XÁC ĐỊNH ĐIỂM I Phương pháp giải Điểm M thuộc trục ;0;0Ox M x Điểm M thuộc trục 0; ;0Oy M y Điểm M thuộc trục 0;0;Oz M z Điểm M thuộc mặt ; ;0Oxy M x y Điểm M thuộc mặt 0; ;Oyz M y[.]
XÁC ĐỊNH ĐIỂM I Phương pháp giải Điểm M thuộc trục Ox : M x;0;0 Điểm M thuộc trục Oy : M 0; y;0 Điểm M thuộc trục Oz : M 0;0; z Điểm M thuộc mặt Oxy : M x; y;0 Điểm M thuộc mặt Oyz : M 0; y; z Điểm M thuộc mặt Ozx : M x;0; z Điểm M x0 ; y0 ; z0 thuộc mặt phẳng P : Ax By Cz D Ax0 By0 Cz0 D x x0 at Điểm M thuộc đường thẳng d : y y0 bt , t z z ct Điểm M thuộc đường thẳng d : M x0 at; y0 bt; z0 ct x x0 y y0 z z0 M x0 at; y0 bt; z0 ct a b c II Ví dụ minh họa Bài tốn Tìm điểm M trục Oz trường hợp sau: a) M cách điểm A 2;3; mặt phẳng x y z 17 b) M cách hai mặt phẳng x y z x y z Giải Ta có M Oz nên M 0;0; c a) MA d M ; d c 13 c c 17 14 c 17 1 182 14 c c 17 2 Từ giải c Vậy M 0;0;3 b) Điểm M cách hai mặt phẳng c c c c c 5 c c 2 Vậy M 0;0; 2 c c5 Bài tốn Tìm tọa độ điểm a) C nằm mp P : 3x y z cho ABC tam giác vơi hai điểm A 0;0; 3 , B 2;0; 1 b) C thuộc Oz để mặt phẳng ABC hợp với mặt phẳng : x y z góc 60 với A 1;0;0 , B 0;1; Giải a) Gọi điểm C x; y; z thuộc mp P Ta có ABC tam giác cạnh AB 2 , nên: x y z 3 CA 2 x y z 3 2 CB 2 x y z x z 1 C P 3x y z 3x y z Giải có hai điểm: C 2; 2; 3 , C ; ; 3 3 2 b) Gọi C 0;0; m Oz Ta có AB 1;1; , AC 1;0; m u AB, AC m; m 2;1 vectơ pháp tuyến mặt phẳng ABC Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n 2; 2; 1 Mp ABC hợp góc 60 nên: cos 60 cos u, n 2m 2m m2 m Vậy có hai điểm C 0;0; 2 m 2 2 2 , C 0;0; Bài tốn Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 5;5;0 đường thẳng d: x 1 y 1 z Tìm tọa độ điểm B, C thuộc d cho tam giác ABC vuông C 4 BC 29 Giải Vì C thuộc d AC d nên C hình chiếu A lên d Đường thẳng d có vectơ phương u 2;3; 4 Mặt phẳng P qua A vng góc với d nhận u làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: x 5 y 5 z x y z 25 Do C giao điểm d P nên có tọa độ xác định hệ: x x 1 y 1 z 4 y Vậy C 3;5; 1 2 x y z 25 z 1 Ta có B d nên B 1 2t; 1 3t;7 4t BC 29 2t 3t 8 4t 29 2 t 4t t t Vậy B 1; 2;3 B 5;8; 5 Bài toán Cho tam giác ABC có C 3; 2;3 , đường cao AH nằm đường thẳng x2 y 3 z 3 , đường phân giác BM góc B nằm đường thẳng 1 x 1 y z Tìm đỉnh A B d2 : 2 d1 : Giải 1) Mặt phẳng P qua C, d1 là: x 3 y z 3 x y 2z P d2 B 1; 4;3 Mặt phẳng Q qua C, d là: x 3 y z 3 x y z Q d2 I 2; 2; K đối xứng C qua d K nằm đường thẳng chứa cạnh AB Vì I trung điểm CK nên K 1; 2;5 x Đường thẳng qua KB là: y 2t z 2t Do đó: cắt d1 A 1; 2;5 Bài toán Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC