểm) Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c M điểm tùy ý cạnh AB, (P) mặt phẳng qua M song song với AC BD cắt BC, CD, DA N, P, Q Tìm vị trí M điều kiện a, b, c để thiết diện MNPQ hình vng, tính diện tích thiết diện trường hợp Cho tam giác ABC có góc nhọn Xác định điểm M bên tam giác cho MA + MB + MC nhỏ -Hết - Họ tên thí sinh: Số báo danh: Sở Gd&Đt BẮC GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2012-2013 híng dÉn biểu điểm Chấm đề thức (Hng dn v biểu điểm chấm gồm 03 trang) Mơn: tốn 11 THPT -CÂU I ĐIỂM 2.0 NỘI DUNG (1.0 đ) ĐK: sin x cos x Khi pt trở thành: 0.25 sinx cos x sin x cos x (1) ĐK: sinx cos x dẫn tới sinx 0;cos x 0.25 Khi đó: (1) sin 2x x k 0.25 KL nghiệm : x 2m 0.25 (1.0 đ).ĐK: sin 3x 4 (1) Khi phương trình cho tương đương với pt: sin 2x 5 x k; x k 12 12 Trong khoảng ; ta nhận giá trị : 11 5 7 x ; x ; x ; x 12 12 12 12 Kết hợp với đk (1) ta nhận hai giá trị thỏa mãn là: x ; 12 7 x 12 0,25 0.25 0.25 0,25 II 3.0 (1.0 đ) TH1: Trong số chẵn có mặt số Số số tìm 5.C24 C35 5! 36000 (số) 0.5 TH2: Trong số chẵn khơng có mặt số Số số tìm C34 C35 6! 28800 (số) Đ/ số 36000 28800 64800 số (1.0 đ) Dễ thấy 1 x 1 x 2011 1 x 2016 2011 2011 C02011 C12011x1 Ck2011x k C2011 2011x 2016 2016 C02016 C12016 x Ck2016 x k C 2016 2016 x P 1 x 0.25 ; M 1 x C05 C15 x1 C52 x C35 x C54 x C55 x N 1 x 0.25 Ta có hệ số x k P Ck2016 Vì P M.N , mà số hạng chứa x k M.N : 1 k1 2 k2 3 k3 4 k4 5 k5 C05.Ck2011xk C15xCk2011 x C52x2Ck2011 x C35x3Ck2011 x C54x4Ck2011 x C55x5Ck2011 x nên 1 5 C50 C k2011 C15 Ck2011 C55 Ck2011 Ck2016 (1 điểm) Ta có: u1 11 10 0.25 0.25 0.25 0.25 u 10.11 102 100 0.25 u 10.102 9.2 1003 1000 un = 10n + n (1) 0.25 Dự đốn: Chứng minh: Ta có: u1 = 11 = 101 + , công thức (1) với n=1 Giả sử công thức (1) với n=k ta có : uk = 10k + k Ta có: uk + = 10(10k + k) + - 9k = 10k+1 + (k + 1) Công thức(1) với n=k+1 Vậy un = 10n + n, n N III 0.25 0.25 2.0 (1 đ) Ta có: k(k 3) (k 1)(k 2) (k 1)(k 2) 0.25 Cho k=1,2,3,…,n ta 1.4.2.5.3.6 n(n 3) 2.3.3.4.4.5 (n+2)(n 1) (n 3) U n= 3(n 1) Sn (n 3) lim Un = lim n 3(n 1) n 0.25 0.25 0.25 2.(1 điểm) 2x 4x Ta có L Lim x 2x 2012 2012 x 0 x x Lim x 2x 0.25 x 0 Lim x 0 Lim x 0 2x 2x 2 2` Lim Lim 2 3 x x x x( (1 2x) 2x 1) ( (1 2x) 2x 1) 4x 4x Lim Lim 2 x 0 x( 4x 1) x 0 x 4x 2 16096 Vậy L 2012 2012.2 3 IV 0.5 0.25 3.0 1.(2 đ) +) Chứng minh MNPQ hình bình hành MN NP +) MNPQ hình vng M trung điểm AB a = c MP NQ +) Lúc SMNPQ = b 2.(1 đ) Dùng phép quay quanh A với góc quay 600 biến M thành M’; C thành C’ 0.5 1.0 0.5 0.25 Ta có MA+MB+MC = BM+MM’+M’C’ MA+MB+MC bé bốn điểm B,M,M’,C’ thẳng hàng 0.5 Khi góc BMA=1200, góc AMC=1200 Ta vị trí M tam giác ABC 0.25 Chú ý: Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa ... 5 k5 C05.Ck2011xk C15xCk2 011 x C52x2Ck2 011 x C35x3Ck2 011 x C54x4Ck2 011 x C55x5Ck2 011 x nên 1 5 C50 C k2 011 C15 Ck2 011 C55 Ck2 011 Ck2016 (1 điểm) Ta có: u1 11 10 0.25... 36000 28800 64800 số (1.0 đ) Dễ thấy 1 x 1 x 2 011 1 x 2016 2 011 2 011 C02 011 C12011x1 Ck2011x k C2 011 2011x 2016 2016 C02016 C12016 x Ck2016 x k C...Sở Gd&Đt BẮC GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2012-2013 híng dÉn vµ biĨu ®iĨm ChÊm ®Ị chÝnh thøc (Hướng dẫn biểu điểm chấm gồm 03 trang) Mơn: tốn 11 THPT