r8iDMkz de thi hoc sinh gioi mon toan lop 11 truon

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT SƠNG LƠ ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) Giải bất phương trình: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: Tốn – Lớp 11 ( Ngày thi: 13/11/2012) (Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang x  91  x   x Câu (2,0 điểm) Giải phương trình hệ phương trình: tan x cos x  cos x  a)  3(sin x  cos x)  2sin x Câu (2,0 điểm) 1) Hỏi số 16200 có ước số tự nhiên?  x1  y 1  b)   x 6  y    x7 ) n , biết rằng: x k n 20 C2 n1  C2 n 1   C2 n 1   ( n nguyên dương, Cn số tổ hợp chập k n phần tử) 2) Tìm hệ số số hạng chứa x 26 khai triển nhị thức Niutơn ( Câu (3,0 điểm) Cho đường thẳng  : x  y  19  đường tròn (C ) : x  y  x  y  Từ điểm M nằm đường thẳng  kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C ) (A B hai tiếp điểm) Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác AMB biết AB  10 Câu (1,0 điểm) Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác thỏa mãn điều kiện a  b2  c   2(ab  bc  ca) Chứng minh (a  b  c)  (b  c  a )  (c  a  b)  -HẾT Học sinh không sử dụng máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm -HẾT Học sinh không sử dụng máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT SƠNG LÔ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: Tốn – Lớp 11 ( Ngày thi: 13/11/2012) (Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Ý Nội dung Điểm 2,0 Giải bất phương trình Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với x  91 - x  - x2 < Đặt f(x) vế trái, ta xét dấu f(x) Trước hết ta tìm nghiệm f(x): 0,25 x  91 -10 = x  -1 + x    1 ( x  3).( x  3)    (*) 10  x   x    Vì x  nên biểu thức ngoặc bên vế trái (*) dương Từ (*)  x  0,25 Ta có f(x) =  0,75 0,25 Xét dấu f(x): - + 2 +  Qua bảng xét dấu ta có nghiệm bất phương trình cho x  Giải phương trình hệ phương trình Giải phương trình   5 Điều kiện: cos x  0, sin x  hay x    k 2 , x   k 2 , x   k 2 , k   2 6 Khi phương trình cho tương đương sin x( cos x  3)  cos x   cos x( sin x  1)  sin x (sin x  1)(1  sin x)   cos x( sin x  1)  sin x  (sin x  1)(1  sin x)  cos x(2 sin x  1)   5  sin x    x    k 2 , x    k 2  sin x      cos x      x    k 2 , x     k 2 sin x   cos x     6  Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm phương trình  5 x    k 2 , x    k 2 , k   6 Giải hệ phương trình §iỊu kiƯn: x  -1, y   x1  x6  y 1  y 4  10  x6  x1  y 4  y 1  0,25 0,25 2,0 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 Céng vÕ theo vÕ trừ vế theo vế ta có hệ Đặt u= x   x  , v = y   y  Ta cã hÖ   u  v 10 u x  v 5  y 5 lµ nghiƯm cđa hƯ 5   2 u v  Tìm số ước số… 0,5  0,5 2,0 1,0 Câu Ý Nội dung Điểm Ta cã: 16200  23.34.52 0,25 Ước cua 16200 cú dạng: m.3n.5 p  m, n, p  ;  m  3,  n  4,  p  + Với số (m, n, p) ta cã ­íc sè tù nhiªn cđa 16200 0,25 0,25 + Chän m: cã c¸ch n: cã c¸ch p: cã c¸ch Suy ra: cã 4.5.3=60 (bé số(m, n, p) Vậy có 60 ước số cần tìm 0,25 Tìm hệ số C n 1 C 2 n 1 1,0   C n n 1 20  1  C20n 1  C21n 1  C22n 1   C2nn1  20  2(C20n 1  C21n 1  C22n 1   C2nn1 )  221  C20n 1  C21n 1  C22n 1   C2nn1  C2nn11   C22nn11  C22nn1  C22nn11  221  (1  1)2 n 1  221  n   21  n  10 10 Với n = 10 ta có ( 0,5 10 1  x )10   C10k ( ) k ( x )10k   C10k x 7011k x x k 0 k 0 0,25  70  11k  26  k  26 + Vậy hệ số x khai triển (  x7 )10 là: C104  210 x 0,25 3,0 A M H B Đường trịn (C) có tâm I (2; 1), bán kính R  Gọi H  MI  AB Ta có AH  10 AB  2 0,5 Trong tam giác vuông MAI (tại A) với đường cao AH ta có 1 1       AM   MI  10 AH AI AM AM 10 Ta có  : 5x  2y 19   : x 5 y    M (5  2m;  5m) 2 0,5 Khi MI  10  (3  2m)  (  5m)  10  29m  32m    m  1 m 29 0,5 Chú ý rằng, đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB đường trịn đường kính MI Với m  1 ta có M (3;  2) Khi pt đường trịn ngoại tiếp AMB 5  1  x     y    2  2   139 72  Với m   ta có M  ;  Khi pt đt ngoại tiếp AMB 29  29 29  2 197   101   x   y   58   58   Chứng minh bất đẳng thức… 0,75 0,75 1,0 Câu Ý Nội dung Đặt a  x  y , b  y  z , c  z  x; x  0, y  0, z  điều kiện tốn đưa xy  yz  zx  Điểm (*) Và bất đẳng thức cần chứng minh đưa về: đưa bất đẳng thức : x  y  z  (**) 48 0,25 Áp dụng bất đẳng thức coossi cho số, ta có 1   144 144 1 y4  z    144 144 x4  y4  xy (1) tương tự yz 1 xz (2) , x  z    (3) 144 144 Cộng vế với vế BĐT (1), (2), (3) ta có (**) Dấu xảy x  y  z  12 hay a  b  c  0,5 HẾT 0,25 ... TRƯỜNG THPT SÔNG LÔ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: Tốn – Lớp 11 ( Ngày thi: 13 /11/ 2012) (Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang ĐÁP... C2nn1  C2nn? ?11   C22nn? ?11  C22nn1  C22nn? ?11  221  (1  1)2 n 1  221  n   21  n  10 10 Với n = 10 ta có ( 0,5 10 1  x )10   C10k ( ) k ( x )10k   C10k x 7011k x x k 0... 10 ta có ( 0,5 10 1  x )10   C10k ( ) k ( x )10k   C10k x 7011k x x k 0 k 0 0,25  70  11k  26  k  26 + Vậy hệ số x khai triển (  x7 )10 là: C104  210 x 0,25 3,0 A M H B Đường trịn