KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XIII, NĂM 2022 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MƠN: TỐN HỌC - LỚP 11 Thời gian: 180 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 14/7/2022 Đề thi gồm 01 trang Bài (4,0 điểm) Cho dãy số Đặt un : u1 5, u2 23, un 5un1 un với un 1 un với n 1, 2,3, a) Chứng minh dãy số n 1, 2,3, có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn 1 lim n u u u2u3 unun 1 b) Tính Bài (4,0 điểm) Cho hàm số f : ¡ ¡ thỏa mãn phương trình f xf x y f x x f y ; x, y ¡ a) Chứng minh f 1 b) Tìm tất hàm số f thỏa mãn yêu cầu tốn Bài (4,0 điểm) Cho đường trịn B, C cố định thuộc O , đoạn thẳng BC O ABC O Một điểm A thay đổi thuộc cho tam giác nhọn O' Một đường tròn qua B, C cắt cạnh AC , AB E , F khơng đường kính khơng cân đỉnh A O hai điểm O G G A Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt lại đường tròn điểm thứ hai Gọi H giao điểm BE CF O K A a) Gọi K giao điểm thứ hai đường thẳng AH với Chứng minh đường O' thẳng GK qua điểm cố định A thay đổi O M , N G b) Gọi M , N giao điểm thứ hai GH , GO với Điểm D giao điểm hai đường thẳng MN , BC; P, Q giao điểm DO với GB, AC Chứng minh O trung điểm đoạn PQ d n Bài (4,0 điểm) Với số nguyên dương n , kí hiệu số ước nguyên dương n u1 d n , uk 1 d uk , k 1, 2, a) Chứng minh d n n với số nguyên dương n b) Tìm tất số nguyên dương n cho dãy số k khơng chứa số phương Bài (4,0 điểm) Có thể chia hình vng cho trước thành n hình vng nhỏ (các hình vng nhỏ khơng thiết hai hình vng nhỏ khơng có điểm chung trong) hay không, nếu: a) n 2022 ? u , k 1, 2, b) n 5? HẾT -(Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm.) Họ tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo ………………… danh: