SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT BÁ THƯỚC ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2019 - 2020 Mơn thi: Tốn - Lớp 11 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề ) Ngày thi: 28 tháng 12 năm 2019 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu) Câu I (4.0 điểm) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị P hàm số y ax bx , biết P có đỉnh I 2;1 Giải bất phương trình: x 1 x x x x x 12 Câu II (4.0 điểm) x sin x 1 cos x 4cos x.sin Giải phương trình: 2sin x y x 1 y x x Giải hệ phương trình: 2 x x x y x y y x; y Câu III (4.0 điểm) Cho x, y , z số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xyz x z y Tìm giá trị lớn biểu thức: P 2 x 1 y 1 4z z2 1 3z ( z 1) z Cho dãy số un thỏa mãn điều kiện u1 u1 u2 u3 u n n 2u n , n 1, 2, Tìm công thức số hạng tổng quát un dãy số un Câu IV (4.0 điểm) Một hộp đựng 50 thẻ đánh số từ đến 50 Chọn ngẫu nhiên từ hộp hai thẻ Tính xác suất để hiệu bình phương số ghi hai thẻ số chia hết cho Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A , M trung điểm 4 7 AB Đường thẳng CM : x y K ; trọng tâm tam giác ACM Đường 2 thẳng AB qua điểm D 3; 1 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC , biết điểm M có hồnh độ nguyên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thuộc đường thẳng x y 26 Câu V (4.0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh 3a , SA SD 3a , SB SC 3a Gọi M , N trung điểm cạnh SA SD , P điểm thuộc cạnh AB cho AP 2a Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng MNP Cho tứ diện ABCD , G trọng tâm tam giác BCD M điểm di động bên tam giác BCD cho M khác G MG khơng song song với CD Đường thẳng qua VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí M song song với GA cắt mặt phẳng ABC , ACD , ABD P, Q, R Tìm giá trị lớn tích MP.MQ.MR Hết ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Ý Nội dung Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị P hàm số y ax bx , biết P có đỉnh I 2;1 b 2 4a b a 1 Từ giả thiết ta có: 2a 4a 2b b 4a 2b Vậy P : y x x Bảng biến thiên: x Điể m 2,0 0,5 0,5 y Đồ thị hàm số có đỉnh I 2;1 , trục đối xứng x Đồ thị hàm số cắt trục tung 0; 3 cắt trục hoành 1;0 , 3;0 0,5 Đồ thị hàm số hình vẽ I 0,5 Giải bất phương trình: x 1 x x x x x 12 2,0 Đk: x 2 BPT x 1 x 1 x x 6 x x2 2x x2 x2 x x x x22 x7 3 VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí 0,5 0,5 x6 x 1 x 2 x 4 x7 3 x22 x 1 x6 x 4 x22 x7 3 Ta có = = x2 x2 x6 x6 2 x22 x7 3 x22 x 2 x2 x22 x 6 x 1 x7 3 0,5 0, x 2 x22 BPT x x 0,5 Vậy tập nghiệm bất phương trình S 2; 2 x sin x 1 cos x 4cos x.sin Giải phương trình: 2sin x x k 2 , k (*) ĐK: Điều kiện: sin x x 5 k 2 2,0 0,25 Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: sin x 1 cos x cos x.sin x 3 0,5 sin x sin x.cos x cos x 1 cos x II 2 sin x cos x 3sin x sin x.cos x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x TH1: sin x cos x cot x x TH2: sin x cos x sin x cos x k , k cos x sin sin x 6 6 2 k 2 x k 2 , k Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình cho có nghiệm VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí 0,25 0,25 0,25 0,5 x 7 2 k 2 , x k 2 , k Giải hệ phương trình: y x 1 y x x 1 2 x x x y x y y 2 x; y x Điều kiện: y x2 x y x y Pt 1 y x 3 y x 1 x 2,0 0,5 y y x 1 y x 1 x Đặt a y 2; b x 1; a 0; b ta được: a3 3ab2 2b3 a b a 2b a b 0,5 y x y x 1 x x 1 Thay y x vào (2) ta được: x x x 3x x x 3x x 3x 1 x x x x 3x 0,5 0 x x x x 3x x x 3x t / m x x 1 y x y 0,5 KL : T x ; y 1;1 , 2;3 III Cho x, y , z số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xyz x z y Tìm giá trị lớn biểu thức: P 2 x 1 y 1 4z z2 1 3z ( z 1) z 2,0 Đặt x tan A, y tan B, z tan C , (0 A, B, C ) Theo giả thiết ta có: x yz tan B tan C tan A tan(B C ) A B C k yz tan B tan C Do A B C k A B C Khi đó: VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí 0,5 1 tan C 3tan C P 2( ) 2 tan A tan B tan C (1 tan C ) tan C 2(cos A cos B) 4sin C 3sin C.cos C cos A cos2B 4sin C 3sin C.cos C 2sin A B sin A B 4sin C 3sin C.cos C 0,5 2sin C.sin A B 4sin C 3sin C.cos C 2sin C 4sin C 3sin C.cos C sin C (3cos C 2) sin C (1 3sin C ) P 0 3 Nếu sin C Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm 6sin C (1 3sin C )(1 3sin C ) P sin C (1 3sin C )2 2 2 6sin C 3sin C 3sin C P ( ) 81 Nếu sin C 0,5 Dấu ‘’ = ‘’ xảy sin C tan C 2 tan C , tanA= , tan B sin( A B) tan B cot A A B C tan A tan B 1 tan A tan B 2 Vậy giá trị lớn P x 2; y ;z Cho dãy số un thỏa mãn điều kiện u1 0,5 u1 u2 u3 u n n 2u n , n 1, 2, 2,0 Với n = 2, 3, , ta có u1 + u2 + + un- + un = n2un , 0,5 Tìm cơng thức số hạng tổng quát un dãy số un Với n = 2, ta có u1 + u2 = 4u2 Þ u2 = u1 + u2 + + un- = (n - 1) un- Trừ hai đẳng thức ta un = n2un - (n - 1) un- , " n ³ n- u ," n ³ n + n- 6u2 n- n- Þ un = u2 = = , " n ³ n+ n n(n + 1) n(n + 1) Û (n2 - 1)un = (n - 1) un- , " n ³ Û un = IV 0,5 0,5 Với n 1, n công thức Vậy un , n * n n 1 0,5 Một hộp đựng 50 thẻ đánh số từ đến 50 Chọn ngẫu nhiên từ 2,0 VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí hộp hai thẻ Tính xác suất để hiệu bình phương số ghi hai thẻ số chia hết cho n C502 Gọi A biến cố hiệu bình phương số ghi hai thẻ số chia hết cho Giả sử số chọn a,b Theo giả thiết a b a b2 3 a b a b 3 a b 3 Nếu a b a, b phải đồng dư chia số cách chọn là: C162 C172 C172 Nếu a b a b chia hết cho số chia dư 1, 0,5 0,5 số chia dư số cách chọn là: C162 C171 C171 a b a số cách chọn là: C162 b a b Lại có: 0,5 Do đó: n A C162 C172 C172 C162 C171 C171 C162 C162 C172 C172 C171 C171 Vậy P A C162 C172 C172 C171 C171 681 C50 1225 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A , M 4 7 trung điểm AB Đường thẳng CM : x y K ; trọng 2 tâm tam giác ACM Đường thẳng AB qua điểm D 3; 1 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC , biết điểm M có hồnh độ nguyên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thuộc đường thẳng x y 26 0,5 2,0 0,5 Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trước hết ta chứng minh MC ^ IK Thật vậy, gọi