vuông cân B Biết A 5;3; 1 , C 2;3; 4 Tìm tọa độ đỉnh B biết đỉnh B thuộc P : x y z có xB xC Giải Gọi B a; b; c Vì B P nên a b c Ta có: BA BC a 5 b 3 c 1 2 a b 3 c c a 2 Do b c a 2a nên B a;7 2a;1 a Mà AB.CB a a 2a 2a a a a a 5a a Do B 2;3; 1 , B 3;1; 2 Theo đề chọn B 3;1; 2 Bài tốn Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình bình hành ABCD có A 1;0;0 , C 2; 2; D thuộc đường thẳng d : x y z 1 Tìm tọa độ đỉnh B biết 2 2 diện tích hình bình hành ABCD Giải Vì D thuộc đường thẳng d nên D 2 t;3 2t;1 2t Ta có: AC 1; 2; , AD t 3; 2t 3; 2t 1 AC, AD 4;4t 7; 4t Ta có S ACBD S ACD 3 AC, AD 2 32t 128t 146 32t 128t 128 t 2 Suy D 0; 1; 3 Vì ABCD hình bình hành nên AB DC B 3;3;5 Bài toán Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x y z hai đường thẳng 1 : x 1 y z x 1 y z 1 , 2 : 1 2 Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng khoảng cách từ M đến mặt phẳng P Giải qua A 1;3; 1 có vectơ phương u 2;1; 2 M 1 M 1 t; t; 9 6t MA t;3 t;8 6t , MA, u 8t 14;20 14; t MA, u 29t 88t 68 MA, u 29t 88t 68 Khoảng cách từ A đến : u Khoảng cách từ M đến P : d M , P 1 t 2t 12t 18 1 2 Ta có d M , d M , P 29t 88t 68 35t 88t 53 t t Với t M 0;1; 3 , t 2 11t 20 11t 20 53 55 53 18 53 M ; ; 55 35 35 35 x Bài toán Cho đường thẳng: d : y 1 z 1 x 1 y 1 z , d : 1 1 1 Tìm A thuộc d, A thuộc d cho AA vng góc d , d Giải Điểm A thuộc d nên A t;1 t;1 t A thuộc d nên A 1 t ;1 t ; t Đường thẳng d , d có VTCP u 1; 1;1 , u 1;1;1 t AA.u AA d 3t t Ta có AA d AA.u t 3t t Vậy hai điểm A ; ; A ; ; 4 4 4 4 x 1 t Bài toán Cho điểm A 2;1; , tìm điểm M thuộc đường thẳng : y t để AM bé z 2t Giải Vì M thuộc nên AM bé M hình chiếu A lên Đường thẳng có VTCP u 1;1; , M 1 t ; t ;1 2t Ta có AM u t Vậy M 2;3;3 Bài toán 10 Cho hai điểm A 3;1;1 ; B 7;3;9 mp : x y z Tìm điểm M để MA MB đạt giá trị nhỏ Giải Gọi I trung điểm đoạn AB I 5; 2;5 Ta có MA MB 2MI MA MB 2MI Vậy MA MB nhỏ MI nhỏ M hình chiếu vng góc I mp Tọa độ M x; y; z nghiệm hệ: x t y 2t t 5 M 0; 3;0 z t x y z Bài toán 11 Cho hai điểm A 3;1;0 , B 9; 4;9 mp : x y z Tìm tọa độ điểm M cho: MA MB đạt giá trị lớn Giải Đặt f x; y; z x y z f xA ; y A ; z A f xB ; yB ; zB nên hai điểm A, B khác phía mặt phẳng Gọi A điểm đối xứng điểm A qua mặt phẳng , Ta có: MA MB MA MB AB (không đổi) AH : x 2t , y t , z t nên H 2t;1 t; t thuộc suy t H 1; 2; 1 Do A 1;3; 2 x 1 8t Đường thẳng AB có phương trình y t z 2 11t x 1 8t y 3t Tọa độ điểm M x; y; z thỏa mãn hệ: t M 7; 2; 13 z 2 11t 2 x y z Bài toán 12 Cho hai điểm A 1; 2; 1 , B 7; 2;3 đường thẳng d có phương