ĐÁP án đề thi đề nghị 2022 CVA HN toán 11

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2021- 2022 ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MƠN THI: TỐN LỚP 11 Ngày thi: tháng năm 2022 (Thời gian làm 180 phút không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm trang Câu (4 điểm): Với số nguyên dương n lớn , chứng tỏ tồn số 2 n  k  n  Gọi kn số nguyên k  j  n 1 j k dương nhỏ thỏa mãn điều đó, chứng minh tồn lim n n nguyên dương k nhỏ n thỏa mãn  Câu (4 điểm): Tìm tất đa thức có hệ số thực P  x  thỏa mãn  x  1 P  x  nhận giá trị nguyên  x  2021 P  x  1 nhận giá trị nguyên Câu (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( O), M điểm nằm đường trịn (O) Hình chiếu M xuống đường OA, OB, OC P, Q, R Gọi K tâm đường tròn nội tiếp ta giác PQR Gọi D hình chiếu M xuống BC a)Chứng minh K, D, Q, R thuộc đường tròn b)Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tại vị trí M để D, M, I thẳng hàng, AI giao BC F, AH đường cao tam giác ABC, E trung điểm BC Chứng minh rằng: ED  EF EH Câu (4 điểm): Với số nguyên dương m , giả sử a1 , a2 , , a  m  tất số nguyên dương không vượt m nguyên tố với m a)Tìm tất số nguyên dương m thỏa mãn a1 a  m   1 mod m  b) Tìm tất số nguyên dương m thỏa mãn  mod m  a1  m   a2  m    a mm    m  a1.a2 a  m  Câu (4 điểm): Cho số nguyên dương n Ta xây dựng dãy số  an  sau:    x  ¥    a1  x  ¥ *  x; n   ; a2  x  ¥ * \  a1  x; n   … ak *  \  a1; a2 ; ; ak 1  x; n   d Gọi S  n    Chứng minh aS  n   n  S  n   dn ……………………… HẾT …………………… HDG Câu (4 điểm): Với số nguyên dương n lớn , chứng tỏ tồn số 2 n  k  n  Gọi kn số nguyên k  j  n 1 j k dương nhỏ thỏa mãn điều đó, chứng minh tồn lim n n nguyên dương k nhỏ n thỏa mãn  Câu (4 điểm): Tìm tất đa thức có hệ số thực P  x  thỏa mãn  x  1 P  x  nhận giá trị nguyên  x  2021 P  x  1 nhận giá trị nguyên Bài làm: + Ta chứng minh  x  2021 P  x  1   x  1 P  x  đa thức tồn k  ¢ cho  x  2021 P  x  1   x  1 P  x   k + Th1:P(x) =C hàm + Th2: degP(x)>0, giả sử  x  2021 P  x  1   x  1 P  x   k Thay x=1, x=-2021 vào bt 2022P(0)=k; 2022P(-2021)=k nên có P(0)=P(2021)= k 2022 Nên ta có P(x)=x(x+2021)Q(x)- k 2022 2021 Lặp lại trình ta P  x   a  x  i   i0 c ( với a  ¡ , a=0 ta đươc 2022 P(x) hàm hằng) Câu (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( O), M điểm nằm đường trịn (O) Hình chiếu M xuống đường OA, OB, OC P, Q, R Gọi K tâm đường tròn nội tiếp ta giác PQR Gọi D hình chiếu M xuống BC a)Chứng minh K, D, Q, R thuộc đường tròn b)Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tại vị trí M để D, M, I thẳng hàng, AI giao BC F, AH đường cao tam giác ABC, E trung điểm BC Chứng minh rằng: ED  EF EH Bài làm: a) XY  BC   D ; AH  BC   D ' Do XBYC tứ giác đ,hòa nên  SDBC   1 Do AD ', BG , CL đồng quy H nên ta có  SD ' BC   1   SDBC  Từ có D  D ' b)Cũng XBYC điều hòa nên ta có XY, tiếp tuyến B,C  ABC  đồng quy F Gọi E trung điểm BC FB, FC cắt LG M,N ; Có ·ALC  ·ADC  90 nên tứ giác ALDC nội tiếp, tương tự ta có tứ giác LGCB nội tiếp · · Do đó: MLB nên ML  MB  ·ACB  MBL  BLC có LE đường trung tuyến nên LE  EB  EC ·   MLE   MBE  c.c.c  nên ME phân giác FMN · Mà FE phân giác MFN nên E tâm nội tiếp  MFN · · · Có MBA  ACB  BLD nên LD P FM Theo thales, có: IL ID IG ID Tương tự Có H tâm nội tiếp  LDG   IM IF IN IF Xét phép vị tự IG VTIN : N a G Fa D M a L  FMN a  DLG IG Do V IN biến tâm nội tiếp  FMN thành tâm nội tiếp  DLG , tức E biến thành H I Do đó, I, E , H , ta có đpcm Câu (4 điểm): Với số nguyên dương m , giả sử a1 , a2 , , a  m  tất số nguyên dương không vượt m nguyên tố với m a)Tìm tất số nguyên dương m thỏa mãn a1 a  m   1 mod m  b) Tìm tất số nguyên dương m thỏa mãn a1  m   a2  m    a  mm    m  a1.a2 a  m   mod m  Câu (4 điểm): Cho số nguyên dương n Ta xây dựng dãy số  an  sau:    x  ¥    a1  x  ¥ *  x; n   ; a2  x  ¥ * \  a1  x; n   … ak *  \  a1; a2 ; ; ak 1  x; n   d Gọi S  n    Chứng minh aS  n   n  S  n   dn Bài làm: Gọi ước nguyên dương n  d1  d   d k  n Một số a thỏa mãn (a;n)=1 thỏa mãn  a; di   Ta xét tập A1   d1 , d1  1, ,d1  d  1  A1  d2 ; Ai   d1   di , d1   di  1, , d1   di  di 1  1  Ai  d i 1 Ak 1   d1   dk 1 , d1   d k 1  1, , d1   d k 1  d k  1  Ak 1  d k  n Trong Ai có   di 1  số nguyên tố với di 1 nên có khơng q   di 1  số nguyên tố với n Do có di 1    di 1  số không nguyên tố với n Từ ta tập số từ đến d1   d k  k 1 có  d i 1 k 1 i 1    d i 1      d i 1    d i 1    S  n   n i 0 ... x=-2021 vào bt 2022P(0)=k; 2022P(-2021)=k nên có P(0)=P(2021)= k 2022 Nên ta có P(x)=x(x+2021)Q(x)- k 2022 2021 Lặp lại trình ta P  x   a  x  i   i0 c ( với a  ¡ , a=0 ta đươc 2022 P(x)