tong hop cac dang toan thuong gap ve the tich cua hinh hop chu nhat co loi giai

THỂ TÍCH CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT A Lý thuyết ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC Ví dụ 1: Quan sát hình hộp chữ nhật hình 84: - AA có vng góc với AD hay khơng? Vì sao? - AA có vng góc với AB hay khơng? Vì sao?  Giải Ta có: - AA có vng góc với AD, ADDA hình chữ nhật - AA có vng góc với AB, ABBA hình chữ nhật  Tổng kết mở rộng: Khi đường thẳng AA vng góc với hai đường thẳng cắt AD AB mặt phẳng  ABCD  ta nói AA vng góc với mặt phẳng  ABCD  kí hiệu AA   ABCD  Khi hai mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng cịn lại người ta nói hai mặt phẳng vng góc với nhau, ví dụ  AABB    ABCD  mặt phẳng  AABB  chứa đường thẳng AA vng góc với  ABCD   Nhận xét: Nếu đường thẳng vng góc với mặt phẳng điểm A vng góc với đường thẳng qua A nằm mặt phẳng Ví dụ 2: Tìm hình 84: - Các đường thẳng vng góc với mặt phẳng  ABCD  - Các mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABCD)  Giải Ta có: - Các đường thẳng AA , BB , CC , DD vng góc với mặt phẳng  ABCD  - Các mặt phẳng  AABB ,  BBCC ,  CCDD ,  DDAA vuông góc với mặt phẳng  ABCD CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT Với hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c ta có:  Diện tích xung quanh: S xq   a  b  c  Diện tích tồn phần: Stp  S xq  2Sd   a  b  c  2ab   ac  bc  ab   Thể tích: V  abc Đặc biệt: Thể tích hình lập phương cạnh a là: V  a3 Ví dụ 3: Tính thể tích hình hộp chữ nhật biết ba kích thước 3cm, 4cm, 5cm  Giải Ta có ngay: V  3.4.5  60cm3 Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD A1B1C1D1 Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình lập phương đó, biết: a) AB  6cm b) AC  2cm c) AC1  3cm  Giải a) Ta có ngay:  Diện tích xung quanh: Sxq  4a2  4.62  144cm2  Diện tích tồn phần: Stp  6a2  6.62  216cm2  Thể tích: V  a3  63  216cm3 b) Để tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình lập phương, ta cần biết số đo cạnh Trong ABC vng cân B, ta có: AC  AB2  BC  32  a2  a2  a  4cm Khi đó, hình lập phương ABCD A1B1C1D1 có:  Diện tích xung quanh: Sxq  4a2  4.42  64cm2  Diện tích tồn phần: Stp  6a2  6.42  96cm2  Thể tích: V  a3  43  64cm3 c) Để tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình lập phương, ta cần biết số đo cạnh Trong ACC1 vng C, ta có: C1 A2  AC  C1C  AB2  BC  C1C  3a  27  3a  a  3cm Khi đó, hình lập phương ABCD A1B1C1D1 có:  Diện tích xung quanh: Sxq  4a2  4.32  36cm2  Diện tích toàn phần: Stp  6a2  6.32  54cm2  Thể tích: V  a3  33  27cm3 B Các dạng tập Dạng toán 1: QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN VÍ DỤ 1: Hình 87 Gấp hình a) theo nét có hình hộp chữ nhật hay khơng? Kí hiệu đỉnh hình hộp gấp hình b) a) Đường thẳng BF vng góc với mặt phẳng nào? b) Hai mặt phẳng  AEHD   CGHD  vng góc với nhau, sao?  Hướng dẫn: Ta lần lượt:  Với câu 2), sử dụng định nghĩa quan hệ vng góc khơng gian  Giải a) Ta có: ABFE BCGF hình chữ nhật Suy ra, BF  AB BF  BC Lại có: AB BC thuộc  ABCD  cắt B Do đó: BF   ABCD  Tương tự BF   EFGH  Vậy, BF vng góc với hai mặt phẳng  ABCD   EFGH  b) Ta có:  AEHD    CGHD  Lại có, AD vng góc với hai đường thẳng DC DH   CGHD  AD   CGHD  Do đó: AD   CGHD  Mà AD   AEHD  Vậy, ta  AEHD    CGHD  VÍ DỤ 2: Cho hình lập phương ABCD A1B1C1D1 a) Khi nối A1 với C A với C1 hai đường thẳng A1C AC1 có cắt hay khơng? Và chúng cắt vng góc với khơng? Vì sao? b) Đường thẳng AC song song với mặt phẳng nào? c) Đường thẳng AC vng góc với mặt phẳng nào?  Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa mối quan hệ song song vng góc  Giải a) Ta có: // // // AA1  BB1  CC1  AA1  CC1  AA1C1C hình bình hành  A1C AC1 cắt trung điểm đưởng Giả sử A1C , AC1 vng góc với nhau, đó: AA1C1C hình thoi  AA1  A1C1  a  a , mâu thuẫn Vậy, A1C AC1 khơng vng góc với b) Ta có: AC / / A1C1   A1B1C1D1   AC / /  A1B1C1D1  AC / / A1C1   A1C1B   AC / /  A1C1B  AC / / A1C1   A1C1D   AC / /  A1C1D  Vậy, tồn mặt phẳng  A1B1C1D1  ,  A1C1B  ,  A1C1D  song song với AC c) Ta có:     AC  BB1 BB1   ABCD   AC   BDD1B1   AC  BD ABCD hình vuô n g     Vậy, có mặt phẳng  BDD1B1  vng góc với AC VÍ DỤ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A1B1C1D1 a) Hãy đường thẳng hình hộp vng góc với mặt phẳng  A1B1C1D1  b) Hãy mặt phẳng hình hộp vng góc với mặt phẳng  BB1C1C  c) Tứ giác B1C1DA hình gì? Vì sao?  Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa hình lập phương  Giải a) Ta có:  AA1  A1B1 , AA1B1B hình chữ nhậ t     AA1  A1D1 , AA1D1D hình chữ nhậ t  AA1   A1B1C1D1  Chứng minh tương tự, ta có: BB1   A1B1C1D1  CC1   A1B1C1D1  DD1   A1B1C1D1  Vậy tồn đường thẳng AA1 , BB1 , CC1 , DD1 vng góc với mặt phẳng  A1B1C1D1  b) Ta có :   A1B1   BB1C1C    A1B1C1D1    BB1C1C     A1B1   A1B1C1D1    A1B1   BB1C1C    A1 B1BA   BB1C1C     A1 B1   A1 B1 BA   A1B1   BB1C1C    A1B1CD    BB1C1C   A B  A B CD    1 1    AB   BB1C1C    ABCD    BB1C1C     AB   ABCD    AB   BB1C1C    ABC1D1    BB1C1C   AB  ABC D    1   CD   BB1C1C    CDD1C1    BB1C1C    CD   CDD1C1  Vậy, tồn mặt phẳng  A1B1C1D1  ,  A1B1BA ,  A1B1CD  ,  ABCD  ,  ABC1D1  ,  CDD1C1  vng góc với mặt phẳng  BB1C1C  c) Vì ADD1 A1 hình chữ nhật nên: // // // AD  A1D1  B1C1  AD  B1C1  B1C1DA hình bình hành Mặt khác, ta có: B1C1   CDD1C1   B1C1  C1D  B1C1D  90 Vậy, hình bình hành B1C1DA có góc vng nên hình chữ nhật VÍ DỤ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A1B1C1D1 , biết AB  a , BC  b , AA1  c Tìm mối liên hệ đại lượng a, b, c để tứ giác AA1C1C hình vng  Hướng dẫn: Trước tiên, cần chứng tỏ AA1C1C hình chữ nhật Từ đó, thiết lập điều kiện AA1  AC , AC tính việc sử dụng hai lần định lí Py-ta-go  Giải Ta có: // // // AA1  BB1  CC1  AA1  CC1  AAC 1C hình bình hành Ta lại có: AA1   A1B1C1D1   AA1  AC 1  AAC 1  90 Khi đó, hình bình hành AA1C1C có góc vng nên hình chữ nhật Để AA1C1C hình vng điều kiện là: AA1  AC  AA12  AC  AB2  BC  c  a  b2 Vậy, để AA1C1C hình vng điều kiện c2  a2  b2 Dạng toán 2: DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH HỘP VÍ DỤ 1: a) Tính kích thước hình hộp chữ nhật, biết chúng tỉ lệ với 3, 4, thể tích hình hộp 480m3 b) Diện tích tồn phần hình lập phương 486m2 Thể tích bao nhiêu?  