SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT SƠNG LƠ ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) Giải bất phương trình: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: Tốn – Lớp 11 ( Ngày thi: 13/11/2012) (Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang x 91 x x Câu (2,0 điểm) Giải phương trình hệ phương trình: tan x cos x cos x a) 3(sin x cos x) 2sin x Câu (2,0 điểm) 1) Hỏi số 16200 có ước số tự nhiên? x1 y 1 b) x 6 y x7 ) n , biết rằng: x k n 20 C2 n1 C2 n 1 C2 n 1 ( n nguyên dương, Cn số tổ hợp chập k n phần tử) 2) Tìm hệ số số hạng chứa x 26 khai triển nhị thức Niutơn ( Câu (3,0 điểm) Cho đường thẳng : x y 19 đường tròn (C ) : x y x y Từ điểm M nằm đường thẳng kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C ) (A B hai tiếp điểm) Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác AMB biết AB 10 Câu (1,0 điểm) Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác thỏa mãn điều kiện a b2 c 2(ab bc ca) Chứng minh (a b c) (b c a ) (c a b) -HẾT Học sinh không sử dụng máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm -HẾT Học sinh không sử dụng máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT SƠNG LÔ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: Tốn – Lớp 11 ( Ngày thi: 13/11/2012) (Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Ý Nội dung Điểm 2,0 Giải bất phương trình Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với x 91 - x - x2 < Đặt f(x) vế trái, ta xét dấu f(x) Trước hết ta tìm nghiệm f(x): 0,25 x 91 -10 = x -1 + x 1 ( x 3).( x 3) (*) 10 x x Vì x nên biểu thức ngoặc bên vế trái (*) dương Từ (*) x 0,25 Ta có f(x) = 0,75 0,25 Xét dấu f(x): - + 2 + Qua bảng xét dấu ta có nghiệm bất phương trình cho x Giải phương trình hệ phương trình Giải phương trình 5 Điều kiện: cos x 0, sin x hay x k 2 , x k 2 , x k 2 , k 2 6 Khi phương trình cho tương đương sin x( cos x 3) cos x cos x( sin x 1) sin x (sin x 1)(1 sin x) cos x( sin x 1) sin x (sin x 1)(1 sin x) cos x(2 sin x 1) 5 sin x x k 2 , x k 2 sin x cos x x k 2 , x k 2 sin x cos x 6 Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm phương trình 5 x k 2 , x k 2 , k 6 Giải hệ phương trình §iỊu kiƯn: x -1, y x1 x6 y 1 y 4 10 x6 x1 y 4 y 1 0,25 0,25 2,0 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 Céng vÕ theo vÕ trừ vế theo vế ta có hệ Đặt u= x x , v = y y Ta cã hÖ u v 10 u x v 5 y 5 lµ nghiƯm cđa hƯ 5 2 u v Tìm số ước số… 0,5 0,5 2,0 1,0 Câu Ý Nội dung Điểm Ta cã: 16200 23.34.52 0,25 Ước cua 16200 cú dạng: m.3n.5 p m, n, p ; m 3, n 4, p + Với số (m, n, p) ta cã íc sè tù nhiªn cđa 16200 0,25 0,25 + Chän m: cã c¸ch n: cã c¸ch p: cã c¸ch Suy ra: cã 4.5.3=60 (bé số(m, n, p) Vậy có 60 ước số cần tìm 0,25 Tìm hệ số C n 1 C 2 n 1 1,0 C n n 1 20 1 C20n 1 C21n 1 C22n 1 C2nn1 20 2(C20n 1 C21n 1 C22n 1 C2nn1 ) 221 C20n 1 C21n 1 C22n 1 C2nn1 C2nn11 C22nn11 C22nn1 C22nn11 221 (1 1)2 n 1 221 n 21 n 10 10 Với n = 10 ta có ( 0,5 10 1 x )10 C10k ( ) k ( x )10k C10k x 7011k x x k 0 k 0 0,25 70 11k 26 k 26 + Vậy hệ số x khai triển ( x7 )10 là: C104 210 x 0,25 3,0 A M H B Đường trịn (C) có tâm I (2; 1), bán kính R Gọi H MI AB Ta có AH 10 AB 2 0,5 Trong tam giác vuông MAI (tại A) với đường cao AH ta có 1 1 AM MI 10 AH AI AM AM 10 Ta có : 5x 2y 19 : x 5 y M (5 2m; 5m) 2 0,5 Khi MI 10 (3 2m) ( 5m) 10 29m 32m m 1 m 29 0,5 Chú ý rằng, đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB đường trịn đường kính MI Với m 1 ta có M (3; 2) Khi pt đường trịn ngoại tiếp AMB 5 1 x y 2 2 139 72 Với m ta có M ; Khi pt đt ngoại tiếp AMB 29 29 29 2 197 101 x y 58 58 Chứng minh bất đẳng thức… 0,75 0,75 1,0 Câu Ý Nội dung Đặt a x y , b y z , c z x; x 0, y 0, z điều kiện tốn đưa xy yz zx Điểm (*) Và bất đẳng thức cần chứng minh đưa về: đưa bất đẳng thức : x y z (**) 48 0,25 Áp dụng bất đẳng thức coossi cho số, ta có 1 144 144 1 y4 z 144 144 x4 y4 xy (1) tương tự yz 1 xz (2) , x z (3) 144 144 Cộng vế với vế BĐT (1), (2), (3) ta có (**) Dấu xảy x y z 12 hay a b c 0,5 HẾT 0,25 ... TRƯỜNG THPT SÔNG LÔ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: Tốn – Lớp 11 ( Ngày thi: 13 /11/ 2012) (Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang ĐÁP... C2nn1 C2nn? ?11 C22nn? ?11 C22nn1 C22nn? ?11 221 (1 1)2 n 1 221 n 21 n 10 10 Với n = 10 ta có ( 0,5 10 1 x )10 C10k ( ) k ( x )10k C10k x 7011k x x k 0... 10 ta có ( 0,5 10 1 x )10 C10k ( ) k ( x )10k C10k x 7011k x x k 0 k 0 0,25 70 11k 26 k 26 + Vậy hệ số x khai triển ( x7 )10 là: C104 210 x 0,25 3,0 A M H B Đường trịn