ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2012 -2013 SỞ GDĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ Mơn : TỐN Thời gian làm : 150 phút , không kể thời gian phát đề -Câu ( 2,0 điểm) Giải phương trình sau: x x 2013 2013 Câu ( 3,0 điểm) Cho phương trình (2sin x 1)(2co s x 2sin x m) 2cos x ( Với m tham số) a, Giải phương trình với m = b, Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc 0; Câu (5,0 điểm) a, Giải hệ phương trình : x y 3x y 2 3 x y x y n b, Tìm hệ số x khai triển sau: 3 nx biết n số nguyên thoả mãn hệ thức x 2Cn1 C n2 n 20 Câu (4,0 điểm) Cho A, B, C ba góc tam giác ABC cos B cosC sin B sin C 2 sin A sin B sin C b, Tìm giá trị lớn biểu thức: M cos A cos B cos 2C a, Chứng minh tam giác ABC vuông : sin A Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C1) : x y 13 ,đường tròn (C2) : ( x 6) y 25 a, Tìm giao điểm hai đường trịn (C1) (C2) b, Gọi giao điểm có tung độ dương (C1) (C2) A viết phương trình đường thẳng qua A cắt (C1) (C2) theo hai dây cung có độ dài Câu (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a ,cạnh SA = a vng góc với mặt phẳng (ABCD) a, Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông b, M điểm di động đoạn BC BM =x ,K hình chiếu S DM Tính độ dài đoạn SK theo a x Tính giá trị nhỏ đoạn SK …………… Hết………………… Họ tên thí sinh: SBD: SỞ GDĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2012 -2013 Mơn : TỐN C âu Câ u1 Đáp án Điể m 0,25 x x 2013 2013 ĐK x 2013 Đặt t x 2013 ( với t t 0) t x 2013 t x 2013 Ta có hệ PT: 0,5 x t 2013 ( x t )( x t 1) 2 t x 2013 0,5 + Với x +t =0 ta t = -x x 2013 x Giải ta x 8053 nghiệm + Với x – t +1 = ta : x +1 = t x x 2013 Giải ta 0,25 1 8049 x nghiệm 8053 1 8049 Đáp số : x , x 2 (2sin x 1)(2co s x 2sin x m) 2cos x Câ u2 0,25 0,25 a , Với m =1 ta phương trình : (2sin x 1)(2co s x 2sin x 1) 2cos x (2sin x 1).cos x 5 + sin x x k 2 x k 2 6 + co s x x k 0,5 b, Phương trình cho tương đương với : (2sin x 1)(2co s x m 1) 5 Với sin x x x 0; 0,25 1,5 0,5 0,25 Để phương trình cho có nghiệm thuộc 0; phương trình : cos x vơ nghiệm có hai nghiệm x 1 m 5 ;x Tõ ®ã ta m 3 v m =0 6 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 x y 3x y x 3x y y x 3x 2 3 x y x y 3( x x) 2( y y ) y y Câ 13 13 13 13 u3 Ta nghiệm hệ : ; ; ; ; ;0 ; ; ; n Câ u4 3 nx biết n số nguyên thoả mãn hệ x , Tìm hệ số x khai triển sau: thức 2Cn1 C n 20 n Từ hệ thức 2Cn1 C n 20 Đk n 2, n Z n 3n 40 n n 5 Ta n= thoả mãn n Ta có : 40 14 k k 8 k k x x C x x x k 0 Khai triển 40 14k k Vậy hệ số x4 C82 26 1792 Câ u5 chứa 0,5 0,5 x4m 0,5 0,5 0,5 a, Chứng minh tam giác ABC vuông : sin A cos B cosC sin B sin C 0,5 A cos B cosC A A 2cos A cos A  góc 0,5 Từ sin A 2sin cos 0,5 sin B sin C 2 cos A 2 0,5 sin vuông.Vậy tam giác ABC vuông A sin A sin B sin C sin A sin B sin C M 1 cos A cos B cos 2C cos A cos B cos C 3 M 1 cos A cos B cos 2C Biến đổi 2 cos A cos B cos C M 1 cos 2C cos C.cos ( A B ) 0 M 1 cos ( A B) 1 cos ( A B) M 1 M 1 1 M 3 M 1 b, M 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 cos ( A B ) M 3 A B C 600 cos C cos ( A B ) 0,25 VËy MaxM = tam giác ABC (C1) cú tõm O(0;0),bán kính R1 13 0,25 (C2) có tâm I(6;0),bán kính R2 Giao điểm (C1) (C2) A (2;3) B(2;-3).Vì A có tung độ dương nên A(2;3) 0,25 Vì A có tung độ dương nên A(2;3) Đường thẳng d qua A có pt:a(x-2)+b(y-3)=0 hay ax+by-2a-3b=0 Gọi d1 d (O, d ); d d ( I , d ) 0,25 2 2 2 2 1,0 0,25 Yêu cầu toán trở thành: R d R d d d 12 (4 a 3b ) (2 a 3b ) 12 b 3ab a2 b2 a b2 0,25 b b 3a *b=0 ,chọ a=1,suy pt d là:x-2=0 *b=-3a ,chọ a=1,b=-3,suy pt d là:x-3y+7=0 0,25 S a, SA vuông góc với mp(ABCD) nên SA vng góc với AB AD Vậy tam giác SAB SAD vuông A Lại có SA vng góc với (ABCD) AB Vng góc với BC nến SB vng góc với BC Vởy tam giác SBC vuông C Tương tự tam giác SDC vng D b, Ta có BM =x nên CM = a- x 0,25 DCM ˆ 900 , DAK ˆ CDM ˆ DCM ˆ ) (vì có AKD AK AD AD AK DC DC DM DM 0,25 0,25 A 0,25 D K AKD = a2 x 2ax 2a B Tam giác SAK vuông A nên M 0,25 0,25 C 0,25 0,25 0,25 x 2ax 3a SK SA AK a x 2ax 2a 2 a SK nhỏ AK nhỏ K O x SK nhỏ 0,25 0,25 0,25 -HÕt Ghi chú: - Nêú học sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa - Chỉ chấm hình học sinh vẽ hình đầy đủ xác ...SỞ GDĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2012 -2013 Mơn : TỐN C âu Câ u1 Đáp án Điể m 0,25 x x 2013... -HÕt Ghi chú: - Nêú học sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa - Chỉ chấm hình học sinh vẽ hình đầy đủ xác