Điểm thuộc đồ thị hàm số

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ Vấn đề Điểm cố định thuộc đường cong, điểm mà họ đường cong không qua Phương pháp Ta thường gặp toán sau Bài toán : Tìm tất điểm M thuộc đồ thị (C) : y  f(x) , biết M thỏa mãn tính chất T cho trước Phương pháp : M  (C)  M(m;f(m)) Dựa vào tính chất T M ta tìm m Điểm cố định họ đường cong Điểm A(x0;y0) gọi điểm cố định họ đường cong (C m ) : y  F(x,m) F(x0 ,m)  y0 m (1) Để giải (1) ta thường biến đổi (1) dạng f(x0 ,y0).m2  g(x0 ,y0).m  h(x0 ,y0)  m  ¡  f(x0 ,y0)  g(x0 ,y0)  h(x0 ,y0)  Từ ta tìm A Điểm mà họ đường cong không qua Điểm A(x0;y0) gọi điểm khơng có đường cong họ đường cong (C m ) : y  F(x,m) qua F(x0 ,m)  y0 m  ¡ Hay phương trình F(x0 ,m)  y0 vơ nghiệm với m a  Chú ý : Phương trình ax  b  vô nghiệm   b  Ví dụ 1.1.7 Cho hàm số y  (m  2)x3  3(m  2)x  m  có đồ thị  Cm  Chứng minh họ đường cong (C m ) qua ba điểm cố định ba điểm nằm đường thẳng Lời giải Gọi A(x0;y0) điểm cố định họ đường cong (C m )  y0  (m  2)x03  3(m  2)x0  m  m  ¡  m(x03  3x0  1)  2x03  6x0   y0  m  ¡ x3  3x   x  3x0   0    y0  2x0  6x0   y0  2(3x0  1)  6x0   12x0  Vì phương trình x3  3x  1 ln có ba nghiệm phân biệt nên ta suy họ đường cong (C m ) qua ba điểm cố định 157 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Từ phương trình y0  12x0   ba điểm cố định nằm đường thẳng y  12x  Ví dụ 2.1.7 Chứng minh họ  C m  : y  (m  1)x  m tiếp xúc x m với đường thẳng cố định Lời giải Cách 1: Giả sử  C m  tiếp xúc với đường thẳng y  ax  b Khi hệ phương trình sau có nghiệm với m:   (m  1)x  m m2  ax  b m  1  a(x  m)  am  b  x m x m     2  m  m a a  (x  m)2  (x  m)2   2m2  am  m  1 b  (am  m  1 b)2 x m    a m  ¡ 2 4m  m a  (x  m)2  a   (a  1)2 m2  2(1 b)(a  1)m  (1 b)2  m   b  Vậy  C m  tiếp xúc với đường thẳng y  x  Cách 2: Ta dễ dàng tìm điểm cố định  C m  A(0;1) Hệ số góc tiếp tuyến A : y'(0)  nên tiếp tuyến A có phương trình: y  x  Vậy  C m  tiếp xúc với đường thẳng y  x  Cách 3: Giả sử M(x0;y0) điểm mà khơng có đường họ  Cm  qua  y0  (m  1)x0  m x0  m  (x0  1 y0)m  x0y0  x0 (m  x0) vô nghiệm với m  x0  1 y0    y0  x0      x0y0  x0    x0   y0  x0  Ta dễ dàng (x  1 y )(x )  x y  x x  0 0 0   chứng minh  C m  tiếp xúc với đường thẳng y  x  Vậy,  C m  tiếp xúc với đường thẳng y  x  158 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Chú ý: Để chứng minh họ đường cong (C m ) : y  F(x,m) tiếp xúc với đường cong cố định ta có cách sau Cách Sử dụng hệ để xét điều kiện tiếp xúc: Giả sử họ (Cm) tiếp xúc với đường cố định (C): y  g(x) Khi hệ F(x,m)  g(x) phương trình sau có nghiệm với m:  Từ ta xác F'(x,m)  g'(x) định g(x) Ta thường áp dụng cách y  g(x) Parabol đường thẳng Cách Phương pháp tiếp tuyến cố định : (Áp dụng đường cố định đường thẳng) Tìm điểm cố định viết phương trình tiếp tuyến (Cm) điểm cố định đường thẳng cố định tiếp tuyến đường thẳng cần tìm Cách Phương pháp tìm đường biên hình lồi: * Tìm điểm mà khơng có đường (Cm) qua, chẳng hạn ta quỹ tích điểm bao lồi có đường biên (C): y  g(x) * Ta chứng minh (Cm) tiếp xúc với đường (C) : y  g(x) Ví dụ 3.1.7 Chứng minh tiệm cận xiên họ đồ thị  C m  : (m  1)x2  m2 (m  0) tiếp xúc với Parabol cố định x m Lời giải y m3  tiệm cận xiên  C m  đường x m thẳng d có phương trình: y  (m  1)x  m(m  1) Cách 1: Giả sử d tiếp xúc với Parabol (P) có phương trình : y  ax2  bx  c (a  0) Khi hệ phương trình sau có nghiệm với m : ax2  bx  c  (m  1)x  m(m  1) (1)  (2) 2ax  b  m  m  1 b Từ (2) suy x  thay vào (1) ta có được: 2a Ta có y  (m  1)x  m(m  1)  (m  1 b)2 b(m  1 b) (m  1)(m  1 b)   c  m(m  1) 4a 2a 2a  (1 4a)m2  2[(1 b)  2a]m  (1 b)2  4ac  (*) Vì hệ có nghiệm với m nên (*) với m 159 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả  a   1 4a    1 1   (1 b)  2a    b   (P) : y   x2  x  4   (1 b)  4ac   c    1 Vậy d tiếp xúc với Parabol (P) : y   x2  x  4 Cách 2: Giả sử M(x0;y0) điểm mà d khơng qua, phương trình y0  (m  1)x0  m2  m  m2  (x0  1)m  x0  y0  vô nghiệm m 1    (x0  1)2  4x0  4y0   y0   x02  x0  4 Ta dễ dàng chứng minh d tiếp xúc với Parabol 1 (P) : y   x2  x  4 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y  x3  (2m  1)x2  mx  3m  có đồ thị  C m  Tìm  C1 cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ Tìm m để tồn cặp điểm đối xứng qua trục tung Tìm tất điểm cố định họ đường cong  C m  ln qua 4.Tìm điểm cố định mà khơng có đồ thị họ  C m  qua mx  Bài 2: Cho hàm số y  có đồ thị  C m  2x  m Tìm điểm cố định mà họ đồ thị  C m  qua Tìm tập hợp điểm mà khơng có đường cong họ  Cm  qua Bài 3: 2x2  (1 m)x  1 m Gọi  C m  đồ thị hàm số y  , m tham x m số Chứng minh với m  1  C m  tiếp xúc với đường thẳng cố định điểm cố định Gọi  C m  đồ thị hàm số y = 2mx  m2   , m tham x1 số khác Chứng minh với m  đường tiệm cận xiên  Cm  tiếp xúc với parabol cố định 160 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Cho họ đồ thị  C m  : y  (m  1)x  m , m tham số khác Chứng x m minh họ  C m  tiếp xúc với điểm cố định Chứng minh với tham số m khác 0, đồ thị  Hm : (m  2)x  3m  tiếp xúc với điểm cố định x  1 m Bài 4: Cho họ đồ thị (Cm) : y = mx4  (4m  1)x2  3m  Tìm điểm đường thẳng (d): y = x+1 mà khơng có đồ thị (Cm) qua dù m lấy giá trị Cho họ đồ thị (Cm): y  (m  3)x3  (3m  7)x  m  Chứng minh (Cm) qua ba điểm cố định thẳng hàng Cho họ đồ thị (Cm) : y  mx4  (m2  2m)x2  m3 Chứng minh với điểm A cho trước mặt phẳng tọa độ , ta ln tìm giá trị m thích hợp để (Cm) qua A y Vấn đề Điểm thuộc đồ thị Phương pháp Bài toán: Cho đồ thị  C  : y  f  x , tìm đồ thị cặp điểm M ,N đối xứng qua điểm A đường thẳng d : ax  by  c  ( cho sẵn ) Cách giải: - Giả sử M  x0;y0   (C)  y0  f  x0   1 - Tìm tọa độ điểm N theo x0 ,y0 cho N điểm đối xứng M qua A ( qua d ) Nên ta có : yN  f  xN   2 - Từ  1  2 ta tìm tọa độ điểm M ,N Bài toán Cho hàm số  C  : y  f  x Tìm cặp điểm  C đối xứng với qua điểm I  xI ;yI  Cách giải: Gọi cặp điểm cần tìm M(x1;y1) N(x2;y2) ,thế ta có:  M N đối xứng qua I  I trung điểm đoạn MN  M N thuộc (C) nên tọa độ chúng nghiệm phương trình y = f(x) Do tọa độ M , N nghiệm hệ sau 161 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả  y1  f(x1)   y2  f(x2) Giải hệ tìm tọa độ M , N  x1  x2  2xI  y  y  2y  I Đặc biệt: Nếu M , N hai điểm đối xứng với qua gốc tọa độ O , M  x0;y0  N(x0;y0) suy (x0;y0) nghiệm hệ  y0  f(x0) Giải hệ tìm tọa độ M , N   y0  f(x0) Công thức tọa độ phép đối xứng tâm Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm I(a;b) Gọi SI phép đối xứng tâm I Ta có M '(x';y') ảnh M(x;y) qua SI x'  2a  x x  2a  x'    y'  2b  y y  2b  y' Đường (C) : y  f(x) có ảnh qua đối xứng tâm SI (C) : 2b  y  f(2a  x)  y  f(2a  x)  2b Ví dụ 1.2.7 Cho hàm số y  x3  3x  có đồ thị  C  Tìm điểm đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua điểm M  –1; 3 2x  có đồ thị  C  Tìm  C  hai điểm đối x1 xứng qua đường thẳng MN biết M  –3; 0 N  –1;–1 Cho hàm số y Lời giải Gọi A  x0;y0  , B điểm đối xứng với A qua điểm M(1;3)  B 2  x0;6  y0   y  x3  3x  0 A ,B  (C)   6  y0  (2  x0)  3(2  x0)     x03  3x0    2  x0   3 2  x0    6x02  12x0    x0  1 y0  Vậy điểm cần tìm là:  1;0  1;6 uuuu r MN  (2; 1)  phương trình MN : x  2y   Phương trình đường thẳng 162  d  MN có dạng: y  2x  m http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Phương trình hồnh độ giao điểm  C   d  :  2x2  mx  m   (x  1)  d  1 2x   2x  m x1 cắt  C  hai điểm phân biệt A ,B    m2 – 8m – 32   2 Khi A(x1;2x1  m), B(x2;2x2  m) với x1, x2 nghiệm  1 x x   m m Trung điểm AB I  ;x1  x2  m   I   ;  (theo định lý  2   Vi-et) A ,B đối xứng qua MN  I  M N  m  4 Suy  1  2x2  4x   x  0,x   A  0; – 4 , B 2; 0 Ví dụ 2.2.7 Tìm đồ thị  C  : y  x hai điểm M ,N đối xứng qua I(1; 2) x Lời giải Gọi (C') ảnh (C) qua phép đối xứng tâm I (2 1 x)  5x  15  y Ta có phương trình (C') là: 2 (2)  y  (2 1 x)  x Phương trình hồnh độ giao điểm (C') (C)  x  1 x  5x  15   x2  2x     x x x  Hai điểm M ,N cần tìm M(1; 4) N(3;0) Ví dụ 3.2.7 Cho hàm số y  x3  mx2  9x  Xác định m để đồ thị hàm số có cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ O Lời giải Giả sử M  x0;y0  ,N  x0;  y0  x0  cặp điểm đối xứng qua O,  y  x3  mx2  9x   1  0 0 nên ta có :   y0   x0  mx0  9x0   2 Lấy  1 cộng với  2 vế với vế ,ta có : mx02   Để  3 có nghiệm m   3 Vậy, với m  đồ thị hàm số có cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ O có hoành độ x0   m 163 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả x3  (m  2)x2  2mx  1có hai điểm cực trị đối xứng với qua đường thẳng 9x – 6y – = Lời giải Ví dụ 4.2.7 Tìm m để (Cm) : y  y'  x2  (m  2)x  2m  y'   x   x  m Hàm số có hai điểm cực trị  Phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt  m Khi hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho   1  m3 A  2; 2m  , B m;   m2  1      A B đối xứng với qua đường thẳng (d)  AB  (d) trung điểm I đoạn AB thuộc (d) r Một vectơ phương (d) a  (2;3) uuu r  m3 4 AB   m  2;   m2  2m    3   uuu rr m3 AB vng góc với (d)  AB.a   2m    3m2  6m    m  m   3m2  4m    m = m =  m = 2  m  6m   (loại)  1  1 Với m = A  2;   , B(0;1) suy trung điểm AB I  1;     3 Thay tọa độ I vào phương trình (d) ,ta = ,suy I  (d) m = thỏa mãn yêu cầu toán  23  19  Với m = A  2; , B 4;  suy I(3;7)  