Hướng dẫn: Ta lần lượt:  Với câu a), sử dụng tính chất tỉ lệ thức cơng thức tính thể tích hình hộp  Với câu b), trước tiên sử dụng cơng thức tính diện tích tồn phần hình lập phương để tính độ dài cạnh  Giải a) Gọi a, b, c kích thước hình chữ nhật (đơn vị: cm) Theo đề bài, ta có: a b c a.b.c 480    k  k3    8 k  3.4.5 60 Suy a  ; b  ; c  10 Vậy kích thước hình hộp chữ nhật là; a  6cm , b  8cm , c  10cm b) Hình lập phương có mặt hình vng Gọi a cạnh hình vng (đơn vị: mét) Ta có, diện tích hình vng là: a2  486 :  81 m2   a   m  Vậy, thể tích khối lập phương : V  a3  93  729m3 VÍ DỤ 2: Cho hình hộp chữ nhật có chiều dài 6cm, chiều rộng chiều dài chiều cao gấp lần chiều rộng Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình hộp chữ nhật  Hướng dẫn: Sử dụng cơng thức có sẵn sau có độ dài ba kích thước hình hộp chữ nhật  Giải Để tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình chữ nhật, ta cần biết đầy đủ ba kích thước chiều dài, chiều rộng, chiều cao, từ giả thiết ta có: a  6cm , b  a  3cm , c  3b  9cm Khi đó:  Diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật là: S xq   a  b  c  162cm2  Diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật là: Stp  S xq  2Sd  162  2.6.3  198cm2  Thể tích hình hộp chữ nhật là: V  a.b.c  162cm3 VÍ DỤ 3: Một thùng hình lập phương, cạnh 7dm, có chứa nước với độ sâu nước 4dm Người ta thả 25 viên gạch có chiều dài 2dm, chiều rộng 1dm, chiều cao 0,5dm thùng Hỏi nước thùng dâng lên cách miệng thùng đêximet? (Giả sử toàn gạch ngập nước chúng hút nước không đáng kể)  Giải Thể tích 25 viên gạch là: V   2.1.0,5 25  25  dm3  Diện tích đáy thùng 7.7  49  dm2  Chiều cao nước dâng lên thêm bỏ gạch vào thùng là: h V 25   0,51 dm  S Vậy, mực nước thùng cách miệng thùng là:    0,51  2, 49  dm  VÍ DỤ 4: Một bể nước hình chữ nhật có chiều dài 2m Lúc đầu bể khơng có nước Sau đổ vào bể 120 thùng nước, thùng chứa 20 lít mực nước bể cao 0,8m a) Tính chiều rộng bể nước b) Người ta đổ thêm vào bể 60 thùng nước đầy bể Hỏi bể cao mét?  Giải a) Lượng nước đổ vào bể lúc đầu là: V1  120.20  2400  lít   2,4  m3  Diện tích đáy bể là: S  V1 2,4   m2 h 0,8   Đáy bể hình chữ nhật nên Sđáy  dài  rộng Suy ra, chiều rộng đáy bể là: Sđáy chiề u dà i   1,5  m  b) Lượng nước đổ vào bể hai lần là:   V  120  60  20  3600  lít   3,6 m3 Vậy, chiều cao bể là: h  V 3,6   1,2  m  S VÍ DỤ 5: Cho hình lập phương ABCD A1B1C1D1 , biết AC  2 cm Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình  Giải Để tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình lập phương, ta cần biết số đo cạnh Giả sử hình lập phương có cạnh a Trong ABC vng cân B, ta có: AC  AB2  BC   a  a  a  cm Khi đó, hình lập phương ABCD A1B1C1D1 có:  Diện tích xung quanh: S xq  4a  4.22  16 cm2  Diện tích tồn phần: Stp  6a  6.22  24 cm2  Thể tích: V  a3  23  cm3 VÍ DỤ 6: Cho hình lập phương ABCD A1B1C1D1 có diện tích mặt chéo ACC1 A1 cm2 Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình lạp phương  Giải Để tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình lập phương, ta cần biết số đo cạnh Giả sử hình lập phương có cạnh a Trong ABC vng cân B, ta có: AC  AB2  BC  a  a  2a  AC  a Diện tích mặt chéo ACC1 A1 cho bởi: S  AA1.AC   a.a  a  cm Khi đó, hình lập phương ABCD A1B1C1D1 có:  Diện tích xung quanh: S xq  4a  4.32  36 cm2  Diện tích tồn phần: Stp  6a2  6.32  54 cm2  Thể tích: V  a3  33  27 cm3  13cm VÍ DỤ 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A1B1C1D1 Biết AB  4cm , AC  5cm AC Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình hộp chữ nhật  Giải Để tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình hộp chữ nhật, ta cần biết đầy đủ ba kích thước chiều dài, chiều rộng, chiều cao Do vậy, cần tính thêm BC AA1 Áp dụng định lí Py-ta-go vào ABC , ta được: BC  52  42   cm  Từ định nghĩa hình hộp chữ nhật, ta có: AA1   ABCD   AA1  AC  A1 AC vng A Áp dụng định lí Py-ta-go vào A1 AC , ta được: AA1  132  52  12  cm  Khi đó:  Diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật là: S xq   AB  BC  AA1  168cm2  Diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật là: Stp  Sxq  2Sñ  168  2.4.3  192 cm2  Thể tích hình hộp chữ nhật là: V  AB.BC AA1  144 cm3 VÍ DỤ 8: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A1B1C1D1 Biết AB  3cm , AA1  6cm S AA C C  30 cm2 Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình hộp chữ nhật 1  Giải Ta có: // // // AA1  BB1  CC1  AA1  CC1  AAC 1C hình bình hành Ta lại có: AA1   A1B1C1D1   AA1  AC 1  AAC 1  90 Khi đó, hình bình hành AA1C1C có góc vng nên hình chữ nhật Gọi S diện tích hình chữ nhật AA1C1C , ta có: S  AA1.AC  30  6.AC  AC  cm Áp dụng định lí Py-ta-go vào ABC , ta được: BC  52  32  cm Khi đó:  Diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật là: S xq   AB  BC  AA1  84cm2  Diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật là: Stp  Sxq  2Sñ  84  2.3.4  108 cm2  Thể tích hình hộp chữ nhật là: V  AB.BC.AA1  72 cm3 ... 27cm3 B Các dạng tập Dạng tốn 1: QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN VÍ DỤ 1: Hình 87 Gấp hình a) theo nét có hình hộp chữ nhật hay khơng? Kí hiệu đỉnh hình hộp gấp hình b) a) Đường thẳng BF vng... hình lập phương để tính độ dài cạnh  Giải a) Gọi a, b, c kích thước hình chữ nhật (đơn vị: cm) Theo đề bài, ta có: a b c a.b.c 480    k  k3    8 k  3.4.5 60 Suy a  ; b  ; c  10 Vậy