H , N trung điểm BC , AC ; G = AH Ç CM Suy G trọng tâm tam giác ABC Mặt khác K trọng tâm tam giác ACM nên KG || HE Suy KG || AB Mà IM ^ AB nên KG ^ IM Rõ ràng AH ^ MK nên G trực tâm tam giác MIK Suy MC ^ IK Đường thẳng KI qua K vng góc với CM nên có phương trình: VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí 0,5 12 x + y - 37 = ìï 12 x + y - 37 = Tọa độ I thỏa mãn hệ ï ïỵ x + y - 26 = uuuur ïìï x = ù 25 ùù y = ợ 25 Iỗ 1; ữ ỗ ữ ỗ 6ữ uuur Gi M (2 m- 7; m ) Ỵ MC Ta có DM = (2m - 10; m+ 1); IM = ỗỗỗ2m - 8; muuuur uuur 235 455 DM ^ IM Û DM IM = Û 5m2 m+ =0 6 é 13 êm = (l ) ê Û ê ê êm = (tm) ê ë uuuur Suy M ỗỗỗ0; ữữữ, DM = ỗỗỗ- 3; ữ ữ Từ suy AB : x + y - = 2÷ 25 ÷ ÷ 6ữ 0,5 Gi C (2c - 7; c ) ẻ CM 4 7 Do K ; trọng tâm ACM nên A (11 - 2c; - c ) Mà A Ỵ AB suy c = 3 2 Từ A (1; 2), B (- 1;5), C (3;5) Thử lại ta thấy AB AC thỏa mãn tốn 0,5 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh 3a , SA SD 3a , SB SC 3a Gọi M , N trung điểm cạnh SA SD , P điểm thuộc cạnh AB cho AP 2a Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng MNP V 0,5 Do MN //AD MN //BC Vậy MNP cắt mặt phẳng ABCD theo giao tuyến qua P , song song BC cắt DC điểm I Thiết diện khối chóp cắt mặt phẳng MNP hình thang MNIP Do NDI MAP nên MP NI Từ suy MNIP hình thang cân Trong tam giác SAB , ta có cos SAB SA2 AB SB 9a 9a 27a 9a 2.SA AB 2.3a.3a 18a VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí 0,5 Trong tam giác, MAP , ta có 2 9a 4a 3a 2a 37 a MP a 37 MP MA2 AP 2MA.AP cos MAP 4 Từ M kẻ MF PI , từ N kẻ NE PI Dễ thấy, tứ giác MNEF hình chữ 3a 3a nhật từ suy MN EF PF EI 37a 9a a 139 Xét tam giác vng MFP , ta có MF MP FP 16 Ta có S MNIP 0,5 3a a 139 3a MN IP MF 9a 139 2 16 0,5 Cho tứ diện ABCD G trọng tâm tam giác BCD M điểm di động bên tam giác BCD cho M khác G MG không song song với CD Đường thẳng qua M song song với GA cắt mặt phẳng ABC , ACD , ABD P, Q, R Tìm giá trị lớn tích MP.MQ.MR 0,5 - Xét M trùng G MP.MQ.M R GA - Xét M không trùng G, nêu cách kẻ P,Q, R MP MQ MR MI MJ MK S MBC S MCD S MBD Tính có: GA GI GJ GK S GBC S GCD S GCD 0,5 S MBC S MCD S MBD S ABC 1 S ABC S ABC 3 VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí 3 MP MQ MR 3GA Theo Côsi MP.MQ.MR GA Dấu xảy MP MQ MR MI MJ MK MP MQ MR 1 1 GA GA GA GI GJ GK M trùng trọng tâm G tam giác BCD KL: Giá trị lớn GA3 M trọng tâm tam giác BCD Mời bạn đọc tham khảo https://vndoc.com/tai-lieu-hoc-tap-lop-11 VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí 0,5 0,5 ... Giá trị lớn GA3 M trọng tâm tam giác BCD Mời bạn đọc tham khảo https://vndoc.com/tai-lieu -hoc- tap -lop- 11 VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí 0,5 0,5 ... Tính diện tích thi? ??t diện hình chóp cắt mặt phẳng MNP V 0,5 Do MN //AD MN //BC Vậy MNP cắt mặt phẳng ABCD theo giao tuyến qua P , song song BC cắt DC điểm I Thi? ??t diện khối... DẪN CHẤM Câu Ý Nội dung Lập bảng biến thi? ?n vẽ đồ thị P hàm số y ax bx , biết P có đỉnh I 2;1 b 2 4a b a 1 Từ giả thi? ??t ta có: 2a 4a 2b b