3  3 Thay tọa độ I vào phương trình (d) ta 27 – 42 -7 = (sai)  I  (d) Vậy m = khơng thỏa mãn u câu tốn Vậy, m = thỏa mãn toán CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: x2  x  có đồ thị  C  Tìm điểm đồ thị x1  5 hàm số cho chúng đối xứng qua điểm I  0;  2  Cho hàm số y  164 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt x3  x2  3x  có đồ thị  C  Tìm điểm đồ thị  7 hàm số cho chúng đối xứng qua điểm E   ;    6  2x Cho hàm số y  có đồ thị  C  Tìm điểm đồ thị hàm số x cho chúng đối xứng qua điểm E  1;  1 Cho hàm số y  Cho hàm số y  x3  3x  có đồ thị  C Tìm điểm đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua điểm I  2;18 3x2  3x  có đồ thị  C  Tìm điểm đồ thị 2x  1  hàm số cho chúng đối xứng qua điểm I  ;1 2  Bài 2: Cho hàm số y  x2 có đồ thị  C  Tìm điểm đồ thị hàm số x1 cho chúng đối xứng qua đường thẳng  d  : y  x  1 Cho hàm số y  Cho hàm số y   d x2  2x  có đồ thị  C  Tìm m để đường thẳng x1  C  hai điểm cho chúng đối xứng qua đường thẳng  d' : y  x  x2   m  2 x  m  Cho hàm số y  có đồ thị  C m  Tìm m để đồ thị cắt  Cm  x có hai điểm nằm đường thẳng  d  5x  y   , đồng thời chúng đối xứng qua đường thẳng  d' : x  5y   x2  x  có đồ thị  C  Tìm cặp điểm x1  C  đối xứng qua đường thẳng  :16x  17y  33  Cho hàm số y  Cho hàm số y  x3  3x  có đồ thị  C  Tìm điểm đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua đường thẳng x  2x  có đồ thị  C  Tìm điểm đồ thị hàm số x cho chúng đối xứng qua đường thẳng x – 3y   Cho hàm số y  165 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả x2  x  có đồ thị  C  Tìm điểm đồ thị x1 hàm số cho chúng đối xứng qua đường thẳng y   x  3 CÁC BÀI TỐN DÀNH CHO HỌC SINH ƠN THI ĐẠI HỌC Bài 3: Cho hàm số y   x3  3x2  có đồ thị (C) Trên đồ thị (C) có bao Cho hàm số y  nhiêu bốn điểm A ,B,C,D cho tứ giác ABCD hình vng tâm I(1; 1) Trên mp(Oxy) cho đồ thị (C): y  x3  2x Chứng minh hình bình hành có tất đỉnh nằm (C) tâm hình bình hành gốc tọa độ O Bài 4: Chứng minh với điểm A ,B,C phân biệt thuộc đồ thị (C) : y   tam giác ABC có trực tâm H thuộc đồ thị (C) x x Chứng minh A ,B,C thuộc (C) : y  trực tâm H tam x giác ABC thuộc (C) Bài 5: 1 Cho hàm số y  x3  mx2  m3 có đồ thị  C m  Tìm m để đồ thị 2  Cm  có cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường thẳng  d : y  x x2  mx  2m  có đồ thị  C m  Chứng minh x hàm số ln có cực đại ,cực tiểu với m Tìm m để hai điểm cực đại , cực tiểu đối xứng qua đường thẳng d : x  2y   Cho hàm số y  166 ...  1 Cho hàm số y  Cho hàm số y  x3  3x  có đồ thị  C Tìm điểm đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua điểm I  2;18 3x2  3x  có đồ thị  C  Tìm điểm đồ thị 2x  1  hàm số cho chúng...  3x  có đồ thị  C  Tìm điểm đồ thị  7 hàm số cho chúng đối xứng qua điểm E   ;    6  2x Cho hàm số y  có đồ thị  C  Tìm điểm đồ thị hàm số x cho chúng đối xứng qua điểm E  1;... 17y  33  Cho hàm số y  Cho hàm số y  x3  3x  có đồ thị  C  Tìm điểm đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua đường thẳng x  2x  có đồ thị  C  Tìm điểm đồ thị hàm số x cho chúng đối