trình: x 1 y z Tìm điểm I thuộc d cho tổng IA IB nhỏ 2 Giải d có VTCP u 3; 2; qua M 1; 2; Ta có AB 6; 4; 2u M không thuộc d nên đường thẳng AB song song với d Phương trình mặt phẳng P qua A vng góc với d: P : x 1 y z 1 3x y z Điểm H thuộc d nên H 1 3t; 2t; 2t thuộc P nên t H 1; 2; Do điểm đối xứng A qua d A 3; 2;5 Ta có IA IB IA IB AB : không đổi Do IA IB bé I AB d mà AB song song d nên I trung điểm AB Vậy I 2;0; x t Bài toán 13 Cho ba điểm A 2;0;1 , B 2; 1;0 , C 1;0;1 Tìm đường thẳng d : y 2t z 3t điểm S cho SA SB SC đạt giá trị nhỏ Giải Tam giác ABC có trọng tâm G ; ; Ta có: T SA SB SC 3SG 3SG 3 3 Do T bé S hình chiếu vng góc G lên d Mặt phẳng P qua G, vng góc d : x y 3z S t; 2t;3t thuộc P nên t 3 Vậy S ; ; 14 14 14 Bài toán 14 Cho A 1; 4;5 , B 0;3;1 , C 2; 1;0 mặt phẳng P : 3x y z 15 Tìm điểm M thuộc P để MA2 MB MC bé Giải Tam giác ABC có trọng tâm G 1; 2; Ta có: T MA2 MB MC MG GA MG GB MG GC 3MG GA2 GB GC GA2 GB GC Do T bé M hình chiếu G lên mp P Đường thẳng d qua G, vng góc P có phương trình: x 3t y 3t Thế x, y, z vào P t Vậy M 4; 1;0 z 2t Bài toán 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d1 qua điểm A 5; 4;3 , B 6;7; đường thẳng d : x 1 y z Tìm điểm C thuộc d cho tam giác ABC có diện tích nhỏ Tìm giá trị nhỏ Giải Đường thẳng d1 qua A có VTCP AB 1;3; 1 Đường thẳng d qua M 1; 2;3 có VTCP u 2;3;1 S ABC 1 AB.CH 11.d AB, d 2 Gọi IJ đoạn vng góc chung d1 d2 I d2 , J d1 Ta có: I 1 2t; 3t;3 t , J 5 s; 3s;3 s IJ 2t s; 3t 3s; t s IJ đoạn vng góc chung d1 d nên: t IJ u 2 2t s 3t 3s t s s IJ AB 2t s 3t 3s t s Do I 3;5; , J A 5; 4;3 ; IJ 22 1 1 S ABC 1 66 AB.IJ 11 Dấu “=” C I 3;5; 2 Bài tốn 16 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 2;1;0 , đường thẳng x y 1 z 1 Gọi B điểm đối xứng A qua d Tìm tọa độ điểm C mặt 1 phẳng P : 3x y 3z cho đoạn thẳng BC có độ dài nhỏ d: Giải Gọi H hình chiếu A lên đường thẳng d H t;1 t;1 2t Đường thẳng d có VTCP ud 1; 1; Khi AH ud t t 1 2t t 1 H 1; 2; 1 Vì H trung điểm AB nên B 4;3; 2 Với C P , để BC nhỏ C hình chiếu B lên P Khi đường thẳng BC qua B 4;3; 2 nhận u P 3; 2; 3 VTCP Do C 3c;3 2c; 2 3c Mà C P 3c 2c 2 3c c 1 Vậy điểm C 1;1;1 ... thuộc P nên t H 1; 2; Do điểm đối xứng A qua d A 3; 2;5 Ta có IA IB IA IB AB : khơng đổi Do IA IB bé I AB d mà AB song song d nên I trung điểm AB Vậy I ... 3; 2; qua M 1; 2; Ta có AB 6; 4; 2u M không thuộc d nên đường thẳng AB song song với d Phương trình mặt phẳng P qua A vng góc với d: P : x 1 y z... 3 c c a 2 Do b c a 2a nên B a;7 2a;1 a Mà AB.CB a a 2a 2a a a a a 5a a Do B 2;3; 1 , B 3;1;